画法几何课件
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②椭圆的长短轴也分别都是平行于该投影面的直径以 及与这条直径相垂直的直径的投影。
③这三个椭圆的长短轴是圆的三对不同位置的互相垂 直的直径的投影,可按圆的投影特性、平面上的直线的几 何条件、一边平行于投影面的直角的投影特性、已知直线 的真长反求直线的投影的作图方法,或者用换面法,分别 直接作出。
2.6.2.3 空间曲线的投影
a'
d'
c'
e'
b' X
β
e
O
acb
d
从上述可归纳出圆的投影特性: ①在与圆平面平行的投影面上的投影反映真形。
②在与圆平面垂直的投影面上的投影成直线,长度等 于圆的直径,中点是圆心的投影。
③在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆:椭圆的 中心是圆心的投影;长轴是平行于这个投影面的直径的投 影,且反映真长;短轴是平行于投影面的直径相垂直的直 径的投影。
圆锥被平行于底面的平面所截,截面与底面之间的这 段立体称为圆台,截出的断面称为圆台的顶面,圆台的顶 面也是一个圆。
(3)球
圆球的三个投影均为等径圆,并且是圆球上平行于相 应投影面的最大轮廓圆。
V面投影轮廓圆
W面投影轮廓圆
H面投影轮廓圆
H面投影的轮廓圆是上、下两半球的可见性分界线; V面投影的轮廓圆是前、后两半球的可见性分界线; W面投影的轮廓圆是左、右两半球的可见性分界线。
5 d c b f 4
3
2 1
2.6.2.2 圆及其投影特性
Z
正平圆的投影特Βιβλιοθήκη Baidu:
c"
c'
①V面上的投影反映真形; ②H面、W面上的投影为直 线,并分别平行于OX轴和 OZ轴,长度等于直径,中 点是圆心C的投影c、c" 。
X
c
O
YW
YH
铅垂圆的投影
长轴:铅垂直径CD的投影c'd'=D
短轴:水平直径AB的投影a'b'=Dcosβ
空间曲线的投影是一条平面曲线
空间曲线的投影图除了标注出端点的投影符号外,有 时还需要标注出曲线上的一些能够确定曲线的形状和走向 的点的投影符号。
空间曲线立体图
空间曲线投影图
2.6.3 曲面、曲面立体及其表面上的线和点
2.6.3.1 曲面的形成和分类 不规则曲面:不按几何规律形成的曲面,如地面 曲面
铅垂圆的投影特性: ①水平面上的投影成直线,该直 线反映圆平面对V面的夹角β,长 度等于直径,中点是圆心C的投 影c。 ②正面上的投影为一椭圆,长轴 是这个铅垂圆的唯一一条铅垂直 径的正面投影,且反映真长,短 轴是这个圆平面上与铅垂直径相 垂直的直径,长短轴的交点是椭圆的中心,也是圆心的投 影。
铅垂圆的两面投影及其作图过程
c'
3' 1'
d'
5'
7'
a'
2' 4'
c'
b'
8'
e' 6' V O H
X
O1
30°
a
12
34
dce c
56 78
b
a1'
21' 41 '
e1'
61' 81 '
H V1 X1
X
V H c
O
11' 31'
c1'
b1' d1' 51'
71'
进一步推知:
①当圆平面处于一般位置时,圆的三面投影都是椭圆。
组合回转面:由各段不同的回转面连接而构成
本节主要阐述:圆柱、圆锥和圆台、球、环、一般回 转面和组合回转面、单叶双曲回转面、切割或叠加的回转 体。
简要说明:在回转体表面上作点或线的投影的原理和 方法。
回转面的两个基本性质 (1)回转面母线上任一点,随母线运动的轨迹均为 圆,该圆称为纬圆。纬圆所在的平面垂直于轴线。因此, 所有垂直于回转轴线的平面与回转面的交线均为圆,圆心 即该平面与轴线的交点O, 半径r等于该平面与任一素 线的交点C到圆心O的距离。 在与回转轴线垂直的投影面 上,所有纬圆的投影均为圆。
s'
d'
a'
b'
d'
s d
s
b d
s
c d
s e
a d
棱面上取点,只能按在一般位置平面上取点的方法, 用辅助线来作图。
[例2.46] 如图所示,已知正五棱锥表面上的点F、K、 L和直线GH的一个投影,补全这些点和直线的三面投影。
s' s" s' s"
g' b' c' c a'
h' (f") d' e' c"d" d b"e" a"
球面
球体
底面
顶面 圆柱面 圆柱体
