保险精算生命表课件

ex E[T ( x)] t t px xt dt
0



0 t
px dt
18
死亡力

生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在 0~1上的积分
d x lx t x t dt
0

1
生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在0~1上的积分
yqx 1 tq x qx 1 tq x
1 e
ut
e ut
y
q x t
1 e
ut
x t
fT (t ) t px x t )

e ut u
px 1 (1 t )qx yqx 1 (1 y t )qx qx 1 (1 t )qx
px qx [1 (1 t ) qx ]2
qx
33
生命表的编制

一、生命表编制的一般方法

二、选择生命表
34
生命表编制的一般方法

时期生命表(假设同批人生命表)：采用假设同批人方法
编制，描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平，反 映了假定一批人按这一时期各年龄死亡水平度过一生时 的生命过程。
t 0 n 1
4
生命表基本函数
npx：
x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。 当n=1，简记为px 。
dx qx lx d x n lx n lx
l xn n px lx
n qx n px 1
5
生命表基本函数
Lx lx t dt
0

1
生命表x岁累积生存人年数Tx正是生存人数函数lx+t在0~∞上的积分
Tx lx t dt
0
19

死亡力
对于x岁期望剩余寿命
ex

0
，可以证明：


0
t t px x t dt
0 t 0
0
d ( t px ) tdt dt
t pxt 0
由死亡力的定义， x t
d ln t p x dt
t dt 0 e t px e
29
死亡力恒定假设
若以
x1 / 2 表示 x t ，有
x1/ 2 ln px
此时，
tμx1/ 2 t p e ( p ) t x x
30
巴尔杜奇(Balducci)假设
(0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１)
x t
s' ( x t ) s( x) s( x 1) qx s( x t ) s( x) t[ s( x) s( x 1)] 1 tqx
28
死亡力恒定假设
xt (x为整数，0≤t≤1)， 当假设死亡力在x~x+1上恒定时，
Dx：某年龄x岁的死亡人数；
P x ： x岁的平均人数，即年初x岁人数与年末x岁人数的
平均数，有时也用年中人数代替。
35
生命表编制的一般方法

x岁的中心死亡率

m '（ x 分年龄死亡率）为， Dx ' mx Px 生命表分年龄中心死亡率 mx ：生命表分年龄死亡人数
在分年龄生存人年数中的比例。
s( x) f ( x) x ln[ s( x)] s ( x) s ( x)

死亡力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x
px exp{ s ds}
x
x t
16
死亡力
17
死亡力
实际上生命表x岁平均余寿 e x 正是T(x)随机变量的期望值
( x为整数， 0 t 1)
s( x) s( x t ) t[s( x) s( x 1)] tq x t qx s ( x) s ( x)
27
死亡均匀分布假设
t
qx y
s( x y) s( x y t ) tqx s( x y ) 1 yqx
Pr[ T ( x) m( x)] Pr[ T ( x) m( x)] 1 2
即，
s[ x m( x)] 0.5 s ( x)
24
非整数年龄存活函数的估计

死亡均匀分布假设
死亡力恒定假设 巴尔杜奇(Balducci) 假设


25
有关非整数年龄的假设

使用背景:

生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需 要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两 个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数年龄的生存状况
0 t
px dt
px dt e x
20
整值平均余寿与中值余寿

x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数，
不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x)
的期望值，以ex表示，
ex E[ K ( x)] k k px qx k k k｜qx
k 0 k 0
6
生命表基本函数

Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。
Tx Lx Lx 1 L 1
在均匀分布假设下，

x 1
t 0
L
x t

e x ：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。

1 Tx lx i lx i 1 i 0 2
3
n x n x
生命表基本函数
lx d xn lxn
l0
n
(1) (2) (3)
d
x 0
1
x
d x d x d x1 d xn1 n qx lx lx qx 1 qx 2 qx n1 qx t qx
dx mx Lx
36
生命表编制的一般方法
mx
在死亡均匀分布假设下，有，
dx Lx
2d x 2qx mx 1 (lx lx 1 ) 2lx d x 2 qx 2
12
当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。
x岁余寿的生存函数

