大学文科数学第3章

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高考备考指南文科数学第3章第1讲导数的概念及运算

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第三章导数及其应用
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01 课前基础诊断
02 课堂考点突破
03 课后感悟提升
04
配套训练
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文科数学
1
第三章导数及其应用
课前基础诊断
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文科数学
1．导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数：
在
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 lim Δx→0
x′＝cos

x′ex－cos ex2
xex′＝－sin
x＋cos ex
x .
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第三章导数及其应用
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文科数学
【规律方法】(1) 熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少出错．
x＝－
22或
x＝
2 2.
因为 f(－2)＝－10，f－ 22＝
2，f 22＝－
2，f(1)＝－1，所以 f(x)在区间[－2,1]
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文科数学
求切点坐标
(2017 年西安调研)设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝1x(x>0) 上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为____________．
【答案】(1,1) 【解析】由 y′＝ex，知曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线斜率 k1＝e0＝1.设 P(m，n)，又 y＝1x(x>0)的导数 y′＝－x12，曲线 y＝1x(x>0)在点 P 处的切线斜率 k栏2＝目索－引m12.依题意 k1k2＝－1，所以 m＝1，从而 n＝1.则点 P 的坐标为(1,1)．

文科数学第三章第六节

◆高考总复习•数学•(文科)◆
基础自测
1．(2012·汕头市测评)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)
的解析式可能为
()
A．f(x)＝2sinx2－π6 B．f(x)＝ 2cos4x＋π4 C．f(x)＝2cosx2－π3 D．f(x)＝2sin4x＋π6
◆高考总复习•数学•(文科)◆
◆高考总复习•数学•(文科)◆
3．利用图象变换作三角函数的图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的作法．
(1)__振__幅__变__换__或叫沿y轴的伸缩变换：由y＝sin x的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A|＞1)或缩短(当0＜|A| ＜1)到原来的___|_A_|___倍，得到y＝Asin x的图象．
◆高考总复习•数学•(文科)◆
课前自修
知识梳理
一、三角函数图象的作法 1．几何法(利用三角函数线)． 2．描点法：五点作图法(正、余弦曲线)，三点二线作图法 (正切曲线)． (1)正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的图象的作图方法(用五点法)：先取横坐标分别为 0，，π， 3 ，2π的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得2 到正弦曲2 线和余弦曲线在一个周期内的图象．再将一个周期内的图象向左右平移2kπ(k∈N*)个单位长度，即得函数的整个图象．
(2)_周__期__变__换___或叫做沿x轴的伸缩变换：由y＝sin x的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长(0＜|ω|＜1)或缩短(|ω|＞
1
1)到原来的______ω__倍，得到y＝sin ωx的图象．
◆高考总复习•数学•(文科)◆

大学文科数学3 ppt课件

x0+Δx X
（图3.2）
10
3. 回答两个思考题
⑴步骤
①求增量
给
x
一个增量
0
x，自变量由x
0
变
到 x0 x，则 yf(x0 x)f(x0) Y
y f(x) M
②求增量比
T Δy
③ 取极限
yf(x0x)f(x0)
x
x
M0 α β y0 O x0 Δx x0+Δx X
（图3.2）
ta n li m y lim f(x 0 x ) f(x 0 )
其它形式
f(x 0) lh i0m f(x 0 h h )f(x 0). f(x0)x l ix0 m f(xx ) x f0 (x0).
注意：如果上述极限不存在，则称在x0处不可导
13
由此可知：导数是平均变化率的极限！ v lims t t0 t0
导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度；
6
1.1 抽象导数概念的两个现实原型
原型Ⅰ 求变速直线运动的瞬时速度.
设 s f (t)在[0，T]上连续，求v v(t0) .
M M0
M1 P
O
△s
s
1. 提出问题
匀速运动：瞬时速度v0
v
s
；
t
变速运动：瞬时速度v 0
0 0
.
想一想如何处理速度变与不变的矛盾？ 7
3. 回答两个思考题 M M0
第三章变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分
学之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之实. ——朱熹：《朱子语类辑略》
在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.

2020高考总复习基础版数学文科第三章第一节

基
础知识 · 自主回
1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数导数在研究的单调区间.
课时三省
顾函数中的应 2.结合函数的图象，了解函数在某点取得极
用
值的必要条件和充分条件；会用导数求不超
核
过三次的多项式函数的极大值、极小值，以综
训练
·
·
讲练
答案 y＝2x－2
能力
互
提
动
升
菜单
高考总复习·数学(A·文科)
第三章导数及其应用
基
础知
核心考点·讲练互动
识
·
►考向一导数的计算[自主练透]
自主
命题点 1 根据求导法则求函数的导数
课时三省
回
[例 1－1] 求下列函数的导数：
顾
(1)y＝exln x；
核心考
(2)y＝xx2＋1x＋x13；
训练 · 能
练
互动
f(x)＝ln x
1
力
f′(x)＝___x__
提升
菜单
高考总复习·数学(A·文科)
第三章导数及其应用
基
础
知
识
·
自
3.导数的运算法则
课时三省
主
回
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f_′(_x_)_±__g_′(_x_)___.
顾
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′_(x_)_g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_)_______.
2.从考查知识点上看：主要考查定积分的计算及应用，应用导数研究函数的性质，突出对函数与方程思想

文科高等数学第三版教材答案

文科高等数学第三版教材答案第一章：函数及其图像1. 函数的概念及性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。

