快速傅里叶变换

第四章 快速傅里叶变换

有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley 和Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，将DFT 的运算量减少了几个数量级。从此，对快速傅里叶变换（FFT ）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT 的出现和发展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT 的多种算法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。

快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。 DFT 的定义式为

)(k X =)()(1

0k R W n x N N n kn

N ∑-=

在所有复指数值kn

N W 的值全部已算好的情况下，要计算一个)(k X 需要N

次复数乘法和N －1次复数加法。算出全部N 点)(k X 共需2

N 次复数乘法和)1(-N N 次复数加法。即计算量是与2

N 成正比的。

FFT 的基本思想：将大点数的DFT 分解为若干个小点数DFT 的组合，从而减少运算量。

N W 因子具有以下两个特性，可使DFT 运算量尽量分解为小点数的DFT 运算：

（1） 周期性：k

N n N kn N n N k N W W W )()(++== （2） 对称性：k N

N k N W W -=+)2/( 利用这两个性质，可以使DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。例子：求当N ＝4时，X(2)的值

)

()]3()1([)]2()0([)()]3()1([)]2()0([)3()2()1()0()()2(0

424046

44424043

24对称性－＝周期性W x x x x W x x W x x W x W x W x W x W n x X n n +++++=+++==∑=

通过合并，使乘法次数由4次减少到1次，运算量减少。

FFT 的算法形式有很多种，但基本上可以分为两大类：按时间抽取（DIT ）和按频率抽取（DIF ）。

4.1 按时间抽取（DIT ）的FTT

为了将大点数的DFT 分解为小点数的DFT 运算，要求序列的长度N 为复合数，最常用的是M

N 2=的情况（M 为正整数）。该情况下的变换称为基2FFT 。下面讨论基2情况的算法。 先将序列x(n)按奇偶项分解为两组

⎩⎨⎧=+=)

()12()()2(21r x r x r x r x 12,,1,0-=N

r

将DFT 运算也相应分为两组

==)]([)(n x DFT k X ∑-=1

0)(N n kn

N W n x

∑∑-=-==

1

n 01

)()(N n kn N

N n n kn N

W

n x W

n x 为奇数为偶数＋

∑∑-=+-=++

1

2/0)12(1

2/02)12()2(N r k r N

N r rk N

W

r x W

r x ＝

∑∑-=-=+12/0

22

12/0

21)()(N r rk

N

k N N r rk N

W r x

W

W r x ＝ ∑∑-=-=+12/0

2/2

1

2/02

/1)()(N r rk N k N

N r rk

N W r x

W

W

r x ＝ （因为rk

N rk N W W 2/2=）

)()(21k X W k X k

N +=

其中)(1k X 、)(2k X 分别是)()(21n x n x 、的N/2点的DFT

)(1k X 12

0,)2()(1

2/02/1

2/02

/1-≤

≤=

∑∑-=-=N k W r x W

r x N r rk N N r rk N ＝ )(2k X 12

0,)12()(1

2/0

2/12/0

2

/2-≤

≤+=

∑∑-=-=N k W r x W

r x N r rk N N r rk N ＝ 至此，一个N 点DFT 被分解为两个N/2点的DFT 。 上面是否将全部N 点的)(k X 求解出来了？

分析：)(1k X 和)(2k X 只有N/2个点（12

,

,1,0-=N

k ），则由)(k X )()(21k X W k X k

N +=只能求出)(k X 的前N/2个点的DFT ，要求出

全部N 点的)(k X ，需要找出)(1k X 、)(2k X 和)2/(N k X +的关系，其中12

,

,1,0-=N k 。由式子)(k X )()(21k X W k X k

N +=可得 )2/(N k X +)2/()2/(22

/1N k X W N k X N k N +++=+化简得 )2/(N k X +＝)()(21k X W k X k N -=，12

,

,1,0-=N

k 这样N 点DFT 可全部由下式确定出来：

⎪⎩⎪⎨⎧-=++=)

()()2/()

()()(2121k X W k X N k X k X W k X k X k

N k

N 12,,1,0-=N k （＊） 上式可用一个专用的碟形符号来表示，这个符号对应一次复乘和两次复加运

算。

a

b

k

N

W

b

W a k

N +b

W a k

N --1

图 蝶形运算符号

通过这样的分解以后，每一个N ／2点的DFT 只需要4

)2(2

2N N =次复数乘