二次型的几何分类及其应用
二次型的应用
二次型的应用在数学的学习和应用中,二次型的理论是十分重要的.它不仅是代数中的重要理论,更是连接代数与几何的有力桥梁事实上,二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题.学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解,也可以对几何有更为形象的认识.因此,掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的.应用一 二次型理论在二次曲面分类上的应用1. 应用实例例1 判别方程124322=++z xy x 所代表的二次曲面的类型.解 方程左边为一三元二次型,不妨设22(,,)342f x y z x xy z =++,则f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002023A易求得A 的特征值为1,2,4321-===λλλ.由（8）式知所求曲面的标准方程为()()11212121221221=-+zy x 因此,该曲面是单叶双曲面,如图1.图1 二次曲面变换前（左图）、后（右图）的图形例2 判别方程0122222=-+-++y x yz xz xy 所代表的二次曲面的类型.解 记 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110A,0B ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,x U y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则原方程可写为10T T U AU B U +-=A 的特征值及对应的标准正交特征向量分别为：21=λ,)11,1,1T Q =；)(12二重-=λ,)21,1,0T Q =-,)31,1,2TQ =-令()123,,0Q Q Q Q ⎫⎪⎪⎪==⎪⎪ 则有)1,1,2(--=diag AQ Q T ,(0,2,0)T B Q d =-作正交变换U QV =,其中111(,,)T V x y z =,则（9）式化为(2,1,1)10T V diag V dV --+-=即01221212121=----y z y x配方,得0)1(2212121=-+-z y x作平移变换12x x =,112+=y y ,12z z =,得02222222=--z y x这就是原曲面方程的标准方程,它表示一个顶点在原点,旋转轴为x 轴的圆锥面,如图2.图2 二次曲面变换前（左图）、后（右图）的图形应用二 二次型理论在多元函数极值问题中的应用应用实例例1 求函数32(,)31512f x y x xy x y =+--的极值 解 (,)f x y 的几何描述如图3.图3 的几何图形),(y x f(,)f x y 在2R 上有定义,且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yfx f即⎩⎨⎧=-=-+01260153322xy y x 得到四个驻点：（2,1）,（-2,-1）,（2,1）,（-1,-2） .进一步计算得x yfy y x f x x f 6,6,622222=∂∂=∂∂∂=∂∂即63()36x y H X y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭矩阵()1262,1612H ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正定矩阵,故（2,1）是极小值点,此时极值为-28；矩阵126(2,1)612H --⎛⎫--= ⎪--⎝⎭是负定矩阵,故（-2,-1）是极大值点,此时极值为28；矩阵612(1,2)126H ⎛⎫= ⎪⎝⎭,612(1,2)126H --⎛⎫--= ⎪--⎝⎭都是不定矩阵,故（1,2）,（-1,-2）都不是极值点.例2 求函数222(,,)23264f x y z x y z x z y =+++-+的极值.解 (,,)f x y z 在3R 上有定义,且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组000fx fy f z⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩ 即220440660x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩得到驻点为（-1,-1,1）. 进一步计算得22222,0,0f f fx x y x z∂∂∂===∂∂∂∂∂22220,4,0f f fy x y y z ∂∂∂===∂∂∂∂∂ 22220,0,6f f fz x z y z∂∂∂===∂∂∂∂∂ 即200()040006H X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭而()H X 是正定的,所以(,,)f x y z 在（-1,-1,1）点取得极小值,此时极值为-6.(,,)f x y z 的几何描述如图4.图4 ),,(z y x f 的三维切面图应用三 半正定二次型在不等式证明中的应用举例该方法证明不等式的基本思路是：首先构造二次型,然后利用二次型半正定性的定义或等价条件.判断二次型(矩阵)为半正定,从而得到不等式[7].例１ 设,a b R ∈,试证222a b ab +≥.证 要证明的不等式可写成2220a b ab +-≥,所以只需证矩阵1111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭半正定.由于A 的一阶、二阶主子式分别10>,0A =,所以A 半正定,从而二次型()22(,),2a f a b a b A a b ab b ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭半正定.(,)f a b 的几何描述如图5.图5 ),(b a f 的几何图形例2 已知ABC ∆的三边分别为,,a b c ,面积为S ,试证222a b c ++≥. 