三重积分习题课(一)

f ( x,

y , z )dxdydz dz f ( x , y , z )dxdy
c1 Dz
c2
2．利用柱面坐标计算 若 {(,

, z ) | z1 (, ) z z 2 (, ), 1 () 2 (), }
: r z 0r R2 r 2 , 2 R, 0 2 2
.
4
x
o
y
故有
zdxdydz

2 0
d
2 R 2 0
dr
R2 r 2 r
zrdz
2
2 R 2 0
1 1 2 2 R 4 r ( R 2r )dr 8 2
2 0
0
R
59 R 5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
2 3 R 2 2 由于 在 xoy 平面的投影区域 D xy : x y 4
；
故在柱面坐标下，
3R : R R r z R r , 0 r , 0 2 2
2 2 2 2
于是有
z

2
dxdydz
解法二:利用球面坐标计算
zdxdydz

d sin cos d r 3dr 0
4 0

R
1 R 4 8
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
2 2 2 I ( x y z )dxdydz，其中 是由球面 【例7】求
其中 为平面 x 0 ，
z 0 ，x y z 1 ，所围成的四面体。 y 0，
解: （如图）在平面 xoy 上的投影域 D xy
D xy : 0 y 1 x , 0 x 1
1
.
z
的上顶曲面 1 为 z 1 x y ，
o
1
D xy 1
y
下顶曲面 2 为 z 0
。
x
dxdydz 3 (1 x y z )

1 0
dx
1 x 0
dy
1 x y 0
1 dz 3 (1 x y z )
1 x 1 1 1 1 dx dy 2 0 0 2 4 (1 x y )
解: 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为
1 1 1 3 M ( x , y, z )dv ( x y z )dxdydz dx dy ( x y z ) dz 0 0 0 2
【例2】
dxdydz 计算三重积分 3 (1 x y z )
h

h 0
z 3 dz 1 R 2 h 2
4
解法2：利用柱面坐标计算。
h r z h, 0 r R, 0 2 在柱面坐标下 : R 2 R h R1 1 h2 2 2 zdxdydz d dr h zrdz 2 r ( h 2 r )dr R 2 h 2 故有 0 0 r 0 2 R 4 R
1 1
3．利用球面坐标计算
若 {(r ,

, ) | r1 (, ) r r2 (, ), 1 () 2 (), }
y, z )dxdydz
则 f ( x,
d


f ( r sin cos , r sin sin, r cos ) r 2 sindrdd
二、三重积分的性质
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f ( x,

y, z )dv f ( x , y, z )dxdydz

（1）“先一后二”法 若D为 在 xoy面上的投影区域
{( x, y, z ) | z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ), ( x, y ) D}
被积函数 f ( x, y, z ) g( z )，则可采用先重后单法计算；如果
2 2 被积函数 f ( x, y, z ) g( x y )，积分区域 为柱或 的投影
是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 则采用直角坐标计算。
六、典型例题
【例1】设有一物体，占有空间闭区域 {( x, y, z ) | 0 x 1, 0 y 1,0 z 1} 在点( x, y, z ) 处 的密度为( x, y, z ) x 3
dxdy
xy 0
xy 2 z 3 dz
x 1 1 1 dx x 5 y 6 dy 0 4 0 364
【例4】 计算三重积分 ( x 2 y 2 )dv 。其中 是由曲面 x 2 y 2 2z 及平面 z 2 所围成的闭区域。 解：积分区域 的如图所示。在柱面坐标下
D xy : 0 y x , 0 x 1
z
x+ y=1
z=xy
y
1
o
z =0
1

x
1 : z xy (2) 确定上顶曲面 1 及下顶曲面 2 。
2: z 0
(3) 转化为先对
z 后对 x, y
D xy
的三次积分计算：
1 5 6 x y dxdy 4 D xy

2 0
d
3R 2 0
3 R 2 0
dr
R2 r 2 R R2 r
2 z rdz 2
2 3


r[( R 2 r 2 )3 2 ( R R 2 r 2 )3 ] dr
1 1 1 x 1 1 1 5 dx ln 2 2 0 4 2 1 x 2 8
【例3】 计算 I x y 2 z 3dxdydz
: z xy 与 x y , z 所围成的区域