考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了 x岁 ，tqx实际是一个条件概率
t
qx Pr[x X t x | X x]
F (t x) F ( x) 1 F ( x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
lx=l0s(x)
11
x岁余寿的生存函数

x岁的人在t时间内死亡的概率tqx
t
qx Pr[T ( x) t ]
(t 0)
以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示

x岁的人在t时间内存活的概率 tpx
t
px 1 t qx Pr[T (x) t ]
(t 0)
13
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u q x ，以 概率的方式表示为：

t｜u
qx Pr[t T ( x) t u ]
t u q x t q x t p x t u p x t p x u q x t
14
整值剩余寿命

定义： ( x ) 未来存活的完整年数，简记 K ( x)
tq x 1 (1 y t )q x
(1 t )q x
32
（其中，0≤t≤1, 0≤y≤1, 0≤t+y≤1）
1t q x t
三种假定下的生命表函数
函数
t t
均匀分布
常数死亡力
Ballucci
t qx 1 (1 t ) qx
qx px
tq x
1 tqx
整值平均余寿与中值余寿
由于 故，
T ( x) K ( x) S ( x)
E[T ( x)] E[ K ( x)] E[S ( x)]
在死亡均匀分布假设下，
E[S ( x)] 1 2
故，
e x ex 1 2
23

整值平均余寿与中值余寿
中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，（x）在这一年龄之 前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x岁 的中值余寿，则

基本原理:插值法 常用方法

均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值)
26
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
s( x t ) (1 t ) s( x) t s( x 1) s( x) t [s( x 1) s( x)]
以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设是当x 为整数，0≤t≤1时，生存函数的倒数是t的线性函数，即
(1 t ) 1 t s( x t ) s ( x) s( x 1)
31
巴尔杜奇(Balducci)假设
此时，
tq x t qx 1 (1 t )q x
t q x y
K ( X ) k, k T ( x) k 1, k 0,1,

概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
15
k px qxk k qx
死亡力

定义：( x ) 的瞬时死亡率，简记 x
nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数。
人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是 1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假
设下，x~x+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到
lx+n岁的人存活了n年，故
n n n Lx nl x n n d x (l x l x n ) 2 2 1 当n=1时， Lx (lx lx 1) 2
8
生存分布

一、新生儿的生存函数 二、x岁余寿的生存函数 三、死亡力
四、整值平均余寿与中值余寿
9
新生儿的生存函数

F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。
F ( x) Pr(X x)
( x 0)
f x F ' x , x 0

s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。
s( x) 1 F ( x) Pr(X x)
( x 0)
新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：
Pr(x X z) F ( z) F ( x) s( x) s( z)
10
新生儿的生存函数
生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0与x岁生存函数之积， 而s(x)曲线形状如下图所示，
n｜m
q x ：表示x岁的人在x+n~x+n+m岁之间死亡的概率。
d x n lx n lx n m n px n m px n px m qx n n｜m qx＝ lx lx
m
当m 0时， ；当m 1 时， qx；当m 时， n ｜ 0 qx 0 n ｜m qx n ｜ 1 qx n ｜ n ｜ qx n px。


21
整值平均余寿与中值余寿
由于，
px t qx
2

px t qx
t 2
t 1
k
k 0

k｜ x
q 1｜qx 2 qx 3 q x ｜ ｜ 2 qx 3 qx ｜ ｜ 3 qx ｜
所以
k 1 px
k 0
22

当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生 到死亡平均每人存活的年数。
l Tx ex t px dt x t dt 0 0 l lx x
7
生命表基本函数
n｜ x ：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率，
q
或x岁的人在x+n~x+n+1岁死亡的概率。
d x n lx n d x n qx＝ n px qx n n｜ lx lx lx n
Байду номын сангаас第三章 生命表
1
生命表相关定义

生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。 封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
2

生命表基本函数

lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 d ：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx q ：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx