(黄冈名师)高考数学核心素养提升练六十二12.3二项式定理理(含解析)新人教A版
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（二项式定理）练习一. 基础小题练透篇1.已知(2x ＋1)n 的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．42．[2023ꞏ上海市月考]在⎝⎛⎭⎫x －1x 7的二项展开式中，系数最大的是第( )项A ．3B ．4C ．5D ．63．[2023ꞏ福建省莆田第一中学高三考试]在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160 4．[2023ꞏ福建省福州第八中学高三训练](x ＋2y )(x －y )5的展开式中的x 3y 3项系数为( ) A ．30 B ．10 C ．－30 D ．－105．[2023ꞏ重庆市检测]若(x 2＋1)(4x ＋1)8＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2＋…＋a 10(2x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )A ．2B ．1C ．54D ．－146．[2023ꞏ江西省联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－647．[2023ꞏ湖南省高三第一次大联考]设(1＋2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 5＝a 6，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．98．[2023ꞏ云南省昆明市高三检测]若(3x ＋x )n 的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32，则展开式中x 3项的系数是__________.二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ辽宁省凤城市月考]在(x －1)n 的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．112．[2023ꞏ江苏省常州市高三模拟 ]若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．13．[2023ꞏ上海市一模]二项式(x ＋13x)30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．[2023ꞏ吉林省吉林市月考]若二项式⎝⎛⎭⎫12－x n 的展开式中所有项的系数和为164 ，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．－52 x 3B ．154 x 4 C ．－20x 3 D ．15x 45．[2023ꞏ浙江省高三联考](x－23x)6的展开式的中间一项的系数是__________．(用数字作答).6．[2023ꞏ浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎫3x 2＋1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n ＝__________；展开式中的系数最大的项是________．三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ北京卷]在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．102．[2019ꞏ全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．243．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]⎝⎛⎭⎫1－yx (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________________(用数字作答).4．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5．[2021ꞏ上海卷]已知二项式(x ＋a )5展开式中，x 2的系数为80，则a ＝________． 6．[2021ꞏ浙江卷]已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．四. 经典大题强化篇1.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.2．[2023ꞏ江西省景德镇一中考试]已知函数f (n ，x )＝⎝⎛⎭⎫2m ＋m x n (m >0，x >0).(1)当m ＝2时，求f (7，x )的展开式中二项式系数最大的项；(2)若f (10，x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 10x 10 ，且a 2＝180，参考答案一 基础小题练透篇1．答案：C答案解析：因为（2x ＋1）n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2n ＝C 3n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.2．答案：C答案解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝（－1）r C r7 x 7－2r，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 17 ＝C 67 <C 27 <C 47 ，所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：D答案解析：由于x ，1x互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为C 36 x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3 ＝20×（－8）＝－160.故选D. 4．答案：B答案解析：因为（x ＋2y ）（x －y ）5＝x （x －y ）5＋2y （x －y ）5，（x －y ）5的通项为：T r ＋1＝C r5 x 5－r （－y ）r ，令r ＝3，则T 4＝C 35 x 2（－y ）3，令r ＝2，则T 3＝C 25 x 3（－y ）2，所以x 3y 3的系数为C 35 （－1）3＋2C 25 （－1）2＝－10＋20＝10. 故选B. 5．答案：D答案解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8＝1，令x ＝－12，则a 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1 ×（－2＋1）8＝54 ，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54 ＝－14 . 6．答案：C答案解析：由（x ＋1）4＋（x －2）8＝[（x －1）＋2]4＋[（x －1）－1]8＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 58 ·（x －1）3·（－1）5，∴a 3＝8－C 58 ＝－48.故选C. 7．答案：C答案解析：（1＋2x ）n 展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r n （2x ）r ＝C r n 2r x r，∵a 5＝a 6，∴C 5n 25＝C 6n 26，即C 5n ＝2C 6n ，∵n ！5！（n －5）！ ＝2×n ！6！（n －6）！ ， 整理得n －5＝3，∴n ＝8. 故选C.8．答案：15答案解析：令x ＝1，得所有项的系数和为4n ，二项式系数和为2n ，所以4n 2n ＝2n＝32，即n ＝5，（3x ＋x ）5的第r ＋1项为C r5 ·（3x ）5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 r＝C r 5 ·35－r ·x 5－r2 .令5－r2＝3，得r ＝4，所以x 3项的系数是C 45 ×3＝15.二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：因为在（x －1）n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.2．答案：C答案解析：（1－x ）8展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r 8 18－r （－x ）r ＝（－1）r C r 8 x r，（1－ax ＋x 2）（1－x ）8的展开式中含x 2的项的系数为1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ，所以1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ＝21，解方程可得a ＝－1，故选C.3．答案：D答案解析：二项式（x ＋13x ）30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r·（13x）r＝C r30 ·x15－56r，0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A答案解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 n ＝164 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 6 ，所以n ＝6，展开式有7项，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6 展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6－3x 3＝－52x 3. 5．答案：－16027答案解析：由二项式展开式可知，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3－23x 6的展开式的中间一项的系数为C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3·（－2）3＝－16027. 6．答案：4 108x 5答案解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n －（3＋1）n ＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝4.所以⎝ ⎛⎭3x 2＋1x 4＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x4 ，展开式中的系数最大的项是108x 5.三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由二项式定理得（x －2）5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r＝C r 5 （－2）rx 5－r2 ，令5－r 2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10.2．答案：A答案解析：展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.3．答案：－28答案解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8＝()x ＋y 8－y x()x ＋y 8，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8的展开式中含x 2y 6的项为C 68 x 2y 6－y xC 58 x 3y 5＝－28x 2y 6，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x ()x ＋y 8的展开式中x 2y 6的系数为－28. 4．答案：240答案解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r6 （x 2）6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 6 x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.5．答案：2答案解析：（x ＋a ）5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r ，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 35 a 3＝80，解得a ＝2.6．答案：5 10答案解析：（x －1）3展开式的通项T r ＋1＝C r 3 x 3－r ·（－1）r ，（x ＋1）4展开式的通项T k ＋1＝C k 4 x 4－k ，则a 1＝C 03 ＋C 14 ＝1＋4＝5；a 2＝C 13 （－1）1＋C 24 ＝3；a 3＝C 23 （－1）2＋C 34 ＝7；a 4＝C 33 （－1）3＋C 44 ＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.（2）令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由（2x －1）5的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r ·x 5－r， 知a 1，a 3，a 5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35，所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.2．答案解析：（1）当m ＝2时，f （7，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 7 的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T 4＝C 37 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3 ＝280x3 或T 5＝C 47 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4＝560x4 .（2）①f （10，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m x 10 的通项公式为T r ＋1＝C r 10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r＝210－r ·m 2r －10·C r 10 x －r ，且f （10，x ）＝a 0＋a 1x＋a 2x2 ＋…＋a n xn ，所以1x2 的系数为a 2＝28C 210 m －6＝180，解得m＝2，所以f （10，x ）的通项公式为T r ＋1＝C r10 ⎝ ⎛⎭2x r＝2r C r 10 x －r ，所以a r ＝2r C r10 ，当r ＝0时，a 0＝1，令x ＝1，∑10i ＝1a i ＝310－1＝59 048， ②设a r ＝2r C r10 为a i （0≤i ≤10）中的最大值，则⎩⎨⎧2r C r 10 ≥2r －1C r －110 2r C r 10 ≥2r ＋1C r ＋110， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2（11－r ）≥r r ＋1≥2（10－r ） ，即193 ≤r ≤223 ，r ∈N ，所以r ＝7，所以（a i ）max ＝a 7＝27C 710 ＝15 360.。
人教版高中数学精讲精练选择性必修三6.3 二项式定理(解析版)
6.3二项式定理考法一二项式的展开式【例1-1】（2023上·高二课时练习）求411x ⎛⎫⎪⎝⎭+的展开式．【答案】答案见解析【解析】4123404132231404444411111C 1C 1C C 1C 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎭⎝⎝⎭⎝⎭23446411x x x x =++++．【例1-2】（2023·黑龙江）()12312C 4C 8C 2C nnn n n n -+-++-= （）.A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n【答案】C【解析】原式=()()()()()()0120122222121n n nn n n n n -+-+-++-=-=-C C C C L .故选：C.【一隅三反】1．（2023·甘肃）若对x ∀∈R ，()()()()()()55432252102102521ax b x x x x x +=+-+++-+++-恒成立，其中,a b ∈R ，则a b +=（）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】C【解析】由()()()()()()()543255252102102521211x x x x x x x +-+++-+++-=+-=+，得()()551ax b x +=+，所以1a b ==，2a b +=.故选：C.2．（2023·安徽安庆）如果12212C 2C 2C 2187n n n n n ++++= ，则22223C C C n +++=.【答案】56【解析】依题意，1220012212C 2C 2C 2C 2C 2C 2C n n n n n n n n n n n+++++++=+ ()1232187nn =+==，解得7n =，222322237337C C C C C C =++++++ 32232224475567C C C C C C C =+++=+++ 322323667778C C C C C C 87656321⨯⨯=====⨯⨯+++.故答案为：563．（2023·高二课时练习）（1）求4⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式（2）求()()55211x x x -++的展开式；（3）化简()()()()()5432151********x x x x x -+-+-+-+-．【答案】（1）221218110854x x x x-+-+（2）答案见解析；（3）51x -【解析】（1）()4442131x x ⎛⎫⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎭()()()()()()()()432234012344444421C 3C 31C 31C 31C 1x x x x x⎡⎤=+⋅-+⋅-+⋅-+-⎣⎦()432218110854121x x x x x=-+-+221218110854x x x x =-+-+.（2）()()()5555223(1)1(1)11x x x x x x x -++-++⎦=⎣-⎡⎤=()()()()()123405314323332341355555C 1C 1C 1C 1C 1x x x x x =⨯⨯⨯+⨯+⨯-+-+---()55035C 1x+⨯-3691215151010 5x x x x x =-+-+-.（3）原式0514********555555C (1)C (1)C (1)C (1)C (1)C (1)1x x x x x x =-+-+-+-+-+--55[(1)1]11x x =-+-=-.考法二二项式指定项的系数【例2-1】（2024·四川绵阳）51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为（）A ．5-B ．10-C ．5D ．10【答案】A【解析】51x ⎫⎪⎭的展开式的通项为53521551C (1)C rr r r r rr T x x --+⎛⎫=⋅⎭⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝．令5312r-=，得1r =．x ∴的系数为15C 5-=-．故选：A ．【例2-2】．（2024·湖南）二项式741x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．7-B ．21-C ．7D ．21【答案】A【解析】二项式741x ⎫⎪⎭的通项公式为()14147317741C C 1rrrr r rr T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令1414013r r -=⇒=，所以常数项为()17C 17⋅-=-，故选：A 【例2-3】（2024·云南）写出623x⎛⎝展开式中的一个有理项为.【答案】12729x （答案不唯一）【解析】623x⎛⎝展开式的通项公式为所以展开式中的有理项分别为：0r =时，6121213729T x x ==；2r =时，4277363C 1215T x x ==；4r =时，2422563C 135T x x ==；6r =时，37-=T x .故答案为：12729x （四个有理项任写其一均可）.【一隅三反】1．（2024·河南）29(2x x-展开式中的常数项为（）A ．672B ．672-C ．5376-D ．5376【答案】D【解析】二项式29(2)x x -的展开式的通项218319992C )()(N 2)C (,9,r r r r r rr T r x xr x--+=-=-≤∈，令1830r -=，得6r =，所以二项展开式中的常数项为669C 2)7(536-=.故选：D2．（2024安徽）9a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中含3x 项的系数为84-，则实数a 的值为（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-【答案】A 【解析】()992199C C 0,1,2,,9rr rr r r r a T xa x r x --+⎛⎫=⋅==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令923r -=，得3r =．∴3333349C 84T a x a x ==，依题意38484a =-，∴1a =-．故选：A.3．（2023·全国·模拟预测）5的展开式中，有理项是第项．【答案】3【解析】5的展开式的通项511051362155C 3C 3kkkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅，其中0,1,2,3,4,5k =，当1k T +为有理项时，1056k-为整数，结合0,1,2,3,4,5k =，所以2k =，即有理项是展开式中的第3项，故答案为：3考法三两个二项式乘积的系数【例3-1】（2024·广东广州）在()()511x x +-展开式中3x 的系数为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】显然()()()()5551111x x x x x +-=-+-，则()51x -展开式第1r +项55155,N,5C (1)C (1)r rr rr r r T xr x r --+-∈=-≤=，当3r =时，33235C (1)10x x x ⋅-=-，当2r =时，22335C (1)10x x -=，所以展开式中含3x 的项为3310100x x -+=，即展开式中3x 的系数为0.故选：B【例3-2】（2023·全国·模拟预测）()7y m x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中34x y 的系数为105-，则实数m =（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】()7x y -的展开式的通项公式为()7171C r r r rr T x y -+=-，所以()61171C r r r r r y T x y x-++=-．令6314r r -=⎧⎨+=⎩，解得3r =，()7171C r r r rr mT m x y -+=⋅-．令734r r -=⎧⎨=⎩，解得4r =．由题意，可知()()()3434343777771C 1C C C 1C 105m m m -+⋅-=-+=-=-，所以2m =-．故选：D ．【一隅三反】1．（2023·湖北）若()()542x m x --的展开式中的3x 的系数为600-，则实数m =（）A ．8B ．7C ．9D ．10【答案】B【解析】由题意知，()52x -展开式的通项公式为()55C 2rr rx --，故3x 的系数为()()3232554C 2C 232040600m m ⨯---=--=-，解得7m =.故选：B ．2．（2024·广东·）()()42112x x +⋅-的展开式中3x 的系数为.【答案】40-【解析】()()42112x x +⋅-的展开式中3x 的项为：()()313213441C 2C 240x x x x ⨯-+⨯-=-，所以展开式中3x 的系数为40-.故答案为：40-3．（2024·山东滨州）()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为．（用数字作答）【答案】40-【解析】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r rr r r T x y x y --+=-=-，令2r =得，()22424236C 260T x y x y =-=，此时4242602120x y x y ⋅=，令3r =得，()33333346C 2160T x y x y =-=-，此时3342160160xx y x y y-⋅=-，故42x y 的系数为12016040-=-故答案为：40-考法四三项式指定项的系数【例4-1】（2023·全国·校联考模拟预测）在6221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A ．721B ．-61C ．181D ．-59【答案】D【解析】6221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ =()6221x x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦的展开式的通项公式为1r T +=()6622C 1rrrx x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭=()()626C 21r r rr x x ---+，其中()66rx -+的展开式的通项公式为1k T +=66C kr kr x---，当0r =时，60r k --=，6k ∴=，常数项为()00666C C 2-；当1r =时，62r k --=，3k ∴=，常数项为()1365C C 2-；当2r =时，64r k --=，0k ∴=，常数项为()22064C C 2-；故常数项为()00666C C 2-+()1365C C 2-+()22064C C 259-=-.故选：D【例4-2】（2023·广东广州）()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为（用数字作答）.【答案】120【解析】由于()22522x y x y x =⋅⋅，所以()522x x y +-的展开式中含52x y 的项为()()222211252532C 2C C 120x x y x y ⨯⨯-=，所以()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为120.故答案为：120【一隅三反】1（2023上·高二课时练习）()52123x x +-的展开式中5x 的系数为．【答案】92【解析】()()()5552123113x x x x +-=-+，又()51x -展开式的通项()()5155C 1C 1,0,1,2,3,4,5rrr r r r r T x x r -+=-=-=，()513x +展开式的通项()5155C 13C 3,0,1,2,3,4,5kk k k k k k S x x k -+===，所以含5x 的项为162534435261T S T S T S T S T S T S ++⋅+⋅++则含5x 的系数()()()()()()012345055144233322411500555555555555C 1C 3C 1C 3C 1C 3C 1C 3C 1C 3C 1C 392-+-+-+-+-+-=.故答案为：92.2．（2024·福建）412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．72-B ．70-C ．70D ．72【答案】C【解析】方法一：8412xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开式中，第()1r +项()84188C 1C rrrrrr r T x--+⎛==- ⎝，所以常数项为()44581C 70T =-=，方法二：441122x x x x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎛⎫+-+ ⎢⎭⎝⎣⎪⎭⎥⎝⎦展开式中，第()1r +项()4141C 2rrrr T x x -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0r =时，()4041C 2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为24C 6=；当2r =时，()22241C 2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为21424C C 48⨯=；当4r =时，()04441C 216x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为70，故选：C ．3．（2023上·河北唐山）()423a b c --的展开式中2abc 的系数为（）A ．208B ．216-C ．217D ．218-【答案】B【解析】根据二项式定理可得，()423a b c --的展开式中，含2abc 的项为()()211122432C C 2C 3216a b c abc ⋅⋅⋅-⋅⋅-=-.所以，()423a b c --的展开式中2abc 的系数为216-.故选：B.考法五（二项式）系数的最值【例5-1】（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在二项式612x ⎫⎪⎭的展开式中，二项式系数最大的是（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第3项和第4项【答案】B【解析】二项式612x ⎫⎪⎭的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.故选：B.【例5-2】（2023·四川雅安）10(1)x -的展开式中，系数最小的项是（）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项【答案】C【解析】依题意，10(1)x -的展开通项公式为()11010C ()(1)N C 010,r r r r r r T x x r r +≤≤=-=∈-，其系数为10(1)C r r-，当r 为奇数时，10(1)C r r-才能取得最小值，又由二项式系数的性质可知，510C 是{}10C r 的最大项，所以当=5r 时，10(1)C r r-取得最小值，即第6项的系数最小.故选：C ．【一隅三反】1．（2022·重庆）（多选）若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项【答案】BC【解析】 1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为211rr n r r n rr n n T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为展开式中第3项与第8项的系数相等，∴27nnC C =，所以9n =，则91x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项；故选：BC ．2．（2024·海南）在()1nx +的二项展开式中，系数最大的项为3x 和4x ，则展开式中含x 项的系数为．【答案】7【解析】()1C 0,1,,kn kk n T xk n -+==⋅⋅⋅，因为系数最大的项为3x和4x ，所以n 为奇数，1142n n +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，且132n n +-=，解得7n =．所以含x 项的系数为67C 7=．故答案为：73．（2023·上海嘉定）已知6(12)x +的二项展开式中系数最大的项为．【答案】4240x 【解析】设系数最大的项为()61C 2kkk T x +=，则11661166C 2C 2C 2C 2k k k k k k k k ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解得111433k ≤≤，因为06k ≤≤且k 为整数，所以4k =，此时最大的项为()44456C 2240T x x ==.故答案为：4240x 4．（2023·上海）二项式()71x -的展开式中，系数最大的项为．【答案】335x 【解析】()71x -展开式通项公式为()717C 1rr rr T x -+=-，07r ≤≤且r 为整数.要想系数最大，则r 为偶数，其中()007717C 1T x x =-=，()225537C 121T x x =-=，()44357C 135T x x 3=-=，()6677C 17T x x =-=，显然系数最大项为3535T x =.故答案为：335x 考法六（二项式）系数和--赋值法【例6-1】（2023·广东佛山）（多选）已知()()()()102108012102111x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则下列结论正确的是（）A ．02a =B ．217a =C ．13579384a a a a a ++++=D ．0121023116144a a a a ++++= 【答案】ACD【解析】对于A ，令=1x -，则1080(12)(1)112a =-++-=+=，故A 正确；对于B ，因为108108(2)[(1)1][(1)1]x x x x ++=++++-，所以8662108C C (1)73a =+⋅-=，B 错误；对于C ，令0x =，则10011021024a a a +++== ，令2x =-，则8012102256a a a a -+-+== ，所以1357910242563842a a a a a -++++==，故C 正确；对于D ，由选项B 可知，977564110831084108C C (1)2,C C 64,C C 280a a a =+-==+⨯=-==，5342312510861087108810C C 196,C C 238,C C 112,C 146,a a a a =-==+==-==+=109101010C 10,C 1a a ====，所以01210231122237346452806196a a a a +++⋯+=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯7238811294610101116144+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 正确.故选：ACD.【例6-2】（2023·广东佛山）（多选）若5250125(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，其中(0,1,,5)i a i = 为实数，则（）A ．