狄拉克算符

( x) anun ( x)
an u ( x) ( x)dx
* n
* Sm um ( x) ( x)dx
n
n x x m dx x x n n n n x x dx S m m x x dx
n
m
mn
mn
七、表象变换的狄拉克符号表示
设表象A、表象B的基矢分别为 m 、 ，则
m m
m
Sm m
m
其中， Sm m 。
在A表象、B表象的表示 am m
有
b
m m
m m
b
S m am
其中， S m
m。
上去，使它变成在基矢 n 方向上的分量。所以此算符称为投影算符。
三、算符的狄拉克符号表示
ˆ F
在 Q 表象下
am m
m
am m
bn n
n
bn n
显然有
ˆ ˆ n n F n F m m
即
bn Fnm am
m
m
ˆ 其中， Fnm n F m
因为
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ( BA ) ( A ) B A B
另一方面
所以
ˆˆ ˆˆ ( BA ) ( BA)
ˆ ˆ ˆˆ (BA) A B
二、标量积和基矢组
1. 标量积
和 的标量积定义为

标量积是一个数，可以在运算中随意移动位置。 显然
c1 1 c2 2 1 c1 2 c2
但右矢和左矢不能叠加。
3．右矢和左矢互为共轭




பைடு நூலகம்

* * * * (c1 1 c2 2 ) c1 1 c2 2 1 c1 2 c2
ˆ ˆ ( A ) A ˆ ˆ 注意： A 和 A 都没有意义。
一、右矢和左矢
1．量子力学体系的一切可能状态构成一个希尔伯特 空间即态空间，态空间包括一个右矢空间和一个相应的
左矢空间。
右矢空间中矢量A写成，左矢 A 空间的矢量B 写成 B 。 ； 如 ：x 表示坐标的本征态，对应的本征值为 x
p 表示动量的本征态，对应的本征值为 ； En 或 n 表示能量的本征态，对应本征值为 E n ；
ˆ ˆ lm 表示 L2 和 Lz 的本征态；
ˆ 力学量算符 A 满足的本征方程为
ˆ ˆ A n An n 或 A n An n
n 或 n 代表 An 对应的本征态。
2．态叠加原理
右矢空间中的任意态矢可以表示成若干个右矢叠加，左矢空间中 的任意态矢可以表示成若干个左矢叠加，即
c1 1 c2 2
n n
kj
i
ˆ H t ˆ F n n
i
ˆ x H x t ˆ F x n x n
(F
j
kj )a j 0
m
k
j
ˆ F j kj j 0
nm
u ( x)u
* n
( x)dx nm
n m nm
又 因此
n n n n
n n
n
n
n 1
比如 引入算符



dx x x 1
ˆ Pn n n
因为
P n n n n n
m
a
m
m
m am n n m
m
am n nm an n
显然，该算符对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢 n
定一组基矢，即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢
上的投影（即矢量的分量）表示，这就是波函数。与数 学中表示一个矢量可以不引入坐标系不用它的分量而直
接用矢量表示相似，在量子力学中表示一个量子态也可
以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。这就是狄 拉克符号（Dirac bracket notation）。
正交归一性 比如 完备性
* m n m ( x ) n ( x)dx mn
x x ( x x)
an n
n
p p ( p p)
上式两边左乘 m ，则 所以，展开系数
m an m n an mn am
n n
an n



和 的标量积是相应的分量的乘积之和。
在同一表象中， 比如：
在 x 表象中 在 Q表象中
* ( x) ( x)dx
* bn an n
2.基矢组
ˆ 力学量算符 Q 的本征方程为
ˆ Q n n n
或
ˆ Q n n n
n 构成一正交归一完备基矢组。
ˆ 为算符 F 在 Q 表象中的矩阵元。
ˆ 特别地，Q 在自身表象中的矩阵元
ˆ Qmn m Q n n m n n mn
四、本征方程的狄拉克符号表示
ˆ F 的本征方程
它在 Q 表象中的表示
ˆ F ˆ n F n
ˆ nFm
m
m n
即
F
m
nm m
a an
ˆ n F
m
m nm m 0
ˆ 这就是的 F 本征方程的狄拉克符号表示。
五、薛定格方程的狄拉克符号表示
i
在 Q 表象下
i
ˆ n n H t
ˆ H t
ˆ n H m m
m
即
i
an H nm am t m
狄拉克算符
（Dirac bracket notation）
目录
七、表象 变换的狄 拉克符号 表示 六、平均值 公式的狄拉 克符号表示 五、薛定 格方程的 狄拉克符 号表示 一、右矢 和左矢
二、标量积 和基矢组
三、算符 的狄拉克 符号表示
四、本征 方程的狄 拉克符号 表示
狄拉克算符定义
一个量子态相当于一个态矢量。在希尔伯特空间中选
一般表示与狄拉克符号表示对照表
一般表示 量子态 波函数 算符 薛定格方程 本征方程 正交归一条件 波函数展开式 幺正变换
i
狄拉克符号表示


x
ˆ x F x
( x)
ˆ F ( x) ( x)
ˆ F
ˆ ( x) H ( x) t ˆ Fu ( x) u ( x)
这就是薛定格方程的狄拉克符号表示。 定态薛定格方程 在 Q 表象下
ˆ H E
ˆ n H E n
ˆ nHm
m
m E n
即
H
m
nm
am Ean
六、平均值公式的狄拉克符号表示
在 Q 表象下
* ˆ ˆ F F m m F n n am Fmn an