力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
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力矩的功刚体动能定理
3.一根长l质量为m 的匀质细杆，其一端固定在光滑的 水平轴O，可以在竖直平面内转动。最初杆静止在水 平位置。求:杆由初始位置下摆 时的角速度?
θβ
解: 方法一用转动定律求解(略)
方法二用转动动能定理求解
杆处在β时,力矩 M mg l cos
杆转过d时, dA Md mg l cosd
2
2
A EK
k = 2.74×10-4 N·m·rad-2·s2. 求（2）吊扇由静止匀加
速的达到第二档转速经历的时间为 5s . 在此时间内阻力
矩做了多少功 ?
解: 吊扇由静止作匀角加速度运动
2
t5
t
阻力矩做功 W Mf 2d k3dt
W t k 3t3dt 1 k 3t 4
0
4
在 t ＝ 5s 时间内 W 84.8 J
EkA EpA EkB EpB
EkA EpA EkB EpB
o
m, l A
EkA EPA 0
m
EkB
1 2
J 2
J J1 J2
J 1 ml2 ml2 4 ml2
mg
B
mg
3
3
EpB
(mg
l 2
sin
mgl sin )
3 mgl sin
2
0 3 ml22 3 mgl sin 3 ( g sin )1 2
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚 体转动动能的增量。
与质点运动类似，若刚体转动过程中，只有 保守力做功，同样刚体的机械能守恒。
3. 刚体的重力势能
y
N
N
mi yi
E p
mi gyi
i 1
Mg
i 1
刚体转动的动能定理
一、力矩的功 1 力矩的定义若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。
M r F =⨯M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。
M大小：方向：右手法则2 力矩的功设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d ，对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为则总功为二、转动惯量设初速为零，质量元Δm 的动能为转盘的总动能1 定义：为物体的转动惯量。
意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。
描述转动的惯性。
o z FtF nF tF ord rd θt t d d d d A F r F s F r θ=⋅==d d A M θ=21d A M θθθ=⎰αrsin t M Fr F rα==d θFtF ord r12ki i iE m v =212k ki i i i i E E m ==∆∑∑v 221()2i i i m r ω=∆∑2i i iI m r =∆∑单位：SI 制 kg m 22 定轴转动物体转动惯量的计算质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和2i i iI m r =∑质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。
2mI r dm =⎰转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。
例1 求小球m 的转动惯量。
解：m 看作质点 I = m R 2例2 质量为m 的细圆环，求I 。
解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有d J = R 2对整个环有I = R 2d m = mR 2例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。
解：把盘分成无限多个环。
取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量 d I = r 2d m22mdm rdr Rππ=整个盘的转动惯量d rd md SrRd mRRm22322200002122R R R Rm m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====⎰⎰⎰⎰例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为＝m / L 。
3-3 刚体定轴转动的动能定理
第3节
大学物理学(第4版) 1
一 转动动能 刚体绕定轴转动时的动能，称为转动动能．
Ek
n i 1
1 2
mi
ri2
2
1( n 2 i1
miri2 ) 2
1 2
J 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半.
第3章 刚体力学基础
第3节
二 力矩的功
解：棒受力如图
6 0
mg
l 2
cos d
1 2
J2
1 2
J02
1 2
J2
WG
6 0
mg
l cosd
2
l 4
mg
mg (hc末
hc初 )
第3章 刚体力学基础Fra bibliotek 第3节大学物理学(第4版) 6
Q WG
mg
l ，J 4
1 ml2 3
3g
2l
则中心点C和端点A的速度分别为
m oR
p v
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统
动量守恒；
动量不守恒；
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
第3章 刚体力学基础
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
第3节
大学物理学(第4版) 5
例3.5 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒 OA，可绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平 位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角时 中心点C和端点A的速度.
dWi
vv Fidsi
大学物理学(第4版) 1
一 转动动能 刚体绕定轴转动时的动能，称为转动动能．
Ek
n i 1
1 2
mi
ri2
2
1( n 2 i1
miri2 ) 2
1 2
J 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半.