。 。
解: (1) 求 （如图） 在平面 xoy上的 投影区域为 D xy
2 () 1 ( )
d
r2 ( , ) r1 ( , )
f (r sin cos , r sin sin, r cos ) r 2 sindr
四、三重积分的应用 1．几何应用 空间立体 的体积 V dv

2．物理应用 （1）质量 （2）质心
五、三重积分的解题方法
计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标
三种坐标计算。通常要判别被积函数 f ( x, y, z ) 和积分区域
2 2 2 所具有的特点。如果被积函数 f ( x, y, z ) g( x y z )
积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果
z a 2 x 2 y 2 ( A a 0)和平面 z 0
所确定的闭区域。
z
A
解：积分区域 在球面坐标系下
的图形如图。
, 0 2 2
x
: a r A, 0
o
y
a
A
故有
( x y )dv
2 2


2 0
2
d d r 2 sin2 r 2 sindr
2 2 2 2
2

解法1：利用球面坐标计算。 用圆锥面
将 分成两部分 3
z
R
R 2
1 2 其中
1 : 0 r 2 R cos , ,0 2 3 2 2 : 0 r R,0 ,0 2 3
z

h x2 y2 R
解法1：利用“先二后一”方法计算。
由于 {( x, y, z ) | ( x, y ) Dz , 0 z h}，
2 2 其中Dz : x y
h
R z h2
2 2
Dz
，故
o
x
R R y
zdxdydz


h 0
R2z 2 R 2 zdz dxdy z 2 dz 2 0 h h Dz
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法
来计算，但“先二后一”法相对简便。
2 2 【例6】计算三重积分 zdxdydz ，其中 是由圆锥面 z x y

与上半球面z R x y 所围成的闭区域。
2 2 2
z
rR

用哪种坐标？ 解法一:利用柱面坐标计算 在柱面坐标下
r2 : z 2, 0 r 2, 0 2 2 2 2 2 2 2 2 故有 ( x y )dv 0 d 0 dr r r dz
2

z

2
x
y
16 3
【例5】计算三重积分 zdxdydz .其中 是由锥面 z 与平面 z h ( R 0, h 0) 所围成的闭区域。
x y z z 所限定的球域。
2 2
2
z 1
解：积分区域 在球面坐标系下，
的图形如图。
1 2
: 0 r cos , 0
, 0 2 2
x
o
y
故有
I ( x 2 y 2 z 2 )dxdydz


2 0
d d
则
f ( x, y, z )dxdydz

dxdy
D
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y, z )dz
若 {( x, y, z ) | c1 z c 2 , ( x, y ) Dz } （2）“先二后一”法 其中 Dz 是竖坐标为 z 的平面截 闭区域所得到的一个 平面闭区域，则
o
y
x
于是，得

2 z dxdydz
2 0 2 3
2 2 z dxdydz z dxdydz 1 2

d d
3 0
2 R cos 0
r 2 cos 2 r 2 sin dr


2 0
d d r 2 cos 2 r 2 sindr

2 0
cos 0
r 2 r 2 sindr

1 2 2 5 1 6 2 cos sind ( cos ) 5 0 2 6 12 0
2 2 ( x y )dv z A2 x 2 y 2 【例8】计算三重积分 。 其中 是由球面
一、主要内容
三重积分
一、三重积分的概念
1．定义:
f ( x,

y , z )dv lim f ( i , i , i )v i
0 i 1
n
2．物理意义:
M ( x, y, z )dv

表示体密度为 ( x, y, z ) 的空间物体 的质量。
a
2 0 3 A a
2 0
A

0
d sin d r 4 dr
4 2 1 5 5 ( A 5 a 5 ) 2 ( A a ) 15 3 5
【例9】计算三重积分 z 2 dxdydz 其中是 两个球体
2 2 x y z R 及 x y z 2 Rz ( R 0) 的公共部分。
M ( x, y, z )dv

x
1 M
xdv

1 y M
ydv

1 z M
zdv

（3）转动惯量
I x ( y 2 z 2 )dv

I y ( x 2 z 2 )dv

Iz
2 2 ( x y )dv

则 f ( x , y, z )dxdydz f ( r cos , r sin , z ) rdrd dz
) z2 ( r , ) d rr2(( dr z ( r , ) f ( r cos , r sin , z ) rdz )