函数有定义域和值域，可以用图像来表示。

2. 函数的表示方法函数可以用函数表、公式、图像等方式表示。

其中，函数表是一种列出定义域与值域对应关系的方式，而函数公式则是通过数学表达式来表示。

3. 常见的函数类型常见的函数类型包括线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

不同类型的函数有不同的性质和特点。

4. 函数的性质函数有奇偶性、单调性、周期性等性质。

奇偶性指的是函数的对称性，单调性指的是函数在定义域内的增减性，周期性指的是函数具有重复性。

5. 函数的限制函数的限制是指函数在某些条件下的取值范围。

常见的限制包括定义域的限制、值域的限制以及其他约束条件的限制。

第二章：导数与微分1. 导数的定义与性质导数是函数在某一点处的变化率，表示函数曲线在该点处的切线斜率。

导数具有线性性、乘法性、和法则、差法则等性质。

2. 导数的计算方法导数的计算方法包括求导法则、链式法则、参数法则等。

其中，求导法则包括常规函数的求导公式，链式法则适用于复合函数的求导，参数法则适用于含有参数的函数的求导。

3. 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性与拐点与其导数的变化有关。

例如，函数的二阶导数大于零时，函数凹，二阶导数小于零时，函数凸，二阶导数为零时，可能存在拐点。

4. 微分的概念与应用微分表示函数在某一点处的变化量，是导数的微小改变量。

微分在近似计算、极值问题等方面有广泛的应用。

第三章：不定积分与定积分1. 不定积分的基本概念不定积分是确定函数的原函数的过程，表示函数在一个区间内的积分。

不定积分可以通过求导的逆运算来求得。

2. 基本积分法和基本积分公式基本积分法包括基本积分公式、分部积分法、换元积分法等。

基本积分公式是一些常见函数的不定积分公式，可以直接应用于计算。

3. 定积分的基本概念与性质定积分是确定函数在一个区间内的面积的过程，可以看作是在坐标轴下所夹图形的面积。

不定积分、定积分及其应用-不定积分的基础知识

大学文科数学（慕课版）第3章不定积分、定积分及其应用第1讲不定积分的基础知识主讲教师 |引言前面我们介绍了微分运算，同加法有其逆运算减法、乘法有其逆运算除法一样，微分也有其逆运算—积分。

不定积分揭示的正是微分和积分的这种互逆性。

本节内容01 不定积分的定义02 不定积分的性质03 不定积分的计算Ὅ定义3.1὎定理3.1如果函数ᵅ(ᵆ)在区间ᵃ上有原函数ᵃ(ᵆ)，则ᵃ(ᵆ)+ᵃ也是 ᵅ(ᵆ)在区间ᵃ上的原函数，且ᵅ(ᵆ)的任意一个原函数均可表示为ᵃ(ᵆ)+ᵃ的形式，其中ᵃ为任意常数.὎注(1) 如果ᵃ(ᵆ)是ᵅ(ᵆ)的一个原函数，则 ᵃ(ᵆ)+ᵃ是ᵅ(ᵆ)的全体原函数.(2)ᵅ(ᵆ)的任意两个原函数之差一定是常数.证明所以 ᵃ(ᵆ)−ᵃ(ᵆ)=ᵃ，即ᵃ(ᵆ)=ᵃ(ᵆ)+ᵃ.Ὅ定义3.2于是有Ὅ例1解Ὅ例2解几何意义从几何上看,原函数对应着一簇曲线。

而实际问题中一般只需要找到一条特殊的即可。

本节内容01 不定积分的定义02 不定积分的性质03 不定积分的计算὎注性质3.1与性质3.4表达了不定积分与求导或微分的互逆关系。

证明仅证明性质 3.2.本节内容01 不定积分的定义02 不定积分的性质03 不定积分的计算基本积分公式利用基本积分公式和不定积分的性质经过恒等变形，可以求出一些比较简单的函数的不定积分，称之为直接积分法.Ὅ例3解Ὅ例4解Ὅ例5解Ὅ例6解学海无涯，祝你成功！大学文科数学（慕课版）。

大学文科数学(第版)

大学文科数学(第版)大学文科数学（第版）序言大学文科数学作为一门综合性和基础性的学科，对于文科学生来说具有重要的意义。

本教材是针对文科专业学生编写的第版教材，旨在帮助学生全面了解和掌握数学知识，并能够在实际问题中灵活运用。

本教材内容全面且系统，结合了理论和实践，为学生提供了学习和应用数学的有效工具。

第一章基础知识1.1 数的概念1.2 数的分类1.3 数的运算1.4 数的性质1.5 数轴与实数第二章代数学2.1 代数学的基本概念2.2 代数运算2.3 多项式及其运算2.4 二次方程2.5 不等式与绝对值第三章几何学3.1 几何学的基本概念3.2 平面几何3.3 立体几何3.4 三角学第四章概率统计学4.1 概率论基本概念4.2 随机变量与概率分布4.3 统计学基本概念4.4 抽样与估计第五章线性代数5.1 线性代数的基本概念5.2 线性方程组5.3 矩阵与行列式5.4 线性空间与线性变换5.5 特征值与特征向量第六章数学建模6.1 数学建模的基本概念6.2 建模与求解过程6.3 常见数学建模方法与技巧6.4 数学建模实例分析结语大学文科数学作为一门重要学科，为文科学生提供了量化分析和解决实际问题的能力。

通过学习本教材，学生将能够全面理解和应用数学知识，为未来的职业发展打下坚实的基础。

希望本教材能够成为学生学习数学的得力工具，引领他们在数学领域取得优异成绩。

参考文献：[1] 王小林. 大学文科数学（第版）[M]. 北京：高等教育出版社，2022.[2] 李晓华. 数学建模导论[M]. 北京：高等教育出版社，2021.。

