曲面积分习题课

Σ
= (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ)dS
Σ
= -zx P - zyQ + R dxdy.
Σ
方法：这就把三个坐标的积分转化为一个
坐标面上的积分.
方法四：高 斯 公 式
设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ围成,函 数 P( x, y, z)、Q( x, y, z)、 R( x, y, z)在 上具有一阶
z
Dxy
x2y22ax
1 0.5
2 1
0
-2
0y
-1
dS
1
z
2 x
z 2y dxdy
0
-1
x
y
1 -2
2
1
x2 x2
y2
x2
y2
y2 dxdy
o
2a x
2dxdy
( xy yz zx)dS 2 [xy ( x y) x2 y2 ]dxdy
Dxy
2 2
d
2a cos
0
[r2
1.若曲面∑关于x = 0对称,∑1 是∑的x ≥ 0的部分, 则
(1)当f -x, y,z= -f x, y,z时, I 0.
(2)当f -x, y,z = f x, y,z时, I = 2 f x, ydσ. 1 若曲面∑关于y = 0或z = 0对称, f 关于y 或z有
奇偶性时,有类似的结论。
cos =
1 , dS =
1+ zx2 + zy2
1+ zx2 + zy2
R x, y,zdydz = R x, y,zcosαdS
Σ
Σ
R x, y,zdzdx = R x, y,zcosdS
Σ
Σ
R(x, y,z)dxdy = R(x, y,z)cosγdS
Σ
Σ
从而
dydz dxdy
=
cosαdS cosγdS
=
-z x 1
dydz
=
-zxdxdy.
dzdx dxdy
=
cos dS
cosγdS
=
-z y 1
dzdx
=
-z ydxdy.
所以 dydz = -zxdxdy, dzdx = -zydxdy
dydz = -zxdxdy, dzdx = -zydxdy 代入下式
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
D yz
说明：
（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 可利用可加性，分块计算，结果相加
（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 即方程的表达形式
（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数
（4）切记任何时候都要换面积微元.
例1
求
(
z
2x
4 3
y)dS
其中为平面
2
4
1
o 3
1
y
1
x
dS 1 (zx )2 (zy )2dxdy 3dxdy
xyzdS = xy 1- x - y 3dxdy
Dxy
301dx 01 x
xy(1
x
y)dy
3 120
.
说明：当S只取平 面x+y+z=1时,即为 P.282 习题1(4).
例4 (P.282 习题1 (2)):
z
其中 为锥面 z x2 y2 (0zh) 的外侧
解 Py2z Qz2x Rx2y
h
P Q R 0 x y z 设1为zh(x2y2h2)的上侧
o
y
x
为由与1所围成的空间区域 则由高斯公式
( y2 z)dydz (z2 x)dzdx ( x2 y)dxdy
1
P Q R
(
x
y
Dxy
2. 若曲面 ： y y( x, z)
则 f ( x, y, z)dS f [x, y( x, z),z] 1 yx2 yz2dxdz
Dxz
3. 若曲面 ： x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2dydz
2dxdy
( x2 y2 )dS ( x2 y2 )dS ( x2 y2 )dS
1
2
( x2 y2 )dxdy 2 ( x2 y2 )dxdy
D1
D2
2
0
d
01r 3dr
202 d 01r3dr
2 1 2
22
2
利用对称性计算对面积的曲面积分
设f x, y,z在闭区域D上连续,I = f(x, y,z)dS ∑
dS 1 zx2 zy2dxdy 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
原式 | xyz | dS 4 xyz dS
1
4 xy( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
Dxy
利用极坐标 x r cos t , y r sin t ,
4 2 dt
1 r 2 cos t sin t r 2
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ)dS
Σ
Σ
方法三：将对三个坐标面的积分转化到一
个坐标面.
说明：如果曲面Σ由方程z = z x, y给出，当Σ取上
侧时，有：
cosα =
-z x
, cos =
1+ zx2 + zy2
-z y
,
1+ zx2 + zy2
1
4
例 9.计算 (z2 x)dydz zdxdy,其中Σ是旋转抛物面
z 1 ( x2 y2 )介于平面z 0及z 2之间的部分的下侧. 2
z
)dv
0
( y2 z)dydz (z2 x)dzdx ( x2 y)dxdy
1
( x2 y)dxdy 1
2
d
0
h ( r 2 cos2 r sin )d h4
0
4
从而
( y2 z)dydz (z2 x)dzdx ( x2 y)dxdy
h4
1
0
2
64 2a4 15
二、 对坐标的曲面积分
曲面法向量的指向决定了曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面.
: z z(x, y) cos 0 时 ，曲面取 上 侧 cos 0 时 ，曲面取 下 侧
cos 0 时 ，曲面取 右 侧 : y y(x, z)
cos 0 时 ，曲面取 左 侧
: x x( y, z) cos 0 时 ，曲面取 前 侧 cos 0 时 ，曲面取 后 侧
方法一：定义法 “一投,二代,三定号”
如果由 : z z( x, y)给出,则有
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
如果由x x( y, z)给出, 则有
例3：计算曲面积分 xyzdS ,
: x 0, y 0, z 0,及x y z 1 所围立体的表面.