第3章 刚体力学基础
第3节
二 力矩的功
解：棒受力如图
6 0
mg
l 2
cos d
1 2
J2
1 2
J02
1 2
J2
WG
6 0
mg
l cosd
2
l 4
mg
mg (hc末
hc初 )
第3章 刚体力学基础Fra bibliotek 第3节大学物理学(第4版) 6
Q WG
mg
l ，J 4
1 ml2 3
3g
2l
则中心点C和端点A的速度分别为
m oR
p v
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统
动量守恒；
动量不守恒；
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
第3章 刚体力学基础
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
第3节
大学物理学(第4版) 5
例3.5 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒 OA，可绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平 位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角时 中心点C和端点A的速度.
dWi
vv Fidsi
(完整版)刚体转动守恒定律
速度0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为 ，按 力矩的功和转动动能增量的关系式得
定轴转动的动能定理
mg l 1 J 2
22
由此得 mgl
J
因 J 1 ml 2 代入上式得 3g
3
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度
分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
刚体的平面平行运动
c.若系统内既有平动也有转动现象 发生，若对某一定轴的合外力矩为 零,则系统对该轴的角动量守恒。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
dv d2 x a dt dt2
P mv F
EK
1 mv2 2
m
dA Fdx Fdt
刚体的定轴转动
d
dt
d
dt
Mz
dLz dt
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
角动量定理的微分形式：
t2 t1
M
d
t
J
J0
t2 M d t为t t2 t1时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t1
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律：若一个系统一段时间内
所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角 动量L 为一恒量。
解 先对细棒OA所受的力
作一分析；重力G 作用在 O
棒的中心点C，方向竖直向
下；轴和棒之间没有摩擦
力，轴对棒作用的支承力N
垂直于棒和轴的接触面且
通过O点，在棒的下摆过
G
程中，此力的方向和大小
力矩作功与刚体绕定轴转动的动能定理
Ek0 0
1 mgl 1 J 2 0
2
2
m,l
o
J 1 ml 2
3
3g
mg
l
练习2、一质量 M、半径 R 圆盘绕一无摩檫 轴转动，盘上绕有轻绳，下端挂物体 m。 求：当 m 由静止下落h时速度 v ？
解：
刚体 M
N T
o
对m：
G
TP
m
v 2 mgh h
M 2m
注意和前面的方法比较！
练习3、一匀质细棒长l ，质量m，可绕通过 其端点O水平轴转动。当棒从水平位置自由释
放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体
相撞。该物体的质量也为m ，地面的摩擦系 数为 。撞后物体沿地面滑行s后而停止。求 相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说
明棒在碰撞后将向重力外，其余内力与外力都 O
（3）
由匀减速直线运动的公式得
亦即
（4）
由（1）（2）与（4）联合求解，即得
（5）
当 >0 则棒向左摆条件： 亦即L>6s；
当0，则棒向右摆条件：
亦即L <6s
由机械能守恒定律，棒上升的最大高度：
(6)
把（5）代入上式，求得：
练习4：工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们
以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞
动量守恒；
动量不守恒；
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
刚体的定轴转动
P126书例2 一长为 l , 质
量为m 的竿可绕支点O自由转 动．一质量为m’、速率为v
定轴转动的动能定理
例题2 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA （如图），可绕通过其一
端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒
摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。
C
解 先对细棒OA 所受的力作一分析；重力G O
作用在棒的中心点C，方向竖直下；轴和棒之间没
A
有摩擦力，轴对棒作用的支承力 N 垂直于棒和 轴
的接触 面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力
的方向和大小是随时改变的。
A
在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通
G
过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则
