高等数学 第6节 空间直线及其方程

s
l
m,n, p 称为直线 l 的方向数.
下面建立过点M0( x0 , y0 , z0 )且平行向量s (m, n, p)
的直线 l 的方程.
设 M ( x, y, z) 为 l上任一点,则
M0M ( x x0 , y y0 , z z0 )
s (m,n, p)
即 x x0 y y0 z z0
m
n
p
(1)
s
l
——对称式或点向式方程
M
当 m 0, n 0, p 0 时,(1)式理解为 M0
y
x n
y0
x0
0 z z0
p
当 m 0, n 0, p 0 时,(1)式理解为
x y
x0 y0
0 0
s
的方向余弦称为直线
l
的方向余弦.
若令 x x0 y y0 z z0 t
设直线
l:
A1 x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2z D2 0,
其中
n1
(
A1
,
B1
,
C1
)与
n2
( A2 , B2 ,C2 ) 不平行.
过直线 l 的平面有无穷多个，称为过l 的平面束,
其方程为:
A1 x B1 y C1z D1 m( A2 x B2 y C2z D2 ) 0
第六节 空间直线及其方程
一、直线方程
1
1. 一般式方程
A1 x
B1
y
C1z
D1
0,
2
其中
A2 n1
x (
B2 y C2 A1, B1,C1
z )与
D 2 n2
0, ( A2 ,
L
B2 ,C2
)
不平行.
2. 对称式、参数式方程
平行于直线l的非零向量 称为直线的方向向量,
常用 s (m, n, p) 表示.
l1 l2 l1 l2
s1 s2
m1m2 s1 s2
n1n2
m1p1 pn210 m2 n2
p1 p2
例3 求直线 l1 :
x3 y1 z2 与 2 1 1
l2 :
2x y 9 0 y 2z 5 0
的夹角.
三、直线与平面的位置关系
设直线 l: x x0 y y0 z z0 , s (m, n, p)
其中m为待定参数.
例3
求直线l:
x y z 1 0 在平面 x yz10
x y z 0 上的投影直线方程.
分析：
2 l
1
m
n
p
平面 : Ax By Cz D 0,
n
(
A,
B,
C
)
若直线与平面斜交, 则该直线与它在平面上的
投影的夹角 (0 π )
直线与平面的夹角. 2
设
n与
s
的夹角为
,
则
或
称为
2
n
2
l
2
2
sin cos( )
2
cos( )
2
n
2
l
2
Am Bn Cp
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
l l
ns ns
ABC mn p Am Bn Cp 0
例4 求直线l: x 2 y 3 z 4 与平面
1
1
2
2x y z 6 0 的交点.
例5
求过点M (2,1,3) 且与直线l:
x1 3
y1 z 2 1
垂直相交的直线方程.
平面束方程
m
n
p
则
xLeabharlann Baiduy
x0 mt y0 nt
——直线的参数式方程
z z0 pt
t 为参数
例1 求过点 M0(2,6,3) 且平行于 (2,1,3)
的直线方程.
例2 用对称式及参数式方程表示直线l：
x y z 1 2x y 3z 4
二、两直线的位置关系
设 l1 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
s1 (m1, n1, p1 )
称
l2 : x x2 y y2
s1与
s2m的2夹角
n2 (0
cos s1 s2
s1 s2
m1m2 n1n2
z z2 ,
p2) 为
2 p1 p2
s2 (m2 , n2 , p2
l1 与 l2 的夹角.
s2
s1
)
m12 n12 p12 m22 n22 p22