证 利用余弦定理及面积公式,将问题转化为2222(,)2cos sin f a b a b a b ab C C =+++--22222(cos )a b ab C C =+-22224sin()6a b ab C π=+-+其矩阵为22sin()62sin()26C A C ππ⎛⎫-+ ⎪= ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭由于A 的一阶、二阶主子式分别20>, 22664[1sin ()]4cos ()0A C C ππ=-+=+≥,所以A 半正定,从而二次型(,)f a b 半正定,即结论成立.例3（Cauchy 不等式） 设,(1,2,,)i i a b i n = 为任意实数,则))(()(121221∑∑∑===≤ni i ni i ni i i b a b a证 记22122112112122121)()(2)()(),(x b x x b a x a x b x a x x f ni i ni i i ni i ni i i ∑∑∑∑====++=+=因为对于任意1x ,2x ,都有0),(21≥x x f ,故关于1x ,2x 的二次型),(21x x f 是半正定的.因此,该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即0121112≥∑∑∑∑====ni i ni ii ni ii ni ibb a ba a故得))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a .例4 证明2112)(∑∑==≥ni i ni i x x n .证 记221211(,,,)()n nT n i i i i f x x x n x x X AX ===-=∑∑ ,其中12(,,,)T n X x x x = ,111111111n n A n ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪⎪---⎝⎭经过初等变换得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n A 00000110~ , 于是A 的特征值为10,,,n n n -,于是A 为半正定矩阵,即二次型是半正定的,从而得12(,,,)0n f x x x ≥ ,即2112)(∑∑==≥ni i ni i x x n应用四 二次型在统计中的应用4.1 关于统计距离许多统计问题都涉及到样本点距某中心的距离,在大多数情况下,通常的欧氏距离是不能令人信服的[8].考察p 维变量12(,,,)T n X x x x = 对应p 维空间的点),,,(21p x x x M ,假设M 的位置可以变化,为了体现各个变量在变差大小上的不同以及有时存在的相关性,需要建立统计距离.定义 4.1 设p p B ⨯为正定矩阵,称12(0,)()Td M X BX =为一种距离,对于不同的B 的选择,可得到不同的统计距离.如回归诊断中使用较多的Mahalanabis 距离,Cook 距离等.为考虑问题的方便,考察2(0,)T d M X BX =,而T X BX 为正定矩阵B 的二次型.4.2 二次型在求自由度中的应用在统计学中,自由度是指总体参数估计量中变量值独立自由变化的个数.它产生于利用样本量估计参数的时候.实际上自由度也是对随机变量的二次型（也可以称为二次统计量）而言的.∑ji j i ij x x ,α的秩的大小反映了n 个变量中能自由变动的无约束变量的多少,因此我们所说的自由度就是二次型的秩[9].例1 求统计量∑=-ni i x x 12)(的自由度.解∑∑==-=-ni i n i i x n x x x 12212)(21121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni i x n x∑∑==-+-=n i j i ni i x x n x n 112)1()11(AXX T其中)(21n x x x X =,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=n n nn n n n n nA 111111111111我们可以通过矩阵的初等变换求得A 的秩为1-n ,所以统计量∑=-ni i x x 12)(的自由度为1-n .应用五 二次型理论在耦合谐振子问题中的应用在量子力学、固体物理、量子光学、分子光谱等领域,经常遇到一系列的耦合谐振子问题,因此,研究耦合谐振子的解也就显得尤为重要,解决此类问题的关键是使体系的哈密顿量退耦,可以利用二次型理论构造一幺正交变换矩阵精确求解质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的能谱[10].质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的哈密顿量为2121222212112221212222p p x x m x m m p m p H γλωω+++++=式中λ和γ分别为坐标耦合强度和动力耦合强度,上式的哈密顿量就是一个二次型.H 的矩阵为122112121202120020022002m A m m m γγωλλω⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ 关于H ,详细的分析和讨论请参阅参考文献[10].。
第1节 二次型的基本概念(11.23)
3 1 2
X2
Y2
2
⎞⎛ ⎞ ⎟ ⎜ y1 ⎟ ⎟⎜y ⎟ ⎠⎝ 2⎠
0
θ=π 3
Y1
X1
5 2 1 2 g ( y1 , y2 ) = y1 + y2 = 1 2 2
对于任意给定的二次型 f ( x ) = x T Ax , 是否都存在可 逆 线 性 替 换 x = Cy , 将 其 化 为 只 含 平 方 项 的 如 下 形 式 ：
2 2 ,⋯ , xn 互确定: A 的主对角元依次是 x12 , x2 的系数 ; 而
它的( i , j ) 元是 xi x j 的系数的一半 , 其中 i ≠ j .