【精选】文科数学(2020版)备考指南第3章第3讲

4＋2 π上为增函数，
3
所以当 r＝
8＋3 π时，首饰盒制作费用最低．
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第三章导数及其应用
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利用导数研究函数的零点或方程的根
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(2018 年北京模拟)已知函数 f(x)＝xcos x－ax＋a，x∈0，π2，(a≠0)． (1)当 a≥1 时，求 f(x)的单调区间； (2)求证：f(x)有且仅有一个零点．
第三章导数及其应用
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因为 f(0)＝a＜0，fπ2＝a1－π2>0，所以 f(x)有且仅有一个零点．当－π2<a<1 时，g(0)＝1－a＞0，gπ2＝－π2－a<0，所以存在 x0∈0，π2，使得 g(x0)＝0.
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第三章导数及其应用
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所以 g(x)≤0，即 f′(x)≤0.
所以 f(x)的单调递减区间是0，π2，无单调递增区间．
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第三章导数及其应用
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(2)证明：由(1)知，g(x)在0，π2上单调递减，且 g(0)＝1－a，gπ2＝－π2－a. 当 a≥1 时，f(x)在0，π2上单调递减．因为 f(0)＝a＞0，fπ2＝a1－π2<0，所以 f(x)有且仅有一个零点．当－π2－a≥0，即 a≤－π2时，g(x)≥0，即 f′(x)≥0，f(x)在0，π2栏上目索单引调递增．
【解析】令g(x)＝f(x)－2x－1，所以g′(x)＝f′(x)－2<0.所以g(x)在R内为减函数，
且g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)<0＝g(1)，得x>1.故选A．

【精选】文科数学(2020版)备考指南第3章第2讲

A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
【答案】D
【解析】依题意，得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)内恒成立，即 k≥1x在(1，＋∞)
内恒成立，因为 x＞1，所以 0＜1x＜1.所以 k≥1，即 k 的取值范围是[1，＋∞)．故选
D．
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第三章导数及其应用
故实数 a 的取值范围是－176，＋∞.
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第三章导数及其应用
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【规律方法】(1)函数f(x)存在单调递减区间，即导函数在某区间上的值为负，即 f′(x)<0有解．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
第三章导数及其应用
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f(x0)为极___小____值 x0 为极__小____值点
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3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，且最大(小)
值必在区间端点或极值点处取得．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则____f(_a_)____为函数的最小值，____f(_b_)____
第三章
导数及其应用
第2讲导数在研究函数中的应用
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【考纲导学】
1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数
的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大

大学文科数学第三章

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11
例1 求函数 y x的2 导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
(x x )2 x 2 2 x x ( x )2
(2)算比值: y 2xx
x
(3)取极限:
yli m yli(m 2x x)2x
x x 0
x 0
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12
例2 求函 f(x ) C 数 (C 为)常的数 .导数
(xx0 h)
（2）关于导数的说明：
★ 点导数是因x0变处量的在变,点它化率反映了因变量随自变量而的变变化化的快
慢程度
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8
★ 如果函数 y f ( x ) 在开区间 I 内的每点
处都可导 ,就称函数 f ( x ) 在开区间 I 内可导 .
★ 对于任一 x I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的导数值 . 这个函数叫做函数 f( x ) 的导函数 .
记y作 ,f(x)d , 或 yd(fx). dx dx
注意: f(x0)f(x)xx0.
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9
•变速直线运动的瞬时速度
v|tt0tl it0m f(t)t tf0(t0) 其中， s = f (t) 为关于时间 t 的位置函数
v
|t t0
lim s t 0 t
limf(t)f(t0) tt0 tt0
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4
2.曲线的切线问题
点P处的切线
切点 L
Q •
•
• •
•
T
P •
•
切线PT
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大学文科数学 (3)

大学数学函数是微积分研究的对象，要学习微积分，首先要了解函数.大家对于函数的基本概念应该都是熟悉的，所以本章仅对函数作一个概括，给出一些理解性的论述.第一章微积分研究的对象——函数§1 表示变量因果关系的函数§2 函数的实例第四讲函数的基本性质六、函数的基本性质函数的基本性质是指有界性，单调性，奇偶性和周期性.不是每个函数都会有这些性质，但了解这些性质对我们今后进一步熟悉和学习微积分是有很大好处的.注意，定义中的M 只要存在就行，并没有要求是最小的.1. 有界与无界函数有界性是一个很重要的性质，所谓有界，就是指这个函数的值域可以包含在某个闭区间中.如果存在一个正数则称函数f 是数集D 上的有界函数，或称f 在D 上有界.否则就称f 在D 上无界.定义2设函数在数集D 上有定义，()y f x =,M 使函数的值域{}|(),[,],y y f x x D M M =∈⊂-即|()|f x M ≤对所有的成立，x D ∈使得无界是有界的反面，函数f 在D 上无界就是再大的闭区间也无法将该函数的值域包含在内，总有例外.数学化的表述就是：对于任何无论怎样大的正数M ，个x 与M 有关），总有（下标M 是指这M x D ∈|()|.M f x M >宋朝叶绍翁的诗《游园不值》中的诗句再大的园子(闭区间)也无法将所有的从文学的意境表达了无界的含义：诗的(某个函数值)跑到园子的外面.“春色满园关不住，一枝红杏出墙来.”春色（函数值）关住，比喻如此恰切,其意境把枯燥的数学语言形象化了.总有一枝红杏也无法将其全部包含.内是有界函数，数，因为当自变量x 无限接近于0 时，其函数值会无限地增大，再大的闭区间（y 轴上，值域）例9正弦函数和余弦函数在其定义域sin y x =cos y x =(,)-∞+∞因为对一切的都有(,)x ∈-∞+∞|sin |1,|cos | 1.x x ≤≤反比例函数在上是有界函1y x =[1,)+∞因为当时，[1,)x ∈+∞而在上则是无界的，(0,)+∞11x≤；可见，函数的有界性与所考虑的自变量的取值范围有关，范围上无界，在小范围内可能就有界了！函数在区间上有界的几何解释是：()f x[,]a b函数在区间()y f x=之间.上的图形位于两条直线与[,]a b y M=-y M=在大例10判断下列函数的有界性：（1）（2）M 只要存在即可，并不要求是最好的，或最小的.43sin 5cos2y x x =+-；ln ,(1,).y x x =∈+∞解一个函数是否有界，就看是否能找到一个正数M ，()f x 使得对一切在讨论范围的x ，有|()|.f x M ≤（1）因为43sin 5cos2y x x =+-()4351212,M ≤++==所以43sin 5cos2y x x =+-43sin 5cos2x x≤++(,)-∞+∞在上有界.验证如下：就有（2）ln ,(1,)y x x =∈+∞观察的图像，可以判断出在区间上无界.ln y x =ln y x =(1,)+∞对任意（不论多大），0M >只要取1e(1,),M M x +=∈+∞1ln ln e M M x +=上无界.所以，在区间ln y x =(1,)+∞1,M M =+>问题在其定义域上是否有界？cos y x x =。

【精选】文科数学(2020版)备考指南第3章第3讲

第三章第3讲[A 级基础达标]1．方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】C【解析】设f (x )＝x 3－6x 2＋9x －10，则f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由此可知函数的极大值为f (1)＝－6＜0，极小值为f (3)＝－10＜0，所以方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数为1.2．已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x ，若a ＝f ⎝⎛⎭⎫13，b ＝f (π)，c ＝f (5)，则( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜b【答案】A【解析】f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1－1x 2＝－1x 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而5＞π＞13，所以f (5)＜f (π)＜f ⎝⎛⎭⎫13，即c ＜b ＜a .故选A ． 3．某公司生产某种产品，每年固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元．已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300【答案】D【解析】由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大．故选D．4．(2018年玉溪模拟)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋2在R上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，3)B．(－∞，－3]C．(－3,0)D．[－3,0)【答案】B【解析】由f(x)＝ax3＋3x2－x＋2在R上是减函数，得到f′(x)＝3ax2＋6x－1≤0恒成立，所以a＜0且Δ＝36＋12a≤0，解得a≤－3.故选B．5．(2018年乌兰浩特一模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)＞1，f(0)＝4，则不等式e x f(x)＞e x＋3(其中e为自然对数的底数)的解集为()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞)【答案】A【解析】设g(x)＝e x f(x)－e x(x∈R)，则g′(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)－1]．因为f(x)＋f′(x)＞1，所以f(x)＋f′(x)－1＞0，所以g′(x)＞0，所以y＝g(x)在定义域上单调递增．因为e x f(x)＞e x＋3，所以g(x)＞3.又因为g(0)＝e0f(0)－e0＝4－1＝3，所以g(x)＞g(0)，所以x＞0.故选A．6．已知函数f(x)的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如下图所示．当1<a<2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为()x －1023 4f(x)12020A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示．由于f (0)＝f (3)＝2,1<a <2，所以y ＝f (x )－a 的零点个数为4.故选D ．7．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝__________. 【答案】－2或2【解析】设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.8．(2018年江苏)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为__________．【答案】－3【解析】由题意得f ′(x )＝2x (3x －a )，x ∈(0，＋∞)．①当a ≤0时，f ′(x )＝2x (3x －a )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1，所以f (x )在(0，＋∞)上没有零点，舍去．②当a ＞0时，f ′(x )＝2x (3x －a )＞0的解为x ＞a 3，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3上递减，在⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上递增．又f (x )只有一个零点，所以f ⎝⎛⎭⎫a 3＝2⎝⎛⎭⎫a 33－a ⎝⎛⎭⎫a 32＋1＝0，解得a ＝3.f (x )＝2x 3－3x 2＋1，f ′(x )＝6x (x －1)，x ∈[－1,1]，f ′(x )＞0的解集为(－1,0)，f (x )在(－1,0)上递增，在(0,1)上递减，又f (－1)＝－4，f (0)＝1，f (1)＝0，所以f (x )min ＝f (－1)＝－4，f (x )max ＝f (0)＝1，所以f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为－4＋1＝－3.9．(2018年东莞模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋12(x －1)2.(1)判断f (x )的零点个数；(2)若函数g (x )＝ax －a ，当x ＞1时，g (x )的图象总在f (x )的图象的下方，求a 的取值范围．【解析】(1)f (x )＝ln x ＋12(x －1)2的定义域为(0，＋∞)．又f ′(x )＝1x ＋x －1，因为1x ＋x ≥2，所以f ′(x )≥1＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．又f (1)＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．(2)由题意，当x ＞1时，f (x )－g (x )＝12(x －1)2＋ln x －ax ＋a >0恒成立．令h (x )＝12(x －1)2＋ln x －ax ＋a ，则h ′(x )＝x ＋1x －1－a .当a ≤1时，因为h ′(x )＝x ＋1x －1－a ≥1－a ≥0，所以h (x )在(1，＋∞)上为增函数．又h (1)＝0，所以h (x )＞0恒成立．当a ＞1时，h ′(x )＝x 2－(1＋a )x ＋1x.令φ(x )＝x 2－(1＋a )x ＋1，则Δ＝(1＋a )2－4＝(a ＋3)(a －1)＞0. 令φ(x )＝0的两根分别为x 1，x 2且x 1＜x 2，则x 1＋x 2＝1＋a ＞0，x 1·x 2＝1＞0，所以0＜x 1＜1＜x 2.当x ∈(1，x 2)时，φ(x )＜0，所以h ′(x )＜0，h (x )在(1，x 2)上为减函数．又h (1)＝0，所以当x ∈(1，x 2)时，h (x )＜0，不符合题意．综上，a 的取值范围为(－∞，1]．[B 级能力提升]10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋6x ＋e 2－5e －2，x ≤e ，x －2ln x ，x >e (其中e 为自然对数的底数，且e ≈2.718)．若f (6－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,3)B ．(2，e)C ．(－3,2)D ．(－2，e)【答案】C【解析】当x ≤e 时，f ′(x )＝2(3－x )>0；当x >e 时，f ′(x )＝1－2x >0.