01a =B ．310a =C ．13516a a a ++=-D ．1251a a a +++= 【答案】AC【解析】令1x =可得01a =，A 正确.()5511x x =-+，其展开式的第三项是()()33235C 1101T x x =-=--，所以310a =-，B 不正确.令0x =可得01250a a a a ++++= ，所以1251a a a +++=- ，D 不正确.令2x =可得012532a a a a -++-= ，与01250a a a a ++++= 相减可得13516a a a ++=-，C 正确.故选：AC【一隅三反】1．（2023·河北）（多选）若()()20232320230123202332R x a a x a x a x a x x -=+++++∈ ，则（）A ．202302a =B ．20230242022152a a a a -++++=C ．20231352023512a a a a --++++=D ．20233202312232023213333a a a a ++++=- 【答案】BD【解析】对于A ，当0x =时，()20232023022a =-=-，A 错误；对于B ，C ，当1x =时，20230123202311a a a a a +++++== ，当=1x -时，20230123202220235a a a a a a -+-++-=- ，所以20230242022152a a a a -++++= ，13a a+202352023512a a ++++= ，所以B 正确，C 错误；对于D ，当13x =时，20232023120220231323333a a a a ⎛⎫⨯-=++++ ⎪⎝⎭，所以()20232023123202302320231213333a a a a a ++++=--=- ，D 正确．故选：BD ．2．（2023·江苏扬州·高二统考期中）（多选）()201212nn n x a a x a x a x -=++++ 的展开式中第3项和第11项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（）A ．第7项的二项式系数最大B ．所有奇数项二项式系数的和为132C ．21212121222a a a+++=- D ．12312231212a a a a ++++=- 【答案】AC【解析】由题意，可得210C C n n =，所以12n =，对于A 中，根据二项式定理的性质，可得中间项第7项的二项式系数最大，所以A 正确；对于B 中，根据二项式系数的性质，可得所有奇数项二项式系数的和为112，所以B 错误；对于C 中，对于C 中，令12x =，可得1212122102(11)0222a a a a ++++=-= ，令0x =，可得01a =，所以21212121222a a a +++=- ，所以C 正确；对于D 中，由()122120121212x a a x a x a x -=++++ ，可得()122120121212()x a a x a x a x '⎡⎤-=++++⎣⎦' ，即2111231211224(12)312a a x a x x a x -=+++-+ ，令1x =，可得1231112231224(12)24a a a a =+--+⨯+=+ ，所以D 错误.故选：AC.3．（2024·黑龙江·高二校联考期末）（多选）若()82801281(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，其中0128,,,,a a a a 为实数，则（）A ．01a =B ．656a =C ．1357128a a a a +++=D ．2468128a a a a +++=【答案】AC【解析】令1t x =-，则原式转化为8280128(1)t a a t a t a t +=++++ ，对A ，令0=t ，得01a =，故A 正确；对B ，由二项式定理得6a =28C 28=，故B 错误；对CD ，令1t =，得801282a a a a ++++= ，令1t =-，得01280a a a a -+-+= ，所以71357024682128a a a a a a a a a +++=++++==，所以2468127a a a a +++=，故C 正确，D 错误.故选：AC考法七余数与小数【例7-1】（2023下·河南郑州·高二校联考期中）108除以49所得的余数是.【答案】22【解析】法一：由10010198291010101010(71)C 7C 7...C 7C 718=+=+++++，前9项可以被49整除，而910C 71714922+==+，故余数为22.法二：由510564(58491)==+5423324549515491015491015495154915=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+，而515759375491549722==⨯+，故余数为22.故答案为：22【例7-2】．（2023·高二课时练习）将50.991精确到0.01的近似值是．【答案】0.96【解析】因为()55011225550.99110.009C 1C 0.009C 0.00910.0450.000810.95581=-=⨯-⨯+⨯-≈-+= ，且将50.991精确到0.01，故近似值为0.96故答案为：0.96【一隅三反】1．（2023安徽）1.028的近似值是.(精确到小数点后三位)【答案】1.172【解析】由题意得：8801223388881.02(10.02)0.020.020.02 1.172C C C C =+≈+⋅+⋅+⋅≈.故答案为：1.1722．（2023上·河北）1098除以1000的余数是．【答案】24【解析】因为10101922899101010101010109(1002)100+C (2)100+C (2)10C 80(2)100+C (2)=-=⨯-⨯⨯-⨯++⨯-⨯⨯-L 101922891010=[100+C (2)100+C (2)100(2)1000]+1024⨯-⨯⨯-⨯++-⨯L 101922891010=[100+C (2)100+C (2)100(2)1000+1000]24⨯-⨯⨯-⨯++-⨯+L ，所以1098除以1000的余数是：24.故答案为：243．（2023下·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校考阶段练习）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过202315天后是（）A ．星期日B ．星期一C ．星期三D ．星期四【答案】B【解析】()202320232023120222022202320231514114C 14C 141=+=+++⨯+ ,因为20231202220222023202314C 14C 14+++⨯ 能被7整除，所以202315除以7余1，所以经过202315天后是星期一.故选：B.4.（2024·甘肃武威）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，L ，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023年是癸卯年，则8132+年以后是年.【答案】丙午【解析】因为88817788132(121)212C 12C 123+=++=+⨯++⨯+ ，所以8132+年以后地支为“午”.因为8881777888132(103)210C 103C 10332+=++=+⨯⨯++⨯⨯++ ，又因为88326563,32+=+除以10余数为3，所以8132+年以后天干为“丙”，故8132+年以后是丙午年.故答案为：丙午考法八杨辉三角的应用【例8】（2023·广东广州）（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.该表蕴含着许多的数学规律，下列结论正确的是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561…………A ．3333434520232024C C C C C ++++= B ．11111=，211121=，L ，51115101051=C ．从左往右逐行数，第2023项在第63行第7个D ．第5行到第10行的所有数字之和为2024【答案】AC【解析】对于A 选项，由组合数的计算性质()1*1C C C ,,m m m n n n m n m n -++=∈<N ，所以，3333433334520234452023C C C C C C C C ++++=++++ 433434552023202320232024C C C C C C =+++==+= ，A 对；对于B 选项，()555122334455555111101C 10C 10C 10C 1010=+=+⋅+⋅+⋅+⋅+15010001000050000100000161051=+++++=，B 错；对于C 选项，第()n n ∈N 行共有1n +项，从左往右逐行数，第n 行最后一项对应的项数为()()()1212312n n n n ++++++++= ，因为()()62162220162++=，且202320167=+，所以，从左往右逐行数，第2023项在第63行第7个，C 对；对于D 选项，第()*n n ∈N 行所有项之和为01C C C 2n n n n n ++=+ ，所以，第5行到第10行的所有数字之和为()565610212222201612-+++==- ，D 错.故选：AC.【一隅三反】1．（2023·山东青岛·高二校联考期中）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）A ．123367891C C C C +++=B ．第2023行的第1012个和第1013个数最大C ．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数D ．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3【答案】ABD【解析】A 选项，123678768761C C C 168421321⨯⨯⨯+++=+++=⨯⨯⨯，39987C 84321⨯⨯==⨯⨯，故A 正确；B 选项，由图可知：第n 行有1n +个数字，如果n 是奇数，则第12n +和第112n ++个数字最大，且这两个数字一样大；如果n 是偶数，则第12n+个数字最大，故第2023行的第1012个和第1013个数最大，故B 正确；C 选项，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36；第9行第7个数字是84，故C 错误；D 选项，依题意：第34行第14个数字是133434!C 13!21!=⨯，第34行第15个数字是143434!C 14!20!=⨯，所以133443434!C213!21!2:334!C314!20!⨯===⨯，故D 正确.故选：ABD.2．（2024上·江西·高二校联考期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（）A ．32023C B ．32024C C ．32023C 1-D ．32024C 1-【答案】B【解析】()()()()()()()1!C !1!!!+!!1!1!C 1!r r n n n r n n r n n r n r r n r r n r +⋅++⋅-=+=-+--+-()()()()()()11!11!1!!1!C !r n n n n r n r r n r ++⋅++===+-+-,由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为2222322232223420233342023442023C C C C C C C C C C C ++++=++++=+++ 323202320232024C C C ==+= ,故选：B ．3．（2023上·湖北）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2023的概率为（）A ．1321B ．1320C ．57D ．34【答案】A【解析】由杨辉三角的性质知第20行的数为()20C 020,N ii i ≤≤∈，一共有21个数，其中012342020202020C 1,C 20,C 190,C 1140,C 48452023=====>，由杨辉三角的对称性可知，第20行中大于2023的数的个数为214231-⨯=，故所求概率为1321.故选：A.一．单选题1．（2023·四川南充）二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．60-B ．60C ．210D ．210-【答案】B【解析】展开式的通项为()611216=C 2kkk k T x x --+骣琪-琪桫，所以()()161022k k k -+-´=Þ=，常数项为()2665C 24602k´-=´=，故选：B.2．（2023·河北）若()()()2202020202019201801220201111a x a x x a x x a x +-+-++-= ，则012020a a a +++= （）A．1B．0C．20202D．20212【答案】C【解析】()2020201920182202001220202020(1)(1(1)11)x x a x a x x a x x a x +-+-++-=⎡⎤⎣⎦+-=L Q ，当02020k ≤≤且k ∈N 时，2020kk a C =，因此，01220202020202020202020012202020202a a a C C a C C =++++=+++⋅⋅⋅+L .故选：C.3．（2024上海）二项式30的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项B．7项C．5项D．6项【答案】D【解析】二项式30的展开式中，通项公式为5153063030rr r r rC C x --⋅⋅=⋅，030r ≤≤，0,6,12,18,24,30r ∴=时满足题意，共6项．故选：D.4．（2023安徽省）在12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中5x 的系数为（）A．7-B．358-C．358D．7【答案】D【解析】因为在12n x ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以8n =所以812x ⎫-⎪⎭的展开式的通项88218811,0,1,2,,822rrrr r r r T C x C x r +-+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令852r +=，得2r =所以展开式中5x 的系数为228172C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：D 5．（2023安徽）()6111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A．15B．20C．30D．35【答案】D【解析】因为()61x +展开式的通项为6C r r x ，所以()6111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中含2x 的项为2261C x ⋅和3631x C x ⋅.因为2366152035C C +=+=，所以()6111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为35.故选：D6．（2023下·四川达州·高二统考期末）()3212x x -+的展开式中，3x 的系数为（）A ．20B ．20-C ．15-D ．15【答案】B 【解析】()()632112x x x --+=，其展开式的通项为：()616C 1rrr r T x -+=⋅⋅-，取3r =得到3x 的系数为()336C 120⋅-=-．故选：B ．7．（2023云南）在71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，系数最大的是第（）项A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】在二项式71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项公式为772+177()()r r r r r r rr T C x x C x ---=⋅⋅-=-，故第r +1项的系数为7(1)r rC -，当0,2,4,6r =时，系数为正，因为0162477777C C C C C <=<<,所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项.故选：C8．（2023·江西赣州·）在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法不正确的是（）A ．不存在常数项B ．所有二项式系数的和为32C ．第3项和第4项二项式系数最大D ．所有项的系数和为1【答案】D【分析】根据给定的二项式，写出展开式判断A ；利用二项式性质判断BC ；利用赋值法计算判断D 作答.【详解】523450514233245555555222222C C C C C C x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭53358080321040x x x x x x =-+-+-，因此在52(x x-的展开式中没有常数项，A 正确；52(x x-的展开式的所有二项式系数的和为5232=，B 正确；52(x x -的展开式的第3项和第4项二项式系数相等，并且最大，C 正确；当1x =时，52(x x-的展开式的所有项的系数和为5(1)1-=-，D 错误.故选：D二．多选题9．（2024·辽宁辽阳）若2nx⎛⎝展开式的二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A ．该展开式中共有6项B ．各项系数之和为1C ．常数项为60-D ．只有第4项的二项式系数最大【答案】BD【解析】因为二项式系数之和为64，即有264n =，所以6n =，则该展开式中共有7项，A 错误；令1x =，得该展开式的各项系数之和为1，B 正确；通项()()36662166C 21C 2rr rr r r rr T x x---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，令3602r -=，得4r =，()442561C 260T =-⨯⨯=，C 错误；二项式系数最大的是36C ，它是第4项的二项式系数，D 正确．故选：BD.10．（2023·辽宁朝阳）已知2，n ，8成等差数列，则在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的是（）A ．二项式系数之和为32B ．各项系数之和为1C ．常数项为40D ．展开式中系数最大的项为80x【答案】ABD【解析】由题意可得：22810n =+=，则5n =，对于选项A ：二项式系数之和为5232=，故A 正确；对于选项B ：令1x =，可得各项系数之和为()5211-=，故B 正确；对于选项C 、D ：因为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：()()55521551C 21C 2,0,1,2,3,4,5rrr r r r rr T x x r x ---+⎛⎫=-=-⋅⋅= ⎪⎝⎭，所以553135123280804010x x x x x x x x ---⎛⎫-=-+-+- ⎪⎝⎭，展开式中没有常数项，故C 错误；展开式中系数最大的项为80x ，故D 正确；故选：ABD.11．（2022上·辽宁本溪·高二校考期末）若202123202101232021(12)(R)x a a x a x a x a x x -=+++++∈ ，则（）A ．01220211a a a a ++++=-LB ．20211352021312a a a a +++++=C ．20210242020132a a a a -++++=D ．123202123202112222a a a a++++=- 【答案】AD【解析】由题意，当0x =，2021011a ==，当1x =时，202101232021(1)1a a a a a +++++=-=- ，A 正确；当=1x -时，2021012320213a a a a a -+-+-= ，所以20211352021312a a a a +++++=- ，20210242020312a a a a -++++= ，B ，C 错误；2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x =时，2202101220211110222a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2202112202101111222a a a a ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯++⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：AD ．12．（2023下·河北沧州·高二统考期中）已知()112110121123x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．111231112a a a a ++++=-- B ．11135791115a a a a a a +++++=-C ．11111231152a a a a ++++=- D ．12311231133a a a a ++++=- 【答案】ACD【解析】因为()112110121123x a a x a x a x -=++++ ，令0x =可得1102a =，令1x =可得()11012112311a a a a ++++=-⨯=- ①，所以111231112a a a a ++++=-- ，故A 正确；令=1x -可得()1111012310112315a a a a a a -+-++-=+⨯= ②，①-②得111357911152a a a a a a --+++++=，故B 错误；①+②得110246810152a a a a a a -++++++=，又()1123x -展开式的通项为()11111C 23rrr r T x -+=⋅⋅-（011r ≤≤且N r ∈），所以当r 为奇数时展开式系数为负数，当r 为偶数时展开式系数为正数，即0246810,,,,,0a a a a a a >，1357911,,,,,0a a a a a a <，所以12311a a a a ++++ 1111123101152a a a a a =-+-++-=- ，故C 正确；将()112110121123x a a x a x a x -=++++ 两边对x 求导可得：()102101231133232311x a a x a x a x --=++++ ，再令1x =可得()101231123113323133a a a a ++++=--⨯=- ，故D 正确；故选：ACD 三．填空题13．（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知012233C 4C 4C 4C (1)4C 729n n nn n n n n -+-++-= ，则n 的值为．【答案】6【解析】由012233C 4C 4C 4C (1)4C 729n n nn n n n n -+-++-= ，可得001112220C 1(4)C 1(4)C 1(4)C 1(4)729n n n n nn n n n--⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-= 则(14)729n -=，即6(3)729(3)n -==-，解得6n =．故答案为：6.14．（2023下·山西吕梁·高二统考阶段练习）20242023被4除的余数为.【答案】1【解析】因为20242024020241202322022202320242024202420242023(20241)C 2024C 2024C 2024C 20241=-=-+--+ ，且2024可以被4整除，所以余数为1.故答案为：1.15．（2023·北京）()82212x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．（用数字作答）【答案】2464-【解析】82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项8821882C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭（0r =，1，2， (8)．当4r =时，其展开式的常数项为448C 21120=；当=5r 时，其展开式中21x的系数为558C 21792=，则()82212x x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为1120217922464-⨯=-．故答案为：2464-16．（2023上·山东·高二校联考阶段练习）()21nx x ++展开式中各项的系数可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其性质是以下各行每个数是它正上方和左､右两边三个数的和（不足3个数时，用0补上），则()52(3)1x x x -++的展开式中，7x 项的系数为.【答案】45-【解析】根据题意，可得广义杨辉三角如图所示，可知()521x x ++的展开式中，6x 项的系数为745,x 项的系数为30，所以()()5231x x x -++的展开式中，7x 项的系数为14533045⨯-⨯=-.故答案为：45-四．解答题17．（2023·广东梅州）在二项式()92x y -的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有偶数项系数之和；(4)系数绝对值之和.【答案】(1)512(2)1(3)9841-(4)19683【解析】（1）设()99872901292.x y a x a x y a x y a y -=++++ 二项式系数之和为012999999C C C C 2512++++== （2）设9987290129()2x y a x a x y a x y a y -=++++ ，则各项系数之和为0129a a a a ++++ ，令1,1,x y ==得()9012921 1.a a a a ++++=-= （3）由（2）知01291,a a a a ++++= 令1,1x y ==-可得:901293,a a a a -+--= 将两式相减,可得:9135791398412a a a a a -++++==-，故所有偶数项系数之和为9841-.（4）方法一:012901239,a a a a a a a a a ++++=-+-+- 令1,1,x y ==-则9012901239319683a a a a a a a a a ++++=-+-+-== 方法二:0129a a a a ++++ 即为()92x y +展开式中各项系数和，令1,1x y ==得90129319683a a a a ++++== 故系数绝对值之和为19683.18．（2023·全国·高二随堂练习）（1）求92x⎛⎝的展开式中的常数项；（2）若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为52，求a 的值；（3）求(10611⎛⎝的展开式中的常数项；（4）若3nx ⎛⎫⎝的展开式中各项系数之和为128，求展开式中31x 的系数．【答案】答案见详解【解析】（1）设92x⎛⎝的展开式通项为：1r T +，则()()1199922199C 2C 21r r rr rr rr T x x r x -----+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，当6r =时，6379C 2672T =⨯=；故92x⎛⎝的展开式中的常数项为672；（2）设621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为：1r T +，则()62112316611C C r rrrr r r T xx x a a ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3r =时，结合题意知此时3333334661515C C 222T x x a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⇒⋅=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故a 的值为2；（3）设(10611⎛⎫ ⎪⎝⎭、的展开式通项分别为：11r m T H ++、，则3416110C C r m rm r m Tx H x -++==、，当0r m ==时，111T H ⨯=，当3,4r m ==时，454200T H ⨯=，当6,8r m ==时，7945T H ⨯=故(10611⎛⎝的展开式中的常数项为14200454246++=；（4）令1x =，则由题意可知21287n n =⇒=，设3nx ⎛⎫ ⎝的展开式通项为1r T +，则()()2577733177C 3C 31rrr r r r r r T x x x ----+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当6r =时，63377C 321T x x --=⨯=，故展开式中31x 的系数为21.19．（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）从①第4项的系数与第2项的系数之比是74；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．已知()201221nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+（*N n ∈），且()21nx -的二项展开式中，____．(1)求n 的值；(2)①求二项展开式的中间项；②求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值．【答案】(1)条件选择见解析，8n =(2)①451120T x =；②831-．【解析】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是74，则有()()()()()()33113112C 211273214244C 21 nn n n n n n n n n ----⋅⋅---⨯⨯=⋅⋅-==，化简可得24400n n --=，求得8n =或7n =-（舍去）．若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，则有()221211C CC C 3622n nnnnn n n nn --+++=+===，化简可得2720n n +-=，求得8n =或9n =-（舍去）．（2）由（1）可得8n =，①()821x -的二项展开式的中间项为()()454458C 211120T x x =⋅⋅-=．②二项式()821x -展开式的通项公式为()()()88888C 2112C rrrrr rr x x ---⋅⋅-=-⋅⋅⋅，所以0a 、2a 、4a 、6a 、8a 为正数，1a 、3a 、5a 、7a 为负数．在()828012821x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+中，令00,1x a ==．再令1x =-，可得801238123831a a a a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+，∴1238831a a a a +++⋅⋅⋅+=-．20．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）在()2021212222121D D D D D nn n n n nn n n n n x x x x x x ---++=+++++L 的展开式中，把0122,,,D D D D ,nn n n n 叫做三项式的n 次系数列．(1)求02463333D D D D +++的值；(2)根据二项式定理，将等式2(1)(1)(1)n n n x x x +=++的两边分别展开，可得左右两边的系数对应相等，如()()()()2222122C C C C C n n n nnnn=++++ ，利用上述思想方法，求001122202120212022202220232023202320232023202320232023202320232023202320232023D C D C D C D C D C D C -+--+- 的值．【答案】(1)14(2)0【解析】（1）230615563333(1)D D D D x x x x x ++=++++ 令1x =得：3015633333D D D D =++++ ①令=1x -得：015633331D D D D =-+-+ ②①+②得：02463333282(D D D D )=+++，所以02463333D D D D 14+++=.（2）因为321(1)(1)x x x x -=-++所以()202332023220231(1)(1)x x x x -=-++，右边展开式中含4046x 项的系数为001122202120212022202220232023202320232023202320232023202320232023202320232023D C D C D C D C D C D C -+--+- ，而展开式中左边含4046x 项的系数为0，所以001122202120212022202220232023202320232023202320232023202320232023202320232023D C D C D C D C D C D C 0-+--+-= .21．（2023北京）在()20122112121221D D D D D D D nr r r r n n n nn n n n n n n x x x x x x x x ++--++=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++中，把0122D ,D ,D ,,D nn n n n ⋅⋅⋅叫做三项式系数．（1）当2n =时，写出三项式系数0123422222D ,D ,D ,D ,D 的值；（2）()()*na b n N +∈的展开式中，二项式系数可用杨辉三角表示，如图：第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051…………当04n <≤，*n ∈N 时，类比杨辉三角，请列出三项式系数表；（3）求011223398989999999999999999999999999999D C D C D C D C D C D C -+-+⋅⋅⋅+-的值（可用组合数作答）．【答案】（1）02D 1=，12D 2=，22D 3=，32D 2=，42D 1=；（2）系数表见解析；（3）3399C .【解析】（1）因为()2223411232x x x x x x ++=++++，所以02D 1=，12D 2=，22D 3=，32D 2=，42D 1=．（2）当04n <≤，*n ∈N 时，三项式系数表如下：第1行111第2行12321第3行1367631第4行14101619161041（3）()()()9999201223319719719819899999999999911D D D D D D x x x x x x x x++⋅-=++++⋅⋅⋅++()09919829798999999999999C C C C C x x x x ⋅-+-⋅⋅⋅++，其中含99x 项的系数为0011229898999999999999999999999999D C D C D C D C D C -+-⋅⋅⋅+-，又()()()99999923111x x x x ++⋅-=-，()9931x -的展开式中的第1r +项为()()9931991C rrrr T x -+=-，令()39999r -=，解得66r =，所以含99x 项的系数为66339999C C =；所以001122339898999966339999999999999999999999999999D C D C D C D C D C D C C C -+-+⋅⋅⋅+-==．22．（2023上·上海松江·高二上海市松江二中校考阶段练习）已知函数()y f x =，*x ∈N ，满足：①对任意*,a b ∈N ，都有()()()()af a bf b af b bf a +>+；②对任意*n ∈N 都有()3f f n n ⎡⎤=⎣⎦.(1)试证明：()f x 为*N 上的严格增函数；(2)求()()()1628f f f ++；(3)令()3nn a f =，*n ∈N ，试证明：121111424n n n a a a ≤+++<+ .【答案】(1)证明见解析(2)66。
