能带理论 5 电子能带理论

Λ ：Γ L轴，三度旋转轴，
波矢取值， 2 （，，） a Σ ：Γ K轴，二度旋转轴， 波矢取值， 2 0<<1/2；
（，， 0） a
0< <3/4。
体心立方晶格的第一布里渊区
• 体心立方晶格的倒格子是 面心立方格子。本图中用 实心圆点标出了倒格点。 在倒空间中画出它的第一 布里渊区。如果正格子体 心立方体的边长是a，则倒 格子为边长等于4π /a的面 心立方。
2 H n r VKS r n r En n r
如果 TRl 表示将位矢 r 变到 r + Rl 的平移操作算符，就有
TRl H n TRl En n
HTRl n EnTRl n
这就表示，所有的 TRl n 与本征函数 n 具有同样的本征能量 En
En En k
上述定理用数学形式表示即为
TRl n k , r n k , r Rl eik Rl n k , r
n k , r 称为布洛赫函数，用它描写的晶格电子也称为布洛赫电子。
重要推论
1. 晶格电子可用通过晶格周期性调幅的平面波表示。 2. 只需将k值限制在一个包括所有不等价k的区域求解 薛定谔方程，这个区域称为布里渊区。
简单立方晶格的第一布里渊区
体心立方晶格的第一布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
简单六角结构的第一布里渊区
§5
布里渊区
2维方格子的布里渊区
二维正方晶格的布里渊区
二维长方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
主要对称轴： Δ ：Γ X轴，四度旋转轴， 波矢取值， 2 （， 0， 0 ） 0<δ <1； a
E n 属于En 如果 n 是非简并的，即只有一个
n
那么除了一个相因子外
TRl n 应与 n 相同：
TRl 的本征值方程。
TRl n l n
且

l 2
1
i
l可以写成 ei 的形式。再由
有 TR TR TR 和 l m p 可得
Rl Rm Rp
i p
e
第五章 电子能带理论
教学目的：
掌握布洛赫波函数、平均速度、有效质量、区分导 体、半导体和绝缘体；了解布拉格反射、各种近似方法。
Baidu Nhomakorabea1
一．布洛赫定理
布洛赫（Bloch）定理
如果将固体抽象为理想晶体，Kohn-Sham方程
VKS Rl + r VKS r
中的势 VKS r ，具有理想晶体同样的平移对称性，即
u s u（0）e i（t ska）
当
k k G时
u u（0）e
i[（k
2 2? n）t s（k n] a a
u（0）e i[（k）t ska] .eis 2n
u (0)ei (t ska )
因为 (k ) (k G) 则 eis 2 n 1 当波矢k平移倒易点阵矢量后所给出的简正模式是同 一个模式，频率及每个原子的位移都是相同的，这两个 格波是同一个格波。
v
可用它们的线形组合产生一个新的等价的基。用新的基表示， l 上述 矩阵成为对角形式： vv '
lvv eik R
v l
于是可得到
TRl nv lvv ' nv lvv nv
v ' 1
fn
相应地有
lvv ' lvv vv '
k 也是一个描写本征函数的量子数。而 n k , r 同时也是哈密顿 算符的本征函数，因此本征值 E n 也依赖于 k ，即：
主要的对称点： 2 Γ ：2（0， ； H ： ； （ 1， 0， 0） 0， 0）
P：
2 1 1 1 2 1 1 （ ， ， ）；N： （ ，， 0） a 2 2 2 a 2 2
a
a
§6
紧束缚方法
紧束缚方法 (tight-binding，TB) 第一次由 Bloch 在1929年提出，其中心思想就是用原子轨道的线性组合 (LCAO) 来作为一组基函数，由此而求解固体的薛定谔方 程。这个方法是基于这样的物理图像，即认为固体中的 电子态与其组成的自由原子差别不大。紧束缚方法在绝 缘体的能带结构研究中是很成功的。由于原子轨道处于 不同的格点上，由它们组成的基函数一般是非正交的。 因此必然会遇到多中心积分的计算问题，而且本征方程 形式也不简便。
l 平移群的每个算符 TR 通过上式用一个矩阵 vv ' 表示。 显然，这种矩阵是满足与 TR 相同的乘法规则的，即：
l l
fn
l m p TRl TRm TRp vv ' v ' v '' vv '' v ' 1
fn
l n 基的 f n 维表示形成的矩阵群。 vv 也构成一个群，是平移群在以 '
二．第一布里渊区
简正模式的色散关系有一个重要的性质：
一维时 则
（k ） （G K） 2
G a
n（n为整数）
2 （k） （k n） a 当把k换成时对应的频率完全一样，不仅频率相等，
而且与这两个波矢相应的原子的位移情况也一样，进一 步说这两个简正模式是同一个简正模式，是代表同一个 格波。
如上图
5a
2 k 5a
12 k ` ， 5a 2 k `k a
5a `` ， 6
∴k与k‘是同一列格波,是同一个简正模式
在满足周期性边界条件下，凡是波矢相差一个倒易点 阵矢量 G 的简正模式是同一个简正模式，这样我们就可把格 波的波矢ｋ限制在第一布里渊区之中，第一布里渊区以外的 k总可以平移一个G 后用第一布里渊区中的k来等价描述，第 一布里渊区以外k只不过是第一布里渊区中的ｋ的重复和再 现而已。 每一个简正模式代表一个一定频率与波矢的平面波，那 么运动方程就有N个独立的简正模式解，但这些解都不代表原 子的真实位移。 在点阵振动中，我们不研究原子的真实位移，因为这是毫 无实际意义的。它对晶体的物理性质（如热学性质等）并没有 什么贡献，而有贡献的只是存在有那些简正模式。
l
i l m
e
l eik R
如果 En 是 f n 度简并的，即有 f n 个相互正交的本征函数
n nv 1, 2, , f n 属于 En
v
那么 TRl作用于 nv 后得到的函数应为 nv 的线形组合，即
l TRl nv vv ' nv v ' 1