是变力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒转过一极小的角位移d 时，重力
矩所作的元功是
dW mg l cosd
2
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是
度ω0=0,转动动能为0，重力势能为 mg（2l 选下摆到竖直位置hc=0），下摆到竖
直位置时角速度ω=ω,转动动能为
1 2
J重2 力势能为0。
mg l 1 J 2
22
由此得
3g l
mgl
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
J2
2
1 2
J12
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能
的增量。
注：
1. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。
设刚体中第i个质点的质量为 mi ，速度为 vi
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
,则该质点的动能为
1-4 力矩做功 动能定理 动量守恒定理解析
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚
体转动动能的增量。
例1:如图，冲床上配置一质 量为5000kg的飞轮， r1=0.3m, r2=0.2m.今用转速 为900r/min的电动机借皮带 传动来驱动飞轮，已知电动 机的传动轴直径为d=10cm。 （1）求飞轮的转动动能。
2 r1 2 r
1 1 2 2 ml mvl ml 3 3
2
d
第一章 力学基本定律
1-4 力矩做功 动能定理 动量守恒定理
解:（1）为了求飞轮的转动动能，需先求出它的转动惯量和转速。因飞轮质量 大部分分别布在轮缘上，由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得
m 2 1 2 J r1 r2 5000 0.3 2 0.2 2 kg m 2 2 2 325kg m 2
第一章 力学基本定律
1-4 力矩做功 动能定理 动量守恒定理
O
解： 这个问题可分为三个阶段进行 分析。第一阶段是棒自由摆落的过 程。这时除重力外，其余内力与外 力都不作功，所以机械能守恒。我 们把棒在竖直位置时质心所在处取 为势能 零点，用表示棒这时的角速度,则
C
l 1 2 11 2 2 mg J ＝ ml 2 2 2 3
（1）
第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大， 物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。
第一章 力学基本定律
1-4 力矩做功 动能定理 动量守恒定理
这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外 力矩为零，所以，这个系统的对 O轴的角动量守恒。我们用 v 表示物体碰撞后的速度，则
则物体在 d t 时间内转过角位移 d
外力矩所做元功为：
dt
刚体定轴转动的动能定理
它的动能为 ΔEki
1 2
Δmi vi2
1 2
Δmi
ri 2 2
整个刚体的动能为全部质元的动能之和，即 Ek
1
2
n i 1
Δmi
ri2
2
1 2
J2
式即为刚体转动动能的表达式。
刚体定轴转动的动能定理
1.3 刚体定轴转动的动能定理
将式的转动定律代入可得 dW Md J d J d d Jd
式中 ds ——位移元 dr 对应的弧长，其与对应角位移 dθ 的关系为 ds rd
刚体定轴转动的动能定理
1.1 力矩的功
于是，式可写为 dW Fτrd Md
当刚体的角位置由1 变为2 时，外力矩所做功为W
2 Md
1
式中，M 若是合外力矩，则 W 就是合外力矩的功。
刚体定轴转动的动能定理 1.2 转动动能
大学物理
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
如图所示，一个绕固定轴 OO 转动的圆盘状刚体，在圆盘平面上有外力 F 作用于 A 点。外力 F 可分解 为切向分力 Fτ 和法向分力 Fn 。
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
由于法向分力 Fn 垂直于 A 点的角位移，不做功，因此，外力 F 所做的功等于切向分力 Fτ 所做的功，则 外力 F 所做的元功为 dW F dr Fτds
静止下降 h 距离时物体的速率 v。
【解】 由题意可知，以滑轮、物体和地球组成的系统机械能守恒。
取物体在 h 处时系统的重力势能为零，设物体下降到 h 处时滑轮的角速度为 ω，
则根据机械能守恒定律可得
m2 gh
1 2
J2
1 2
m2v2
根据表可知，滑轮的转动惯量为
大学物理3_4 刚体绕定轴转动的动能定理
t 3 3 3 5 3 2
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
例3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速度 作匀速转动.放上唱片后,唱片将在摩擦力作用下随转盘一 起转动.设唱片的半径为 R 、质量为 m ,它与转盘间的摩 擦系数为 .求(1)唱片与转盘间的摩擦力矩;(2)唱片达到 角速度 需要多长时间;(3)在这段时间内,转盘的驱动力 矩作了多少功? 解 (1)如图所示,在唱片上取长为 dl 宽为 dr 的面积元 dS dldr ,该面 积元所受的摩擦力为:
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 W J J0 mR 0 mR 2 2 2 2 4
3–4
第三章 刚体的转动 刚体绕定轴转动的动能定理 例3-11 一长为 l , 质量为 m0 的均质细竿可绕支点O自 由转动 . 一质量为 m、速率为 v0 的子弹射入竿内一端， 使竿的偏转角为30º 问子弹的初速率为多少 ? .