推论 设二次型 f = x T Ax = x T Bx , 如果 AT = A 和 BT = B, 则 A = B.
例题
2 f ( x1 , x2 ) = 10 x12 − 6 x1 x2 − 3 x2
引例 在平面解析几何中, 2元 2次方程表示曲线. 例如,
x 2 + y 2 = 1, x 2 + 4 y 2 = 1, x 2 − y 2 = 1 分别表示圆, 椭圆和双曲线.
问题
一般的2元 2次方程 ax 2 + 2bxy + cy 2 = 1 表示的是什么 曲线？
推 而 广 之 , 3元 2次 方 程
Y2 X2
( x1 , x2 ) P ( y1 , y2 )
⎛ x1 ⎞ ⎛ cos θ ⎜ ⎟=⎜ ⎝ x2 ⎠ ⎝ sin θ
− sin θ ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ cos θ ⎠ ⎝ y2 ⎠
0
Y1
θ
向量的内积与二次型
02
CHAPTER
二次型
二次型的定义
定义
二次型是形式为$f(x, y, z) = ax^2 + bxy + cy^2 + ...$的数学表达式，其中$a, b, c...$是实数。
特点
二次型具有对称性，即$f(x, y, z) = f(y, x, z)$。
意义
二次型在数学、物理和工程等领域有广泛应用，如描 述物体运动轨迹、计算物体受力等。
向量内积在二次型中的应用
1
向量内积可以用于计算向量的长度和夹角，这些 信息在二次型中非常重要，因为它们决定了二次 型的大小和形状。
2
向量内积还可以用于计算向量的外积（叉积）， 外积在二次型中用于确定向量的方向和旋转。
3
在二次型中，向量内积还可以用于判断向量是否 正交（垂直），这对于确定二次型的对称性和正 定性非常重要。
向量的内积与二次型
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 二次型 • 向量的内积与二次型的关系 • 二次型的几何意义 • 特殊二次型
01
CHAPTER
向量的内积
向量内积的定义
向量内积的定义
两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的内积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$之间的夹角。
内积的几何意义
向量内积表示两个向量在方向上的相似程度，即它们的夹角余弦值。
内积的性质
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角，且$0 leq theta leq pi$。
二次型的几何分类及其应用
二次型的几何分类及其应用田金慧内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。
其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。
最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。
在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。
关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用1导言在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。
事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。
学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。
因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。
但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。
本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。
当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。
2 二次型及其标准型所谓二次型就是一个二次齐次多项式。
第八章 二次型
f = ax2 + 2bxy + cy2
（1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质（例如判断是什么曲线）, 我们可以对它进行适 当的坐标变换
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x′ cosθ x′ sin θ
− +
y′ sin θ y′ cos θ
,
（2）
将 f 化成标准方程.
(1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用变量的 线性替换(2)化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项.
一、配方法
配方法就是利用平方公式
(x1 + x2 +L + xn )2 = x12 + x22 +L + xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 +L + 2x1xn + 2x2 x3 +L + +2x2 xn +L + 2xn−1xn
对已知二次型进行配方. 配方法主要有以下两种情形:
(1) 如果二次型中, 某个变量平方项的系数不为零, 如有 a11 ≠ 0 , 先将含 x1 的所有因
子都配成平方项, 然后再对其它含平方项的变量配方, 直到全配成平方和的形式.
(2) 如果二次型中没有平方项, 而有某个 aij ≠ 0(i ≠ j) , 则可作线性替换
⎧xi = yi + y j
⎪ ⎨
x
j
பைடு நூலகம்
=
yi
−
yj
⎪ ⎩
xk
=
yk ,
k ≠ i, j
化成含有平方项的二次型, 然后再配方.
例 1 将二次型
第四章3二次型及其标准型4正定二次型
y 2
, ,
y n
)
d2
y 2
,
d n
y n
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
10
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得 C AC B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 合同，记为A B.