圆锥面
底面
圆锥体
回转体:由回转面围成的立体或由回转面为 主要表面与平面一起所围成的立体 在曲面立体上作线和点,也就是在围成这 个立体的曲面或曲面和平面上作线和点
2.6.3.2 回转面和回转体 直纹面——圆柱面、圆锥面、单叶双曲回转面 回转面
曲线面——球面、环面等。
圆柱轴线垂直于H面,上下 端面的H面投影反映实形,V面和 W面的投影积聚为直线。圆柱面 的H投影积聚为圆周,V面和W面 投影为矩形。
注意圆柱面上最左、最右、 最前、最后素线在V面和W面投 影中的位置。 后半圆柱面的V面投影不可见; 右半圆柱面的W面投影不可见。
如图所示,已知圆柱表面上的点A、B的水平投影a(b), 以及曲线CD的正面投影c'd',补全这些点和线的三面投影。
2.6
本节提要:
曲线、曲面和立体
(1)平面立体及其表面上的线和点 (2)平面曲线和空间曲线
(3)曲面、曲面立体及其表面上的线和点
线
直线:线上的诸点都位于同一直线上
曲线:线上的诸点都不位于同一直线上 平面:面上诸点都位于同一平面上
面
曲面:面上诸点都不位于同一平面上
立体:由面围成的有限空间 平面立体:全部表面都是由平面围成的立体
a' c'
e' a" c" e"
f'
b' a(b) d d' b"
f" d"
c
e f
圆柱面上取点,可利用H面投影的积聚性来求其余投 影。注意后半圆柱面的V面投影不可见;右半圆柱面的W 面投影不可见。
(2)圆锥和圆台
最后素线 最右素线
最左素线
最前素线
圆锥轴线垂直于H面,底面 的H面投影反映实形,V面和W面 的投影积聚为直线。圆锥面的H 面投影无积聚性,V面和W面投 影是等腰三角形。
曲面的表示法 从几何观点来看,画出形成曲面的各个几何元素的投 影,该曲面即可确定。但为了使图形更加形象易懂,通常 还需画出以下几何元素的投影:
①
曲面边界线的投影
除球面、环面等封闭曲面外,多数曲面都是可以无限 扩大的。为了表示曲面的有限范围,一般利用曲面上起始 和终止位置的素线及其母线端点的轨迹曲线等对曲面的范 围加以限制。
(2)回转面与包含轴线的平面相交得到两条素线。 当该平面平行于某投影面时,这两条素线为回转面对该 投影面的可见性边界线,即回转面对该投影面的轮廓线。 它们在该投影面上的投影反映回转面母线的实形以及母 线与轴线的相对位置。
(1)圆柱
最右素线
最后素线
最左素线 最右素线 最左素线 最前素线 最前素线 最后素线
规则曲面:按几何规律形成的曲面,如圆柱
规则曲面可以看作为一条线
按一定的规律运动的轨迹
素线:母线的任意位置 母线:可以是直 线或曲线
导点、导线、导面: 控制母线运动而本身 不动的点、线、面
回转面:由母线旋转而形成的曲面,如圆柱 曲面
非回转面:如双曲抛物面等
回转面
直纹面:由直线作为母线旋转而形成的曲面, 如柱面、锥面等
叠加组合体
2.6.2 平面曲线和空间曲线 曲线可以看作是不断改变方向的 点的连续运动的轨迹。 曲线的投影是曲线上诸点的投影的集合 平面曲线:所有的点都位于同一平 面上的曲线,如圆
曲线
空间曲线:连续四点不在同一平面 上的曲线,如圆柱螺旋线
2.6.2.1 平面曲线及其投影特性 平面曲线投影特性:
①曲线所在的平面平行于投影面时,在该投影面上的 投影反映真形;
2.6.1.1 棱柱及其表面上的线和点
棱柱:一个平面立体若有两个平行的表面,而其余 所有的表面的每两个相邻表面的交线都互相平行。
棱柱体的组成:
顶面 棱面 棱线 底边
顶边
端面
底面
直棱柱:棱线垂直于端面的棱柱
棱柱体
正棱柱:端面是正多边形的直棱柱
斜棱柱:棱线倾斜于端面的棱柱
正六棱柱的投影
正六棱柱的顶面及底面平行于水平投影面,其水平投 影反映实形;前后棱面与正面平行,其正面投影反映实形。
平面立体表面上的点和直线 求解方法有:
(1)从属性法 当点位于立体表面的某条棱线上时,那么点的 投影必定在棱线的投影上,既可利用线上点的“从属性”求解。 (2)积聚性法 当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积 聚性时,那么点投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上。 (3)辅助线法 判断立体表面上点和线可见与否的原则是:如果点、线所在的 表面投影可见,那么点、线的同面投影一定可见,否则不可见。