加速度
力 质量
dr v dt dv a dt
F
d 角速度 dt d 角加速度 dt
力矩
M
m
转动惯量 J
动量
P mv
角动量
L J
r
dm
2
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照 质点的平动 刚体的定轴转动
EPB EkB EPA EkA
3–4
第三章 刚体的转动 刚体绕定轴转动的动能定理 1 2 4 2 2 J J1 J 2 ml ml ml 3 3
取A点的重力势能为零,即 则有 而
EPA 0
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
例3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速度 作匀速转动.放上唱片后,唱片将在摩擦力作用下随转盘一 起转动.设唱片的半径为 R 、质量为 m ,它与转盘间的摩 擦系数为 .求(1)唱片与转盘间的摩擦力矩;(2)唱片达到 角速度 需要多长时间;(3)在这段时间内,转盘的驱动力 矩作了多少功? 解 (1)如图所示,在唱片上取长为 dl 宽为 dr 的面积元 dS dldr ,该面 积元所受的摩擦力为:
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 W J J0 mR 0 mR 2 2 2 2 4
3–4
第三章 刚体的转动 刚体绕定轴转动的动能定理 例3-11 一长为 l , 质量为 m0 的均质细竿可绕支点O自 由转动 . 一质量为 m、速率为 v0 的子弹射入竿内一端， 使竿的偏转角为30º 问子弹的初速率为多少 ? .
加速度
力 质量
dr v dt dv a dt
F
d 角速度 dt d 角加速度 dt
力矩
M
m
转动惯量 J
动量
P mv
角动量
L J
r
dm
2
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照 质点的平动 刚体的定轴转动
EPB EkB EPA EkA
3–4
第三章 刚体的转动 刚体绕定轴转动的动能定理 1 2 4 2 2 J J1 J 2 ml ml ml 3 3
取A点的重力势能为零,即 则有 而
EPA 0
5.4刚体定轴转动中的功和能讲述
解：拉力 FT
Ro
m' m
h
m
2、公式：
P
dA dt
Mz
d
dt
M z
可见，力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。
功率一定时，转速越大，力矩越小；
转速越小，力矩越大。
6
5.4 刚体定轴转动中的功和能
二、刚体的转动动能 （刚体上所有质元的动能之和。）
设系统包括有 N 个质量元，
z
Δ m 1 , r1 , v1,
Δ m r2 v2
2
, ,
为 求：10）。它设的它角所速受度的从阻力矩0 变为到M
K
0）在上述过程中阻力矩所做的功。
解： 1）由转动定律：M J d K
dt
0 / 2 d t K
dt
t J ln 2
0 0 J
K
2）由动能定理：
A
1 2
J 0
2
2
1 2
J
2 0
3 8
. r
r'
dθrii
i
中，N 个外力所作的总功为：
P
nN
Nn
dA dAi ( M zi )d M z d
i1
i1
nN
式中 M zi 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力
i 1
矩的代数和，也就是作用于刚体的外力对转轴的合外
力矩Mz 。
4
5.4 刚体定轴转动中的功和能
如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位
此位置下摆 角时的角速度。
解： 由动能定理：
M 1 mglcosθ
2
A
θ
Mdθ
θ l mgcosθdθ
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
物理学
第五版
4-4
力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
M 4 µg α= = 作匀加速转动） （作匀加速转动） J 3R 3ωR 由 ω = ω0 + αt 可求得 t = 4 µg 2 2 (3) 由 ω = ω0 + 2αθ 可得在 0 到 t ) 2 的时间内， 的时间内，转过的角度为 θ = 3ω R 8µg 1 驱动力矩做的功为 W = Mθ = mR 2ω 2 4
第四章 刚体的转动
13
物理学
第五版
4-4
力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
解 (1) 如图取面 ) 积元ds 积元 = drdl，该面元 ， 所受的摩擦力为
df
df =
µ mg
πR
2
o
r
dl dr
drdl
R
此力对点o的力矩为
rdf =
µmg
πR
2
rd r d l
刚体的转动
14
第四章
物理学
第五版
4-4
O
G
N
θ
A
l dA = mg cosθdθ 2
π
ω
A′ G
l l 2 A = ∫ dA = ∫0 mg cosθdθ = mg 2 2
第四章 刚体的转动
11
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 按力矩的功和转动动能增量的关系式得
由此得
l 1 2 mg = Jω 2 2 mgl ω= J
例， 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘 作匀速转动． 面的轴以角速率 ω 作匀速转动．放上唱片 后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转 设唱片的半径为R，质量为m， 动．设唱片的半径为 ，质量为 ，它与转 盘间的摩擦系数为 µ ，求：(1)唱片与转盘 ) 间的摩擦力矩； ) 间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度 ω时需 要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱 要多长时间； )在这段时间内， 动力矩做了多少功？ 动力矩做了多少功？
力矩的功
例5、一根细绳跨过光滑的定滑轮，一端挂一质量为 M的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量为 m=M/2，若人相对绳子以加速度a0向上爬，则人相对 地面的加速度（以竖直向上为正）是多少？
Mg T m a 2a 0 g 1 Mg 1 M(a a ) a 3 0 2 2
1
2 2
W Ek 2 Ek1
意义：刚体的转动动能的增量等于对同一轴的合外力矩对 刚体所做的功。
5、刚体的重力势能
一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量 都集中在质心时所具有的势能。均匀分布，形状对称的 刚体质心即为中心。
6、机械能守恒定律
对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内 力做功,则此系统的机械能守恒。
E、若物体的加速度 a 为恒矢量，它一定作匀变速率运动
刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度 二次方的乘积的一半
4、刚体定轴转动的动能定理
d Md J d 将两边乘以d： dt
微分形式： 两边同时积分有：
2 2
定轴转动定律 M J
即Md Jd
1 J12 2
1
1 2 dw d( J ) 2 1 Md Jd 2 J
1 1 2 2 W J 2 J 1 2 2Βιβλιοθήκη 角动量守恒 ( Fi 0)
P const
( Mi 0 )
L const
守恒定律（系统）
条件：
( A外力 A非保内力 0)
补充：
1）保守力
F dr 0
2）势能和保守力的关系
E a Aa 参考 点
例6、质量为5.6g的子弹A，以501m/s的速率水平射 入一静止在水平面上的质量为2kg的木块内，A射入 B后，B向前移动了50米后而停止，求： 1、B对水平面间的摩擦系数
4-4定轴转动的动能定理
三.定轴转动的动能定理
根据定轴转动定理 则物体在
dt时间内转过角位移 dθ = ω dt 时
d M = (Jω) dt
外力矩所做元功为： 外力矩所做元功为：
d dθ dA = Mdθ = ( Jω)dθ = Jdω = Jωdω dt dt
θ2 ω2
总外力矩对刚体所作的功为： 总外力矩对刚体所作的功为：
§4-4 定轴转动的动能定理 一.力矩的功
1.定义：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发 定义： 定义 生角位移时，就称力矩对刚体做功。 生角位移时，就称力矩对刚体做功。 由于刚体内任意两质点 的相对位移为零， 的相对位移为零，所以 内力不做功； 内力不做功；平行于转 轴的的外力也不做功； 轴的的外力也不做功； r 只有垂直于转轴的力 F 才做功(即在图示中的 才做功 即在图示中的 r 就是在平面内的力) F 就是在平面内的力 0
r r
0‘
dθ
r dr
r F
ϕ
P
r 作用下， 在外力 F 作用下，刚体有一角位移 dθ ，对应线位移 r，则 为 dr r 点作功： 力 F 对 P点作功： 点作功
r r d A = ϕ)
0
= F ds sin ϕ = Fr dθ sinϕ
r r
0‘
dθ
r dr
1 2 ∆mivi 2
v = ωr
i i
因此整个刚体的动能 1 1 2 EK = ∑ ∆mivi = 2 2
(∑∆m r )ω
2 i i
2
刚体的转动动能
式中∑∆miri 2是刚体对转轴的转动惯量 所以上式写为
J
，
1 2 EK = Jω 2
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因 上式中的动能是刚体因转动而具有的动能， 此叫刚体的转动动能。 此叫刚体的转动动能。
44力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理
19
7
物理学 教程
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
o
圆 锥 摆
'
圆锥摆系统
动量不守恒；
R
T
m
p
o
v
角动量守恒； 机械能守恒．
8
物理学 教程
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例：如图，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔O，绳的一端系 有一质量为m的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。 设开始时小球以角速度0 绕孔O 作半径r 的匀速圆周运动, 现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止 求：这一过程中拉力的功。
Mgh
2 Mgh kh h 1 零势面 M m 2 (2)弹簧伸长最大时，M 的速度应为零。上式中令v=0，得弹
1 J mr 2 , v r 2
2
Mv
J kh 2 2
由此解得： v
2
M
簧的最大伸长量为：hmax 2 Mg / k
12
物理学 教程
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
3
细杆绕质心转动的转动惯量： J c 1 Ml 2
(4)
m
联立求解上述方程组
2m v 4m M 0 欲使细杆运动半圈后与小球再次相碰，须使 v1 v2 v2
6mv 0 l ( 4m M )
v1 4m M v0 4m M
(即两者运动一样快)，条件为：M=2m
17
物理学 教程
——刚体绕定轴转动的动能定理
比较
1 1 2 2 W F dr mv2 mv1 2 2
4
物理学 教程
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力矩的功转动动能动能定理
第四章 刚体的转动
8
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例2 一长为 l , 质量为m’ o 的竿可绕支点O自由转动．一 30 / m 质量为m 、速率为v 的子弹 a m 射入竿内距支点为a 处，使竿 o 的偏转角为30 . 问子弹的初 v 速率为多少? 解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
第四章 刚体的转动
4
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
解 (1) 如图取面 积元ds = drdl，该面元 所受的摩擦力为
df
df
mg
πR
2
drdl
R
o
r
dl dr
此力对点o的力矩为
rdf
mg
πR
2
rdrdl
刚体的转动
5
第四章
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
一
力矩作功 dW F dr Ft ds
v
d
Ft
F
Ft rd
dW Md
力矩的功 W
dr
o
r
x
2
1
Md
刚体的转动
1
第四章
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
二
dW d 力矩的功率 P M M dt dt 比较 W F dr P F v
——刚体绕定轴转动的动能定理
比较
1 1 2 2 W F dr mv2 mv1 2 2
8
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例2 一长为 l , 质量为m’ o 的竿可绕支点O自由转动．一 30 / m 质量为m 、速率为v 的子弹 a m 射入竿内距支点为a 处，使竿 o 的偏转角为30 . 问子弹的初 v 速率为多少? 解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
第四章 刚体的转动
4
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
解 (1) 如图取面 积元ds = drdl，该面元 所受的摩擦力为
df
df
mg
πR
2
drdl
R
o
r
dl dr
此力对点o的力矩为
rdf
mg
πR
2
rdrdl
刚体的转动
5
第四章
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
一
力矩作功 dW F dr Ft ds
v
d
Ft
F
Ft rd
dW Md
力矩的功 W
dr
o
r
x
2
1
Md
刚体的转动
1
第四章
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
二
dW d 力矩的功率 P M M dt dt 比较 W F dr P F v
——刚体绕定轴转动的动能定理
比较
1 1 2 2 W F dr mv2 mv1 2 2
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
轴以角速率ω 作匀速转动．放上唱片后，唱片将 在摩擦力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径 为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为 ，求： (1)唱片与转盘间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速 度 时需要多长时间； (3)在这段时间内，转盘的 ω 驱动力矩做了多少功？
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
作的总功为 二、力矩的功率
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能
对所有质元的动能求和
∑
∑
转动惯量 J
得
J
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
四、刚体绕定轴转动的动能定理
回忆质点的动能定理
刚体转动的动能定理
由 力矩的元功 转动定律 则
合外力矩的功
称为
转动动能的增量
L J
2、角动量定理.
