力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动 能定律
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力的空间累积效应
力的功,动能,动能定理.
第四章 刚体的转动
力矩的空间累积效应 一 力矩作功 d W F d r Ft d s
Ft rd
力矩的功,转动动能,动能定理.
d
Ft
r
v
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例1 一细杆质量为m，长度为l， o 一端固定在轴上，静止从水平位置 摆下，求细杆摆到铅直位置时的角 速度。 解：以杆为研究对象， 只有重力产生力矩，且重 力矩随摆角变化而变化。 重力矩作功：
第四章 刚体的转动
m ,l
mg
W 重 0 Md 1 mgl 2
J
ml
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例2 一长为 l , 质量为 m 的竿可绕支点O自由 转动 . 一质量为 m 、速率为 v 的子弹射入竿内距支 点为 a 处，使竿的偏转角为30º 问子弹的初速率为 . 多少 ? 解 把子弹和竿看作一个系统 . 子弹射入竿的过程系统角动量守恒
mv
2
1 2
J
2
kh
2
v R
求解得
v
2 mgh kh m J /R
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第四章 刚体的转动
作业 《大学物理习题精选I》P. 19
1. 填空题: 11、12；
2. 计算题: 8、9、10、11。
下次课请大家带物理学下册
与质点的动能定理比较：
W
1 2
mv
2
1 2
mv 0
2
如果刚体既有平动又有转动——刚体的平面平行 运动，则其动能等于其（质心）的平动动能和绕过质 心的垂直轴的转动动能的和。
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第四章 刚体的转动
如果研究对象中既有平动物体（质点、刚体）又 有转动刚体，在考虑刚体绕定轴转动动能的情况下， 可将质点系的动能定理、功能原理和机械能守恒定律 推广到包含刚体的物体系。 当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，且系 统中只有保守力作功，其它力与力矩不作功时，物体 系的机械能守恒。
a
v
m
'
1 1 l 2 ma 2 ) ( m 2 3
2
l 2
mga (1 cos 30 ) m g
v g (2
(1 cos 30 )
3 )( m l 2 ma )( m l 3 ma ) 6 ma
2 2
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
90
0 mg
90
l 2
cos d
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
始末两态动能： 由动能定理：
Ek
1
第四章 刚体的转动
2
J
2
,
E k0 0
W E k E k0
1 2
mgl
1 2
J 1
2
0
2
m ,l
o
3 1 1 1 2 2 mgl ( ml ) 2 2 3 mg 3g l 本题可用机械能守恒定律计算
如图所示的物体系中， 劲度系数为 k的弹簧开始 时处在原长，定滑轮的 半径为 R、转动惯量为 J， 质量为 m 的物体从静止 开始下落,求下落 h 时物 体的速度 v。
解：在物体 m 下落过程中只有重力和弹 力保守力作功，物体系机械能守恒。
k
第四章 刚体的转动
J ,R
h
m
1 2
2 2
mgh
1 2
第四章 刚体的转动
o
30
m va (
1 3
m l ma )
2 2
a
v
m
'
3m va m ' l 3 ma
2 2
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
m 'l
3m va
2
第四章 刚体的转动
3 ma
2
o
30
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
四
1 2 1 2
mv J
为质点的（平动）动能 为刚体的转动动能
2
刚体绕定轴转动的动能定理
W
2
1
M d
1
1
J
d dtBiblioteka Baidu
d
2
1
J d
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
W
2
1
M d
1
J
2
2 2
1 2
第四章 刚体的转动
J
2 1
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量 .
E0 E
E
1 2
mv
2
1 2
J
2
1 2
kx
2
mgh
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
讨论
第四章 刚体的转动
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
子 弹 击 入 杆
v
o
圆 锥 摆
m
p
o
T
'
o
v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 动量守恒； 动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 机械能不守恒 . 机械能守恒 .
F
dr
o
dW M d
力矩的功 W
2
1
M d
P dW dt M d dt M
x
二
力矩的功率
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
三
转动动能
第四章 刚体的转动
Ek
i
1 2
miv
2
2 i
1 2
( m i ri )
2 i
2
1 2
J
2
Ek Ek
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力的空间累积效应
力的功,动能,动能定理.
第四章 刚体的转动
力矩的空间累积效应 一 力矩作功 d W F d r Ft d s
Ft rd
力矩的功,转动动能,动能定理.
d
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v
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例1 一细杆质量为m，长度为l， o 一端固定在轴上，静止从水平位置 摆下，求细杆摆到铅直位置时的角 速度。 解：以杆为研究对象， 只有重力产生力矩，且重 力矩随摆角变化而变化。 重力矩作功：
第四章 刚体的转动
m ,l
mg
W 重 0 Md 1 mgl 2
J
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4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例2 一长为 l , 质量为 m 的竿可绕支点O自由 转动 . 一质量为 m 、速率为 v 的子弹射入竿内距支 点为 a 处，使竿的偏转角为30º 问子弹的初速率为 . 多少 ? 解 把子弹和竿看作一个系统 . 子弹射入竿的过程系统角动量守恒
mv
2
1 2
J
2
kh
2
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求解得
v
2 mgh kh m J /R
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第四章 刚体的转动
作业 《大学物理习题精选I》P. 19
1. 填空题: 11、12；
2. 计算题: 8、9、10、11。
下次课请大家带物理学下册
与质点的动能定理比较：
W
1 2
mv
2
1 2
mv 0
2
如果刚体既有平动又有转动——刚体的平面平行 运动，则其动能等于其（质心）的平动动能和绕过质 心的垂直轴的转动动能的和。
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第四章 刚体的转动
如果研究对象中既有平动物体（质点、刚体）又 有转动刚体，在考虑刚体绕定轴转动动能的情况下， 可将质点系的动能定理、功能原理和机械能守恒定律 推广到包含刚体的物体系。 当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，且系 统中只有保守力作功，其它力与力矩不作功时，物体 系的机械能守恒。
a
v
m
'
1 1 l 2 ma 2 ) ( m 2 3
2
l 2
mga (1 cos 30 ) m g
v g (2
(1 cos 30 )
3 )( m l 2 ma )( m l 3 ma ) 6 ma
2 2
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
90
0 mg
90
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4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
始末两态动能： 由动能定理：
Ek
1
第四章 刚体的转动
2
J
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,
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1 2
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1 2
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m ,l
o
3 1 1 1 2 2 mgl ( ml ) 2 2 3 mg 3g l 本题可用机械能守恒定律计算
如图所示的物体系中， 劲度系数为 k的弹簧开始 时处在原长，定滑轮的 半径为 R、转动惯量为 J， 质量为 m 的物体从静止 开始下落,求下落 h 时物 体的速度 v。
解：在物体 m 下落过程中只有重力和弹 力保守力作功，物体系机械能守恒。
k
第四章 刚体的转动
J ,R
h
m
1 2
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1 2
第四章 刚体的转动
o
30
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4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
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第四章 刚体的转动
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30
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
四
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为质点的（平动）动能 为刚体的转动动能
2
刚体绕定轴转动的动能定理
W
2
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4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
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第四章 刚体的转动
J
2 1
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量 .
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1 2
J
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4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
讨论
第四章 刚体的转动
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
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子 弹 击 入 杆
v
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圆 锥 摆
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以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 动量守恒； 动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 机械能不守恒 . 机械能守恒 .
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力矩的功 W
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二
力矩的功率
4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
三
转动动能
第四章 刚体的转动
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