线性代数二次型与二次曲面4共37页

1x12 + 2y12 + 3z12 + d1x1 + d2y1 + d3z1 + c = 0
将此方程配平方，再做平移变换，得二次方程标准形。
第六章 二次型与二次曲面
§6.4 二次曲面
例4.1 将二次曲面化为标准方程，指出曲面 类型：
2xy 2xz 2 yz 2x 2 y 1 0
x2 a2

y2 b2
=
z
(a>0, b>0)
x = 0,
z=
y2 b2
表示过原点，开口朝
z 轴负方向的抛物线。
x = h,
z=
h2 a2

y2 b2
开口朝 z 轴负方向的抛物线。
§6.4 二次曲面
z y
O x
第六章 二次型与二次曲面
双曲抛物面
x2 a2

y2 b2
=
z
(a>0, b>0)
y = 0,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型及其标准形 §6.2 正定二次型 §6.3 曲面及其方程 §6.4 二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
曲面和曲线的一般方程
§6.3 曲面及其方程
曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程:
F(x, y, z) S1
C S2 G(x, y, z)
z=
x2 a2
表示过原点，开口朝
z 轴正方向的抛物线。
y = h,
z=
x2 a2

h2 b2
开口朝 z 轴正方向的抛物线。
§6.4 二次曲面
z y
O x
第六章 二次型与二次曲面
双曲抛物面 (马鞍面)
x2 a2

y2 b2
=
z
(a>0, b>0)
z = h,
x2 a2

y2 b2
=
h
§6.4 二次曲面
二次型
一次项
常数项
a11 a12 a13 (x,y,z) a12 a22 a23
a13 a23 a33
a11 a12 a13 令A = a12 a22 a23
a13 a23 a33
x
x
y + (b1,b2,b3) y + c = 0
z
z
x X= y
z
b1 B = b2
b3
XTAX+ BTX + c = 0
z y
O x
当h = 0 时，是过原点的两条直线 当h > 0 时，是实轴是 x 轴的双曲线 当h < 0 时，是实轴是 y 轴的双曲线。
第六章 二次型与二次曲面
椭球面 二次锥面 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆抛物面 双曲抛物面
§6.4 二次曲面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
(a>0, b>0, c>0)
+
y2 b2
=
z
(a>0,
b>0)
x2 a2
+
y2 b2
=
z
x = 0,
z=
y2 b2
y = 0,
z=
x2 a2
抛物线
z = 0,
x2 a2
+
y2 b2
=
0
z Oy
x
z = h,
x2 a2
+
y2 b2
=
h
椭圆
h 越大,椭圆曲线也越大 h = 0时,椭圆退缩成点.
第六章 二次型与二次曲面
双曲抛物面
=
1
y = 0,
x2 a2

z2 c2
=
1
z =|c|,
x2 a2
+
y2 b2
=
0
双曲线 椭圆
c Oy x
z = h,
x2 a2
+
y2 b2
=
h2 c2
1
|h| > c 时, |h|越大,椭圆越大 |h| = c时,椭圆退缩成点.
第六章 二次型与二次曲面
椭圆抛物面
§6.4 二次曲面
x2 a2
F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0
曲线的参数方程:
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
第六章 二次型与二次曲面
球面及其方程
§6.3 曲面及其方程
(xx0)2 + (yy0)2 + (zz0)2 = r2
柱面及其方程
f (x, y) 0

§6.4 二次曲面
二次锥面
x2 a2
+
y2 b2

z2 c2
= 0 (a>0, b>0, c>0)
z
x = 0, y = 0,
y2 b2

z2 c2
=
0,
x2 a2

z2 c2
=
0,
y
=

bz c
x = az c
Oy x
z = 0, z = h,
x2 a2
+
y2 b2
=
0
x2 a2
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+
y2 b2
椭球面 二次锥面 单叶双曲面和双叶双曲面 椭圆抛物面和双面抛物面
若二次曲面的方程不是标准方程，要通过 正交变换和平移变换把一般二次方程化为 标准方程，从而知道其图形。
第六章 二次型与二次曲面
一般三元二次方程的化简
§6.4 二次曲面
a11 x2 a22 y2 a33 z3 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz b1 x b2 y b3 z c 0
第六章 二次型与二次曲面
一般三元二次方程的化简
§6.4 二次曲面
XTAX+ BTX + c = 0
(1)
A是实对称矩阵 正交矩阵P，
正交替换X=PY, Y=(x1,y1,z1)
XTAX =YT(PTAP)Y =YTdiag(1, 2, 3)Y
二次型
标准形
再令BTX= (d1,d2,d3), 则方程(1)变成
x2 a2
+
y2 b2

z2 c2
=0
截痕法
x2 a2
+
y2 b2

z2 c2
=1
x2 a2
+
y2 b2

z2 c2
= 1
x2 a2
+
y2 b2
=
z
x2 a2

y2 b2
=
z
(马鞍面)
第六章 二次型与二次曲面
二次曲面的判别方法
§6.4 二次曲面
若已知二次曲面的标准方程，则容易画出 它的图形。
z2 c2
=
1
z = 0,
x2 a2
+
y2 b2
=
1
双曲线 椭圆
b x aO y
z = h,
x2 a2
+
y2 b2 =
1+
h2 c2
第六章 二次型与二次曲面
双叶双曲面
§6.4 二次曲面
x2 a2
+
y2 b2

z2 c2
= 1 (a>0, b>0, c>0)
z
x = 0,
y2 b2

z2 c2
=
h2 c2
当h 0 时，该交线是椭圆； 当h = 0 时，该交线是原点。 所以，二次锥面也叫椭圆锥面。
第六章 二次型与二次曲面
单叶双曲面
§6.4 二次曲面
x2 a2
+
y2 b2

z2 c2
=
1 (a>0, b>0, c>0)
z
x = 0,
y2 b2

z2 c2
=
1
y = 0,
x2 a2

z0
旋转曲面方程 f ( x2 y2 , z) 0
投影曲线方程
截痕法
曲线C:
F(x, G(x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
在xOy面的投影曲线
H(x, y) = 0 z=0
椭球面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1 (a>0, b>0, c>0)
第六章 二次型与二次曲面