性质：①反身性
②对称性
等价
③传递性
因此，化二次型为标准型的问题就转化为如何使实对称 矩阵合同于一个对角阵的问题。
z
0
0 1 2 t Qt
0 1 6 0
则得
f 2z12 2z22 6z32 t12 t22 t32
24
而此标准形对应的可逆变换矩阵为
1 1 3 1 2 0
C2 C1Q 1
1
1
0
0
0 0 1 0 1 6
1 2 1 2
0
36 1 6 16
1 2 1 2
0
例：求二次型 f 的矩阵，并求二次型 f 的秩。
f ( x1, x2 , x3 ) x12 3 x32 4 x1 x2 x2 x3
解：
1 2 0
A 2 0
1
2
0
1
3
2
f 的秩=R(A)=3.
例：求二次型 f 的矩阵A：f ( x1, x2 , x3 ) x12 4x1x2 3x22.
1 1
16
1 2
P
1
2
0
1 1
6
3
1
1 6 2
1
,
3
1
P 1 AP
P AP
1
2
6 3
f y12 y22 2 y32
第九章 二次型
2．R上的二次型： 实二次型——实数域上的二次型.
（1） 实二次型等价的充要条件（实对称矩阵合同的充要条 件）.为此：
定理3 设是数域F上一个n 阶对称矩阵,则总存在F上一个n阶可逆矩 阵P使证,即A与对角阵合同.
例：将化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角 型）. 解：（略）P= . 将Th3应用于二次型得：
定理4 设q(x,x,…x)== xAX是数域F上一个n元二次型,则总可以通过 变量替换=. 把它化为,其中P为可逆矩阵.
的等价标准形的化法.
三 教学过程
1．二次型及表示
（1） 定义 数域F上n个文字x,x,…x的一个二次齐次多项式叫做F上n个文
字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以
写成：
q(x,x,…x)=ax+ax+…+ax
+2axx+…+2axx
9.1 二次型
一 教学思考 1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,
但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容 上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理 论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的
同.
合同关系的性质：
1 自反性： A∈M(F),A与A合同.(∵A=).
2 对称性：若A与B合同,则B与A亦合同.事实上:
二次型
第六章 二次型§1. 二次型的定义二次型就是一个二次齐次多项式，其来源是平面解析几何中的有心二次曲线和空间解析几何中的二次曲面。
一个系数取自数域F 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：=),,,(21n x x x f n n x x a x x a x x a x a 11311321122111222++++n n x x a x x a x x a x a 22422432232222222+++++ 2n nn x a ++称为数域F 上的一个n 元二次型，简称二次型。
令ji ij a a =，则上述二次型可以写成对称的形式： =),,,(21n x x x f ∑∑==n i nj j i ijx x a11把上式的系数排成一个n 阶方阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a aa a a A 212222111211称这矩阵为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵。
由于ji ij a a =，所以矩阵A 是对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。
由此二次型可以写成矩阵的形式： AX X x x x f T n =),,,(21 式中()Tn x x x X ,,,21 =。
定理1：若A 、B 为n 阶对称方阵，且AX X T BX X T =，则A=B 。
这定理说明二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。
例1：设23322221213214422),,(x x x x x x x x x x f ++++=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420221011A例2：设323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011102120A例3：设二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=031331111A ，则对应的二次型为：32223121213216322),,(x x x x x x x x x x x f --+-= 和在几何中一样，在处理许多其它问题时也经常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型。
二次型的几个应用
a22x22 2a23x2x3 2a2nx2xn ann xn2
nn
aij xi x j
i1 j1
(aij aji ,i, j 1, 2,, n)
称为数域 P 上的一个 n 元二次型, 简称二次型. 当 aij 为实数时, 称 f 为实二次型. 当 aij 为复数时,
称 f 为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即
关于二次型的一般理论, 可参看文献[1-3，5-6], 一些专题研究可参看文献[7-9].
1 二次型及其有关定义
在这一节, 我们首先回顾《高等代数》中关于二次型的一般理论. 设 P 是一个数域, aij P , n 个文
字 x1, x2,, xn 的二次齐次多项式
f (x1, x2,, xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1nx1xn
y3 2
y4 ) ( y3
2 y4 ) 2 y4
2 y1
2 y2
2 y3
.
所含字母 y1 , y2 , y3 均在平方中出现, 属于定理(2.1.1)中的情况, 存在最小值. 对变换后的多项式配方, 得
y12
2 y22
y32 2
2 y1
2 y2
2 y3
3
( y1
1)2
2( y2
1)2 2
( y3
2
2)2
1 2
故当 y1 1, y2
1 2
,
y3
2
时,
上式有最小值 1 . 2
将 y1, y2, y3 代入 X
PY 中,
当
x1
7 2
2 y4 ,
x2
1 2
y4 ,
x3
线性代数二次型
线性代数二次型线性代数中的二次型描述的是多元函数的形式，是一个关于多元变量的最高次平方项的函数。
当我们只考虑第二次有关变量的函数时，称为二次函数，可以表示为：f(x,y)=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy+a_{20}x^2+a_{02}y^2其中，a_{ij}为常数系数。
当变量个数为二时，a_{ij}一共有6个：a_{00},a_{01},a_{02},a_{10},a_{11},a_{20}，其中a_{20}和a_{02}分别描述了x和y各自本身的作用。
它们两个变量将产生函数f(x,y)的极值，即满足极值条件的函数点以及其附近的极大值点的方向向量。
由f(x,y)的定义可以发现，其图形是一条抛物线；若a_{20}<0，a_{02}<0，则函数的上拱与下凹形成一个凹型；若a_{20}>0，a_{02}>0，则函数的上拱与下凹形成一个凸型；若a_{20}>0，a_{02}<0，则函数形成一个锥形。
二次型在线性代数、优化理论、公众经济学等多个方面都具有重要意义。
在线性代数里，二次型是证明方程组有解最重要的准则之一；在优化理论里，二次型是求极值最为常见的一类问题；在公众经济学里，二次型有着应用广泛的基本模型，研究双位置不确定性下的物价水平和量的曲线就是一个运用二次型的典型的例子。
在运筹学应用上，常常使用二次型表示变量与变量之间的关系，对其解析或者可以利用数学优化算法求解它所代表的最优化问题。
几何上，二次型可以用来表示抛物线，平面曲线，曲面等。
它们也被广泛运用到电子技术、信息科学、控制理论等多个领域中。
从上面的描述可以看出，二次型在线性代数、优化理论、公众经济学等多个学科中都非常重要，可以说是当今学科发展的重要内容。
线性代数二次型讲义
1 2 QA. (1 , 2 ,, n ) n
§1、二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示
定义
二次齐次多项式 f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数.
取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 ,
从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx , 2a23yz = a23yz + a32zy .
f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z2 = x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z) + z (a31x + a32y + a33z)
定理
设 是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四 个条件等价(互为充分必要条件) . (1) 为正交变换 . (2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 .
(3) || ()|| = ||||, Rn ( 保持向量长度不变 ) .
(4) ( (X ), (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变 ) . 第七章 二次型与二次曲面
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于 研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把 方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程 a'x'2+c'y'2=f 在二次曲面的研究中也有类似的问题. (2)
第六章 二次型
解： （1）写出二次型的矩阵
理学院田宝玉
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第六章
二次型
⎛ 1 − 2 − 4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 2 4 − 2⎟ ⎜− 4 − 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ λ1 ⎜ ⎜ T （2）求正交矩阵 P ，使得 P AP = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
λ2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λn ⎟ ⎠
易验证，这是一个可逆线性变换，其逆变换为
⎛1 ⎜ ⎜0 ，记 P = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
1 −1 1 1 0 1 0 0
0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎠
2 2 2 则二次型经过可逆变换 x = Py ，有 f = y12 − 2 y2 − y3 − y4 .
例 2．用配方法化二次型
f = −2 x1 x 2 + 2 x1 x3 + 2 x 2 x3 为标准形，并写出所用变换矩阵.
f ( x1 , x2 ,
, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 +
2 a22 x2 +
+ 2a1n x1 xn + + 2a2 n x2 xn +
2 + ann xn
（6.1.1）
称为含变量 x1 , x 2 ,
, x n 的二次型， aij (i < j ) 为常数.
2 如： f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 + 3x 2 + 2 x1 x 2 + 5 x1 x3（未出现交叉项 x 2 x3 ，可以认为其系
数为 0，不能有一次项和常数项） 为研究方便，引进矩阵来表示二次型. 令 aij = a ji ，则 2aij xi x j = aij xi x j + a ji x j xi ， （6.1.1）可写为
几何与代数-二次型
1 = [1, 1, 0]T, 为了求对应于 = 4 的另外一个与 1 正交
的特征向量, 再解方程组
1 1
1 1
2 0
x=
得2 = [1, 1, 1]T . (此处求法比较特别)
此外A的对应于特征值 = –2的一个特征
向量为3 = [1, 1, –2]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 4E–A = 1
2
1 1 2
2 2 4
初等 行变换
1 1 2 00 0 00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特
征向量: 1 = [1, 1, 0]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 1 2 初等 1 1 2
4E–A = 1 1 2 行变换 0 0 0
2 2 4
00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特征向量:
aij = aji
n
aijxixj
i, j =1
第六章 二次型与二次曲面
A的二次型
§6.1 二次型
f 的秩: r(Af))
n
f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
i, j =1
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
an1 an2 … ann
x1
x=
x2 …
§6.1 二次型
定义: 对于方阵A, B(未必是实对称), 若存在可
逆矩阵P, 使得PTAP = B, 则称A与B合同，
记为A ~B.
易见, 矩阵间的合同关系满足
(1) 反身性: A ~A; (2) 对称性: A ~B B ~A; (3) 传递性: A ~B, B ~C A ~C. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系.
浅谈二次型与其应用1
目录摘要 (1)引言 (2)1.二次型的相关概念及定理 (3)2.二次型的应用 (6)在二次曲线中的应用 (6)在证明不等式中的应用 (7)在求极值中的应用 (8)在求某些曲线或曲面积分中的应用 (10)在多项式因式分解中的应用 (10)参考文献 (12)致谢 (13)浅谈二次型及其应用摘要：二次型是高等代数的重要内容之一，通过研究二次型的结构及性质，解决一些不等式的证明、求极值、因式解等初等问题.并比较正交变换和配方式化二次型为标准型的区别，给出了二次型在计算某些积分中的应用.再借助非退化线性替换判断二次曲线的形状，展现线性代数中的二次型知识在微积分中的应用.关键词：二次型；正定矩阵；非退化线性替换；标准型；正交变换A Talk about Quadric Form and Its ApplicationAbstract: the quadric form is one of the important contents of higher algebra, through the study of the structure and the quadratic nature, solve some inequality proof, for extreme, factoring in elementary problems and solutions. And compared with orthogonal transformation method HuaEr times and the difference between the standard model, and gives the second type in the calculation of the application of some points. Again the degradation of linear replace judgment by the shape of the quadratic curves, show linear algebra in the second type of the application of the knowledge in the calculus.Key Words: Quadratic; Positive definite matrix; The degradation of linear replacement; Standard; Orthogonal transformation引言高等代数与初等代数的联系是密不可分的，在中学数学中，不等式的证明、求极值及因式分解问题都是重点问题.用初等数学方式去向理这些问题往往会相当麻烦，而若是利用高等代数中二次型的性质去解决，则会是很多问题化繁为简.用二次型来解决微积分中的一些问题，有时也会起到意想不到的效果.由于二次型具有较高的综合性和抽象性，对于相当一部份非数学专业的学生来讲，虽然能够依照化二次型为标准型的步骤将一个普通二次型化为标准型，可是仍然无法成立起二次型的直观概念，很多学生很疑惑：二次型究竟是什么？它有什么几何意义？在化二次型为标准型时利用的正交变换和配方式有什么区别？二次型的标准形有什么用？等等这些问题咱们将一一解决.1.二次型的相关概念及定理二次型从本质上来讲仍然是一个关于n 个变量的函数，只不过是一个比较特殊的二次第二函数，在表达式中出了平方项就是交叉项，没有一次项和常数项，只是希望利用矩阵的理论来研究二次型时才将二次型写为: /f X AX = 概念 每一个n 元二次型/12(,,)n f x x x X AX ， /12(,,)n Xx x x 都可唯一地表成/12(,,)n f x x x X AX =, 其中/12(,,)n X x x x =，A 为对称阵，称为二次型f 的矩阵，A 的秩称为f 的秩.