dL M dt
2015-7-12
微分形式
积分形式
t1 M dt L2 L1 t2 冲量矩 M dt
t2
t1
17
3、角动量守恒定律.
若作用于物体的合外力矩 M 0 ,则角动量守恒: L 恒矢量
对质点有: 对刚体有:
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第一节
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
一 力矩作功
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力
的元功
力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，
o
x
dx x
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
作的总功为 二、力矩的功率
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能
对所有质元的动能求和
∑
∑
转动惯量 J
得
J
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
四、刚体绕定轴转动的动能定理
回忆质点的动能定理
刚体转动的动能定理
由 力矩的元功 转动定律 则
合外力矩的功
称为
转动动能的增量
L J
2、角动量定理.
dL M dt
2015-7-12
微分形式
积分形式
t1 M dt L2 L1 t2 冲量矩 M dt
t2
t1
17
3、角动量守恒定律.
若作用于物体的合外力矩 M 0 ,则角动量守恒: L 恒矢量
对质点有: 对刚体有:
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第一节
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
一 力矩作功
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力
的元功
力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，
o
x
dx x
力矩做功
定轴转动刚体的角动量守恒定律
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程. 第三阶段是物体在碰撞后的 滑行过程.物体作匀减 滑行过程 速直线运动, 速直线运动,加速度由牛顿第二定律求得为
mg = ma
由匀减速直线运动的公式得
( 3)
0 = v + 2 as
2
亦即
v
2
= 2 gs
(4) )
由式(1),(2)与(4)联合求解,即得 由式( 联合求解,
3g L 3 an = ω R = = g L 2 2
r v
从上往下看,以顺时针 从上往下看 以顺时针 方向为正
r v0
m y
M
z
l
x
弹性碰撞系统机械能守恒: 弹性碰撞系统机械能守恒:
l l mv 0 = mv + J ω 2 2
1 代入, 联立将 J = Ml 2 代入,舍弃 v = v0 的解 12 12m M 3m v0 ω= v= v0 ( M + 3 m )l M + 3m
1 2 L A mgL = Jω + mg 零势面 2 2 1 mgL = 3 g ω= ( J = mL2 ) J L 3 L 1 vc = ω = 3 gL 方向: 方向:向左 2 2 v A = ωL = 3 gL
mg
(2) )
r ac
aτ = βR = 0
2
(因竖直位置 因竖直位置M=0 β=0) 因竖直位置
的均匀细棒, 例, 一根质量为 M ,长为 l 的均匀细棒,可绕通过棒 平面内转动. 中心的垂直轴 Z ,在XY平面内转动.开始时静止,今有 平面内转动 开始时静止, v 逆着轴的方向碰撞棒的端点, 质量为 m 的小球以速度 0 逆着轴的方向碰撞棒的端点, v 假设碰撞是弹性的, 假设碰撞是弹性的,试求碰撞后小球的弹回速度 和棒的 ω . 角速度 系统的外力有小球的 m M l r 重力(与转轴平行 与转轴平行), 重力 与转轴平行 ,细 v0 x 棒的重力和转轴上的 支撑力(通过转轴 通过转轴).系 支撑力 通过转轴 系 y z 统所受合外力矩为零 而角动量守恒. 而角动量守恒 研究系统:小球, 研究系统:小球,细棒
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90
0 mg
90
l 2
cos d
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
始末两态动能： 由动能定理：
Ek
1
第四章 刚体的转动
2
J
2
,
E k0 0
W E k E k0
1 2
mgl
1 2
J 1
2
0
2
m ,l
o
3 1 1 1 2 2 mgl ( ml ) 2 2 3 mg 3g l 本题可用机械能守恒定律计算
第四章 刚体的转动
o
30
m va (
1 3
m l ma )
2 2
a
v
m
'
3m va m ' l 3 ma
2 2