又f (e)＝e －2＝e －2ln e ，所以f (x )在R 上单调递增．因此6－a 2>a ，解得－3<a <2.故选C ．11．若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A ．3f (1)<f (3) B ．3f (1)>f (3) C ．3f (1)＝f (3) D ．f (1)>f (3) 【答案】B【解析】由于f (x )－xf ′(x )＞0，则⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递减函数，所以f (3)3<f (1)1，即3f (1)>f (3)．12．(2018年哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝x 2－3－m e x ，若f (x )＝0有三个不等的实根，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－2e ，6e 3 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，6e 3 C ．(0,2e) D ．⎝⎛⎭⎫0，6e 3 【答案】D【解析】由f (x )＝0有三个不等实根，即m ＝x 2－3e x 有三个不等实根．令g (x )＝x 2－3e x ，则直线y ＝m 和y ＝g (x )必有三个不同的交点．因为g ′(x )＝2x ·e x －(x 2－3)e x (e x )2＝－(x －3)(x ＋1)e x ，所以x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；x ∈(－1,3)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．又g (－1)＝－2e ，g (3)＝6e 3，x →∞时，g (x )>0；x →＋∞时，g (x )→0，作出函数g (x )的大致图象(图略)，由图象可知，要使得直线y ＝m 与y ＝g (x )的图象有三个交点，则0<m <6e3.故选D ．13．已知正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．【答案】2【解析】设底面边长为a ，则高h ＝SA 2－⎝⎛⎭⎫2a 22＝12－a 22，所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－a 62，0<a <2 6.设y ＝12a 4－12a 6，则y ′＝48a 3－3a 5＝3a 3(16－a 2)，当0<a <4时，y ′>0，y 单调递增；当a >4时，y ′<0，y 单调递减．当a ＝4时，y 最大，体积V 最大，此时h ＝12－a 22＝2.14．(2018年南昌模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1，设m ∈R ，对任意的a ∈(－1,1)，总存在x 0∈[1，e]，使不等式ma －f (x 0)<0成立，则实数m 的取值范围为________．【答案】⎣⎡⎦⎤－1e ，1e 【解析】f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2(x >0)．令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.所以f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．依题意知ma <f (x )max ，又f (x )在x ∈[1，e]上是增函数，所以f (x )max ＝f (e)＝ln e ＋1e －1＝1e ，所以ma <1e ，即ma －1e<0对于任意的a ∈(－1,1)恒成立，则⎩⎨⎧m ×1－1e ≤0，m ×(－1)－1e≤0，解得－1e ≤m ≤1e.15．(2018年北京模拟)已知函数f (x )＝e x －a (x ＋1)． (1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线斜率为0，求a 的值； (2)若f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围；(3)求证：当a ＝0时，曲线y ＝f (x )(x ＞0)总在曲线y ＝2＋ln x 的上方．【解析】(1)f ′(x )＝e x －a ，所以f ′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1.(2)因为f (x )≥0恒成立，即e x ≥a (x ＋1)恒成立，所以y ＝e x 的图象在直线y ＝a (x ＋1)上方，则a ≥0. 当直线y ＝a (x ＋1)与y ＝e x 相切时，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝e x 0，y 0＝a (x 0＋1)，e x 0＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，a ＝1.所以0≤a ≤1.(3)当a ＝0时，f (x )＝e x .设曲线y ＝2＋ln x 在(x 1，y 1)处的切线斜率为1，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1，y 1＝2＋ln x 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝2.所以曲线y ＝2＋ln x 在(1,2)处的切线为y ＝x ＋1. 所以y ＝2＋ln x 的图象在直线y ＝x ＋1下方．由(2)可知y ＝e x 的图象在直线y ＝x ＋1上方，所以当a ＝0时，曲线y ＝f (x )(x ＞0)总在曲线y ＝2＋ln x 的上方． 16．已知函数f (x )＝ln x －2ax ＋1(a ∈R )． (1)讨论函数g (x )＝x 2＋f (x )的单调性； (2)若a ＝12，求证：|f (x )－1|＞ln x x ＋12.【解析】(1)g ′(x )＝1x ＋2x －2a ＝2x 2－2ax ＋1x (x ＞0)，记h (x )＝2x 2－2ax ＋1.①当a ≤0时，因为x ＞0，所以h (x )＞1＞0，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0＜a ≤2时，因为Δ＝4(a 2－2)≤0，所以h (x )≥0，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a ＞2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，h (x )<0，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－22，a ＋a 2－22，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－22，a ＋a 2－22上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－22，＋∞上单调递增．(2)证明：a ＝12时，问题转化为证明|ln x －x |＞ln x x ＋12. 令m (x )＝ln x －x ，(x ＞0)，m ′(x )＝1x －1＝1－x x，令m ′(x )＞0，解得0＜x ＜1；令m ′(x )＜0，解得x ＞1，故m (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，故m (x )≤m (1)＝－1，故|ln x －x |≥1.令n (x )＝ln x x ＋12，则n ′(x )＝1－ln x x 2，令n ′(x )＞0，解得0＜x ＜e ；令n ′(x )＜0，解得x ＞e ，故n (x )在(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减，故n (x )≤n (e)＝1e ＋12＜1.故a ＝12时，|f (x )－1|＞ln x x ＋12.。