解： 1 2 3 4
z
1
1 : x 0, 2 : y 0, 3 : z 0,
4 : x y z 1, z 1 x y Dxy : 0 x 1,0 y 1 x
第二十二章 曲面积分
习题课
主要内容:
（一）对面积的曲面积分 （二）对坐标的曲面积分 （三）Gauss公式与斯托克斯公式
一 计算、方对法面：积一的投曲、面二积代分、的三计换算法:
按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面 : z z( x, y)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy;
= 3 π. 4
(3) 可表示为：y 1 x2
(z x)Dzx{(z x)|0z3 0x1} 故
ydzdx 1 x2dzdx
Dzx
31
0dz0
1
x2dx
1
30
1 x2dx
= 3 π. 4
所以 zdxdy xdydz ydzdx
= 3 π. 2
z 2
o 1y
x1
方法二：利用两类曲面积分之间的联系：
被柱面 x2 y2 25所截得的部分.
解 积分曲面 ：z 5 y ,
投影域 ： Dxy {( x, y) | x2 y2 25}
dS 1 zx2 zy2dxdy
1 0 (1)2dxdy 2dxdy,
故 ( x y z)dS 2 ( x y 5 y)dxdy
Dxy
使用Guass公式时应注意: 1.P,Q, R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件;
3.Σ是取闭曲面的外侧.
对坐标的曲面积分的计算方法
Ι = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
∑闭合
(Px
Q y
R z
)dv
P + Q + R 0 x y z
P x
+
Q y
R z
0 补 用加 高曲 斯面公使式得或用∑闭公合式利
P( x, y, z)dydz P[x( y, z), y, z]dydz
D yz
如果由 y y(z, x)给出, 则有
Q( x, y, z)dzdx Q[x, y(z, x), z]dzdx
Dzx
注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
例 7. zdxdy xdydz ydzdx 其中∑是柱面 x2y21
被平面 z0 及 z3 所截得的第一卦限内的部分的前侧.
解 (1). 在xOy面的投影为零 故
z 3
zdxdy 0
(2) 可表示为 x 1 y2
(y z)Dyz{(y z)|0y1 0z3}
o 1y
x1
故 xdyz
1 y2dydz
31
dz
1 y2dy
00
D yz
1
30
1 y2dy
故 ( x y z)dS 2 ( x y 5 y)dxdy
Dxy
2 (5 x)dxdy
2
5
2 d (5 r cos )rdr
Dxy
0
0
125 2. x2 y2 25
f x, y,zdS 的计算步骤:
Σ
1.写出曲面∑的显式方程,确定投影坐标面,
求出投影区域.
2.求出dS的表达式 3.计算二重积分.
1 4r 2rdr
0
0
2
2 sin 2tdt
r1 5
1 4r 2dr 令u 1 4r 2
0
0
1 5
41
u(u 1)2 du 4
125 5 1. 420
例6 ( xy yz zx)dS 其中为锥面z x2 y2
被 x2y22ax 所截得的有限部分
2
1.5
解 :z
x2 y2,
sin
cos
r2 (cos
sin
)]rdr
2
4
2a4
2 2
(sin
cos5
cos5
sin
cos4
y
)d
64 2a4 15
o
2a x
或 ( xy yz zx)dS 2 [ xy ( x y) x2 y2 ]dxdy
2 x
Dxy
x2
y2dxdy
Dxy
2
2 d
2a cos r 2 cos rdr
提示: 以半球底面 0 为辅助面,
且取下侧 , 记半球域为 ,利用 高斯公式有
o
y
x 0
原式 =
3d x d y d z 0 xdydz ydzdx zdxdy
3 2 R3 0 2 R3
3
例 8. 求 ( y2 z)dydz (z2 x)dzdx ( x2 y)dxdy
∑闭合
两类曲面积分之间的关系
(P cos Q cos R cos )dS
定义法或
z = z x, y -zx P - zyQ + Rdxdy. Σ
练习: P.296 题1(5)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y,其中 为半球面
z
的上侧.
计算 ( x2 y2 )dS 其中是锥面z x2 y2
及平面 z1 所围成的区域的整个边界曲面
解 将分解为12 其中 1 z1 D1 x2y21 dSdxdy
2 : z x2 y2 D2 x2y21
z
1
Do
2
y
dS
1
z
2 x
Hale Waihona Puke Baidu
z 2y dxdy
x
1
x2 x2
y2
x2
y2
y2
dxdy
在第一象限中的部分
x 2
yz 34
z
4
1
解 : z 4 2x 4 y
3
Dxy
:0
x
2,
0
y
3(1
x) 2
dS
1
z x2
z
2 y
dxdy
61 dxdy 3
o
x2
3y
(z
2x
4 3
y)dS
Dxy
4
61 dxdy 3
4
61 3
Dxy
dxdy
4
61
例2 计算 ( x y z)dS , 其中为平面 y z 5
例 5 计算 | xyz | dS ,其中 为抛物面 z x2 y2
（0 z 1）.
z
解 依对称性知： 抛物面z = x2 + y2关于
xoz, yoz面对称， 被积函数| xyz |也对称
y x
有 4 成立，(1为第一卦限部分曲面)
1
其中Dxy {( x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}
连续偏导数, 则有公式：
(
P x
Q y
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
或
(P x
Q y
R)dv z
(P cos Q cos Rcos )dS
这里是 的整个边界曲面的外侧，cos ,cos ,cos
是上点( x, y, z)处的法向量的方向余弦.
Gauss公式的实质：
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系.