概念 实二次型/f X AX = (A 为实对称阵，/12(,,,)n X x x x =），若对于任意的0x ≠，皆有0(0,)f f f o >≥≤，则称f 为正定（半正定，半负定）二次型，若既f 不是半正定也不是半负定的，则称f 为不定二次型. 定理 实二次型/12(,,,)n f x x x X AX = (A 为实对称阵）为正定二次型的充分必要条件为 1）12(,,,)n f x x x 的正惯性指数为n ;2) A 的各阶顺序主子是都大于零; 3) A 与单位矩阵合同； 4）A 的特征值全大于零； 5）A 的主子式全大于零； 6）存在可逆的B ，使得/A BB =. 定理 实二次型 /12(,,,)n f x x x X AX = /()A A =为半正定的充要条件为1）12(,,,)n f x x x 的正惯性指数与秩相等；2）A 的各阶主子式大于或等于零； 3）A 的特征值全大于等于零；4）A 的正惯性指数p r =，负惯性指数0q =;5)与A 矩阵000rE⎛⎫⎪⎝⎭合同，秩A r =. 定理 实二次型/12(,,,)n f x x x X AX =可通过变量的正交变换Y QX = (Q 为正交阵）化为:2221122n n f y y y λλλ=+++ ((1,2,,)i i n λ=是矩阵A 的全数特征值）.定理 设n 元二次型/f X AX =，则f 在条件211ni i x ==∑下的最大（小）值恰为矩阵A 的最大（小）特征值.定理一个实二次型能够分解为两个实系数的一次多项式乘积的充分必要条件是：它的秩等于2和符号差等于0，或秩等于1.下面，咱们来讨论论一般的n 元二次型极值的判定和求极值的一般方式. 一般的n 元二次型多项式形如1112nnnij i j i i i j i a x x b x c ===++∑∑∑ （1）显然（1）存在极值当且仅当1112nnnij i j i i i j i a x x b x ===+∑∑∑ （2）存在极值（上述两式中ij ji a a =），易见11nnij i j i j a x x ==∑∑是一个n 元二次型，设其矩阵为A ，咱们有:定理实元n 二次型（2），它的前一个和的矩阵为A ,秩为r ,则对二次型做非退化线性替换X PY =,使得/PAP 为对角阵，如:1、〈1〉A 正定，r n =,且（2）中一次项系数不全为零，则（2）存在极值； 〈2〉半A 正定，若r n <,一次项所含新变量均在平方项中出现，则（2）有极小值；〈3〉半A 正定，若r n <,一次项所含新变数至少有一个不在平方项中出现，则（2)不存在极值；2、〈1〉A 负定，r n =,且一次项系数不全为零，则（2）有极大值；〈2〉A半负定, r n<,且一次项所含新变量均在平方项中出现，则（2）有极大值；〈3〉A半负定，r n<,且一次项所含新变量至少有一个不在平方项中出现，则（2）不存在极值.3、A不定，则（2)不存在极值.注：可逆阵P可经合同变换求得，即对A实施一对列初等变换和行初等变换时，对E实施一样列初等变换（E与A同阶），当把A化为对角阵时，E就化成P.以上总结了二次型的一般理论，下面咱们就用其来解决一些应用问题.2．二次型的应用在二次曲线中的应用事实上，化简二次曲线并判断曲线类型所用的坐标变换就是二次型中的非退化线性替换.已知当P 为正交矩阵时，线性替换Y PX =称为正交变换，那么就有y x ====上式说明通过正交变换线段的长度维持不变，从而能够维持几何体的几何形状不变，因此能够利用二次型来判断二次曲线的形状. 例1判断二次型2242220x y xy x +--+=的形状.解 设22(,)4222f x y x y xy x =+--+令222(,,)4222g x y z x y z xy xz =+--+ 则(,)(,,1)f x y g x y =对(,,)g x y z 实施非退化线性替换：1113x x y z z y y z z =-+⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即11111433x y z z y y z z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩则 22211110(,,)33g x y z x y z =+-从而 221110(,)(,,1)303f x yg x y x y ==+-= 即22113911010x y += 故曲线2242220x y xy x +--+=表示椭圆.例2化简二次曲线方程22240x xy y xz yz -++-=，若是封锁曲线，计算其面积.解 记22(,)24F x y x xy y x y =-++- 令22(,,)24f x y z x xy y xz yz =-++-于是(,)(,,1)F x y f x y =，对(,,)f x y z 实施非退化线性替换：111122x x y z y y x z z ⎧=-+⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩ 即11111122x x y y y x z z ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩则 2221113(,,)44f x y z x y z =+- 从而 22113(,)(,,1)404F x y f x y x y ==+-= 即 221131416x y += 故原曲线表示椭圆，它的两半轴别离为：2从而其面积为:2S ==在证明不等式中的应用 例3求证：2211()nni i i i n x x ==≥∑∑.证明 22221231212(,,,)()()n n f x x x n x x x x x x =++-++2221212131(1)(1)(1)222n n n x n x n x x x x x x x =-+-+----该二次型的矩阵为111111111n n A n ---⎛⎫⎪--- ⎪= ⎪⎪---⎝⎭将第2,3，…,n 列加到第一列，则第1列元素全为零，故0A =；一样可求出A 的i 阶主子式为1()0i n i n -->（i=1,2,n-1）.