2023年高考数学真题分训练 排列组合、二项式定理(理)(含答案含解析)
专题 30 排列组合、二项式定理（理）年 份题号 考 点考 查 内 容2011 理 8 二项式定理 二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合 简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理 二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理 二项式定理的应用 卷 1 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 10 二项式定理 三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理 二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算 卷 2 理 5 排列与组合 计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合 计数原理的应用 卷 1 理 6 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 2 理 6 排列与组合 排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 15 排列与组合 排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 卷 1 理 8 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次 考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次 考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次 考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次 考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原 理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.若则= .【答案】【解析】由于是展开式中第四项的系数，而.所以，=.【考点】二项式定理.2.的展开式中的系数是___________.【答案】56【解析】原二项式展开式的通项公式为令r＝2，得，系数为56.考点:二项式定理3.在的展开式中，含项的系数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以含项的系数为15.选C【考点】二项式定理.4.（5分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是．【答案】240【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数．解：展开式的通项为Tr+1=2r C6r x r令r=4得展开式中x4的系数是24C64=240故答案为：240点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5.在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A．－56B．－35C．35D．56【答案】A【解析】在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，即只有第5项的二项式系数最大即.所以二项式的展开式的通项为．.所以项的系数是.故选A【考点】1.二项式定理.2.归纳推理的数学思想.3.组合数的计算.6.的展开式的中间一项是__________．【答案】-20【解析】展开式的中间一项为.【考点】二项式定理.7.若＝x n＋…＋ax3＋bx2＋…＋1（n∈N*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____．【答案】11【解析】，由已知有．8.若，则= .【答案】【解析】令，由通项公式可得，令，=（）==.【考点】1二项式定理；2赋值法。
9.二项式的展开式中含项的系数值为_______________.【答案】35【解析】.依题意可得.所以展开式中含项的系数值为35.【考点】1.二项式定理的展开式.2.项的系数的概念.10.若展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中含项的系数是（）A．192B．182C．-192D．-182【答案】C【解析】由题意可知，得，则二项展开式的通项公式为，令，得，含项的系数是.【考点】二项式定理.11.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.12.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.13.二项式的展开式中的常数项是 .【答案】15【解析】二项式的展开式中的常数项是.【考点】二项式定理.14.展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180B．90C．45D．360【答案】A【解析】因为的展开式中只有第六项二项式系数最大，所以，则由，令，解得，所以展开式中的常数项是，故正确答案选A.【考点】二项式理及展开式通项公式.15.的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）【答案】80【解析】∵，令，∴，∴.【考点】二项式定理.16.二项式展开式中的常数项是( )A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项【答案】C【解析】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【考点】二项式定理17.二项展开式中的常数项为( )A．56B．-56C．112D．-112【答案】C【解析】∵，∴令，即，∴常数项为，选C.【考点】二项式定理.18.若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0 C．－1D．－2【答案】C【解析】令x＝0，则a＝1；令x＝，则a＋＋＋…＋＝0.∴＋＋…＋＝－1.19. 5展开式中的常数项为()．A．80B．－80 C．40D．－40【答案】C【解析】Tr＋1＝C5r (x2)5－r r＝C5r(－2)r x10－5r，令10－5r＝0得r＝2.∴常数项为T3＝C52(－2)2＝40.20.n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()．A．360B．180C．90D．45【答案】B【解析】二项式系数为，只有第六项最大，即最大，则n＝10，所以Tr＋1＝ ()10－rr＝，由5－r＝0得r＝2，故常数项为T3＝22＝180.21.若展开式中存在常数项,则n的值可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】二项展开式的通向，当时，为常数项。
人教版高中数学选择性必修第三册6.3.1 二项式定理B组能力提高训练(含解析)
人教版高中数学选择性必修第三册6.3.1二项式定理B 组能力提高训练（原卷版）一、选择题1．（2021·四川南充高二期末）在6x⎛- ⎝的展开式中.常数项为（）A ．256B ．240C ．192D ．1602．（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学）已知9290129(2)(1)(1)...(1)x a a x a x a x -=+++++++，则8a =（）A ．27B ．27-C ．324D ．324-3．（2021·福建三明市高二期末）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（）A ．-252B ．-220C ．220D ．2524．（2021·江西吉安高二期末）()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则a =（）A ．2B ．4C ．2-D ．-5.（多选题）（2021·全国高二专题练）若(3n 的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数n 的取值为（）A ．4B ．6C ．7D ．86．（多选题）（2021·重庆西南大学附中高二期末）()()4212x x ++的展开式中（）A ．3x 的系数为40B ．3x 的系数为32C ．常数项为16D ．常数项为8二、填空题7．（2021·江苏省新海高级中学高二期末）84ax⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为70，则a =________．8．（2021·全国高二课时练）在25(2)x x y ++的展开式中，52x y 的系数为__________．9．（2021·湖南师大附中高二期末）已知二项式9(1k >且k N +∈)展开式的第4项是常数项，则k 的值是__________-10．（2021·全国高二课时练）若26()bax x+的展开式中项的系数为20，则的最小值_______三、解答题11．（2021·全国高二单元测）已知在212nx ⎛ ⎝的展开式中，第9项为常数项．求：（1）n 的值；（2）展开式中x 5的系数；（3）含x 的整数次幂的项的个数．12.（2021·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）已知n+的二项展开式中，第三项的系数为7.（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即x 的指数为整数的项）.人教版高中数学选择性必修第三册6.3.1二项式定理B 组能力提高训练（解析版）一、选择题1．（2021·四川南充高二期末）在6x⎛- ⎝的展开式中.常数项为（）A ．256B ．240C ．192D ．160【答案】B【详解】：二项式6x⎛ ⎝展开式的通项为()36621662rr r r r r r T C x C x --+⎛==- ⎝，令3602r -=，解得4r =，所以()4404162240T C x +=-=，故选：B 2．（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学）已知9290129(2)(1)(1)...(1)x a a x a x a x -=+++++++，则8a =（）A ．27B ．27-C ．324D ．324-【答案】B【详解】[]99(2)(1)3x x -=+-，则其展开式的通项为：()()91913rrr r T C x -+=+-，当8r =时，()()()81889913271T C x x =+-=-+，所以827a =-．3．（2021·福建三明市高二期末）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（）A ．-252B ．-220C ．220D ．252【答案】A 【详解】由2510211(2)()x x x x +-=-，可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101((1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.4．（2021·江西吉安高二期末）()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则a =（）A ．2B ．4C ．2-D ．-【答案】C【详解】二项式()61ay +展开式的通项为()6166C 1C rr r r r rr T ay a y -+=⨯=，令3r =可得二项式()61ay +展开式中3y 的系数为336C a ，∴()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数为()3361C 160a -=，可得38a =-，解得2a =-，故选：C ．5.（多选题）（2021·全国高二专题练）若(3n 的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数n 的取值为（）A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】BD【详解】(3n -的通项公式是55216621(3)(2)3(2)n r r n rrr n rrr nnT C x x C x---+=⋅⋅⋅-=⋅⋅-⋅设其有理项为第1r +，则x 的乘方指数为526n r-，依题意526n r-为整数，注意到0r n ≤≤，对照选择项知4n =、6、8，逐一检验：4n =时，1r =、4，不满足条件；6n =时，0r =、3、6，成立；8n =时，2r =、5、8，成立，故选：BD.6．（多选题）（2021·重庆西南大学附中高二期末）()()4212x x ++的展开式中（）A ．3x 的系数为40B ．3x 的系数为32C ．常数项为16D ．常数项为8【答案】AC 【详解】()()()()444221222xx x x x ++=+++，展开式中3x 的系数分为两部分，一部分是()42x +中含3x 的系数3428C ⋅=，另一部分是()42x +中含x 项的系数134232C ⋅=，所以含3x 的系数是83240+=，故A 正确；展开式中常数项只有()42x +展开式的常数项4216=，故C 正确.二、填空题7．（2021·江苏省新海高级中学高二期末）84ax ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为70，则a =________．【答案】14±【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得()()()38882188441kkkk k kk k T Cax C a x---+⎛==- ⎝，令3822k -=，解得4k =，所以展开式中2x 项为()4424184T C a x +=，其系数为()448470C a =，解得14a =±.8．（2021·全国高二课时练）在25(2)x x y ++的展开式中，52x y 的系数为__________．【答案】60【解析】223235(2)T C x x y =+,而在23(2)x x +中236133()(2)2kkk k k k k T C x x C x --+==⋅⋅'，65,1k k -==，5232T x ='⨯，则52523103260T x y x y =⨯⨯=，52x y 的系数为60.9．（2021·湖南师大附中高二期末）已知二项式9(1k >且k N +∈)展开式的第4项是常数项，则k 的值是__________-【答案】4【详解】363933249672k T Cx --⎛==- ⎝，由6302k -=得4k =．10．（2021·全国高二课时练）若26()bax x+的展开式中项的系数为20，则的最小值_______【答案】2【解析】26(bax x+展开式的通项为266123166()()r rr r r r r r bT C ax a b C x x---+==，令1233,r -=得3r =，所以，由6333620a b C -=得1ab =，从而2222a b ab +≥=，当且仅当a b =时，22a b +的最小值为2.三、解答题11．（2021·全国高二单元测）已知在212nx ⎛ ⎝的展开式中，第9项为常数项．求：（1）n 的值；（2）展开式中x 5的系数；（3）含x 的整数次幂的项的个数．【详解】二项展开式的通项T k +1=-212kn kk nC x ⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝=(-1)k -52-212n kn kknC x⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）因为第9项为常数项，即当k =8时，2n -52k =0，解得n =10．（2）令2n -52k =5，得k =25(2n -5)=6，所以x 5的系数为(-1)64610110528C ⎛⎫=⎪⎝⎭．（3）要使2n -52k ，即40-52k为整数，只需k 为偶数，由于k =0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．12.（2021·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）已知n+的二项展开式中，第三项的系数为7.（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即x 的指数为整数的项）.【详解】（1）232222314n n nn T C C x --==∵221(1)72828842n n n n C C n -=∴=∴=∴=，（负值舍去）所以前三项分别为8418T Cx ==，113714284T C x ==，25622387T C x ==所以前三项系数分别为1，4，7，241+7⨯=∴Q 前三项系数成等差数列.（2）384418812rr rrr r r T C C x--+==，0,1,2,...,7,8r =∴0,4,8r =，展开式中x 的指数为整数，所以展开式中所有有理项为：80418T C x ==、348178T C x x ==、8288211256256T C x x -==.。
黄冈名师高考数学核心素养提升练六十一122排列与组合理含解析新人教A版
核心素养提升练六十一排列与组合(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.安排A,B,C,D,E,F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人.考虑到义工与老人住处距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,安排方法共有 ( )B.40种C.42种D.48种 A.30种有,当B,=18照顾老人丙时有=24种安排方法;【解析】选C.当B照顾老人甲时.种安排方法,种安排方法所以一共有422.(2018·洛阳模拟)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为 ( )A.72B.56C.49D.28【解析】选C.分两类:甲、乙中只有1人入选且丙没有入选,甲、乙均入选且丙没有入选,计算+可得所求选法种数为=49.3.(2019·长沙模拟)《中国诗词大会》亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.因为前四场播出后反响很好,所以节目组决定《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场,并要求《将进酒》与《望岳》相邻,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻,且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有 ( )A.144种B.48种C.36种D.72种捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列共有与《望岳》C.将《将进酒》【解析】=6选有),(最后一个空不排3=6再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在个空里种排法,种排法,则后六场的排法有6×6=36(种).【变式备选】(2018·广元模拟)在航天员进行一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有)(A.34种B.48种C.96种D.144种【解析】选C.根据题意,程序A只能出现在第一步或最后一步,则从第一个位置和最后一个位有=2种结果,置选一个位置把A排列,又由程序B和C实施时必须相邻,把B和C看成一个元素,同除A外的3个元素排列,注意B和共有=48种结果,根据分步乘法计数原理知共有2×48=96种结果.C之间还有一个排列,4.在大桥上有12个固定的哨位,但平时只派9人执勤,规定两端的哨位必须有人执勤,也不能让相邻哨位都空岗,则不同的安排哨位方法有 ( )B.种种 A.种种C.D.有个空隙之间,9个实岗的8【解析】选A.将,种插法每一种插法都对应着一3个空岗插入因此一共有种排岗方法.种排岗方法,误区警示:解答本题容易错误地去考虑执勤人员的顺序.实际上,“空岗”“实岗”的相对位置是区别不同排岗的关键所在,与岗位上执勤人员是谁无关.5.某校开设10门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定:每位同学选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是 ( )A.70B.98C.108D.120有,7门中选两门选A,B,C中的一门,其他=63;不选A,B,C,【解析】选B.共可分为两类:有=35;所以共有98门中选三门,种.其他76.集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8,9},从集合A,B中各取一个数,能组成________个没有重复数字的两位数 ( )C.64A.52D.70B.58【解析】选B.属于A但不属于B的数有2个,属于B但不属于A的数有4个,既属于A又属于B 的数有3个,于是,从A,B中各取一个数组成没有重复数字的两位数共·=58.·++有·:(·)+7.某校的A,B,C,D四位同学准备从三门选修课中各选一门,若要求每门选修课至少有一人选修,且A,B不选修同一门课,则不同的选法有 ( )种D.66 种C.30 种B.72 种A.36．【解析】选C.从A,B,C,D四位同学中选出2个作为一个整体,4个人就变成了三个,所有的选法有=6种,从中去掉A,B作为一个整体的情况,还有5种情况.这三人从三门选修课中各选共有一门,5×=30种种方法.根据分步乘法计数原理,不同的选法有.二、填空题(每小题5分,共15分)8.现有8本杂志,其中有3本是完全相同的文学杂志,还有5本是互不相同的数学杂志,从这8本里选取3本,则不同选法的种数为____.有=51本数学杂志,,有1种选法;若选取的三本书有【解析】若选取的三本书没有数学杂志=10种选法;若选取的三本书有,3有本数学杂志,种选法;若选取的三本书有2本数学杂志26.故不同选法的种数为有=10种选法.答案:269.一天的课表有六节,其中上午4节,下午2节,要安排语文、数学、英语、微机、体育、地理6节课,要求上午第一节不安排体育课,数学课必须安排在上午,微机必须安排在下午,则有 . ________种不同的排课方法【解析】可以考虑分两种情况讨论,第一种情况,上午第一节安排数学,微机安排在下午共有=48种排法;第二种情况,上午第一节课不安排数学,也不能安排体育和微机,则这节课只有3种排法,数学只能安排在上午2,3,4节课,微机安排在下午,故共有3=108种. 所以一共有156种排法排法.156 答案:【变式备选】位,2其中位选手参加,3位女生武汉模拟 (2018·)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5那么出场的顺序的排法种数为,位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个2男生,如果________.女生甲),种=不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N×= 72(【解析】1所以出场顺序的排法种数为=2排第一个且位男生不连续出场的排法共有N),种=12(×602=60. -NN=N21答案:且他们,若甲、乙都被选中,人在座谈会上发言4人中选8要从甲、乙等)·太原模拟10.(2018．用数字作答) ,那么不同的发言顺序共有________种.(发言中间恰好间隔一人【解析】先从除了甲乙以外的6人中选一人,安排在甲乙中间,有=12种,最后再选出一=120.人和刚才的三人排列得:12×120:答案)分 40(20分钟乙两个展区各,要求甲、6分)福州西湖公园花展期间,安排位志愿者到4个展区提供服务1.(5 ,不同的安排方案共有安排一个人,剩下两个展区各安排两个人)(种 D.360 A.90种 B.180种 C.270种【解析】选B.第一步,为甲展区选一名志愿者=6种选法,第二步,为乙展区选一名志愿,有者,有=5种选法,第三步,为剩下两个展区各安排两名志愿者,=6种选法,故不同的有安排方案共有6×5×6=180种.2.(5分)如图所示,在排成4×4方阵的16个点中,中心位置4个点在某圆内,其余12个点在圆外.从16个点中任选3点,作为三角形的顶点,其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有 ( )A.60个B.132个C.248个D.312个【解析】选D.根据题意,分3种情况讨论:①取出的3个点都在圆内,有=4种取法,即有4种取法,=60种,即有60种取法, ②在圆内取2点,圆外12点中取1点,有③在圆内取1点,圆外12点中取2点,则至少有一个即有(-4)=248种,248种取法,有顶点在圆内的三角形有4+60+248=312(个).【变式备选】如图,∠MON的边OM上有四点A,A,A,A,ON上有三点B,B,B,则以3342112O,A,A,A,A,B,B,B)( 为顶点的三角形个数为3214321．A.30B.42D.56C.54有个,,B中取1个点中取2个,在B,B5个【解析】选B.分类完成.在O,A,A,A,A这3321421有个三角形个,,故共有个中取2,在A,A,A,A中取1,B三角形;在B,B4233112.+=42个3.(5分)某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任,每个班级安排1个班主任.由于某种原因,数学老师不担任A班的班主任,英语老师不担任B班的班主任,化学老师不担任C班和D班的班主任, 则共有________种不同的安排方法.(用数字作答).【解析】若数学老师分到B,C两班,共有=8种分法,若数学老师分到B,D两班,共有=4种分法,若数学老师分到C,D=8种分法,若数学老师分到B,E两班,共有两班,共有种分法,若数学老师分到=4种分法,若数学老师分到C,E两班,共有=4=4两班,共有种分法,共有8+8+4+4+4+4=32种安排方法.D,E32:答案【变式备选】甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是________.【解析】由题意知本题需要分类解决,因为对于7个台阶上每一个只站一人有种;种人共有人另一个是1,若有一个台阶有2+=336(种).所以根据分类加法计数原理知共有不同的站法种数是答案:336个专业是3每所院校有,所重点院校4如果有.如表是高考第一批录取的一份志愿表)分4.(12．你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法?学校专业2 1 1212231【解析】填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,则在4所学校中选出3所并排列,共有种不同的排法;第二步,从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序,其中又··种.综合以上两步,由分步乘法计数原理得不同包含三小步,因此总的排列数有的填表方法有:···=5 184种.分)已知集合A={x|1<logx<3,x∈N},B={4,5,6,7,8}. 2(1)从A∪B中取出3个不同的元素*5.(13组成三位数,则可以组成多少个?(2)从集合A中取出1个元素,从集合B中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数?∈N得x<3,2<x<8,又x【解析】由1<log2A={3,4,5,6,7}, 3,4,5,6,7,即所以x为*,B={3,4,5,6,7,8}.A∪所以.个三位数可以组成=120个不同的元素A∪B中取出3,(1)从(2)若从集合A中取元素3,则3=180··个满足题意的自不能作千位上的数字,有然数;若不从集合A中取元素3,则有=384个满足题意的自然数.所以,满足题意的自然数共有180+384=564个.。
专题04 二项式定理-高中数学专项训练测试卷(解析版) (2)
专题04二项式定理知识点1二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点2二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.知识点3二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性与最增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当大值k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12Cn n+相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1考点1二项式定理的正用、逆用的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．考点2二项式系数与项的系数问题数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是C37＝35，而第四项的系数是C3723＝280．考点3求二项展开式中的特定项(1)求第r 项，T r ＝C r －1n an －r ＋1b r －1；(2)求含x r 的项(或x p y q 的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）6()(2)x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（）A ．－80B ．－100C ．100D ．80考点4二项式系数和问题(赋值法)【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，则1234a a a a +++=_________.【答案】34【审题】令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=，即可得到答案.【解析】依题意()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=.故123434a a a a +++=.【解后感悟】二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可；(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若()47270127(1)2(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则2a =（）A ．45B ．27C ．15D ．3【答案】D【解析】因为()4772701274(1)(2)1]2([(2)2]2)(2)[x x x x a a x a x a x +++-=+++++=++++- ，所以2225247(2)(1)3a C C =⨯-+⨯-=，故选：D ．【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则43a a -=__________．【答案】9【解析】404013122231340444444(2)C (2)C (2)C (2)C (2)C (2)x x x x x x -=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-4328243216x x x x =-+-+故41a =，38a =-，所以431(8)9a a -=--=，故答案为9.【变式4-3】（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则6a =______.【答案】28-【解析】令1t x =-，则8290129(1)(1)t t a a t a t a t +-=++++ ，故3322688C (1)C (1)28a =-+-=-，故答案为：28-.考点5二项式系数性质的应用【例5】（多选）（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）若(nx的二项展开式共有8项，则该二项展开式（）A ．8n =B ．各项二项式系数和为128C ．二项式系数最大项有2项D ．第4项与第5项系数相等且最大【答案】BC【解析】由题意，nx⎛⎝的二项展开式共有8项，可得7n =，所以A 错误；根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为72128=，所以B 正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C 正确；由7(x展开式的第4项为534327(35C x x =-，第5项为4347(35C x x =，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D 错误.故选：BC.【解后感悟】1．二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论：(1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．展开式中系数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展得出系数最大的项．考点6二项式定理的实际应用【例6】(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．【解析】(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C110·109＋C210·108＋…＋C910·10＋1)－1＝1010＋C110·109＋C210·108＋…＋102＝100(108＋C110·107＋C210·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．【解后感悟】整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了【变式6-1】（2022春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（）A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【答案】D【解析】2021201967367306731672672673673673673673242484(71)4(777)C C C C =⨯=⨯=⨯+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+，由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为67367344C =，故经过20212天后是是星期六，故选：D ．【变式6-2】（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）20232023的个位数字为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】因为()20232023202332020+=0202301202212202122023020232023202320232023C 32020C 32020C 32020C 32020=⨯+⨯+⨯++⨯ ，而1220232020,2020,,2020 个位数均为0，所以20232023的个位数字与02023020232023C 320203⨯=相同，而()1011202320221011333393101=⨯=⨯=⨯-()()()()1101010110101111010101011011010111011101110113C 1013C 1013C 1013C 101=⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯- 因为22101110,10,,10 个位数均为0，所以20233的个位数字与()()101010111010110110101110113C 1013C 1013101110330327⨯⨯-+⨯⨯-=⨯⨯-=相同，故20232023的个位数字为7.故选：B考点7几个多项式和展开式中特定项（系数）问题【例7】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是()A．25B．30C．35D．40【答案】C【解析】法一：(1＋x)n的通项公式T r＋1＝C r n x r中，当n依次取3,4,5,6，r取3得到含x3的系数为C33＋C34＋C35＋C36＝C45＋C35＋C36＝C46＋C36＝C47＝35．法二：多项式可化为1－1＋x71－1＋x＝x＋17－1x，二项式(x＋1)7的通项公式为T r＋1＝C r7x7－r,7－r＝4⇒r＝3，含x3项的系数为C37＝35．故选C．【解后感悟】对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．考点8几个多项式积展开式中特定项（系数）问题【例8】1．已知()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则3a 的值为（）A ．10B ．10-C ．30D ．30-【答案】B【审题】根据()()()()555211211x x x x x +=+---，结合二项式定理求解即可.【解析】因为()()()()555211211x x x x x +=+---，()51x -展开式第1r +项()()55155C 1C 1rrr rrr r T x x --+=-=-，当3r =时，()332352C 120x x x ⋅-=-，当2r =时，()22335C 110x x -=，故33333201010a x x x x -+==-，即310a =-.故选：B【解后感悟】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．【变式8-1】在()()253x y x y -+的展开式中，34x y 的系数是（）考点9三项式展开式中特定项（系数）问题则()821x y +-的展开式中含2xy 项的系数为7181C C 56-=-.故答案为：56-【变式9-3】()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.【答案】30【解析】()521⎡⎤++⎣⎦x y 展开式通项为()55211C -+=+rr r r T x y ，{}0,1,2,3,4,5r Î，当2r =时()32425C 1=+T x y ，由()301223333331C +C +C +C +=x x x x 得2x 的系数为3，故24x y 的系数为25C 330⨯=.故答案为：30.1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若()()()()()()55432151101101511x a x x x x x +=+-+++-+++-，则=a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】()()()()()5432151101101511+-+++-+++-x x x x x ()()()()()()()()()()54322345012340555555C 1C 11C 11C 11C 511C 1=+++-++-++-++-+-x x x x x ()55=11=+-⎡⎤⎣⎦x x则=+x a x ，即0a =.故选：B2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）设a ∈N ，且17a <，若202252a +能被17整除，则a 等于（）A ．0B ．1C ．13D ．16【答案】D【解析】()2022202252511a a +=++0202212021220202021202220222022202220222022C 51C 51C 51C 51C a =++++++ ，202252a + 能被17整除，且02022120212202020212022202220222022C 51C 51C 51C 51++++ 能被17整除，故20222022C 1a a +=+能被17整除，观察选项可得16a =.。