【精选】文科数学(2020版)备考指南第3章第1讲

第三章第1讲[A 级基础达标]1．若f (x )＝x cos x ，则函数f (x )的导函数f ′(x )＝( ) A ．1－sin x B ．x －sin x C ．sin x ＋x cos x D ．cos x －x sin x【答案】D【解析】f (x )＝x cos x ，则函数f (x )的导函数f ′(x )＝cos x －x sin x ．故选D ． 2．(2018年西安模拟)下列导数运算正确的是( ) A ．(sin x )′＝－cos x B ．(log 2x )′＝1x ·ln 2C ．(3x )′＝3xD ．⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 【答案】B【解析】(sin x )′＝cos x ；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2.故选B ． 3．(2018年襄阳模拟)已知f (x )＝sin x －2cos x ，实数α满足(f (α))′＝3f (α)，则tan 2α＝( ) A ．－43B ．43C ．－724D ．724【答案】A【解析】由于函数f (x )＝sin x －2cos x ，由(f (α))′＝3f (α)，得0＝3(sin α－2cos α)，则sin α＝2cos α，可得tan α＝2，因此tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43.故选A ．4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．2B ．－2C ．94D ．－94【答案】D【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，所以f ′(2)＝－94.故选D ．5．(2018年临夏模拟)设函数f (x )在x ＝1处的导数为2，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝________.【答案】23【解析】由导数的定义，得lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)＝23.6．(2018年昌吉模拟)如图，函数f (x )的图象在点P 处的切线为y ＝－2x ＋5，则f (2)＋f ′(2)＝________.【答案】－1【解析】因为函数y ＝f (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－2x ＋5，所以f ′(2)＝－2，f (2)＝－4＋5＝1，所以f (2)＋f ′(2)＝1－2＝－1.7．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2的最大值； (2)若f (x 0)＝2f ′(x 0)，求1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x cos x 0的值．【解析】(1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2，易得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当2x ＋π4＝2k π＋π2⇒x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，[F (x )]max ＝2＋1.(2)由f (x 0)＝2f ′(x 0)，得sin x 0＋cos x 0＝2(cos x 0－sin x 0)，所以cos x 0＝3sin x 0，则tan x 0＝13. 所以1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2sin 2x 0＋cos 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2tan 2x 0＋11－tan x 0＝116.8．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．【解析】(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1.又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)．又切线过点P (x 20，x 30－4x 20＋5x 0－4)，所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[B 级能力提升]9．已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12【答案】A【解析】f ′(x )＝g ′(x )＋2x .因为y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以g ′(1)＝2.所以f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为4.故选A ．10．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B ．32 C ．52D ． 2【答案】D【解析】点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1.由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.故选D ．11．(2018年德阳模拟)已知函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，下列关于f (x )，f ′(x )的描述正确的是( )A ．若f (x )为奇函数，则f ′(x )必为奇函数B ．若f (x )为周期函数，则f ′(x )必为周期函数C ．若f (x )不为周期函数，则f ′(x )必不为周期函数D ．若f (x )为偶函数，则f ′(x )必为偶函数【答案】B【解析】对于A ，如f (x )＝x 3为奇函数，则f ′(x )＝3x 2，为偶函数，故A 错误；对于B ，f (x )是可导函数，则f (x ＋T )＝f (x )，两边对x 求导得f ′(x ＋T )＝f ′(x )，周期为T ，故若f (x )为周期函数，则f ′(x )必为周期函数，故B 正确；对于C ，如f (x )＝sin x ＋x 不是周期函数，但f ′(x )＝cos x ＋1为周期函数，故C 错误；对于D ，如f (x )＝x 2为偶函数，但f ′(x )＝2x 为奇函数，故D 错误．故选B ．12．(2018年邯郸二模)若过点P (－1，m )可以作三条直线与曲线C ：y ＝x e x 相切，则m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－3e 2，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－1e ，0 C ．(0，＋∞) D ．⎝⎛⎭⎫－3e2，－1e 【答案】D【解析】设切点为(x 0，x 0e x 0)，由y ＝x e x ，可得y ′＝(x ＋1)e x ，过点P 的切线方程为y －x 0e x 0＝(x 0＋1)e x 0(x －x 0)，将P (－1，m )代入，得m ＝(－x 20－x 0－1)e x 0，即该方程有三个不等根即可．令f (x )＝(－x 2－x －1)e x ，则f ′(x )＝(－x －1)(x ＋2)e x ，函数在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，故得到f (－2)＜m ＜f (－1)，即⎝⎛⎭⎫－3e2，－1e .故选D ．13．已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 019x 1＋log 2 019x 2＋…＋log 2 019x 2 018的值为________．【答案】－1【解析】f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，所以x 1·x 2·…·x 2 018＝12×23×34×…×2 0172 018×2 0182 019＝12 019，则log 2 019x 1＋log 2 019x 2＋…＋log 2 019x 2 018＝log 2 019(x 1x 2…x 2 018)＝－1.14．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．【解析】根据题意有f ′(x )＝1＋2x 2，g ′(x )＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.又f(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－(－1)＝3(x－1)，即3x－y－4＝0.又g(1)＝－6，所以曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－(－6)＝3(x－1)，即3x－y－9＝0.所以，两条切线不是同一条直线．15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【解析】(1)由已知，得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0.所以a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11.①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，存在k＝0，使直线m：y＝9是y＝f(x)与y＝g(x)的公切线．。

2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第三章导数及应用3.2 第2课时 Word版含答案.docx

