(推荐)西安交通大学电介质物理姚熹、张良莹课后习题答案第一章
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第一章 静电场中的电介质
1-1 半径为a 的 球带电量为q ,电荷密度正比于距球心的居里。求空间的电位和
电场分布。
解: 由题意可知,可设kr =ρ
再由于 ⎰=q dv ρ,代入可以求出常数k 即 ⎰=424ka krdr r ππ 所以 4a q k π= r a
q 4
πρ= 当 a r >.时 由高斯定理可知 0
24επq
r E =
⋅ ; 2
04r q E πε=
⎰∞
=
⋅=r
r
q dr E U 04πε
当 a r <<0时 由高斯定理可知 4
042
0400
2
41
1
4a
qr dr r r a q dv r E r
r
εππερεπ=⋅==
⋅⎰⎰
402
4a qr E πε=
dr r
qr dr a qr dr E U a r a
r
⎰⎰⎰
∞∞
+=⋅=202
40244πεπε a
q r a a
q 0334
04)(12πεπε+
-=
)4(12334
0r a a q -=
πε
1-2 电量为q 的8个点电荷分别位于边长为a 的立方体的各顶角。求其对以下
各点的电距:(1)立方体中心;(2)某一面的中心;(3)某一顶角;
(4)某一棱的中点。若8个点电荷中4个为正电荷、4个为负电荷,重新计算上述问题
解 :由电矩的定义 ∑∑==i
i i i
i i r q r q μ
(一)八个电荷均为正电荷的情形
(1)立方体的在中心: 八个顶点相对于立方体中心的矢量和为∑==8
1
0i i r ,故0==∑i
i i r q μ
(2)某一面心: 该面的四个顶点到此面心的矢量和
∑==4
1
0i i r ,对面的四个顶点到此点的矢量和∑==8
5
4i i a r
故qa 4=μ;
(3)某一顶角 :其余的七个顶点到此顶点的矢量和为:
∑==7
5
34i i
a r
故qa 34=μ;
(4)某一棱的中心 ;八个顶点到此点的矢量和为∑==7
5
24i i a r
故qa 24=μ;
(二)八个电荷中有四个正电荷和四个负电荷的情形与此类似; 1-3 设正、负电荷q 分别位于(0,0,l /2)、(0,0,-l /2),如图所示。求
场点P 处电势计算的近似表达式,试计算在场点(0,0,l 23),(0,0,l 2
5
)
处电势的近似值,并与实际值比较 解:P 点的电势可以表示为: ϕ =-++ϕϕ=
)1
1(40
-
+-r r q πε
其中2cos θl r r -=+, 2
cos θ
l r r +=- 2
04cos r
ql πεθϕ=
取场点分别为P 1 (0,0,l 23) P 2(0,0,l 2
5
)
则对于P 1点来说 l r =+, l r 2=- 1ϕ =
l q
l l q
008)211(4πεπε=- 对于 P 2来说 l r l r 3,2==-+ 2ϕ =
)3121(
40
l l q -πε =l
q
024πε 多极展开项去前两项
ϕ=)]2cos 32cos 5(cos 2cos 2[34
32θθθθ-'+'r
r q r r q 其中 θθcos ,0==1 , 2
l r =
' 把P 1 (r=
23l )点和P 2 (r=25l
)点代入上式可得 )81494(
4101l
q
l q +=
πεϕ =l q πε8110
)6254254(
410
2l
q
l q +=
πεϕ =l q πε62526
比较可得 P 1点 , 实际值
l
q
l
q 0081108πεπε>
近似值 P 2点 , 实际值 l
q
l
q 006252624πεπε>
近似值
1-4
分别绘出电偶极子、电四极子和电八极子的图形,并给出其相应的电偶
极子强度,电四极子强度,电八极子强度。 解 : 参考课本P 21 图1-10
偶极子强度 ql ; 四极子强度21l ql ; 八极子强度321l l ql
1-5 试证明位于(0,0,l )的点偶极子(方向沿Z 轴)μ在场点的r 的展开式
为 ),(θϕr =
)(cos 411
θπεμ
Pn r l n n n n +-∞
='
∑
解 : 点电荷的多极展开式为
)(r 'ϕ =[ )21
cos 2
3(cos 2322-''+''+'r z q r z q r q θ+......]
对于正电荷+q 来说 z '=l 3/2
+ϕ =[ )21cos 23()2/3(cos )2/3(2
3
22-'+'+
'r l q r l q r q θ+......] 对于负电荷-q 来说 z '=l /2
-ϕ =[ )21cos 23()2/(cos )2/(2
3
22-'-'-
'-r l q r l q r q θ+......] -++=ϕϕϕ
= )21
cos 2
3(2cos [42320-'+'r l r l q
θπε+......]
=
)21
cos 2
3(2cos 1[4230-'+'r l r θπεμ+......] = )21
cos 23(2)(cos 0[422121************-'+'+'+-+-+-P r l P r l P r l θπεμ+...]
=
)(cos 411
θπεμ
Pn r l n n n n +-∞
='
∑
证毕
1-6 (1)试证明电偶极子μ(=ql )在电场E 中的转矩M 势能W 分别为: