9.2多边形的内角和与外角和

例7.如果一个多边形的边数增加1,则这个多边形的 增加180 内角和_____ °
例8. 五边形中,前四个角的比是1:2:3:4,第五个角 比最小角多100 °,则这个五边形的内角分别为 _____




解;设五边形中前四个角的度数分别是 x,2x,3x,4x,则第五个角度数是x+ 100 °. X+2x+3x+4x+x+ 100 °= （5－2） ×180° 11X +100 °= 540° 11X = 440° X = 40° 则这个五边形的内角分别为40, 80°, 120°, 160°, 140°.
鹤壁四中初一数学组
目录

1.多边形的定义 2.正多边形的定义 3.多边形的对角线 4.多边形的内角和 5.多边形的外角和
三角形有三个内角、三条边，我们也可以把 三角形称为三边形（但我们习惯称为三角 形）．
你能说出三角 形的定义吗？
三角形是由三条不在同一条直线上的线段 首尾顺次连结组成的平面图形

解: 120°n=（n－2）×180° 120°n=n×180°-360 ° 60°n =360 ° n =6
例5.如果一个正多边形的一个内角等于150°,则 A 这个多边形的边数是_____ A.12 B.9 C. 8 D.7
例6.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这 个多边形的边数是_____
思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？ 3
今天你学到了什么知识？你 能用自己的话说说吗？
同学们:路漫漫而其修远兮! 吾将上下而求索!
与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个， 这两个外角是对顶角．从与每个内角相邻的两 个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边 形的外角和
请大家细心地填一填，多边形的内角，边，外 角三者的关系表，你能发现什么规律？
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
n n
6
8
10
12
14
2n
三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这 样的三角形就叫做正三角形。
正三角形 正四边形 正五边形 (或正三边形) (或正四边形)
正六边形
正八边形
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么 这样的多边形就叫做正多边形。如正三角形、正四 边形（正方形）、正五边形等等 。
容易看出，4个外角+4个内角=4个平角 而4个内角的和是360 ° ， 那么四边形的外角和就是4X 180°-360°= 360°
那么出五边形，六边形，n边形的外角和吗？
任 意 多 边 形 的 外 角 和 都 为 3 6 0
五边形的外角和就是5X 180°-540°= 360 ° 六边形的外角和就是6X 180°-720°= 360°
哇!这么简单呀!
例3. 已知在一个十边形中，九个内角的和的度 数是1290°，求这个十边形的另一个内角的度 数.
先求出十边形的内角和 再减去1290°,就可以得出.
解: （10－2）×180° =1440 ° 则十边形的另一个内角的度数为 1440 °- 1290° =150 °

那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?
下面所示的图形也是多边形，但不在我们 凸多边形 现在研究的范围内 。 有什么不同？
凹多边形
注意 我们现在研究的是如右图所示的 多边形，也就是所谓的凸多边形
既然三角形有三个内角、三条边，六个外角， 那么四边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
图 8.3.2
1.如图8.3.2所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四 边形ABCD的四个内角 2.AB，BC，CD，DA是四边形ABCD的四条边
E A
B
F
C
D
1.先把三角形的三个外角和三个内角这六个角 的和求出来，刚好是三个平角。 2.再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下 的就是三角形的外角和了！
那 么 你 能 研 究 出 四 边 形 的 外 角 和 吗 ？
整体思路：1.先求4个 外角+4个内角的和； 2.再减去4个内角的和
图 8.3.6
既然我们已经知道什么叫三角形，你能根据三角形 的定义，说出什么叫四边形吗？
四边形是由四条不在同一直线上 的线段首尾顺次连结组成的平面 图形，记为四边形ABCD
五边形，它是由五条不在同一直 线上的线段首尾顺次连结组成的 平面图形，记为五边形ABCDE
那么多边形的定义呢？
一般地，由n条不在同一直线 上的线段首尾顺次连结组成的 平面图形称为n边形，又称为 多边形．
我们学习数学的 基本思想什么？ 化未知为已知
那么我们能不能利 用三角形的内角和，来 求出四边形的内角和， 以及五边形、六边形， n边形的内角和？
1.从一个顶点出发
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形 转化为三角形？
3
4
5
n-2
180 ° (n-2)
540 ° 720 ° 900 °
由此，我们就可以得出 :
2.从边上的一个点出发
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形 转化为三角形？
2
180 °
3
4
5
6
n-1
36 0 ° 540 °
720 ° 900 °
180 ° (n-1)-180 °
3.从多边形内一个点出发
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形 转化为三角形？
3
4
5
6
7
n
180 ° n-360°
解 （n－2）×180° =（8－2）×18ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ° =1 080°
老师,可以用计算器吗?
例2.已知多边形的内角和的度数为900°， 7 则这个多边形的边数为________

解
（n－2）×180° = 900° （n－2）= 900° /180° （n－2） = 5 n= 5 +2 n=7
因为正多边形的每个角相等,所以知道 正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数.
（n－2）×180°/ n
例4.正五边形的每一个内角等于_____,外角等于 ___.

解: （n－2）×180°/ n = （5－2）×180°/5 =540°/5 =108°
例5.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则 这个多边形的边数是_____

(n-2) 180 ° n边形的内角和为_________________． 它有什么作用 呢? 1.知道多边形的边数,可以求出多边形的度数. 2.知道多边形的度数,可以求出多边形的边数.
例1.求八边形的内角和的度数．
分析: n边形的内角和公式为(n-2) 180 ° , 现在知道这个多边形的边数是， 代入这个公式既可求出.
180 ° 36 0 ° 540 °
720 ° 900 °
4.从多边形外一个点出发
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形 转化为三角形？
180 °n- 36 0 ° = 180 °n-
2X180 °
= 180 °(n-2)
前面我们学习了三角形的外角和是360 ° ， 当时是怎样研究出来的？
。。。。。。
n边形的外角和就是nX 180°- (n-2)X 180° = (n-n+2)X 180° = 360 °
°
72° 例9.正五边形的每一个外角等于___.每一个内角 等于_____, 144°
例10.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则 6 这个多边形的边数是_____ 例11.如果一个正多边形的一个内角等于150°,则 这个多边形的边数是_____ A A.12 B.9 C. 8 D.7
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边 形的对角线.
线段AC是四边形ABCD的一条对角线； 多边形的对角线用虚线表示。
请大家思考：五边形ABCDE共有几条对角线呢？
五边形ABCDE共有5条对角线。
请大家思考：六边形ABCDEF共有几条对角线呢？
有没有什么 规律呢？
六边形ABCDEF共有9条对角线。
请问：四边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 1
请问：五边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 2
请问：六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 3
……
请问：N边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ N-3
我们已经知道一个三角形的内角和等于180°， 那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形 呢？由此，n边形的内角和等于多少呢？
3.∠CBE 和 ∠ ABF 都 是 与 ∠ ABC 相 邻 的 外 角 ， 两者互为对顶角，四边形有八个外角。
那么五边形有几个内角？几条边？几个外角呢？ 五边形有5个内角，5条边，10个外角
那么六边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
六边形有6个内角，6条边，12个外角 那么n边形有几个内角？几条边？几个外角呢？ n边形有n个内角，n条边，2n个外角
例12.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则 12 这个多边形的边数是_____
例13.一个正多边形的一个内角和是外角和的2倍, 则这个多边形为( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D. 六边形
例14.一个正多边形的一个内角和与外角和的比 是7:2,则这个多边形的边数为( )
思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？