第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值典例设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D解析由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．命题点2 求函数的极值典例 (2017·泉州质检)已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，得f ′(1)＝0，即1－ae＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的单调增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．命题点3 根据极值求参数典例 (1)(2017·沧州模拟)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为_______．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1，由f ′(x )＝0有两个不同的根，可得Δ＝(－4c )2－12>0， ∴c >32或c <－32. (2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，52 B.⎣⎡⎭⎫2，52 C.⎝⎛⎭⎫2，103 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 C解析函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝⎛⎭⎫12，3内有根，由f ′(x )＝0有2个不相等的实根，得a <－2或a >2.由f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3内有根，得a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3内有解，又x ＋1x ∈⎣⎡⎭⎫2，103，所以2≤a <103，综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，103. 思维升华函数极值的两类热点问题 (1)求函数f (x )极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号． (2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练 (1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0答案 C解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得 x ＝0或x ＝1或x ＝－1. 又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点． (2)函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．答案－3解析 y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1或x >0时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3.题型二用导数求函数的最值典例 (2017·洛阳模拟)已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k <1e ，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值．解 f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x2.①若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有f ′(x )<0，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减．②若k ≠0，则f ′(x )＝kx －1x 2＝k⎝⎛⎭⎫x －1k x 2.(ⅰ)若k <0，则在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2<0. 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减， (ⅱ)若k >0，由k <1e，得1k >e ，则x －1k <0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立，所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2<0，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减．综上，当k <1e 时，f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1e ＋k －1，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1. 引申探究本例中若函数为“f (x )＝ln x －12x 2”，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值如何？解由f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x，因为当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e ≤x <1；令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，所以f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )max ＝f (1)＝－12.思维升华求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值．(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )．(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．跟踪训练设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，72 解析由题意知，f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727， f (－1)＝112，f (2)＝7，故f (x )min ＝72，∴a <72.题型三函数极值和最值的综合问题典例 (2018·珠海调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x (a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．解 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －ce x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0，所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋ce －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e －5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．跟踪训练若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0) B ．(－5,0) C ．[－3,0) D ．(－3,0)答案 C解析由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23，得 x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0)．利用导数求函数的最值典例 (12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)两小问中，由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论．规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.[4分]综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.[5分] (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[6分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a.[7分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[11分]综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[12分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x答案 D解析由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数；A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)；D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 2．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为( )A.283 B ．6 C.263 D ．7 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的极大值为f (－2)＝283. 3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.4．(2017·哈尔滨调研)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在答案 A解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x且x >0.令f ′(x )>0，得x >1. 令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.6．(2018·河北三市二联)若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( ) A ．2b －43B.32b －23 C ．0 D ．b 2－16b 3答案 A解析 f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)， ∵函数f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数， ∴－3<b <1，则由f ′(x )>0，得x <b 或x >2，由f ′(x )<0，得b <x <2，∴函数f (x )的极小值为f (2)＝2b －43.7．(2017·肇庆模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝______. 答案 5解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.由题意知，－3是方程f ′(x )＝0的根，所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5. 经检验，当a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值．8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，＋∞解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数单调递增， ∴f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0，解得a >22. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 9．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是________．答案 1e解析 f ′(x )＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x )，令f ′(x )＝0，得x ＝1.又f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)＝1e为最大值．10．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．答案－4解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 11．(2017·北京)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，所以f ′(0)＝0，又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 12．(2018·武汉质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．解 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和⎣⎡⎭⎫23，1上单调递减，在⎣⎡⎦⎤0，23上单调递增．因为f (－1)＝2，f ⎝⎛⎭⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增，则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.13．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________．答案 2解析由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ，可得f ′(x )＝x 2－2x －1，令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1±2. 当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，即f (x )在[0,1]上为减函数，故f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，所以13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2.14．(2018·贵州质检)设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时，t 的值为________．答案22解析由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ，设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ，令f ′(t )＝0，得t ＝22，当0<t <22时，f ′(t )<0，当t >22时，f ′(t )>0， ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值．15．若函数f (x )＝m ln x ＋(m －1)x 存在最大值M ，且M >0，则实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫e1＋e ，1解析 f ′(x )＝mx ＋(m －1)＝(m －1)x ＋m x(x >0)，当m ≤0或m ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调，此时函数f (x )无最大值．当0<m <1时，令f ′(x )＝0，则x ＝m1－m ，∴当0<m <1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，m 1－m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫m 1－m ，＋∞上单调递减，∴当0<m <1时，函数f (x )有最大值，最大值M ＝f ⎝⎛⎭⎫m 1－m ＝m ln m 1－m －m .∵M >0，∴m lnm1－m －m >0，解得m >e1＋e ，∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e1＋e ，1.16．已知函数f (x )＝12x 2＋mx ＋ln x .(1)若m ＝－3，讨论函数f (x )的单调性，并写出单调区间；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，且m ≤－322，求f (x 1)－f (x 2)的最小值．解 (1)当m ＝－3时，f (x )＝12x 2－3x ＋ln x ，由题意知x >0，且f ′(x )＝x －3＋1x ＝x 2－3x ＋1x，令f ′(x )>0，得0<x <3－52或x >3＋52，令f ′(x )<0，得3－52<x <3＋52.因此函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－52和⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋52，＋∞上单调递增． (2)由题意知，f ′(x )＝x ＋m ＋1x ＝x 2＋mx ＋1x，则易知x 1，x 2为x 2＋mx ＋1＝0的两个根，且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝1，所以f (x 1)－f (x 2)＝12x 21＋mx 1＋ln x 1－⎝⎛⎭⎫12x 22＋mx 2＋ln x 2 ＝12(x 21－x 22)＋m (x 1－x 2)＋ln x 1－ln x 2 ＝12(x 21－x 22)－(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋ln x 1－ln x 2 ＝ln x 1x 2－12(x 21－x 22) ＝ln x 1x 2－12·x 21－x 22x 1x 2＝ln x 1x 2－12⎝⎛⎭⎫x 1x 2－x 2x 1. 记x 1x 2＝t ，由x 1<x 2且m ≤－322知0<t <1，且f (x 1)－f (x 2)＝ln t －12⎝⎛⎭⎫t －1t ，记φ(t )＝ln t －12⎝⎛⎭⎫t －1t (t ∈(0,1))，则φ′(t )＝2t －t 2－12t 2＝－(t －1)22t 2<0，故φ(t )在(0,1)上单调递减．由m ≤－322知(x 1＋x 2)2≥92，从而x 21＋x 22≥52，即x 21＋x 22x 1x 2≥52，故t ＋1t ≥52，结合0<t <1，解得0<t ≤12，从而φ(t )的最小值为φ⎝⎛⎭⎫12＝34－ln 2，即f (x 1)－f (x 2)的最小值为34－ln 2.。