2024年高考数学复习培优讲义专题40---二项式定理(含解析)
专题8-2 二项式定理16类常考问题汇总题型1 求展开式中的指定项 题型2 求指定项的系数 题型3 二项式系数最大的项 题型4 展开式所有项系数和 题型5 展开式二项式系数和 题型6 三项展开式问题题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题 题型8 由项的系数或系数和确定参数 题型9 奇次项与偶次项的系数和 题型10 等式两边求导后求和 题型11 展开式系数最大的项题型12 等式两边不一致时需要换元或配凑 题型13 赋值求系数和 题型14 整除和余数问题 题型15 二项式定理与杨辉三角 题型16 二项式定理与数列1、定义一般地，对于任意正整数n ，都有：()011*()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N −−+=+++++∈这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式．式中的r n r r n C a b −做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b −+=，其中的系数(0,1,2,,)rnC r n =⋯叫做二项式系数 2、二项式()n a b +的展开式的特点：（1）项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；（2）二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中； （3）次数：a ，b 次数和均为n（4）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即r n rn nC C −= （5）增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nn C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数1122,n n nnCC−+相等，且最大3、二项展开式的通项：1(0,1,2,,)r n r rr n T C a b r n −+==公式特点：（1）它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是r n C ； （2）字母b 的次数和组合数的上标相同；4、二顶式系数和与所有项系数和，以及奇数项项与偶数项 例：对于()n x a +（1）二项式系数之和为2n ，即012342n n nn n n n n C C C C C C ++++++=；（2）所有展开式系数和为(1)n b +，展开式为：()011*()n n n r n r rn nn n n n x b C x C x b C x b C b n N −−+=+++++∈，可以表示为：()1*01()n n n x b a a x a x n N +=+++∈，令1x =即可得出所有项系数和（3）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即02413512n n n n n n n C C C C C C −+++=+++=．知识点诠释：（1）二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第1r +项r n r r n C a b −的二项式系数是组合数r n C ，展开式的系数是单项式r n r r n C a b −的系数，二者不一定相等．（2）()n a b c ++展开式中p q r a b c 的系数求法(,,0p q r ≥的整数且)p q r n ++=()[()]()n n r n r r r q n r q q r n n n r a b c a b c C a b c C C a b c −−−−++=++=+=（3）求解二项展开式中系数的最值策略①求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二项式系数的性质求解．②求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1即得结果．题型1 求展开式中的指定项1．式子12(1)x −二项式定理展开中的第6项为 ．2．二项式5312x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的第3项为（ ）A ．160B ．80x −C ．380x D ．740x −3．533x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，有理项是第 项．4．6232x x −⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中有理项的个数为 .题型2 求指定项的系数5．二项式5(2)x y −的展开式中，含2y 项的系数为 .6．在7(3)x −的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．21− B ．21C ．189D ．189−7．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．－150 B.150 C.－240 D.240重点题型·归类精练8．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．题型3 二项式系数最大的项9．已知二项式()21nx −的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n = . 10．()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．511．1nx x ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .12．在()1nx +的展开式中，若第7项系数最大，则n 的值可能等于 .题型4 展开式所有项系数和13．若32nx x 的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为（ ）A ．112B ．124C ．116D ．13214．在54(1)(12)x x ++−的展开式中，所有项的系数和等于 ，含3x 的项的系数是 ．15．若8231x a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中所有项的系数和为 256 ，其中a 为常数，则该展开式中4x −项的系数为16．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答）题型5 展开式二项式系数和17．（多选）已知3241nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中的第三项的系数为45，则（ ）A ．9n =B ．展开式中所有系数和为1024C ．二项式系数最大的项为中间项D ．含3x 的项是第7项18．在32nx x ⎛ ⎝的二项展开式中，各项的二项式系数之和为128，则展开式中7x 的系数为 （用数字填写答案）；19．若31nx x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中41x 的系数为 .20．（多选）在()521x −的展开式中，则（ ） A ．二项式系数最大的项为第3项和第4项 B ．所有项的系数和为0 C ．常数项为1−D ．所有项的二项式系数和为6421．若2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的第一项为532x ，最后一项为51x −，则下列结论正确的是（ ）A ．5n =B ．展开式的第四项的二项式系数等于40−C ．展开式中不含常数项D ．展开式中所有项的系数之和等于3222．若()*31N nx n x ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．8C ．28D ．5623．在322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，各二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，若1056n n a b +=，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7题型6 三项展开式问题24．若0m ≠，且()622312112312x x m a a x a x a x a x −+=++++⋅⋅⋅+，则m 的值为 .25．6(21)x y −+展开式中含2x y 项的系数为 ． 26．()()6211x xx ++−的展开式中2x 的系数为（ ） A ．9B ．10C ．24D ．2527．3212x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭中常数项是 ．（写出数字）28．()52x y z −+的展开式中，3x yz 的系数为 ．29．已知()22121nx x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为27，则4x 项的系数为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1530．若()522100121022x x a a x a x a x −+=++++，则5a = ．2x 2x − 2题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题31．()()4212x x −+的展开式中2x 的系数为 （用数字作答）．32．81()y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为 （用数字作答）．33．712(1)x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．7−B ．7C ．77D ．77−34．6211(2)2x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．18035．6(2)(2)x y x y −+的展开式中25x y 的系数是 ．（用数字填写答案）36．()3532()x x a −+的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中4x 的系数为（ ）A ．130−B ．46C ．61D ．19037．将多项式26576510a x a x a x a x a +++++分解因式得25(2)(1)x x −+，则5a =（ ）A ．16B ．14C ．6−D ．10−题型8 由项的系数或系数和确定参数 38．设()2340123412nn n x a a x a x a x a x a x −=++++++，若0417a a +=.则n = .39．()5223x x a −+的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含7x 项的系数是（ ） A ．600−B ．840−C ．1080−D ．2040−40．已知()12nx +的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则3123nx x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中1x 的系数为（ ） A ．294−B ．826−C ．840−D ．854−41．若()421ax x −+的展开式中5x 的系数为56−，则实数=a ．42．42x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭−的展开式中的常数项与321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项相等，则a 的值为（ ）A ．3−B ．2−C ．2D ．343．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答）44．5122a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为3，则该展开式中常数项为（ ）A ．40B ．160C ．0D ．32045．（多选）在()()5312x x a −−的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）A ．3a =B ．展开式中的常数项为32−C ．展开式中4x 的系数为160D ．展开式中无理项的系数之和为242−46．已知()2nx y −的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的52x y 项的系数为（ ） A ．―4 B ．84C ．―280D ．56047．（多选）已知()31nx n x *⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项，则n 的可能取值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10题型9 奇次项与偶次项的系数和48．若()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x −=++++++，则246a a a ++=（ ） A ．64B ．33C ．32D ．3149．若()()522701273321x x x a a x a x a x −−−=++++，则0246a a a a +++= ．50．()()41a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则=a （ ） A ．2− B ．2C ．3−D ．3 51．若()()()()20232202301220231111x m a a x a x a x ++=+++++++，且()()2220230220221320233a a a a a a +++−+++=，则实数m 的值为 .题型10 等式两边求导后求和52．（多选）若()()()()102100121021111x a a x a x a x −=+−+−++−，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．1012103a a a +++=C ．2180a =D ．9123102310103a a a a ++++=⨯53．（多选）已知多项式220121(12)(13),19m nn x x a a x a x a x a −−=+++⋅⋅⋅+=−，则（ ）A ．12m n +=B ．12324n a a a a +++⋅⋅⋅+=C ．24a =−D ．12323368n a a a na +++⋅⋅⋅+=−题型11 展开式系数最大的项54．在822x x ⎫⎪⎭的展开式中，①求二项式系数最大的项； ②系数的绝对值最大的项是第几项；55．212n x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则212nx x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项的系数为 .题型12 等式两边不一致时需要换元或配凑56．已知()()()()21001210101111a a a x x x a x =+−+−+⋅⋅⋅+−+，则8a =________． 57．已知多项式()()()()10210012101111x a a x a x a x −=+++++++，则7a =（ ）A ．－960B ．960C ．－480D ．48058．(多选)已知923901239(25)(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x −=+−+−+−++− ，则下列结论成立的是A ．0191a a a +++=B ．876012382226256a a a a a +++++=C ．9012393a a a a a −+−+−= D ．123923918a a a a ++++=题型13 赋值求系数和59．若()42340123421x a a x a x a x a x −=++++，1234a a a a +++=________.60．若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x −=+−+−+−+−+−，则下列结论中正确的是（ ）A ．01a =B ．480a =C ．50123453a a a a a a +++++= D ．()()10024135134a a a a a a −++++=61．（多选）若202123202101232021(12)(R)x a a x a x a x a x x −=+++++∈，则（ ）A ．01220211a a a a ++++=−B ．20211352021312a a a a +++++=C ．20210242020132a a a a −++++= D ．123202123202112222a a a a ++++=− 62．已知5250125())(1)(1)(1)(x m a a x a x a x m R +=+−+−++−∈，若225024135()()3a a a a a a ++−++=则m ＝_________或_________.63．已知2323122202222312a a a a a x x x x x⎛⎫−=+++++ ⎪⎝⎭，则0121222221222a a a a ++++= A ．－1B ．0C ．1D ．2广东省二模T7改 64．已知2023220230122023(1)x a a x a x a x −=++++，（1）展开式中的二项式系数为________， （2）122023a a a =+++________，（3）2023202220210122023222a a a a =++++________，（赋值）（4）122023111a a a +++=________.（对称性）题型14 整除和余数问题 65．20233被8除的余数为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．766．二项式()20235x +展开式的各项系数之和被7除所得余数为 ．67．108除以49所得的余数是 . 68．20242023被4除的余数为 .69．若2022n =，则1122155C 5C 5C n n n n n n n −−−++++除以7的余数是 .70．()2023678−除以17所得的余数为 .71．（多选）若()54325101051f x x x x x x =−+−+−，则（ ）A ．()f x 可以被()31x −整除B ．()1f x y ++可以被()4x y +整除C ．()30f 被27除的余数为6D ．()29f 的个位数为6题型15 二项式定理与杨辉三角72．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为（用最简分数表示）.73．如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则此数列的前30项的和为（ ）A ．680B ．679C ．816D ．81574．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）A ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数B ．第2023行中第1012个数和第1013个数相等C ．记“杨辉三角”第n 行的第i 个数为i a ，则()11123n i ni i a +−==∑D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2:3题型16 二项式定理与数列75．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*21N n n S a n =−∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)解关于n 的不等式：012312341C C C C C 2023nn n n n n n a a a a a +++++⋅⋅⋅+<.76．已知数列{}n a 的通项公式为121n n a −=+．求0121231C C C C nn n n n n a a a a +++++的值．77．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=−，514a =，426S =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知011221C 3C 3C 3C 3C n n n n n n n n n n n b −−−=⋅+⋅+⋅++⋅+，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .78．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足()231n n S b =−，等差数列{}n c 中1123,5,27c c c c =++=. (1)求{}n b 和{}n c 的通项公式；(2)数列{}n b 与{}n c 的共同项由小到大排列组成新数列{}n a ，求数列}{n a 的前20的积20T . 79．已知数列{}n a 前n 项和232n n n S +=，{}n b 的前n 项之积()(1)*22N n n n T n +=∈. (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式.(2)把数列{}n a 和{}n b 的公共项由小到大排成的数列为{}n c ，求1220c c c ++⋅⋅⋅+的值. 80．（多选）已知当0x >时，111ln 11x x x ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，则（ ） A ．188e 7>B ．1111ln8237++++> C ．111ln8238+++< D ．018888018C C C e 888+++<81．已知()20032001C 62nnnn a −⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭（1n =，2，⋯，95），则数列{}n a 中整数项的个数为（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16专题8-2 二项式定理16类常考问题汇总题型1 求展开式中的指定项 题型2 求指定项的系数 题型3 二项式系数最大的项 题型4 展开式所有项系数和 题型5 展开式二项式系数和 题型6 三项展开式问题题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题 题型8 由项的系数或系数和确定参数 题型9 奇次项与偶次项的系数和 题型10 等式两边求导后求和 题型11 展开式系数最大的项题型12 等式两边不一致时需要换元或配凑 题型13 赋值求系数和 题型14 整除和余数问题 题型15 二项式定理与杨辉三角 题型16 二项式定理与数列1、定义一般地，对于任意正整数n ，都有：()011*()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N −−+=+++++∈这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式．式中的r n r r n C a b −做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b −+=，其中的系数(0,1,2,,)rnC r n =⋯叫做二项式系数 2、二项式()n a b +的展开式的特点：（1）项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；（2）二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中； （3）次数：a ，b 次数和均为n（4）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即r n rn nC C −= （5）增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nn C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数1122,n n nnCC−+相等，且最大3、二项展开式的通项：1(0,1,2,,)r n r rr n T C a br n −+==公式特点：（1）它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是r n C ； （2）字母b 的次数和组合数的上标相同；4、二顶式系数和与所有项系数和，以及奇数项项与偶数项 例：对于()n x a +（1）二项式系数之和为2n ，即012342n n nn n n n n C C C C C C ++++++=；（2）所有展开式系数和为(1)n b +，展开式为：()011*()n n n r n r rn nn n n n x b C x C x b C x b C b n N −−+=+++++∈，可以表示为：()1*01()n n n x b a a x a x n N +=+++∈，令1x =即可得出所有项系数和（3）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即02413512n n n n n n n C C C C C C −+++=+++=．知识点诠释：（1）二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第1r +项r n r r n C a b −的二项式系数是组合数r n C ，展开式的系数是单项式r n r r n C a b −的系数，二者不一定相等．（2）()n a b c ++展开式中p q r a b c 的系数求法(,,0p q r ≥的整数且)p q r n ++=()[()]()n n r n r r r qn r q q r n n n r a b c a b c C a b c C C a b c −−−−++=++=+=（3）求解二项展开式中系数的最值策略①求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二项式系数的性质求解．②求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1即得结果．题型1 求展开式中的指定项1．式子12(1)x −二项式定理展开中的第6项为 ． 【答案】7792x −【解析】由()121x −，所以二项展开式的通项公式()121211C rr rr T x −+=⋅−⋅，012r ≤≤，r ∈Z ， 令=5r ，可得展开式的第六项为()5775121792C x x ⋅−⋅=−. 2．二项式5312x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的第3项为（ ）A ．160B ．80x −C ．380x D ．740x −【解析】【答案】C 【分析】根据二项式展开式公式即可求解. 【详解】因为()51531C 2kkkk T x x −+⎛⎫=⋅− ⎪⎝⎭，所以()2323533180C 2T x x x ⎛⎫=⋅−=⎪⎝⎭，故C 项正确. 3．533x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，有理项是第 项．【解析】【答案】3 【分析】求出二项式展开式的通项公式，根据有理项的含义，确定参数的值，即可得答案.【详解】533x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项511051362155C 3C 3kkkk k k k T x x x−−−+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅， 其中0,1,2,3,4,5k =， 当1k T +为有理项时，1056k−为整数，结合0,1,2,3,4,5k =， 所以2k =，即有理项是展开式中的第3项4．6232x x −⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中有理项的个数为 .重点题型·归类精练【答案】3【解析】展开式的通项为()2566633166C (2)(1)2C 0,1,2,,6rrr r r r rr T x x x r −−−−+⎛⎫=−=−= ⎪⎝⎭，要为有理项，则563r −为整数，故r 可取03,6,，共有3项有理项.题型2 求指定项的系数5．二项式5(2)x y −的展开式中，含2y 项的系数为 . 【答案】40【解析】二项展开式的通项为515C (2)r rr r T x y −+=−，令2r =，则2323235C (2)40T x y x y =−=.故答案为：40.6．在7(3)x −的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．21− B ．21 C ．189 D ．189−【解析】【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式可得解.【详解】由二项展开式的通项公式得11772277C 3()C 3(1)r r r r r r r x x −−−=−，令132r =得6r =，所以3x 的系数为667C 3(1)21−=.7．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．－150B.150C.－240D.240【答案】D【解析】 (1)⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6x 6－k ·(－2)k ·x －k2＝(－2)k C k 6x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·C 46＝240.8．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【答案】162 5【解析】该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 【答案】162 5题型3 二项式系数最大的项9．