导数计算公式
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导数公式
一、基本初等函数的导数公式
已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2
；(4)y ＝f (x )＝1
x
；(5)y
＝f (x )＝x .
问题：上述函数的导数是什么？
提示：（1）∵Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0 Δy
Δx ＝0.
2)(x )′＝1，(3)(x 2
)′＝2x ，(4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x .
函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？
提示：∵(2)(x )′＝1·x
1－1
，(3)(x 2
)′＝2·x
2－1
，(5)(x )′＝(x
1
2
)′＝
12
x
112
－＝
1
2x
，∴(x α)′＝αx α－1.
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝xα(α∈Q*)
f ′(x )＝αx α－1
f (x )＝sin x
f ′(x )＝cos x
f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x
f(x)＝ax f′(x)＝axln a f(x)＝ex
f′(x)＝ex f(x)＝logax
f′(x)＝1
xln a
f(x)＝ln x
f′(x)＝1
x
二、导数运算法则
已知f (x )＝x ，g (x )＝1
x
.
问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？
问题2：试求Q (x )＝x ＋1
x ，H (x )＝x －1
x
的导数．
提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x x ＋Δx ，
∴Δy
Δx ＝1－1x
x ＋Δx ，∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－
1x
x ＋Δx ＝
1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1
x
2.
问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？
提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 导数运算法则
1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )
3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x
[g x ]2
(g (x )≠0)
题型一 利用导数公式直接求导
[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)x y 2
1log =；
(4)y ＝4
x 3；(5)12cos 2sin 2
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=x x y .
[解] (1)y ′＝(10x
)′＝10x
ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝1
x ln 10
；
(3)y ′＝1
x ln 12
＝－1x ln 2；(4)y ′＝(4x 3
)′＝344x ；(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫sin x 2＋cos x 22－1＝sin 2
x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2
x
2
－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .
练习 求下列函数的导数：
(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2
x 2－1.
解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x
；(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln
110＝－ln 1010x ＝－10－x
ln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0； (4)∵y ＝3lg 3
x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10；(5)∵y ＝2cos 2x 2
－1＝cos x ，
∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .
题型二 利用导数的运算法则求函数的导数 [例2] 求下列函数的导数：
(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x
2；(3)y ＝x 2
＋log 3x ；(4)y ＝e x
＋1e x －1
.
[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－1
2cos x .
(3)y ′＝(x 2
＋log 3x )′＝(x 2
)′＋(log 3x )′＝2x ＋1
x ln 3
.
(4)y ′＝
e x ＋1′
e x －1－e x ＋1
e x －1′
e x －12
＝