曲线面:由曲线作为母线旋转而形成的曲面, 如球面、圆环面等
单曲面:连续两素线(指无限接近的相邻两素 线)彼此平行或相交的曲面,如图柱 直线面 面和圆锥面等 扭曲面:连续两素线彼此交叉的曲面,如单叶 双曲回转面和锥状面等
可展曲面:曲面能展开成平面,如直纹面中的柱 面、锥面和切线面等单曲面的连续素 曲面 线彼此平行或相交,故为可展曲面 不可展曲面:曲面不能展开成平面,如扭曲面的 连续两素线彼此交叉,故为不可展 曲面,另外还有曲线面
立体
曲面立体:由曲面或曲面和平面围成的立体
2.6.1 平面立体及其表面上的线和点 平面立体是全部由平面表面围成的立体,也称为多 面体。 平面立体的每个表面都是平面多边形。
绘制平面立体的投影,归结为绘制它的所有多边形 表面的投影,也就是绘制这些多边形的边和顶点的投影。
在平面立体表面上作点和线,也就是在它的各个平面 多边形表面上作点和线。 线的投影为可见时,画粗实线;不可见时,画中虚 线;当粗实线和中虚线重合时,应画粗实线。
②曲线所在的平面垂直于投影面时,在该投影面上的 投影成为一直线段;
③曲线所在的平面倾斜于投影面时,在该投影面上的 投影成为形状缩小的类似形。
[例2.47] 如图所示,已知△PQR及平面内的平面曲线 AE的水平投影,求作这条平面曲线的正面投影。
f' c' d' e' b' a' 1' 2' 3' 4' 5'
a' a"
(a') a"
a
a
表面上取点:可由棱面的积聚投影和正面投影,通过 45°辅助线求出侧面投影。
正五棱柱 如图所示,正五棱柱的三面投影图,补全这些点A、 B、C、D和折线EFGHI的三面投影。
a' e' a" e"
f'
h' (c') b' c a(b)
f"
g' h"
(d') i" c"(d") b"
推知:铅垂圆的侧面投影也是椭圆,长轴是圆平面上 平行于侧面W的直径的投影,短轴是圆平面上与上述直径 相垂直的直径的投影。
[例2.48] 如图所示,已知直 径为24mm的铅垂圆的圆心C的 两面投影,圆平面与V面的倾角 β=30°,水平直径的方向是从 左后往右前,作出这个铅垂圆的 水平投影,并用换面法和连点法 作出这个圆的正面投影。
已知球的水平投影和正面投影,以及球面上的点A的 正面投影,需求作球的侧面投影,以及点A的水平投影a和 侧面投影a'。
a'
c' a'
a" c"
c
a
作水平圆
已知球的水平投影和正面投影,以及球面上的点A的 正面投影,需求作球的侧面投影,以及点A的水平投影a和 侧面投影a'。
a' c' a' 1' a"
g"
i'
i h
d
g
e
f
2.6.1.2 棱椎及其表面上的线和点 棱椎:平面立体若有一个表面是多边形,其余的各 个表面都是具有同一个顶点的三角形。
锥顶 正棱锥 棱线 棱面
底面
正多边形
正五棱锥投影图的作图过程:
已知正三棱锥的两面投影和正三棱锥表面上的点D的 水平投影d,求作它的正面投影d'。
s'
s' s' c' d' e'
1'
k' g'
h'
2'
g" h"
k" (f") 3"
s b k(l) a e
f' b' c' a' l' d' e' c"d" c d 1 g h 2 s b k(l) 3 a
b"e" l"
a"
f
e
2.6.1.3 一些平面立体的投影图示例
左端切割成正 垂面的L形柱 正三棱柱
斜三棱柱
正四棱台
楔形块
注意圆锥面上最左、最右、 最前、最后素线在V面和W面投 影中的位置。 后半圆锥面的V面投影不可见; 右半圆锥面的W面投影不可见。
a"
b'
b"
a
b
圆锥面上取点,可用直素线 法和纬圆法求。注意后半圆锥面 的V面投影不可见;右半圆锥面 的W面投影不可见。
B
纬圆法
a"
a
最后素线
最右素线
最左素线
最前素线
②
曲面轮廓线的投影
将曲面向某投影面投影时,曲面与投影面有一系列切 点,这些切点的连线(直线或曲线)称为曲面对该投影面 的轮廓线。画图时,对某一投影面的轮廓线,只需画出它 在该投影面上的投影,其余 投影不必画出。此外,曲面 对某投影面的轮廓线也是曲 面对该投影面的可见性分界 线。
曲面立体:由曲面或曲面和平面所围成的立体