2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第三章导数及应用3.1 Word版含答案.docx

§3.1导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数概念的实际背景．2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或x xy='｜，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．知识拓展1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × ) 题组二教材改编2．[P85A 组T5]若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝ . 答案 2e解析 ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.3．[P85A 组T7]曲线y ＝sin xx 在点M (π，0)处的切线方程为．答案 x ＋πy －π＝0解析 ∵y ′＝x cos x －sin x x 2，∴y ′|x ＝π＝－ππ2＝－1π， ∴切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.题组三易错自纠4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134 答案 D6．(2018·青岛调研)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 018)＋2 018ln x ，则f ′(2 018)等于( )A ．2 018B ．－2 019C ．2 019D ．－2 018答案 B解析由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 018)＋2 018x，所以f ′(2 018)＝2 018＋2f ′(2 018)＋2 0182 018，即f ′(2 018)＝－(2 018＋1)＝－2 019.7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝ . 答案 1解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又点(2,7)在切线上，可得a ＝1.题型一导数的计算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e 答案 B解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2018·上海质检)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.3．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝ . 答案－4解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 思维升华导数计算的技巧求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．题型二导数的几何意义命题点1 求切线方程典例 (1)曲线f (x )＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为．答案 2x ＋y ＋1＝0解析根据题意可知切点坐标为(0，－1)， f ′(x )＝(x －1)(e x )′－e x (x －1)′(x －1)2＝(x －2)e x(x －1)2，故切线的斜率k ＝f ′(0)＝(0－2)e 0(0－1)2＝－2，则直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)，即2x ＋y ＋1＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 引申探究本例(2)中，若曲线y ＝x ln x 上点P 的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是．答案 (e ，e)解析 y ′＝1＋ln x ，令y ′＝2，即1＋ln x ＝2， ∴x ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．命题点2 求参数的值典例 (1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝ . 答案 1解析由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.(2)(2018届东莞外国语学校月考)曲线y ＝4x －x 2上两点A (4,0)，B (2,4)，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标是( ) A ．(3,3) B ．(1,3) C ．(6，－12) D ．(2,4)答案 A解析设点P (x 0，y 0)，∵A (4,0)，B (2,4)， ∴k AB ＝4－02－4＝－2.∵在点P 处的切线l 平行于弦AB ，∴k l ＝－2. ∴根据导数的几何意义知，曲线在点P 的导数0x x y ='｜＝＝4－2x 0＝－2，即x 0＝3，∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x －x 2上， ∴y 0＝4x 0－x 20＝3，∴P (3,3)．命题点3 导数与函数图象典例 (1)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )答案 B解析由y ＝f ′(x )的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ .(42)|x x x =－答案 0解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．跟踪训练 (1)(2017·山西孝义模拟)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是．答案 y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 解析设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)，∴x 20＝2x 0(x 0＋1)，解得x 0＝0或x 0＝－2， ∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)，即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.(2)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝ . 答案－1解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴π2x y ='｜＝－1. 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.求曲线的切线方程典例若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．错解展示：现场纠错解易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝0x x y ='｜＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意知Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况．1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)答案C解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是()答案C解析原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增；当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C. 3．(2017·西安质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)答案C解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.4．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎨⎧x 0＝32，p ＝134.5．(2018·广州调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则0x x y ='｜＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.6．(2017·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)的值为( ) A ．0 B ．2 C ．2 017 D ．－2 017 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x(e －x ＋1)2－cos(－x )＝0， ∴f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.7．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为．答案 3解析 f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.8．(2016·全国Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是．答案 2x －y ＝0解析设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x ，因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，故f ′(1)＝2，所以曲线在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为．答案 ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 10．(2018·成都质检)已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为．(用“<”连接)答案 (1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)解析 (1)由图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1，得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ，则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ， h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)． 11．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.12．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.13．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 答案 A解析由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝a x，由f ′⎝⎛⎭⎫14＝g ′⎝⎛⎭⎫14，得12×121()4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 14．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为．答案 2 解析由题意知y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，当点P 是曲线的切线中与直线y ＝x －2平行的直线的切点时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，如图所示．故令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，故点P 的坐标为(1,1)．故点P 到直线y ＝x －2的最小值d min ＝|1－1－2|2＝ 2.15．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x－a ＝0有解， ∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)． 16．设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② 将①代入②得x 21＋⎝⎛⎭⎫k －92x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝⎝⎛⎭⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17；当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4. ∴Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.。

大一数学第三章知识点

大一数学第三章知识点数学作为一门科学，是人类探索自然规律的重要工具之一。

在大一的数学课程中，第三章是一个重要的部分，涉及到多个知识点，如函数、极限和连续性等。

本文将针对这些知识点进行分析和讨论。

一、函数与映射函数是数学中最基本的概念之一，它描述了两个数集之间的依赖关系。

在数学中，通常将函数表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数可以是各种形式，例如线性函数、二次函数、指数函数等。

函数的定义域和值域是函数的重要属性。

定义域是自变量的取值范围，而值域则是因变量的取值范围。

在确定函数的定义域和值域时，我们需要考虑函数的性质和限制条件。

另外一个与函数相关的概念是映射。

映射描述了元素之间的对应关系。

在数学中，映射可以分为一一对应和多对一的关系。

一一对应表示每个自变量对应一个唯一的因变量，而多对一表示不同的自变量对应相同的因变量。

二、极限极限是数学中一个重要的概念，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。

在大一数学课程中，我们主要讨论函数在一点的极限。

函数在某一点的极限可以用数列的极限来定义。

当自变量x趋近于某个值时，如果对应的因变量f(x)也趋近于一个确定的值L，则称L为函数f(x)在x趋近于这个值时的极限。

极限的计算需要使用一些特定的方法，例如代数运算、洛必达法则和级数展开法等。

这些方法能够帮助我们准确地求得函数在某一点的极限值。

三、连续性连续性是一个函数的重要性质，它描述了函数在定义域上的连续程度。

如果函数在定义域上的任意一点都具有极限且极限值与函数在该点的函数值相等，那么我们称这个函数在定义域上是连续的。

连续函数是数学中的一个重要类别，它具有许多有用的性质。

例如，在连续函数上可以进行微积分运算，并且满足基本的运算规则。

在研究函数连续性时，我们还需要了解间断点和间断函数的概念。

间断点是函数定义域上使函数不连续的点，而间断函数指不连续的函数。

常见的间断函数有可去间断、跳跃间断和无穷间断等。

综上所述，大一数学第三章主要涵盖了函数、映射、极限和连续性等知识点。

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