已知二项式()21nx −的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n = . 【答案】6【解析】因为二项式()21nx −的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项， 所以n 为偶数且32n=，可得6n =. 10．()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】【答案】C【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解 【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n 为偶数，故142n+=，得6n =.故选：C11．1nx x ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .【答案】12120x【解析】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即162n+=，所以10n =，所以317324101C 120T x x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.12．在()1nx +的展开式中，若第7项系数最大，则n 的值可能等于 . 【答案】11、12、13【解析】在()1nx +的展开式中，每项的系数等于其二项式系数， ①当只有第7项系数最大时，即只有6C n 最大时，则n ＝12；②当第6项和第7项的系数相等且最大时，即56n n C C =最大时，则n ＝11；③当第7项和第8项的系数相等且最大时，即67C C n n =最大时则n ＝13，综合①②③可得n 的值可能等于11、12、13， 故答案为：11、12、13.题型4 展开式所有项系数和13．若32nx x 的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为（ ）A ．112B ．124C ．116D ．132【答案】D【解析】32nx x 的第4项为：())3353133223111C C 22n n n nT x x x −−−+⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因其为常数项，则5n =.令1x =，可得展开式的各项系数的和为5111232⎛⎫−=⎪⎝⎭. 14．在54(1)(12)x x ++−的展开式中，所有项的系数和等于 ，含3x 的项的系数是 ． 【分析】用赋值法，令1x =求所有项的系数和；分析含3x 的项的构成，直接求得.【详解】解：423450123455(1)(12)a a x a x a x a x a x x x =+++++++−所以令1x =代入得：401235554(11)(12)2133a a a a a a =++++−+++=+=； 而333333354(2)22a C x C x x x =+−=−故答案为：33；22−.15．若8231x a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中所有项的系数和为 256 ，其中a 为常数，则该展开式中4x −项的系数为【分析】由1x =结合所有项的系数和得出1a =，再由二项展开式的通项求解即可.【详解】因为 8231x a x ⎫⎪⎭展开式中所有项的系数和为 256 ，所以)81256a =，解得1a =，由题意得 82311x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x −项的系数与8311x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的6x −项的系数相同.8311x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项()318C 0,1,2,,8r r r T x r −+==，令36r −=−，得2r =，所以展开式中 4x −项的系数为28C 28=. 16．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答） 【分析】令1x =，则()()3112a +−即为展开式中所有项的系数和，可计算出a 的值，结合二项展开式的通项公式计算即可得.【详解】令1x =，则()()31120a +−=，即1a =−，则对31x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，有()()33321331C C 1kk k k kk k T x x x −−−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭， 令321k −=，即1k =，有()21123C 13T x x =−=，即有223T x x ⨯=， 令322k −=，则12k =，舍去； 故展开式中2x 的系数为3.题型5 展开式二项式系数和17．（多选）已知3241nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中的第三项的系数为45，则（ ） A ．9n =B ．展开式中所有系数和为1024C ．二项式系数最大的项为中间项D ．含3x 的项是第7项【解析】【答案】BCD 【分析】由二项式定理相关知识逐项判断即可.【详解】3241n x x 展开式的第三项为：2422232232223412431C C C n n n n nnT x xx xx −−−==⋅=，所以第三项的系数为：2C 45n =，所以10n =，故A 错误；所以103241x x ，所以令1x =得展开式中所有系数和为1021024=，故B 正确； 展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C 正确；通项公式为(102101130323412411010101C CC rr r r rr rr r T x xxxx −−−+==⋅=，令1130312r −=，解得6r =，所以含3x 的项是第7项.故D 正确； 故选：BCD.18．在32nx x ⎛ ⎝的二项展开式中，各项的二项式系数之和为128，则展开式中7x 的系数为 （用数字填写答案）； 【答案】280【解析】依题意可得2128n =，则7n =，所以732x x ⎛ ⎝展开式的通项为()()()7217732177C 2C 21rr r r r r r r T x xx −−−+⎛==− ⎝（07r ≤≤且N r ∈）， 令72172r −=，解得4r =，所以()4437757C 21280T x x =⨯⨯−=，所以展开式中7x 的系数为280.19．若31nx x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中41x 的系数为 .【答案】56 【分析】通过二项式系数和求出4n =，然后求出831x x ⎫⎪⎭展开式的通项公式，最后求出指定项的系数即可.【详解】由31nx x ⎫⎪⎭的展开式的二项式系数之和为16，得216n =，所以4n =，则831x x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为848331881C C rr rrrr T x x x −−+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令8443r −=−，解得=5r ，故231nx x ⎫⎪⎭的展开式中41x 的系数为58C 56=. 故答案为：5620．（多选）在()521x −的展开式中，则（ ） A ．二项式系数最大的项为第3项和第4项 B ．所有项的系数和为0 C ．常数项为1−D ．所有项的二项式系数和为64 【分析】根据二项式系数015555C ,C ,,C 的性质即可判断AD ；根据项的系数之和为(1)f 即可判断B ；根据二项式展开式的通项公式即可判断C.【详解】A ：所有项的二项式系数为015555C ,C ,,C ，最大的为25C 和35C ，对应的是第3项和第4项，故A 正确；B ：设5()(21)f x x =−，所有项的系数为015,,,a a a ， 所以5015(1)(211)1a a a f +++==⨯−=，故B 错误；C ：二项式展开式的通项公式为55C (2)(1)(0,1,2,3,4,5)rr r x r −−=， 令50r −=，解得=5r ，所以常数项为5055C 2(1)1⋅⋅−=−，故C 正确； D ：所有项的系数之和为0155555C +C C 232++==，所以D 错误.故选：AC21．若2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的第一项为532x ，最后一项为51x −，则下列结论正确的是（ ）A ．5n =B ．展开式的第四项的二项式系数等于40−C ．展开式中不含常数项D ．展开式中所有项的系数之和等于32【解析】【答案】AC 【分析】通过()551C 232,C nnnnna x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭计算可判断A ；直接求第四项的二项式系数可判断B ；求出展开式的通项，观察后可判断C ；令1x =，计算可判断D. 【详解】选项A ：依题意有()0551C 232,C nnnnna x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，解得5,1n a ==−，所以A 正确；选项B ：展开式的第四项的二项式系数应为35C 10=，故B 错误；选项C ：512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的通项()()55521551C 21C 2rr r r r r rr T x x x −−−+⎛⎫=⋅−=− ⎪⎝⎭， 由于r ∈N ，所以520r −≠，因此展开式中不含常数项，故C 正确；选项D ：令1x =，可得展开式中所有项的系数之和等于512111⎛⎫⨯−= ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AC.22．若()*31N nx n x ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．8C ．28D ．56【解析】【答案】C 【分析】根据31nx x ⎫⎪⎭的展开式中所有项的二项式系数之和求出n 的值，从而写出231nx x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式，再令x 的指数为0，即可求解常数项．【详解】由()*31N nx n x ⎫∈⎪⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得216n =，所以4n =，则二项式831x x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为(848331881C C rr rrrr T x x x −−+⎛⎫== ⎪⎝⎭（08r ≤≤且N r ∈），令8403r−=，解得2r =， 所以238C 28T ==，故831x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为2823．在322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，各二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，若1056n n a b +=，则n =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】【答案】B 【分析】依题意可得2n n a =，令1x =得到4n n b ，从而求出n .【详解】由32nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令1x =可得各项系数之和为4n n b ，又各二项式系数之和为2n n a =，因为1056n n a b +=，则421056n n +=，解得232n =或233n =−（舍去）， 所以5n =.题型6 三项展开式问题24．若0m ≠，且()622312112312x x m a a x a x a x a x −+=++++⋅⋅⋅+，则m 的值为 .【答案】6−【解析】由题意得()62x x m −+的展开式中的常数项与一次项系数相等，则()6156C 1m m =−，解得6m =−或0（舍去）.25．6(21)x y −+展开式中含2x y 项的系数为 ． 【解析】6(21)x y −+展开式中，含2x y 的项是：()221264C C 2120x y x y −=−.故答案为：120−26．()()6211x x x ++−的展开式中2x 的系数为（ ）A ．9B ．10C ．24D ．25【答案】B 解析：()()()()()66662211111x xx x x x x x ++−=−+−+−，所以2x 的系数为()()22106661110C C C −+−+=；故选B27．3212x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭中常数项是 ．（写出数字）【答案】11【解析】3212x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中当2x ，1x −，2对应的次数分别为0，0，3和1，2，0时即为常数，所以常数项为212331C 23811x x ⎛⎫−+=+= ⎪⎝⎭．28．()52x y z −+的展开式中，3x yz 的系数为 ． 【答案】40−【解析】()52x y z −+的展开式通项为()515C 2rr rr A x y z −+=−+， ()2ry z −+的展开式通项为()()1C 2C 2r kr kkk k r k k k rr B y z y z −−−+=⋅−=⋅−，其中05k r ≤≤≤，k 、N r ∈，所以，()52x y z −+的展开式通项为()51,15C C 2r kr kr r k k r k r T x y z −−−++=−，由题意可得5311r r k k −=⎧⎪−=⎨⎪=⎩，解得21r k =⎧⎨=⎩，因此，()52x y z −+的展开式中3x yz 的系数为()2152C C 240⨯−=−.29．已知()22121nx x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为27，则4x 项的系数为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．15【分析】先由展开式中各项系数和为27，求出3n =，直接求出展开式，得到4x 项的系数.【详解】由题意可得：令x =1可得()12111271n ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭，解得：3n =.所以原式为()()()333222221121211x x x x x x x x x x ⎛⎫−++=⨯++−++ ⎪⎝⎭.要求4x 项，只需求出()321x x ++展开式中2x 和5x 项.()()()()()()()()()312332120212223233331C 1C 1C 1C 1x x x x x x x x x x ++=+++++++()()()3224613131x x x x x x =++++++ 65432367631x x x x x x =++++++所以()322121x x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项为45411239x x x x −⨯=.30．若()522100121022x x a a x a x a x −+=++++，则5a = ．【解析】【答案】592− 【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解.【详解】()5222x x −+表示5个因数()222x x −+的乘积.而5a 为展开式中5x 的系数，设这5个因数()222x x −+中分别取2x 、2x −、2这三项分别取,,i j k 个，所以5i j k ++=，若要得到含5x 的项，则由计数原理知,,i j k的取值情况如下表：2x 2x − 2i 个j 个k 个 0 5 0 1 3 1 212由上表可知)()()()()531132143315554532222232320240592C C C C C a −−=−+⋅−⋅+⋅−⋅=−+−+−=−.故答案为：592−.题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题31．()()4212x x −+的展开式中2x 的系数为 （用数字作答）．【答案】8−【解析】由题意得：()42x +展开式的通项为：414C 2rrr r T x−+=，当42r −=时，即：2r =，得：222234C 224T x x ==， 当40r −=时；即：4r =，得：40454C 216T x ==，所以得：()()4212x x −+展开式中含2x 项为：22216248x x x −=−，所以2x 的系数为：8−.32．81()y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为 （用数字作答）．【答案】-28【分析】()81y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭可化为()()88y x y x y x +−+，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为()()()8881=y y x y x y x y x x ⎛⎫−++−+ ⎪⎝⎭，所以()81y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x −=−，()81y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为-28故答案为：-2833．712(1)x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．7−B ．7C ．77D ．77−【答案】B【解析】()71x −的展开式通项为()()177C 1C rrr rr r T x x +=⋅−=−⋅，故()7121x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为()()23237721C 1C 7⨯−+−= 34．6211(2)2x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．180【解析】【答案】A 【分析】由题意可得所求的展开式中2x 的系数为6(2)x −展开式二次项系数与四次项系数的一半的和.【详解】6(2)x −展开式的通项公式为()61612C rr r rr T x −+=−， 则原展开式中2x 的系数为()()24422466112C 12C 2702−⨯+⨯−⨯=.35．6(2)(2)x y x y −+的展开式中25x y 的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】108−【解析】666(2)(2)(2)22()x y x y x x y y y x −++=−+，所以展开式中含25x y 的项有556C 2x xy 和()24462C 2y x y −， 所以25x y 的系数为542662C 2C 212120108−⨯=−=−，故答案为：108−36．()3532()x x a −+的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中4x 的系数为（ ）A ．130−B ．46C ．61D ．190【答案】A【解析】令1x =，则5(1)243a +=，解得2a =.所以()3532(2)x x −+展开式中4x 的系数是：414553C 2(2)C 2130⨯⨯+−⨯⨯=−. 37．将多项式26576510a x a x a x a x a +++++分解因式得25(2)(1)x x −+，则5a =（ ）A ．16B ．14C ．6−D ．10−【解析】【答案】C 【分析】将()51x +展开，观察345,x x x , 的系数，对应()22x −的展开相乘，相加得到答案.【详解】解析：由题意，()()()()255221441x x x x x −+=−++，52232551a x x C x =⋅⋅14541x C x −⋅⋅055546C x x +⨯=−，所以56a =−，故选：C.题型8 由项的系数或系数和确定参数 38．设()2340123412nn n x a a x a x a x a x a x −=++++++，若0417a a +=.则n = .【答案】4【解析】()12nx −展开式的通项公式为：()C 2rr n x −，分别令0,4r r ==，01a ∴=，4416C n a =， 则0417a a +=，即4116C 17n +=，解得：4n =.故答案为：4.39．()5223x x a −+的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含7x 项的系数是（ ） A ．600− B ．840− C ．1080− D ．2040−【答案】D【分析】利用赋值法令1x =由各项系数之和为1可求得2a =，由通项可得展开式中含7x 项的系数是2040−. 【详解】因为()5223x x a −+的展开式的各项系数之和为1， 令1x =，得5(1)1a −+=，解得2a =，所以()52232x x −+的展开式中含7x 项为()()()()32332122375253C 2C 32C 2C 32040x x x x x −⨯+−=−，所以该展开式中含7x 项的系数是2040−.40．已知()12nx +的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则3123nx x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中1x 的系数为（ ） A ．294− B ．826− C ．840− D ．854−【答案】D【分析】第一步：根据已知求得n ，第二步：分类求展开式中1x的系数，第三步：求和即可得解. 【详解】由题知，121C C 29n n ++=，解得7n =或8n =−（舍去）．则72x x ⎫⎪⎭的展开式的通项()73721772C 2C rr r r rr r T x x x −−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，当313x +中取3时，72x x ⎫⎪⎭的展开式中取含1x 的项，令7312−=−r ，解得3r =，()37332C 840⨯−=−； 当313x +中取31x 时，72x x ⎫⎪⎭的展开式中取含2x 的项，令7322r −=，解得1r =，()172C 14−=−． 所以3123nx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为84014854−−=−. 故选：D ．41．若()421ax x −+的展开式中5x 的系数为56−，则实数=a ．【答案】2【解析】()()442211ax x x ax ⎡⎤−+=+−⎣⎦,所以()421x ax ⎡⎤+−⎣⎦的展开式的通项为:()()()()2221444C C C C C rr tttrr t r t r tr r r T x ax x ax a x−−+=−=−=−， 其中0,1,2,3,4;0,1,r t r ==，令25r t −=，所以1,3t r =⎧⎨=⎩或34t r =⎧⎨=⎩， 当13t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()3143C C 12a a ⋅⋅−=−， 当34t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()343344C C 4a a ⋅⋅−=−， 因为5x 的系数为56−，所以312456a a −−=−，即33140a a +−=，即()()22270a a a −++=，所以2a =.42．42x x ⎛⎫⎪⎝⎭−的展开式中的常数项与321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项相等，则a 的值为（ ）A ．3−B ．2−C ．2D ．3【解析】【答案】D【分析】计算出两个二项式的常数项，从而得到关于a 的方程，解出即可. 【详解】42x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭−的展开式中的常数项为22424C ()24x x −=，321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项032233321C C 3a x a x ⎛⎫+−=− ⎪⎝⎭, 所以3324a −=,即3a =43．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答） 【答案】3− 【分析】令1x =，则()()3112a +−即为展开式中所有项的系数和，可计算出a 的值，结合二项展开式的通项公式计算即可得.【详解】令1x =，则()()31120a +−=，即1a =−，则对31x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，有()()33321331C C 1kk k k kk k T x xx −−−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭， 令321k −=，即1k =，有()21123C 13T x x =−=−，即有223T x x ⨯=−，令322k −=，则12k =，舍去； 故展开式中2x 的系数为3−.44．5122a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为3，则该展开式中常数项为（ ）A ．40B ．160C ．0D ．320【解析】【答案】C 【分析】取1x =代入计算得到1a =，确定512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的通项，分别取3r =和2r =计算得到答案.【详解】5122a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为3，令1x =，可知23a +=，1a =，故5551111221222x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−=−+− ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的通项为()()55521551C 2C 21rr r r r rr r T x xx −−−+⎛⎫=⋅⋅−=⋅⋅− ⎪⎝⎭， 分别取3r =和2r =得到常数项为：()()32353252552C 21C 210−−⨯⋅⋅−+⋅⋅−= 45．（多选）在()()5312x x a −−的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）A ．3a =B ．展开式中的常数项为32−C ．展开式中4x 的系数为160D ．展开式中无理项的系数之和为242−【解析】【答案】BC【分析】先根据各项系数和结赋值法得2a =判断A ，然后结合二项式展开式的通项公式求解常数项、含4x 的系数及无理项系数之和判断BCD. 【详解】根据题意令1x =，得())5312x x a −的展开式中各项系数和为()511a −−=，则2a =，A 错误；则())()()553312122x x ax x −=−⋅，又)52x 的展开式的通项为()52152C k k k k T x −+=−，0,1,,5k =，所以展开式中的常数项为()55512C 32⨯−=−，B 正确；含4x 的项为()3334522C 160x x x −=⋅−，其系数为160，C 正确；展开式中无理项的系数之和为()()()()()024*********C 2C 2C 14080121⎡⎤−−+−+−=−++=−⎣⎦，D 错误. 故选：BC.46．已知()2nx y −的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的52x y 项的系数为（ ）。
高考数学《二项式定理》真题含答案
高考数学《二项式定理》真题含答案一、选择题1．(x ＋1)6的展开式中的第二项为( )A ．6xB ．15x 2C ．6x 5D ．15x 4答案：C2.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：由二项展开式通项知T k ＋1＝(－2)k C k 5 ·(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k＝(－2)k C k 5 x 10－5k ，令10－5k ＝0，得k ＝2.∴常数项为T 3＝(－2)2C 25 ＝40.3．(多选)已知(a ＋2b )n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可能为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案：BCD4．若(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为80，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4答案：B解析：⎝⎛⎭⎫a x －x 5 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5 ·(－1)k ·a 5－k ·x 2k －5，显然，2k －5为奇数，故(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3＝80，所以a ＝2. 5．若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( ) A ．152 B ．154C ．120D ．240答案：B解析：由题意得S ＝26＝64，P ＝C 46 (－2)4＝15×16＝240，∴P S ＝24064 ＝154. 6．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案：B解析：在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中令x ＝1，得A ＝4n ，各项二项式系数之和为B ＝2n ，由 4n ＋2n ＝72，得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3 ，其通项为T k ＋1＝C k 3 (x )3－k ⎝⎛⎭⎫3x k ＝3k C k 3 x 3－3k 2，令3－3k 2＝0，得k ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13 ＝9. 7.⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10C ．15D ．20答案：C解析：要求⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出(x ＋y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得(x ＋y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y 的系数为C 15 ＝5，故⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C. 8．设S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1，则S ＝( )A ．(x －2)4B ．(x －1)4C ．x 4D ．(x ＋1)4答案：C解析：S ＝C 04 (x －1)4＋C 14 (x －1)3＋C 24 (x －1)2＋C 34 (x －1)1＋C 44 (x －1)0＝(x －1＋1)4＝x 4.9．(多选)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120答案：ABC解析：对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项T k ＋1＝C k 5 (－2x )k ＝(－2)k C k 5 x k ，所以a 5＝2×(－2)5C 55 ＋1×(－2)4C 45 ＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.二、填空题10．[2024·全国甲卷(理)](13＋x )10的展开式中，各项系数中的最大值为______． 答案：5解析：方法一 二项式(13 ＋x )10的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (13)10－k x k . 由⎩⎨⎧Ck 10 （13）10－k >C k －110 （13）11－k ，C k 10 （13）10－k >C k ＋110 （13）9－k ，解得294 <k <334. 又k ∈N *，所以k ＝8.所以所求系数的最大值为C 810 (13 )2＝5.方法二 展开式中系数最大的项一定在下面的5项中：C 510 (13 )5x 5，C 610 (13)4x 6，C 710 (13 )3x 7，C 810 (13 )2x 8，C 910 (13 )1x 9，计算可得，所求系数的最大值为C 810 (13)2＝5. 11．在二项式(2 ＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.答案：162 5解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2 )9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2 )9＝162 ；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.12．在(x －1x)7的展开式中，系数最大的是第________项． 答案：5解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的通项为T k ＋1＝C k 7 ·x 7－k ·(－1)k x －k ＝(－1)k C k 7 x 7－2k ，故第k ＋1项的系数为(－1)k C k 7 ，当k ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 67 <C 27 <C 47 ，所以当k ＝4时，系数最大，是第5项．。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：二项式定理