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
m 'l
3m va
2
第四章 刚体的转动
3 ma
2
o
30
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
F
dr
o
dW M d
力矩的功 W
2
1
M d
P dW dt M d dt M
x
二
力矩的功率
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
三
转动动能
第四章 刚体的转动
Ek
i
1 2
miv
2
2 i
1 2
( m i ri )
2 i
2
1 2
J
2
Ek Ek
与质点的动能定理比较：
W
1 2
mv
2
1 2
mv 0
2
如果刚体既有平动又有转动——刚体的平面平行 运动，则其动能等于其（质心）的平动动能和绕过质 心的垂直轴的转动动能的和。
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第四章 刚体的转动
如果研究对象中既有平动物体（质点、刚体）又 有转动刚体，在考虑刚体绕定轴转动动能的情况下， 可将质点系的动能定理、功能原理和机械能守恒定律 推广到包含刚体的物体系。 当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，且系 统中只有保守力作功，其它力与力矩不作功时，物体 系的机械能守恒。
a
v
m
'
1 1 l 2 ma 2 ) ( m 2 3
2
l 2
mga (1 cos 30 ) m g
v g (2
(1 cos 30 )
3 )( m l 2 ma )( m l 3 ma ) 6 ma
2 2
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
J
ml
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例2 一长为 l , 质量为 m 的竿可绕支点O自由 转动 . 一质量为 m 、速率为 v 的子弹射入竿内距支 点为 a 处，使竿的偏转角为30º 问子弹的初速率为 . 多少 ? 解 把子弹和竿看作一个系统 . 子弹射入竿的过程系统角动量守恒
四
1 2 1 2
mv J
为质点的（平动）动能 为刚体的转动动能
2
刚体绕定轴转动的动能定理
W
2
1
M d
1
1
J
d dt
d
2
1
J d
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
W
2
1
M d
1
J
2
2 2
1 2
第四章 刚体的转动
J
2 1
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量 .
mv
2
1 2
J
2
kh
2
v R
求解得
v
2 mgh kh m J /R
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第四章 刚体的转动
作业 《大学物理习题精选I》P. 19
1. 填空题: 11、12；
2. 计算题: 8、9、10、11。
下次课请大家带物理学下册
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动 能定律
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力的空间累积效应
力的功,动能,动能定理.
第四章 刚体的转动
力矩的空间累积效应 一 力矩作功 d W F d r Ft d s
Ft rd
力矩的功,转动动能,动能定理.
d
Ft
r
v
E0 E
E
1 2
mv
2
1 2
J
2
1 2
kx
2
mgh
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
讨论
第四章 刚体的转动
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
子 弹 击 入 杆
v
o
圆 锥 摆
m
p
o
T
'
o
v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 动量守恒； 动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 机械能不守恒 . 机械能守恒 .
如图所示的物体系中， 劲度系数为 k的弹簧开始 时处在原长，定滑轮的 半径为 R、转动惯量为 J， 质量为 m 的物体从静止 开始下落,求下落 h 时物 体的速度 v。
解：在物体 m 下落过程中只有重力和弹 力保守力作功，物体系机械能守恒。
k
第四章 刚体的转动
J ,R
h
m
1 2
2 2
mgh
1 2
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例1 一细杆质量为m，长度为l， o 一端固定在轴上，静止从水平位置 摆下，求细杆摆到铅直位置时的角 速度。 解：以杆为研究对象， 只有重力产生力矩，且重 力矩随摆角变化而变化。 重力矩作功：第四章 刚体的转动源自m ,lmg
W 重 0 Md 1 mgl 2