运筹学1-3单纯形法思想原理wxp

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B P3,
P4 ,
P5
0
0
1 0
0 1
对应的基变量是 x3，x4，x5； 第三步：写出初始基本可行解和相应的
目标函数值
两个关键的基本表达式：
①用非基变量表示基变量的表达式
x3 8 x1 2x2
x4
16
4x1
x5 12 4x2
初始基本可行解
X (0) (0, 0,8,16,12)T
1-3 单纯形法
图解法的局限性？
1947年G.B.Dantzig(丹捷格) 提出的单纯形法提供了方便、有 效的通用算法求解线性规划。
一、单纯形法的基本思想
1、顶点的逐步转移
LP可行域
基本可 行解
转移条件：使目标函数值得到改善 停机准则：目标函数达到最优值
顶点转移的依据？
根据线性规划问题的可行域是凸多边 形或凸多面体，若LP有最优解，就一定可 以在可行域的顶点上找到。
②用非基变量表示目标函数的表达式
Z 0 2x1 3x2
当前的目标函数值 Z (0) 0
请解释结果的经济含义 —— 不生产任何产品，资源都没有被利用 （ x3=8,x4=16,x5=12），两种产品的总利润 为0！
第四步：分析两个基本表达式，看看 目标函数是否可以改善？
① 分析用非基变量表示目标函数的表达式
x1
s.t.
x2
a x 1,m1 m1 a x 2,m1 m1
xm a x m,m1 m1
x1, x2 , , xn 0
等式约束左端引入人工变量的目的 使约束方程的系数矩阵中出现一个
单位阵，用单位阵的每一个列向量对
应的决策变量作为“基变量”，这样， 出现在单纯形表格中的b列（即约束 方程的右边常数）值正好就是基变量 的取值。
（注意：用非基变量表示基变量的表达式）
LP问题求解的初始标准型
n
MaxZ c j x j j 1
⑤ 写出用非基变量表示目标函数的表达式:
Z 2x1 3x2
2
x1
3
3
1 4
x5
9
2x1
3 4
x5
可得相应的目标函数值为Z(1)=9
检验数仍有正的, 返回①进行讨论。
第五步：上述过程何时停止？ 当用非基变量表示目标函数的表达式中，非
基变量的系数（检验数）全部非正时，当前的 基本可行解就是最优解!
x1 2x2 x3
8
s.t.
4
x1
4 x2
x4 16 x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
(台时约束) （原材料约束）
➢x3, x4, x5 三个松弛变量的经济含义表示什么？
第二步：寻求初始可行基，确定基变量
1 2 1 0 0
1 0 0
A
4 0
0 4
0 0
1 0
于是，若LP只有唯一最优解，这个最 优解所对应的点一定是可行域的一个顶点； 若LP有多个最优解，那么肯定在可行域的 顶点中可以找到至少一个最优解。
转移条件？
转移结果？
使目标函数值得到改善
得到LP最优解，目标函数达到最优值
2．需要解决的问题：
(1)为了使目标函数逐步变优，怎么转移？ (2)目标函数何时达到最优——
Z 2x1 3x2
非基变量前面的系数均为正数，所以任何 一个非基变量进基都能使Z值增加 通常, 把非基变量前面的系数叫“检验数”
② 选哪一个非基变量进基？
选x2为进基变量（换入变量） 问题讨论：能否选其他的非基变量进基？
任意一个 × 任意一个正检验数对应的非基变量 ✓ 最大正检验数对应的非基变量 ✓ 排在最前面的正检验数对应的非基变量 ✓
初始可行基的确定 观察法——观察系数矩阵中是否含有现成 的单位阵？
思考：一定要是单位阵，才可求出初始可行 解吗？
通过单位阵求初始可行解有什么好处？
如果没有怎么办?(构造)；
线性规划限制条件都是“≥”或“=”类型
的约束——
先将约束条件标准化，再引入非负 的人工变量， 以人工变量作为初始基变 量，其对应的系数列向量构成单位阵， 称为“人造基”；
4 x2
当x2增加时， x3， x4, x5会减小，但有限度—
—必须≥0，以保持解的可行性！于是
x3 8 x1 2x2 0
x4
16
4x1
0
x5
12
4x2 0
x2
8 2
x2
12 4
x2
min
8
2
,
, 12 4
3
当x2的值从0增加到3时, x5首先变为0, 此时x3=2>0，
为什么？ ——分析用非基变量表示目标函数的表达式， 如果让负检验数所对应的变量进基，目标函数 值将下降！Z=14-1.5x3-0.125x4
x2
作图法与单纯形比较
5
（0，4）4
Q4（0，3）3 2
Q3（2，3） Q2（4，2）
1
（8，0）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1
C=6
C=0
3.2初始可行解的确定
B = ( P2, P3，P4 )
基变换
新的基变量——x2 , x3, x4；新的非基变量x1, x5；
写出用非基变量表示基变量的表达式：
由
x3 8 x1 2x2
x4
16
4x1
→
x5 12 4x2
x3
2
x1
1 2
x5
x4 16 4x1
x2
3
1 4
x5
得新的基本可行解 X(1)=(0，3，2，16，0)T
因此选x5为出基变量（换出变量）。
这种用来确定出基变量的规则称为 “最 小比值原则”（或θ原则）。
非基变量 x2 进基:
基变量 x5 出基:
1 2 1 0 0
A
4
0
0
1
0
0 4 0 0 1
B = (P3，P4, P5 )
向量: P1 P2 P3 P4 P5 变量: x1 x2 x3 x4 x5
③ 确定出基变量：
问题讨论
x2进基意味着其取值从0变成一个正数（经济 意义——生产乙产品），能否无限增大？ 当x2增加时，x3、x4、x5 如何变化？ 现在的非基变量是哪些？ 具体如何确定换出变量？
➢根据非基变量表示基变量的表达式
x3 8 x1 2x2
x4
16 4x1
x5 12
判断标准是什么？
Βιβλιοθήκη Baidu
二、单纯形法原理（用代数方法求解 LP） 例6
max Z 2x1 3x2
x1 2x2 8
s.t.
4 4
x1 x2
16 12
x1, x2 0
(台时约束) （原材料约束）
第 一 步 ： 引 入 非 负 的 松 弛 变 量 X3,x4,x5, 将 该 LP化为标准型
max Z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5