§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示展开式的第k ＋1项二项式系数C k n (k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项2C nn取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12Cn n－与12Cn n＋相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.常用结论1．C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.2．C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．(×)(2)(a ＋b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(3)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 中的a 和b 不能互换．(√)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(×)教材改编题1.的展开式中x 2的系数等于()A ．45B ．20C ．－30D ．－90答案A解析因为展开式的通项为T k ＋1＝()311010100221C C ()(1)k kk kk kkxxx -+⋅－－－＝－，令－10＋32k ＝2，得k ＝8，所以展开式中x 2的系数为(－1)8×C 810＝45.2．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝243，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于()A ．31B ．32C ．15D ．16答案A解析逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝243，即3n ＝35，所以n ＝5，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝25－1＝31.3．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．答案20解析因为二项式系数之和为2n ＝64，所以n ＝6，则T k ＋1＝C k 6·x6－k＝C k 6x6－2k，当6－2k ＝0，即k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.题型一通项公式的应用命题点1形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1(1)二项式的展开式中的常数项是()A ．－45B ．－10C ．45D ．65答案C解析由二项式定理得T k ＋1＝C k －k(－x 2)k＝55210(1)C k kk x－－，令5k2－5＝0得k ＝2，所以常数项为(－1)2C 210＝45.(2)已知的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝__________.答案±1解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x 5－k ＝(－a )k C k 5352k x.由5－32k ＝5，得k ＝0，由5－32＝2，得k ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.命题点2形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式问题例2(1)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是()A ．56B ．84C ．112D ．168答案D解析在(1＋x )8的展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4的展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168.(2)在(2x ＋a 的展开式中，x 2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为()A ．3204B ．－160C ．160D ．－320答案D解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·x 6－k ＝C k 6·2k ·x6－2k ，2xT k ＋1＝C k 6·2k ＋1·x 7－2k，由k ∈N ，得7－2k ≠2，故不成立，aT k ＋1＝a C k 6·2k ·x6－2k，令6－2k ＝2，解得k ＝2，则a C 26·22＝60a ＝－120，解得a ＝－2，∵7－2k ≠0，在－2T k ＋1中，令6－2k ＝0，解得k ＝3，∴展开式中的常数项为－2C 36·23＝－320.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰx ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x ＋y )8展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k y k ，k ＝0,1，…，7,8.令k ＝6，得T 6＋1＝C 68x 2y 6；令k ＝5，得T 5＋1＝C 58x 3y 5x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为C 68－C 58＝－28.(2)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．答案1625解析由题意得，(2＋x )9的通项公式为T k ＋1＝C k 9(2)9－k ·x k(k ＝0,1,2，…，9)．当k ＝0时，可得常数项为T 1＝C 09(2)9＝16 2.若展开式的系数为有理数，则k ＝1,3,5,7,9，有T 2，T 4，T 6，T 8，T 10，共5个．题型二二项式系数与项的系数问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)在x 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则()A ．二项式系数和为32B ．各项系数和为128C ．常数项为－135D ．常数项为135答案D解析令x ＝1，得各项系数和为2n ，又二项式系数和为2n ，则2×2n ＝128，得n ＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A ，B 不正确；x 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k ＝C k 6·(－1)k 36－k ·362x ，令6－32k ＝0，得k ＝4，因此展开式中的常数项为T 5＝C 46·(－1)4·32＝135，故C 不正确，D 正确．(2)若(1＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 2＋a 6＋a 8＝________；a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝________.答案3005120解析①由已知得(1＋x )10展开式的通项为T k ＋1＝C k 10x k，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数．故a 2＋a 6＋a 8＝C 210＋C 610＋C 810＝300.②对原式两边求导得，10(1＋x )9＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9.令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝10×29＝5120.命题点2系数与二项式系数的最值问题例4(多选)(2023·唐山模拟)下列关于2的展开式的说法中正确的是()A ．常数项为－160B ．第4项的系数最大C ．第4项的二项式系数最大D ．所有项的系数和为1答案ACD解析2展开式的通项为T k ＋1＝C k 6－k·(－2x )k ＝(－2)k C k 6·x2k －6.对于A ，令2k －6＝0，解得k ＝3，∴常数项为(－2)3C 36＝－8×20＝－160，A 正确；对于B ，由通项公式知，若要系数最大，k 所有可能的取值为0,2,4,6，∴T 1＝x －6，T 3＝4C 26x －2＝60x －2，T 5＝(－2)4C 46x 2＝240x 2，T 7＝(－2)6x 6＝64x 6，∴展开式第5项的系数最大，B 错误；对于C ，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C 正确；对于D ，令x ＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D 正确．思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．跟踪训练2(1)(多选)对于2的展开式，下列说法正确的是()A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为64C ．常数项为1215D ．系数最大的项为第3项答案ABC解析2的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A 正确；在2中，令x ＝1，得(1－3)6＝64，故B 正确；展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝(－3)k C k 6x12－3k (0≤k ≤6，k ∈N )，令12－3k ＝0，得k ＝4，所以常数项为(－3)4C 46＝1215，故C 正确；由C 的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2C 26＝135，第5项系数为(－3)4C 46＝1215，第7项系数为(－3)6C 66＝729，则系数最大的项为第5项，故D 不正确．(2)设(2＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2的值为________．答案1解析令x ＝1有a 0＋a 1＋…＋a 10＝(2＋1)10，令x ＝－1有a 0－a 1＋a 2－…＋a 10＝(2－1)10，故(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)·(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝(2＋1)10(2－1)10＝1.题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512023＋a 能被13整除，则a 等于()A ．0B ．1C ．11D ．12答案B解析因为a ∈Z ，且0≤a ≤13，所以512023＋a ＝(52－1)2023＋a＝C 020********－C 12023522022＋C 22023522021－…＋C 2022202352－C 20232023＋a ，因为512023＋a 能被13整除，所以－C 20232023＋a ＝－1＋a 能被13整除，结合选项，所以a ＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34答案D解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C66×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11答案C解析11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1＝C0n·11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11＋C n n－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13＋(－1)n·C n n－2，因为n为奇数，则上式＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－3＝[C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－13]＋10，所以11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943答案B解析0.996＝(1－0.01)6＝C06×1－C16×0.01＋C26×0.012－C36×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.课时精练2的展开式中x4的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80答案C解析由题意可得T k ＋1＝C k 5·(x 2)5－k＝(－1)k C k 5·2k ·x10－3k ，令10－3k ＝4，则k ＝2，所以所求系数为(－1)2C 25·22＝40.2．(多选)若2的展开式中的常数项为1516，则实数a 的值可能为()A ．2 B.12C ．－2D ．－12答案AC 解析2的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝Cx 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4.故C46＝1516，即＝116，解得a ＝±2.3．在(x ＋3)的展开式中，常数项为()A ．－152 B.152C ．－52D.52答案A 解析原式＝＋，①而的通项公式为T k ＋1C k 6x 6－2k .当6－2k ＝－1时，k ＝72∉Z ，故①式中的前一项不会出现常数项；当6－2k＝0，即k ＝3时，可得①式中的后一项即为所求，此时原式常数项为3×C 36＝－152.4．在的展开式中，x 的指数是整数的项数是()A ．2B ．3C ．4D．5答案D解析因为的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 24(x )24－＝512624C kkx －，所以当k＝0,6,12,18,24时，x 的指数是整数，故x 的指数是整数的有5项．5．在二项式(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A ．－960B ．960C ．1120D ．1680答案C解析根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x )n 的展开式中，二项式系数之和为256，即2n ＝256，得n ＝8，则(1－2x )8的展开式的中间项为第5项，且T 5＝C 48(－2)4x 4＝1120x 4，即展开式的中间项的系数为1120.6．设a ＝3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3，则当n ＝2023时，a 除以15所得余数为()A ．3B ．4C ．7D ．8答案A解析∵C 0n 3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3＋C n n 30＝(3＋1)n ＝4n，∴a ＝4n －1，当n ＝2023时，a ＝42023－1＝4×161011－1＝4×[(15＋1)1011－1]＋3，而(15＋1)1011－1＝C 010********＋C 11011151010＋…＋C 1010101115，故此时a 除以15所得余数为3.7．(多选)在二项式的展开式中，正确的说法是()A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是164C ．第4项二项式系数最大D ．奇数项二项式系数和为32答案BCD解析二项式的展开式通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k＝62361C 2kkk x ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭－－.对于A 选项，令6－2k3＝0，可得k ＝3，故常数项是第4项，A 错误；对于B 选项，各项的系数和是＝164，B 正确；对于C 选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C 正确；对于D 选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D 正确．8．(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x )2023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023，则()A ．展开式中所有项的二项式系数和为22023B ．展开式中系数最大项为第1350项C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝32023－12D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－1答案AD解析易知(1－2x )2023的展开式中所有项的二项式系数和为22023，故A 正确；由二项式通项，知T k ＋1＝C k 2023(－2x )k ＝(－2)k C k 2023x k ，所以第1350项的系数为(－2)1349C 13492023<0，所以第1350项不是系数最大项，故B 错误；当x ＝1时，有a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2023＝－1，①当x ＝－1时，有a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2022－a 2023＝32023，②①－②，可得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝－1＋320232，故C 错误；当x ＝0时，a 0＝1，当x ＝12时，a 0＋a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝0，所以a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－a 0＝－1，故D 正确．9．若x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＝________，a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.答案80211解析因为x 5＝[2＋(x －2)]5，则a 1＝C 15·24＝80.令x ＝3，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝35＝243；令x ＝2，得a 0＝25＝32，故a 1＋a 2＋…＋a 5＝243－32＝211.10．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________________．答案1120x 41792x 5和1792x 6解析T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26，得n ＝8.∴在(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1120x 4，设第k ＋1k 8·2k ≥C k －18·2k －1，k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1，解得5≤k ≤6.又k ∈N ，∴k ＝5或k ＝6，∴系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6.11．(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是()A ．120B ．－120C ．60D ．30答案A解析由题意知(x ＋y －2z )5＝[(x ＋y )－2z ]5，展开式的第k ＋1项为C k 5(x ＋y )5－k(－2z )k ，令k ＝2，可得第3项为(－2)2C 25(x ＋y )3z 2，(x ＋y )3的展开式的第m ＋1项为C m 3x 3－m y m ，令m ＝2，可得第3项为C 23xy 2，所以(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是(－2)2C 25C 23＝120.12．(2023·浙江名校联盟联考)设(x －1)(2＋x )3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＝________，2a 2＋3a 3＋4a 4＝________.答案－431解析因为x ·C 03·23·x 0－C 13·22·x 1＝－4x ，所以a 1＝－4，对所给等式，两边对x 求导，可得(2＋x )3＋3(x －1)(2＋x )2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3，令x ＝1，得27＝a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4，所以2a 2＋3a 3＋4a 4＝31.13．若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n 等于()A ．405B ．810C ．243D ．64答案B解析(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1.令x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n .又因为(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5.所以a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810.14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若(1－2x )2023＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 2023x 2023，数列{a n }的首项a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S 2023等于()A ．－12023B.12023C ．2023D ．－2023答案A 解析令x ＝12，得－2023＝b 0＋b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝0.令x ＝0，得b 0＝1，所以a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝－1.由a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，得S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1＝1，所以1S n ＋1－1S n ＝－1，是首项为1S 1＝－1，公差为－1的等差数列，所以1S n＝－1＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n ，所以S 2023＝－12023.。
二项式定理公式、各种例题讲解及练习
二项式定理例题讲解分类计数原理分步计数原理做一件事，完成它有n 类不同的办法。
第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法……，第n 类办法中有mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn 种方法。
做一件事，完成它需要分成n 个步骤。
第一步中有m1种方法，第二步中有m2种方法……，第n 步中有mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1 m2 … mn … mn 种方法。
注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。
排列组合从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n 个不同的元素中取m个元素的排列。
从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的组合。
排列数组合数从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记为Pnm 从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记为Cnm 选排列数全排列数二项式定理二项展开式的性质(1)项数：n+1项(2)指数：各项中的a 的指数由n 起依次减少1，直至0为止；b 的指出从0起依次增加1，直至n 为止。
而每项中a 与b 的指数之和均等于n 。
(3)二项式系数：各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和例1．试求：试求：（1）(x 3－22x)5的展开式中x 5的系数；的系数；（2）(2x 2－x1)6的展开式中的常数项；的展开式中的常数项；（3）(x －1)9的展开式中系数最大的项；的展开式中系数最大的项；（4）在1003)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数．的展开式中，系数为有理数的项的个数． 解：（1）T r ＋1＝rr rr rrxC xx C 51552535)2()2()(---=-依题意15－5r ＝5，解得r ＝2 故(－2)2r C 5＝40为所求x 5的系数的系数（2）T r ＋1＝r C 6(2x 2)6－ rrx)1(-＝(－1)r·26－ r·rrxC 3126-依题意12－3r ＝0，解得r ＝4 故4)1(-·2226C ＝60为所求的常数项．为所求的常数项．（3）T r ＋1＝r )1(-rrxC -99∵1265949==C C ，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1 ∴ T 5＝126x 5是所求系数最大的项是所求系数最大的项 （4）T r ＋1＝rr r rrr rxCx C ---××=1003250100310010023)2()3(, 要使x 的系数为有理数，指数50－2r 与3r 都必须是整数，都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ）， 又0≤6k ≤100，解得0≤k ≤1632（k ∈Z ） ∴x 的系数为有理数的项共有17项．项．评述评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．例2．试求：试求：（1）(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；的系数；（2）(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数；的系数；（3）321÷÷øöççèæ-+xx 的展开式中的常数项. 解：（1）∵）∵ (x ＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…＋…∴ (x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179 （2）∵）∵ (x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x x x x x x 65)1()1()]1([1})]1([1){1(-+-=------- ∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数36C -＝-20 （3）∵）∵ 321÷÷øöççèæ-+x x =61÷÷øöççèæ-x x ∴ 所求展开式中的常数项是-36C＝－20 评述评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．例3．（1）已知(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n 的值；的值；（2）已知(ax ＋1)7（a ≠0）的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值；的值； (3)已知(2x ＋gx x1)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值．的值．解：（1）依题意137nnC C =，即6)2)(1(--n n n ＝7n由于n ∈N ，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8 (2) 依题意3474372572a C a C a C =+由于a ≠0，整理得5a 2－10a ＋3＝0，解得a ＝1±510（3）依题意T 5＝4lg 448)()2(xx x C ＝1120，整理得x4(1＋lg x )＝1，两边取对数，得，两边取对数，得lg 2x ＋lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－1 ∴x ＝1或x ＝101评述评述 (a ＋b)n的展开式及其通项公式是a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．例4．（1）若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于的值等于 ；（2）1＋210101021011024C C C +¼++＝ ． 解（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(32+)4，令x ＝-1，得a 0-a 1＋a 2-a 3＋a 4＝4)23(-，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)( a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝[)23)(23(-+]4＝1 （2）在(1＋x )10＝rrr x C 1010å=中，中，令x ＝2，得1＋25904932410101010210110==+¼++C C C评述评述 这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(a ＋b)n＝rrn rnnr b aC -=å10为恒等式．二项式定理练习题1．在()103x -的展开式中，6x 的系数为的系数为（ ）A ．610C 27-B ．410C 27C ．610C 9-D ．410C 92． 已知a 4b ,0b a =>+， ()nb a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于等于（ ）A ．4 B ．9 C ．10 D ．11 3．已知（naa )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是 （ ）A ．10 B ．11 C ．12 D ．134．5310被8除的余数是除的余数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．7 5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是的近似值是（ ）A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34 6．二项式n4x 1x 2÷øöçèæ+(n ÎN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设(3x 31+x 21)n展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是项的系数是（ ）A ．21B ．1 C ．2 D ．38．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为（ ）A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 9．n x x)(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（ ）A ．330 B ．462 C ．680 D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为的系数为（ ）A ．－40 B ．10 C ．40 D ．45 11．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在[0，2π]内的值为值为（ ）A ．6p 或3p B ．6p 或65pC ．3p 或32pD ．3p 或65p12．在(1+x )5+(1+x )6+(1+x )7的展开式中,含x 4项的系数是等差数列项的系数是等差数列a n =3n －5的 （ ）A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果. 13．92)21(x x -展开式中9x 的系数是的系数是. 14．若()44104x a x a a 3x 2+×××++=+，则()()2312420a a a a a +-++的值为__________. 15．若．若 32()nx x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是 . 16．对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；项； ④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74分. 17．（12分）若n xx )1(66+展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（１）（１） 求n 的值；的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？（２）此展开式中是否有常数项，为什么？18．（12分）已知(124x +)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．数．19．（12分）是否存在等差数列{}n a ，使nnn 1n 2n 31n 20n 12n C a C a C a C a ×=+×××++++对任意*N n Î都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．的通项公式；若不存在，请说明理由．20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。
高考数学核心素养提升练习 二项式定理
核心素养提升练六十二二项式定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共35分)1.(2018·全国卷Ⅲ)的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.80【解析】选C.展开式的通项公式为T r+1=(x2)5-r=2r x10-3r，令10-3r=4可得r=2，则x4的系数为22=40.【变式备选】的展开式中常数项为( )A.15B.-15C.20D.-20【解析】选A.T r+1=()6-r=(-1)r，r=0，1，…，6，令3-r=0，得r=2，所以的展开式的常数项为(-1)2=15.2.已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n等于( )A.4B.5C.6D.7【解析】选C.展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得=2n=64，所以n=6.3.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1，则S等于( )A.(x-1)3B.(x-2)3C.x3D.(x+1)3【解析】选C.S=(x-1)3+(x-1)2×1+(x-1)×12+×13=[(x-1)+1]3=x3.【变式备选】(2018·银川模拟)+2+4+…+2n-1等于 ( )A.3nB.2·3nC.-1D.【解析】选D.+2+4+…+2n-1=(+2+22+…+2n)-=(1+2)n-=.4.在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )A.3项B.4项C.5项D.6项【解析】选C.因为T r+1=()24-r=，故当r=0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共有5项.5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为( )A.1或3B.-3C.1D.1或-3【解析】选D.令x=0，得a0=(1+0)6=1.令x=1，得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6，又a1+a2+a3+…+a6=63，所以(1+m)6=64=26，故m=1或m=-3.6.若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A.90B.45C.120D.180【解析】选D.因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，故n=10，展开式的通项公式为T r+1=·2r·令5-=0，得r=2，所以展开式中的常数项是·22=180.7.已知n∈N*，则24n除以15的余数为( )A.1B.3C.4D.2【解析】选A.因为24n=16n=(15+1)n=15n+15n-1+ (15)=15(15n-1+15n-2+…+)+1.所以余数为1.二、填空题(每小题5分，共15分)8.(2018·天津高考)在的展开式中，x2的系数为________.【解析】因为的通项为T r+1=x5-r=(-1)r2-r，令=2，解得r=2，即T3=(-1)22-2x2=x2.所以在的展开式中，x2的系数为.答案:9.设的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则的值为________.【解析】的展开式的通项是x6-k=(-2)k，根据题意得6-=3，k=2，因此x3的系数为a=60，二项式系数为b==15，因此，==4.答案:4【误区警示】二项式系数与项的系数(a+bx)n的展开式中，二项式系数是指，，…，，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a+bx)n的展开式中，第k+1项的二项式系数是，而该项的系数是a n-k b k.10.(2018·汕头模拟)已知(2x-1)5展开式中的常数项为30，则实数a=________.【解析】(2x-1)5的展开式的通项公式为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.所以(2x-1)5展开式中的常数项为·2x=30，解得a=3.答案:3【变式备选】(1+x+x2)的展开式中的常数项为________.【解析】的展开式中，T r+1=x6-r·=(-1)r x6-2r，令6-2r=0，得r=3，T4=(-1)3=-，令6-2r=-1，得r=(舍去)，令6-2r=-2，得r=4，T5=(-1)4x-2，所以(1+x+x2)的展开式中的常数项为1×(-)+=-20+15=-5.答案:-5(20分钟40分)1.(5分)若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于 ( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.的展开式的项为T r+1=x6(n-r)=，由6n-r=0得，n=r，又n为正整数，所以当r=4时，n的最小值为5.【变式备选】在的展开式中，x3的系数为10，则实数a等于 ( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选D.因为T r+1=x5-r=a r x5-2r，所以当5-2r=3时，r=1，所以a=10，所以a=2.2.(5分)在二项式的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为________.【解析】二项式展开式中，偶数项与奇数项的二项式系数之和相等，所以2n-1=256，解得n=9;所以二项式的展开式中，通项公式为T r+1=(9x)9-r=99-r;令9-=1，解得r=6;所以展开式中x的系数为93=84.答案:84【变式备选】若的展开式中，二项式系数和为64，所有项的系数和为729，则a的值为________.【解析】由的展开式中二项式系数和为2n=64，可得n=6，再由的展开式中所有项的系数和为(1+a)6=729，可得a=-4或a=2.答案:-4或23.(5分)如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为________.【解析】因为(1+x+x2)(x-a)5的展开式中所有项的系数和为(1+1+12)(1-a)5=0，所以a=1，所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4，其展开式中含x4项的系数为(-1)3-(-1)0=-5.答案:-54.(12分)已知在的展开式中，第6项为常数项.(1)求n.(2)求含x2项的系数.(3)求展开式中所有的有理项.【解析】(1)通项公式为T r+1==，因为第6项为常数项，所以r=5时，有=0，即n=10.(2)令=2，得r=(n-6)=2，所以含x2项的系数为=.(3)根据通项公式，由题意得令=k(k∈Z)，则10-2r=3k，即r=5-k，因为k可取2，0，-2，即r可取2，5，8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，-，x-2.5.(13分)已知二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3.(1)求n的值.(2)求展开式中x3项的系数.(3)计算式子-2+4-8+…+1 024的值.【解析】(1)由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3，可得=，化简可得=，求得n=10.(2)由于二项展开式的通项公式为T r+1=(-2)r x5-r，令5-r=3，求得r=2，可得展开式中x3项的系数为(-2)2=180.(3)由二项式定理可得=(-2)r x5-r，所以令x=1得-2+4-8+…+1 024=(1-2)10=1.关闭Word文档返回原板块。
(新教材适用)高中数学第六章计数原理6.3二项式定理6.3.1二项式定理课后习题新人教A版选择性
6.3 二项式定理6.3.1 二项式定理A组1.在(1x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是( )解析:(1x3)(1+x)10=(1+x)10x3(x+1)10,展开式中含x5的项的系数为=207.答案:D2.在()12的展开式中,含x的正整数次幂的项为( )A.第1项、第7项与第13项解析:()12的展开式的通项为Tr+1=)12r()r=(0≤r≤12),6(0≤r≤12)为正整数,有3项,即r=0,r=6,r=12.答案:A3.化简多项式(2x+1)55(2x+1)4+10(2x+1)310(2x+1)2+5(2x+1)1的结果是( )A.(2x+2)5C.(2x1)5解析:原式=[(2x+1)1]5=(2x)5=32x5.答案:D4.(多选题)已知的展开式中x2的系数是7,则下列结论正确的是( )A.a=解析:的展开式的通项为Tr+1=x8r·=(a)r x82r,令82r=2,解得r=3,所以展开式中x2的系数为(a)3=7,解得a=,故A正确;即为,展开式的通项为Tr+1=x82r,令82r=6,解得r=1,所以展开式中含x6项的系数是=4,故B正确;82r=1,解得r=,不为整数,故展开式中不含x1项,故C错误;令82r=0,解得r=4,所以展开式中常数项为,故D错误,故选AB.答案:AB5.在(2x+)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字作答)解析:设展开式的第k+1项为Tk+1,k∈{0,1,2,3,4,5},则Tk+1=(2x)5k()k=25k.令5=3,得k=4,即展开式中含x3的系数为254=10.答案:10.解析:233=811=(91)11=×911×910+×99…+×9,因为除最后一项1外,其余各项都能被9整除,故余数为91=8.答案:87.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为 .解析:根据题意,由于2×1010+a=2×(111)10+a,故根据二项式定理的展开式可知,2×(111)10被11除的余数为2,又2+a能被11整除,可知a=9.答案:98.已知在(x)n的展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,求含x2的项.解:(x)n展开式的第二项与第四项分别为T2=xn1·()=nxn1,T4=xn3·()3=2xn3. 依题意得,即n23n4=0,解此方程并舍去不合题意的负值,得n=4.设(x)4展开式中含x2的项为第k+1项,则Tk+1=x4k()k,由4k=2,得k=2,即(x)4展开式中含x2的项为T3=x2()2=12x2.,求:(1)展开式中第四项的二项式系数;(2)展开式中第四项的系数;(3)展开式中的第四项.解:的展开式的通项是Tk+1=(3)10k·310k·.(1)展开式中第四项的二项式系数为=120.(2)展开式中第四项的系数为·37=77760.(3)展开式中的第四项为T4=·37·=77760.的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.求:(1)展开式的第四项;(2)展开式的常数项.解:Tr+1=)nr=,由前三项系数的绝对值成等差数列,得=2×,解这个方程得n=8或n=1(舍去).(1)展开式的第四项为T4==7.(2)当r=0,即r=4时,常数项为.B组1.设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( )解析:(x+i)6展开式的通项Tr+1=x6rir,则其展开式中含x4的项为x4i2=15x4.答案:A2.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是( )A. B.C. D.(1,+∞)解析:(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=x9ryr.依题意有即解得x>1,即x的取值范围是(1,+∞).答案:D的展开式中,x6的系数是( )解析:由=x2+4x2+4·x2+4,则x2+45的展开式中,x6的系数是·(4)2+·41·(4)0=180.答案:A4.(多选题)(1+x2)(2+x)4的展开式中( )解析:(1+x2)(2+x)4=(2+x)4+x2(2+x)4,展开式中x3的系数分为两部分,一部分是(2+x)4中含x3的系数·2=8,另一部分是(2+x)4中含x项的系数·23=32,所以含x3的系数是8+32=40,故A正确;展开式中常数项只有(2+x)4展开式的常数项24=16,故C正确,故选AC.答案:AC5.(多选题)对于(n∈N*),以下判断正确的有( )∈N*,展开式中有常数项∈N*,展开式中没有常数项∈N*,展开式中没有x的一次项∈N*,展开式中有x的一次项解析:设(n∈N*)展开式的通项为Tr+1,则Tr+1=(x3)r=x4rn,不妨令n=4,则r=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;令n=3,则r=1时,展开式中有x的一次项,故C错误,D正确,故选AD.答案:AD6.在(x+y)20的展开式中,系数为有理数的项共有项.解析:二项展开式的通项为Tk+1=x20k(y)k=)kx20kyk(0≤k≤20).要使系数为有理数,则k必为4的倍数,故k可为0,4,8,12,16,20,共6项.答案:6(a>0)的展开式中,x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a= .解析:对于Tr+1=x6r(a)r=(a)r·,B=(a)4,A=(a)2.由B=4A,a>0,知a=2.答案:28.若(x+a)2的展开式中的常数项为1,则a的值为 .解析:由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而的展开式的通项为Tk+1=(1)k的展开式中x2的系数为(1)3=10,x1项的系数为(1)4=5,常数项为1,因此(x+a)2的展开式中的常数项为1×(10)+2a×5+a2×(1)=a2+10a10,依题意a2+10a10=1,a210a+9=0,解得a=1或a=9.答案:1或99.求证:1+2+22+…+25n1(n∈N*)能被31整除.证明:因为1+2+22+…+25n1==25n1=32n1=(31+1)n1=·31n+·31n1+…+·31+ 1=31(·31n1+·31n2+…+),显然·31n1+·31n2+…+为整数,所以原式能被31整除.10.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项.(2)令h(x)=f(x)+g(x),如果h(x)的展开式中含x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值?解:(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3·(1+2x)4.(1+x)3展开式的通项为,(1+2x)4展开式的通项为(2x,f(x)g(x)的展开式含x2的项为1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12,所以+2=12,即m+2n=12,所以m=122n.x2的系数为+4+4=(122n)(112n)+2n(n1)=4n225n+66=4,n∈N*,所以当n=3,m=6时,含x2的项的系数取得最小值.。
高考数学统考一轮复习课后限时集训64二项式定理理含解析新人教版
课后限时集训(六十四) 二项式定理建议用时：25分钟一、选择题1．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32A 〖运用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.〗2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24A 〖展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.〗3．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 C 〖法一：利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝〖(x 2＋x )＋y 〗5， 含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2项的系数为C 25C 13＝30.故选C ．法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C ．〗4．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29D 〖因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选D ．〗5．在(x －2)6展开式中，二项式系数的最大值为a ，含x 5项的系数为b ，则ab＝( )A ．53B ．－53C ．35D ．－35B 〖由条件知a ＝C 36＝20，b ＝C 16(－2)1＝－12，∴a b ＝－53，故选B ．〗 6．已知⎝⎛⎭⎫1＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80D 〖令x ＝1，得展开式的各项系数和为⎝⎛⎭⎫1＋a 1⎝⎛⎭⎫2－115＝1＋a ，∴1＋a ＝2，∴a ＝1， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 5＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5， 所求展开式中常数项为⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的常数项与x 项的系数和， ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (－1)r ·⎝⎛⎭⎫1x r＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r ， 令5－2r ＝1得r ＝2；令5－2r ＝0，无整数解， ∴展开式中常数项为8C 25＝80，故选D ．〗7．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝( ) A ．284 B ．356 C ．364 D ．378 C 〖令x ＝0，则a 0＝1；令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， ① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ② ①②两式左右分别相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730， 所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365.又a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364.〗 二、填空题8．在1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5的展开式中，含x 2项的系数是 ．20 〖含x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝20.〗9．在⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16的展开式中，含x 5项的系数为 ． －6 〖由⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16＝C 06⎝⎛⎭⎫x ＋1x 6－C 16⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5＋C 26⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4－…－C 56⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋C 66，可知只有－C 16⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5的展开式中含有x 5，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16的展开式中含x 5项的系数为－C 05C 16＝－6.〗 10．在(x ＋y )n 的展开式中，若第7项系数最大，则n 的值可能等于 ． 11,12,13 〖根据题意，分三种情况：①若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；②若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13.所以n 的值可能等于11,12,13.〗1．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8B 〖由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，11)．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.〗2．已知(2x －m )7＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 7(1－x )7，若a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 727＝－128，则下列等式不成立的是( )A ．m ＝2B ．a 3＝－280C ．a 0＝－1D ．－a 1＋2a 2－3a 3＋4a 4－5a 5＋6a 6－7a 7＝14A 〖令1－x ＝12，即x ＝12，可得⎝⎛⎭⎫2×12－m 7＝(1－m )7＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 727＝－128，得m ＝3，则令x ＝1，得a 0＝(－1)7＝－1.(2x －3)7＝〖－1－2(1－x )〗7，所以a 3＝C 37×(－1)7－3×(－2)3＝－280.对(2x －3)7＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 7(1－x )7两边求导得14(2x －3)6＝－a 1－2a 2(1－x )－…－7a 7(1－x )6，令x ＝2，得－a 1＋2a 2－3a 3＋4a 4－5a 5＋6a 6－7a 7＝14.〗3．(1＋ax )2(1－x )5的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为 ，展开式中x 2项的系数为 ．3 －11 〖设(1＋ax )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7，令x ＝1得0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ①令x ＝－1得(1－a )225＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7， ②②－①得：(1－a )225＝－2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)，又a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－64，所以(1－a )225＝128，解得a ＝3或a ＝－1(舍)，则(1＋3x )2(1－x )5的展开式中x 2项的系数为C 0232＋C 12×3×C 45(－1)＋C 22×30×C 25(－1)2＝－11.〗4．若x 10－x 5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 5＝ . 251 〖x 10－x 5＝〖(x －1)＋1〗10－〖(x －1)＋1〗5，则a 5＝C 510－C 05＝252－1＝251.〗1．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m (m >0)为整数，若a 和b 被m 除所得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b (mod m )．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220, a ≡b (mod 10)，则b 的值可以是( ) A ．2 011 B ．2 012 C ．2 013 D ．2 014A 〖因为a ＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C 0101010－C 110109＋…－C 91010＋1，所以a 被10除所得的余数为1.观察各选项，知2 011被10除得的余数是1，故选A ．〗2．已知⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x n(a ＞0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法错误的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含x 15项的系数为45A 〖因为⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以C 4n ＝C 6n ，得n ＝10.因为展开式中各项系数之和为1 024，所以令x ＝1，得(a ＋1)10＝1 024，得a ＝1.故给定的二项式为⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 10，其展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝512，故A 不正确．由n＝10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项，而⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 10展开式的系数与对应的二项式系数相等，故B 正确．展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10(x 2)10－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 10x 20－5k2 (k ＝0,1,2，…，10)，令20－5k 2＝0，解得k ＝8，即常数项为第9项，故C 正确．令20－5k2＝15，得k ＝2.故展开式中含x 15项的系数为C 210＝45.故D 正确．〗。
黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练六十12.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理理含解析
土地一级开发具体实施流程表二级开发具体实施流程表附件目录附件1：国有土地使用者土地一级开发、直接入市、收购申请25附件2：编制土地一级开发实施方案26附件3：用地预审30附件4：给区发改委提交的申请31附件5：给市发改委提交的申请31附件6：征求规划意见书（选址）32附件7：市交通委交通评价意见32附件8：市文物局文物保护意见32附件9：市环保局环境评价意见33附件10：市政专业部门市政接用意见41附件11：用地批准50附件12：核发集体土地房屋拆迁许可证51附件13：核发城市房屋拆迁许可证52附件14：市政基础设施建设（同附件10）53附件15：办理征地结案表53附件16：环境影响的批复54附件17：区发改委项目核准60附件18：区发改委招标方案核准61附件19：市发改委项目核准61附件20：市、区建委项目核准61附件21：人民防空工程建设标准审查62附件22：办理建设用地规划许可和办理建设工程规划许可63附件23：出让国有土地使用权设定登记65附件24：商品房计划65附件25：施工图纸及消防审核66附件26：区建委办理招投标备案68附件27：办理安全监督备案70附件28：施工许可受理、审批71附件29：办理预售许可71附件30：建设工程规划验收72附件31：消防验收73附件32：建设项目环保设施验收75附件33：组织综合验收76附件34：办理房屋所有权证77附件1：国有土地使用者土地一级开发、直接入市、收购申请国有土地使用权入市交易程序:一、递交申请：原土地使用权人或土地一级开发单位持有关材料向市国土局递交出让申请；二、批转：市国土局土地市场处初审后批转市土地整理储备中心；三、核验：市土地整理储备中心对原土地使用权人或土地一级开发单位所递交的材料进行核验；四、联席会审议：市国土局会同市规划委、市发改委、市建委、市交通委、市绿总指、市园林局、市文物局、市环保局、市规划院等联合对入市交易土地的规划、建设、交通、文物、环保等方面进行联合审议；五、申领规划条件：市土地整理储备中心根据联席会审议结果向市规划委申领规划条件；六、市政方案咨询及土地评估：原土地使用权人或土地一级开发单位根据规划意见书完成市政方案咨询和土地评估；七、底价审核：市国土局会同市价格管理部门对入市交易土地的底价进行审核；八、编制方案：市土地整理储备中心根据规划、底价审核等编制招标、拍卖、挂牌出让方案以及招标、拍卖、挂牌交易文件；九、方案报批：市土地整理储备中心将方案报市国土局土地市场处审核后，报局长审批；十、签订土地入市交易协议：同意入市交易的土地，原土地使用权人或土地一级开发单位与市土地整理储备中心签订土地入市交易协议；十一、组织招、拍、挂交易：市土地整理储备中心发布交易公告并组织交易；十二、发成交确认书：交易完成后，市国土局向竞得人核发成交确认书；十三、签订出让合同及补偿协议：竞得人持成交确认书在规定期限内与市国土局签订出让合同并与原土地使用权人或土地一级开发单位签订补偿协议；十四、支付费用：竞得人按出让合同及补偿协议的规定向市国土局及原土地使用权人或土地一级开发单位支付相关款项。
人教A版(2019)选择性必修第三册《二项式定理》提升训练(含解析)
人教A 版（2019）选择性必修第三册《6.3.1 二项式定理》提升训练一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）(√x +2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A. 360B. 180C. 90D. 452.（5分）关于(a −b)10的说法，错误的是( )A. 展开式中的二项式系数之和为1024B. 展开式中第6项的二项式系数最大C. 展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D. 展开式中第6项的系数最小3.（5分）在(x 2−x −2)5的展开式中，x 3的系数为( )A. −40B. 160C. 120D. 2004.（5分）若(√x −2x)n 的展开式中第3项为常数项，则该展开式中各项系数的和为()A. 729B. 64C. 1D. −15.（5分）(x 2+12x )6的二项展开式中的常数项为( )A. 1516B. 316C. 152D. 1546.（5分）已知(x +1)4+(x −2)8=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2…+a 8(x −1)8，则a 3=( )A. 64B. 48C. −48D. −647.（5分）(√x 3−1x )n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A. 28B. −28C. 70D. −708.（5分）在(x 2−1x )6的展开式中，x 3的系数为( )A. −15B. 15C. −20D. 20二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）在(2x 2−1x)6的展开式中的，下列说法正确的是( )A. 二项式系数和为64B. 常数项为60C. 二项式系数和为1D. 各项系数和110.（5分）已知(√x +√x 3)n (其中n <15)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则下列结论正确的是( )A. n 的值为14B. 二项展开式中常数项为第8项C. 二项展开式中有理项有3项D. 二项式系数最大的项是第7项11.（5分）关于二项式(x 2−2x )6的展开式，下列结论错误的是( )A. 展开式所有的系数和为1B. 展开式二项式的系数和为32C. 展开式中不含x 3项D. 常数项为12012.（5分）若(1−x 2)2022=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 4044x 4044，则()A. a 0=1B. ∑2022i=0a 2i =0C. ∑4044i=1(ia i 2i−1)=4044×32021D. ∑2022i=0(−1)i (C 2022i )2=−C 2022101113.（5分）(x +ax )(2x −1x )5的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的是( )A. a =1B. 展开式中含x 6项的系数是−32C. 展开式中含x −1项D. 展开式中常数项为4三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）若(x −12x )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______.(用数字作答)15.（5分）(1+x)10(1+1x )10展开式中的常数项为_______(用组合数式子表示). 16.（5分）(√x −√x 3)5的展开式中的常数项是______(用数字作答)．17.（5分）设(1−ax )2018=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2018x 2018，若a 1+2a 2+3a 3+⋯+2018a 2018=2018a (a ≠0)，则实数a =______．18.（5分）在(x −3)6展开式中，二项式系数的最大值为a ，含x 4的项的系数为b ，则a +b =________.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）若(1−2x )4(1+ax )3的展开式中各项系数和为8.(1)求实数a 的值；(2)求展开式中x 2项的系数．20.（12分）(1+2√x)3(1−√x 3)5的展开式中x 的系数是 ______ ．21.（12分）已知二项式(x 2+ax )5展开式所有项的系数和为−1，则展开式中x 的系数为______ ． 22.（12分）已知(√x 3+x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x −1)n 的展开式的系数和大992.求(2x −1x )2n 的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.23.（12分）设(1+2x−3x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n(n∈N∗)(1)求a0；(2)求a2(用n表示)答案和解析1.【答案】B;)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，【解析】解：(√x+2x2∴展开式中共有11项，n=10；∴展开式的通项公式为)r=2r⋅C10r⋅x5−52r；T r+1=C10r⋅(√x)10−r⋅(2x2r=0，令5−52解得r=2；∴常数项是T2+1=22⋅C102=180.故选：B.根据题意，得出二项式的指数n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项是多少．此题主要考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是基础题目．2.【答案】C;【解析】该题考查二项式定理的应用，属于基础题．利用二项式定理的性质逐项判断即可得答案．解：关于(a−b)10的说法：由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210=1024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．故选：C．3.【答案】C;【解析】此题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．先把(x2−x−2)5变形为(x+1)5(x−2)5，再利用二项式定理，结合展开式的通项求出结果．解：∵(x2−x−2)5=(x+1)5(x−2)5，∴x3的系数为C52C55(−2)5+C53C54(−2)4+C54C53(−2)3+C55C52(−2)2=120，故x3的系数为120.故选C.4.【答案】C;【解析】解：展开式的第3项为T 3=C n 2(√x)n−2(−2x)2=C n2·(−2)2xn 2−3，令n2−3=0，解得n =6，令x =1，则二项式(√x −2x )6的展开式的各项的系数和为(1−2)6=1，故选：C.求出展开式的第3项，令x 的指数为0，求出n 的值，再令x =1即可求解． 此题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 12−3r(12)r ，令12−3r =0，解得r =4，∴二项式的展开式中的常数项为(12)4C 64=1516故选：A利用二项式的通项公式即可得出．该题考查了二项式的通项公式、常数项的求法，属于基础题．6.【答案】C; 【解析】此题主要考查二项式定理的应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 把已知等式左边变形，再由二项展开式的通项求解．解：由(x +1)4+(x −2)8=[(x −1)+2]4+[(x −1)−1]8=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 8(x −1)8，得a 3=C 41.2+C 85.(−1)5=−48.故选：C.7.【答案】A;【解析】解：(√x 3−1x)n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n 为偶数，展开式共有9项，故n =8.(√x 3−1x )n 即(√x 3−1x)8，它的展开式的通项公式为T r+1=C 8r ⋅(−1)r ⋅x8−4r3，令8−4r 3=0，求得r =2，则展开式中的常数项是C 82=28，故选：A.由题意求得n =8，在二项展开式的通项公式中，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．8.【答案】C; 【解析】此题主要考查了二项展开式的特定项的系数，属于基础题.根据题意得T r+1=(−1)r C 6r x 12−3r，即可求解.解：(x 2−1x )6展开式的通项为：T r+1=C 6r (x2)6−r(−1x )r=(−1)r C 6r x 12−3r， 令12−3r =3，解得r =3，∴x 3的系数是(−1)3.C 63=−20.故选C.9.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查二项式定理的应用，属于中档题.根据二项式系数和的公式2n ，直接计算求值，判断AC;利用通项求常数项，判断B;再根据赋值法，令x =1，求各项系数和即可判断D.解：由条件可知(2x 2−1x )6中，二项式系数的和为26=64，故A 正确，C 不正确;通项为T r+1=C 6r (2x 2)6−r .(−1x)r =C 6r .(−1)r .26−r .x 12−3r ，当12−3r =0时，r =4，所以展开式中的常数项是C 64.(−1)4.22=60，故B 正确;令x =1，(2−1)6=1，所以各项系数和为1，故D 正确. 故选：ABD10.【答案】AC; 【解析】此题主要考查了等差数列的性质，二项式定理及其应用，考查了二项展开式的特定项的系数，属于基础题.由二项式系数结合等差数列的性质化简计算可判断A ，利用二项式定理展开式的通项公式得：T r+1=C 14rx42−r6，可判定B ，C ，D 得结果.解：由题意2C n 9=C n 8+C n 10，化简得(n −14)(n −23)=0，∵n <15， ∴n =14，A 正确；展开式通项为T r+1=C 14r (√x)14−r (√x 3)r =C 14rx42−r6(0⩽r ⩽14,r ∈N)，显然其中无常数项，B 错误； 当r =0,6,12时，42−r 6=7,6,5为整数，因此展开式中有3项为有理项，C 正确；展开式有15项，二项式系数最大的项为第8项，D 错误． 故选AC .11.【答案】BCD; 【解析】此题主要考查二项展开式的特定项与特定项的系数及二项式定理的应用，属于基础题， 对各个选项逐一验证可以得出答案.解：因为(x 2−2x)6，它的展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 2(6−r )(−2x)r =(−2)r C 6r x 12−3r (r =0,1,2,3,4,5,6)，对A:易知当x =1时，展开式所有的系数和为1，所以A 正确； 对B:易知所有项的二项式系数和为26=64，所以B 错误； 对C:根据通项可得当r =3时，展开式中含x 3项 ，所以C 错误；对D:由12−3r =0⇒r =4，则常数项为(−2)4C 64=240，所以D 错误；故选BCD .12.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查二项式定理，利用二项式定理求特定项的系数，考查计算能力，属于中档题，分别令x =0，x =1，x =2，可判断A 、B 、C ；(1−x 2)2022=(1+x)2022(1−x)2022，(1−x 2)2022展开式中含x 2022项的系数为C 20221011(−1)1011=−C 20221011，进而可判断D.解：令x =0，得a 0=1，所以A 正确; 令x =1，得∑4044i=0a i =0，根据(1−x 2)2022=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 4044x 4044，则a 2i−1=0，(i =1,2,⋯2022) 故∑2022i=1a 2i =0，所以B 正确;因为(1−x 2)2022=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 4044x 4044，所以2022(1−x 2)2011(−2x)=a 1+2a 2x +3a 3x 2+⋯+4044a4044x 4043，令x =2，得2022(1−4)2021(−4)=a 1+2a 2×2+3a 3×22+⋯+4044a 4044×24043，所以C 不正确;因为(1−x 2)2022=(1+x)2022(1−x)2022，因为(1−x 2)2022展开式中含x 2022项的系数为C 20221011(−1)1011=−C 20221011，(1+x)2022(1−x)2022展开式中含x 2022项的系数为∑2022i=0(−1)i(C 2022i)2，所以D 正确. 故选：ABD.13.【答案】AD; 【解析】此题主要考查了二项展开式的特定项与特定项的系数 ，根据(x +ax )(2x −1x )5的展开式中各项系数的和为2，令x =1，解得 a ，判断A 的正误.再根据A 的结果，写出展开式中的通项公式C 5r 25−r (−1)r x 6−2r 或C 5r (2)5−r (−)r x 4−2r，然后分别令6−2r =6或4−2r =6，令6−2r =−1或4−2r =−1，令6−2r =0或4−2r =0，判断BCD 的正误.解：因为(x +ax )(2x −1x )5的展开式中各项系数的和为2，令x =1得，1+a =2，所以a =1，故A 正确.此时(x +ax )(2x −1x )5=(x +1x )(2x −1x )5，展开式中的通项为xC 5r (2x )5−r (−1x )r=C 5r 25−r (−1)r x 6−2r 或1x C 5r (2x )5−r (−1x )r=C 5r (2)5−r (−)r x 4−2r ，令6−2r =6或4−2r =6解得r =0，所以含x 6项的系数是32，故B 错误.令6−2r =−1或4−2r =−1，都无解，故展开式中不含x −1项，故C 错误. 令6−2r =0或4−2r =0，解得r =3或r =2 ，所以展开式中常数项为40. 故选AD .14.【答案】358;【解析】此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．由题意可得n =8，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．解：(x −12x )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有9项，则n =8，(x −12x)8展开式的通项为T r+1=C 8r x 8−r ⋅(−12x)r =(−12)r C 8r x 8−2r(r ∈N,r ⩽8)，展开式中常数项，必有8−2r =0，即r =4， 所以展开式中常数项为：T 5=(−12)4C 84=116⋅70=358.故答案为：358.15.【答案】C 2010;【解析】此题主要考查了二项式的特定项的系数，属于中等题.解：(1+x)10(1+1x )10=(2+x +1x )10=(√x √x)20， 则展开式中的通项为T r+1=C 20r(√x)20−r (√x )r =C 20r x 10−r ，当10−r =0时，r =10，则展开式的常数项为C 2010. 故答案为C 2010.16.【答案】-80;【解析】解：(√x √x 3)5的二项展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(√x)5−r ⋅(−1)r ⋅(√x3)r =(−2)r⋅C 5r⋅x15−5r 6，令15−5r =0，解得r =3，故展开式中的常数项为−80． 故答案为：−80．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．17.【答案】2; 【解析】该题考查二项式定理的应用及导数的计算，属于基础题． 把已知等式边同时对x 求导，再令x =1，求得a 的值．解：将(1−ax )2018=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2018x 2018两边同时对x 求导， 可得2018(1−ax )2017(−a)=a 1+2a 2x +3a 3x 2+⋯+2018a 2018x 2017， 令x =1得，−2018a (1−a)2017=a 1+2a 2+3a 3+⋯+2018a 2018=2018a ，又a ≠0，所以(1−a)2017=−1，1−a =−1，故a =2， 故答案为：2．18.【答案】155; 【解析】此题主要考查了二项式的性质，属于基础题.由二项式系数的特点，求出a 值，再写出通项公式T r+1=C 6r x 6−r(−3)r ，由6−r =4，解得r 值，从而可求b 值，进而求出a +b 的值.解：(x −3)6展开式中， 二项式系数的最大值为a ，则a =C 63=20，展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 6−r (−3)r ，令6−r =4，解得r =2，∴x 4的项的系数为b =C 62(−3)2=135，所以a +b =155. 故答案为155.19.【答案】解：(1)因为(1−2x )4(1+ax )3的展开式中各项系数和为8， 所以，将x =1代入得(1+a)3=8，即a =1.(2)(1−2x )4(1+x)3展开式中x 2项的系数为1.C 32+(−2)C 41.C 31+(−2)2C 42.1=3.;【解析】此题主要考查了二项展开式的特定项与特定项的系数和二项式定理的应用，是中档题.(1)令x =1可得各项系数和即可得出a ；(2)取(1−2x )4的常数项与(1+x)3的x 2、取(1−2x )4的x 与(1+x)3的x 、取(1−2x )4的x 2与(1+x)3的常数项，再相加即可.20.【答案】2;【解析】解：由于(1+2√x)3(1−√x 3)5=(C 30.(2√x)0+C 31.(2√x)1+C 32.(2√x)2+C 33.(2√x)3)⋅(C 50.( −√x 3)0+ C 51.( −√x 3)1+⋯+C 55(−√x 3)5)，故展开式中x 的系数为1×(−C 53)+C 32×4×1=2，故答案为 2．把所给的式子按照二项式定理展开，即可求得展开式中x 的系数．这道题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．21.【答案】−80; 【解析】此题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题．根据所有项的系数之和为(1+a)5=−1，求得a =−2，可得展开式中x 的系数．解：在(x 2+ax )5的展开式中，令x =1，可得所有项的系数之和为(1+a)5=−1， ∴a =−2，∴展开式的通项为T r+1=(−2)r C5r x10−3r，令10−3r=1，解得r=3，∴展开式中x的系数为(−2)3C53=−80，故答案为：−80．22.【答案】解：由题意22n−2n=992，解得n=5；(1)(2x−1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6=T5+1=C105.(2x)5.(−1x)5=−8064；(2)设第项的系数的绝对值最大，T r+1=C10r.(2x)10−r.(−1x )r=(−1)r.C10r.210−r.x10−2r，所以{C10r.210−r⩾C10r−1.210−r+1 C10r.210−r⩾C10r+1.210−r−1，得{C10r⩾2C10r−12C10r⩾2C10r+1，即{11−r⩾2r2(r+1)⩾10−r，所以83⩽r⩽113，所以r=3，故系数的绝对值最大的是第4项，T4=C103(2x)7(−1x )3=−15360x4.;【解析】此题主要考查了二项式定理，二项式系数的性质，解答该题的关键是熟悉二项式的通项公式和系数的性质，属于中档题.(1)由题意求得n=5，可得(2x−1x)2n的展开式中，第6项的二项式系数最大，再利用二项展开式的通项公式，求得该项；(2)设第k+1项的系数的绝对值最大，求得T r+1=(−1)r.C10r.210−r.x10−2r，由{C10r.210−r⩾C10r−1.210−r+1C10r.210−r⩾C10r+1.210−r−1，求得r的值，可得结果.23.【答案】解：（1）令x=0，可得a0=1；（2）（1+2x-3x2）n=（1+3x）n（1-x）n，∴a2=C n0•30•C n2•（-1）2+C n1.3•C n1.(−1)+C n2.32.C n0.(−1)0=2n2-5n（n∈N*）．;【解析】(1)令x=0，可得a0=1；(2)(1+2x−3x2)n=(1+3x)n(1−x)n，利用二项式定理可得结论．求二项展开式中的系数和问题，常采用的方法是赋值法．此法的关键是通过观察给未知数赋什么值能得到要求的系数和．。
(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练六十四12.5古典概型理(含解析)新人教A版
核心素养提升练六十四古典概型(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.一布袋中放有红,黄球各一个,它们除颜色外其他都一样.小明从布袋中摸出一个球后放回去摇匀,再摸出一个球.小明两次都摸出红球的概率为( )A.0.5B.0.25C.0.125D.0.75【解析】选B.由树状图可知共有4种可能,两次都摸出红球的有1种,所以小明两次都摸出红球的概率为=0.25.【误区警示】注意区别两类问题(1)有序、无序的问题在进行某些试验(如摸球)中,在摸取过程中要考虑球的先后顺序(有序),有时就不需要考虑先后顺序(无序),前后要保持一致.(2)放回抽取与不放回抽取的问题摸球等问题有“取后放回”和“取后不放回”两种情况,取后放回的可以继续选取已取到过的球.2.从集合A={-2,-1,2}中随机选取一个数记为a,从集合B={-1,1,3}中随机选取一个数记为b,则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为( )A. B.C. D.【解析】选A.从集合A,B中随机选取后,组合成的数对(a,b)有(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9种,要使直线ax-y+b=0不经过第四象限,则需a>0,b>0,共有2种满足,所以所求概率P=.3.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b为整数的概率是( )A. B.C. D.【解析】选D.由题意得,(a,b)有(2,3),(2,8),(2,9),(3,8),(3,9),(8,9),(3,2),(8,2),(9,2),(8,3),(9,3),(9,8),共12种取法.若满足log a b为整数,则仅有a=2,b=8和a=3,b=9两种情况,所以log a b为整数的概率为=.4.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空位相邻的概率为( ) A. B.C. D.以上都不对【解析】选C.可以把这三个空座位分成两组,2个相邻的,1个单一放置的,则三个人的坐法(不考虑空座位)共有=6种,再把两组不同的空座位插入三个人产生的四个空挡里,共有=12种,所以不同的坐法有6×12=72种,而所有的坐法有=120种,故所求概率为=.5.(2018·合肥质检)某校组织由5名学生参加的演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的概率为( )A. B.C. D.【解析】选A.方法一:当学生A最后一个出场时,有=18种不同的安排方法;当学生A不是最后一个出场时,有=36种不同的安排方法,所以满足“A和B都不是第一个出场,B 不是最后一个出场”的所有不同安排方法有18+36=54种.其中“C第一个出场”的结果有=18种,则所求概率为=,选项A正确.方法二:“A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的安排方法中,另外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等,故“C第一个出场”的概率是.6.(2018·南昌模拟)甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”,为庆祝兄弟相聚甲发了一个6元的红包,被乙、丙、丁三人抢完,已知三人均抢到整数元,且每人至少抢到2元,则丙获得“手气王”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是( )A. B.C. D.【解析】选C.设乙、丙、丁分别领到x元、y元、z元,记为(x,y,z),则基本事件有:(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合丙获得“手气王”的有4个,所以丙获得“手气王”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率:P==.7.(2019·合肥模拟)某城市有连接8个小区A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图所示.某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往小区H,则他经过市中心O的概率为( )A. B.C. D.【解析】选B.由题意知,此人从小区A前往小区H的所有最短路径为:A→B→C→E→H,A→B→O→E→H,A→B→O→G→H,A→D→O→E→H,A→D→O→G→H,A→D→F→G→H,共6条.记“此人经过市中心O”为事件M,则M包含的基本事件为:A→B→O→E→H,A→B→O→G→H,A→D→O→E→H,A→D→O→G→H,共4个,所以P(M)==,即他经过市中心O的概率为.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·温州十校模拟)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为________.【解析】根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为.答案:9.已知A,B∈{-3,-1,1,2}且A≠B,则直线Ax+By+1=0的斜率小于0的概率为________.【解析】所有的基本事件(A,B)为(-3,-1),(-3,1),(-3,2),(-1,-3),(-1,1),(-1,2),(1,-3),(1,-1),(1,2),(2,-3),(2,-1),(2,1),共12种,其中(-3,-1),(-1,-3),(1,2),(2,1)这4种能使直线Ax+By+1=0的斜率小于0,所以所求的概率P==.答案:10.(2018·张家口模拟) 在高三某班的元旦文艺晚会中,有这么一个游戏:一盒子内装有6张大小完全相同的卡片,每张卡片上写有一个成语,它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河,从盒内随机抽取2张卡片,若这2张卡片上的2个成语有相同的字,就中奖,则该游戏的中奖率为________.【解析】2张卡片上的2个成语有相同的字的抽取方法有6种:(意气风发,风平浪静),(意气风发,心猿意马),(意气风发,气壮山河),(心猿意马,信马由缰),(信马由缰,信口开河),(气壮山河,信口开河).6张卡片中随机抽取2张,共有15种情况,故所求概率为=.答案:【变式备选】(2018·抚州模拟)如图所示是某市2017年4月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市,并停留3天.该同志到达当日空气质量重度污染的概率为________.【解析】某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市,并停留3天,基本事件总数n=12,4月1日至4月12日空气质量重度污染的天数有5天,即该同志到达当日空气质量重度污染包含的基本事件个数m=5,所以该同志到达当日空气质量重度污染的概率P==. 答案:(15分钟30分)1.(5分)若x∈A的同时,还有∈A,则称A是“好搭档集合”,在集合B=的所有非空子集中任选一集合,则该集合是“好搭档集合”的概率为( )A. B.C. D.【解析】选 A.由题意可得,集合B的非空子集有25-1=31个,其中是“好搭档集合”的有:{1},,,,,,,共7个,所以该集合是“好搭档集合”的概率为P=.2.(5分)(2019·广安模拟)从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数,则该三位数能被3整除的概率为( )A. B.C. D.【解析】选D.从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数:3×3×2=18个,三位数是3的倍数,需要满足各个数位上的数之和是3的倍数,有两种情况0,1,2和1,2,3. 由0,1,2组成没有重复数字的三位数:2×2=4(个),和1,2,3组成没有重复数字的三位数:=6(个),所以一共有:4+6=10(个),所以该三位数能被3整除的概率为=.【变式备选】用两个字母G,A与十个数字0,1,2,…,9组成5位的车牌号码,两个字母不能重复,且每个号码中都包含这两个字母.其中两个字母排在前两位的概率为( ) A. B.C. D.【解析】选 B.总的基本事件的个数为×103,其中两个字母排在前两位的情况有×103,由古典概型的概率公式,得P===.3.(5分)(2018·成都模拟)如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________.【解析】依题意记题中的被污损数字为x,若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩,则有(8+9+2+1)-(5+3+x+5)≤0,x≥7,即此时x的可能取值是7,8,9,因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P==0.3.答案:0.34.(15分)(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.【解析】(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以,事件M发生的概率为P(M)=.。
素养升级练06 二项式定理(原卷版)—2022年高考数学二轮提素养高分进阶新方案(新高考专版)
素养升级练06 二项式定理一、单选题1．（2021·广西·玉林市育才中学高三开学考试（理））25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．202．（2021·山东·高三专题练习）已知(1＋ax )·(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝ A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－13．（2021·全国·高三专题练习）在52)的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5-B ．5C ．10-D ．104．（2021·全国·高三专题练习（理））已知()()()()10210012101222x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则9a =（ ） A ．10-B ．10C ．45-D ．455．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）若()()()()2366012361111x a a x a x a x a x =+++++++++，则3a =（ ） A ．20B ．20-C ．15D ．15-6．（2021·陕西西安·高三月考（理））5212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A ．32﹣B ．88﹣C ．88D ．1527．（2021·全国·高三专题练习）在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数a =（ ）A ．12B ．2C ．3D ．48．（2021·四川广元·三模（理））()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是（ ）A ．60B ．80C ．84D ．120二、多选题9．（2021·全国·高三专题练习）已知2((0)n ax a>的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ） A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B ．展开式中第6项的系数最大 C ．展开式中存在常数项 D ．展开式中含15x 项的系数为4510．（2021·全国·高三专题练习）已知1021001210(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则下列结论正确的有（ ） A ．01a = B ．6210a =-C ．310122310102322221024a a a a +++⋅⋅⋅+=- D ．024*******a a a a a a +++++=11．（2021·福建晋江·高三期末）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（ ） A ．1a =B ．展开式中含6x 项的系数是-32C ．展开式中含1x -项D ．展开式中常数项为4012．（2021·全国·高三专题练习）若()()()220121+1++1nn n x x x a a x a x a x +++=++++，且121125n a a a n -+++=-，则下列结论正确的是（ ）A ．6n =B ．()12nx +展开式中二项式系数和为729 C ．()()()21+1++1nx x x +++展开式中所有项系数和为126D ．12323321n a a a na ++++=三、填空题13．（2021·浙江·高三专题练习）二项式81)2x的展开式的常数项是___________． 14．（2021·重庆市杨家坪中学高三月考）若()()202122021012202112x a a x a x a x x R -=++++∈，则20211222021222a a a +++的值为________. 15．（2021·全国·高三专题练习）若()641x x ⎛+ ⎝的展开式中2x 的系数为224，则正实数a 的值为______．四、双空题16．（2021·浙江·模拟预测）已知523450123451322x a a x a x a x a x a x ⎛⎫-=+++++ ⎪⎝⎭，则2a =______，123452345a a a a a ++++=______．。
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核心素养提升练六十二
二项式定理
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2018·全国卷Ⅲ)的展开式中x4的系数为( )
A.10
B.20
C.40
D.80
【解析】选C.展开式的通项公式为T r+1=(x2)5-r=2r x10-3r,令10-3r=4可得r=2,则x4的系数为22=40.
【变式备选】的展开式中常数项为( )
A.15
B.-15
C.20
D.-20
【解析】选A.T r+1=()6-r=(-1)r,r=0,1,…,6,令3-r=0,得r=2,所以的展开式的常数项为(-1)2=15.
2.已知展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,则n等于
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选C.展开式中,各项系数的和为4n,各项二项式系数的和为2n,由已知得=2n=64,所以n=6.
3.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于( )
A.(x-1)3
B.(x-2)3
C.x3
D.(x+1)3
【解析】选C.S=(x-1)3+(x-1)2×1+(x-1)×12+×13=[(x-1)+1]3=x3.
【变式备选】(2018·银川模拟)+2+4+…+2n-1等于 ( )
A.3n
B.2·3n
C.-1
D.
【解析】选D.+2+4+…+2n-1
=(+2+22+…+2n)-
=(1+2)n-=.
4.在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有( )
A.3项
B.4项
C.5项
D.6项
【解析】选C.因为T r+1=()24-r=,故当r=0,6,12,18,24时,幂指数为整数,共有5项.
5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为 ( )
A.1或3
B.-3
C.1
D.1或-3
【解析】选D.令x=0,得a0=(1+0)6=1.
令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6,
又a1+a2+a3+…+a6=63,
所以(1+m)6=64=26,故m=1或m=-3.
6.若展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是
( )
A.90
B.45
C.120
D.180
【解析】选 D.因为展开式中只有第六项的二项式系数最大,故
n=10,展开式的通项公式为T r+1=·2r·令5-=0,得r=2,所以
展开式中的常数项是·22=180.
7.已知n∈N*,则24n除以15的余数为()
A.1
B.3
C.4
D.2
【解析】选A.因为24n=16n=(15+1)n
=15n+15n-1+ (15)
=15(15n-1+15n-2+…+)+1.
所以余数为1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2018·天津高考)在的展开式中,x2的系数为________.
【解析】因为的通项为T r+1=x5-r=(-1)r2-r,令=2,
解得r=2,即T3=(-1)22-2x2=x2.
所以在的展开式中,x2的系数为.
答案:
9.设的展开式中x3的系数为a,二项式系数为b,则的值为________.
【解析】的展开式的通项是x6-k=(-2)k,根据题意
得6-=3,k=2,因此x3的系数为a=60,二项式系数为b==15,因此,==4.
答案:4
【误区警示】二项式系数与项的系数
(a+bx)n的展开式中,二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,
项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关. 如(a+bx)n的展开式中,第k+1项的二项式系数是,而该项的系数是a n-k b k.
10.(2018·汕头模拟)已知(2x-1)5展开式中的常数项为30,则实数a=________.
【解析】(2x-1)5的展开式的通项公式为
T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.
所以(2x-1)5展开式中的常数项为·2x=30,解得a=3.
答案:3
【变式备选】(1+x+x2)的展开式中的常数项为________.
【解析】的展开式中,T r+1=x6-r·=(-1)r x6-2r,令6-2r=0,得
r=3,T4=(-1)3=-,令6-2r=-1,得r=(舍去),令6-2r=-2,得r=4,T5=(-1)4x-2,所以
(1+x+x2)的展开式中的常数项为1×(-)+=-20+15=-5.
答案:-5
(20分钟40分)
1.(5分)若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.的展开式的项为T r+1=x6(n-r)=,由6n-r=0得,n=r,又n为正整数,所以当r=4时,n的最小值为5.
【变式备选】在的展开式中,x3的系数为10,则实数a等于( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选D.因为T r+1=x5-r=a r x5-2r,所以当5-2r=3时,r=1,所以a=10,所以a=2.
2.(5分)在二项式的展开式中,偶数项的二项式系数之和为256,则展开式中x的系数为________.
【解析】二项式展开式中,偶数项与奇数项的二项式系数之和相等,所以2n-1=256,解得n=9;所
以二项式的展开式中,通项公式为T r+1=(9x)9-r=99-r;令9-=1,解得r=6;所以展开式
中x的系数为93=84.
答案:84
【变式备选】若的展开式中,二项式系数和为64,所有项的系数和为729,则a的值为________.
【解析】由的展开式中二项式系数和为2n=64,可得n=6,再由的展开式中所有项的系数和为(1+a)6=729,可得a=-4或a=2.
答案:-4或2
3.(5分)如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含x4项的系数为________.
【解析】因为(1+x+x2)(x-a)5的展开式中所有项的系数和为(1+1+12)(1-a)5=0,所以a=1,
所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5
=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,
其展开式中含x4项的系数为(-1)3-
(-1)0=-5.
答案:-5
4.(12分)已知在的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n.
(2)求含x2项的系数.
(3)求展开式中所有的有理项.
【解析】(1)通项公式为
T r+1==,
因为第6项为常数项,
所以r=5时,有=0,即n=10.
(2)令=2,得r=(n-6)=2,
所以含x2项的系数为=.
(3)根据通项公式,由题意得
令=k(k∈Z),
则10-2r=3k,即r=5-k,
因为k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.
所以第3项,第6项与第9项为有理项,
它们分别为x2,-,x-2.
5.(13分)已知二项展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3.
(1)求n的值.
(2)求展开式中x3项的系数.
(3)计算式子-2+4-8+…+1 024的值.
【解析】(1)由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3,可得=,
化简可得=,求得n=10.
(2)由于二项展开式的通项公式为T r+1=(-2)r x5-r,令5-r=3,求得r=2,可得展开式中x3项的系数为(-2)2=180.
(3)由二项式定理可得=(-2)r x5-r,所以令x=1得
-2+4-8+…+1 024=(1-2)10=1.。