因此A 是半正定的，从而，二次型12(,)n f x x x 半正定，所以12(,)n f x x x ≥0，即2211()n ni i i i n x x ==≥∑∑例4求证：22293242x y z yz xy xz ++>--（其中x,y,z 是不全为零的实数）.证明 设二次型222(,,)93242f x y z x y z yz xy xz =++-++则f 矩阵是 921211113A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为A 的各阶顺序主子式为：990=>925021=>92121110113-=>- 所以A 正定，从而0f >（因为x,y,z 不全为零）.即22293242x y z yz xy xz ++>--（其中x,y,z 是不全为零的实数）.在求极值中的应用例5已知实数y x ,知足221x y +=，求22(,)22f x y x y xy =+-的最大值与最小值.解 (,)f x y 的矩阵为：1112A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭2113112E A λλλλλ--==-+-因此，特征值1211(3(322λλ==有上述定理可知(,)f x y 在221x y +=下的最大值是1(32+，最小值是1(32-. 例6讨论2222123412131424341233232222424x x x x x x x x x x x x x x x x x -----------++ 423x -是不是有极值，如有，求其极值.解 设多项式为f ，则2222123412131424341233232222424f x x x x x x x x x x x x x x x x x -=++++++++++-423x -+-f 的二次型部份矩阵为1111130110221123A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭对A 做合同变换，得一可逆阵311221011200120001P ⎛⎫-- ⎪⎪⎪-= ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭使/1000020010002000P AP ⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则易知A 半正定， 做线性替换11223344311221011200120001x y x y x y x y⎛⎫--⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭f -化为222123123122222y y y y y y ++++-， 其一次项所含字母均在平方项中出现，所以f -有极大值，对上式配方得 : 222123111(1)2()(2)222y y y ++++--，故当 12311,,22y y y =-=-=时，f -有极小值12-，即f 有极大值12.例7设222(,,)222f x y z x y z xy =+++，且知足2221x y z ++=，求f 的最值.解 二次型f 的矩阵是 201021111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则特征多项式为 201021(2)(3)0111E A E A λλλλλλλλ----=--=--=--- 特征值1230,2,3λλλ===.由二次型的相关概念及定理知，f 在条件2221x y z ++=下的最大值为3，最小值为0.在求某些曲线或曲面积分中的应用利用二次型的正交变换能够方便的计算某些积分域为由二次曲线或二次曲面围成的特定积分.例8求123dx dx dx Ω⎰⎰⎰，其中{}2221231231231223(,,)|(,,)23221x x x f x x x x x x x x x x Ω==++--≤.解 已知正交变换能够维持几何体形状不变，所以椭球2221231231223(,,)2322f x x x x x x x x x x =++--≤1 与椭球2221232(2(21f y y y =++≤ 体积相同，记：{}1)32()32(2),,(|),,(233221321321≤-+++==y y y y y y f y y y D则:12312343Ddx dx dx dy dy dy Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 在多项式因式分解中的应用二次型的性质为二次多项式因式分解提供了理论依据，同时给出了判断可否分解的方式，而且能够专门快取得分解式.例9试判断下列多项式在R 上可否分解，若能，分解之.1）21222112(,)22421;f x x x x x x x =-+++ 2）221212212(,)324 1.f x x x x x x x =--+-+解 1）令2212322313123(,,)2242g x x x x x x x x x x x =-+++，则12(,)f x x = 12(,,1)g x x .下面考虑123(,,)g x x x 的秩和符号差，对123(,,)g x x x 做非退化线性替换： 12311232333272x x x y x x x y y x -+⎧=⎪⎪-++⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩ 即1231123233310242y y y x y y y x x y -+⎧=⎪⎪+-⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩有222123123(,,)13g x x x y y y =-+.可见123(,,)g x x x 的秩为3，有预备定理知123(,,)g x x x 不能分解，从而1212(,)(,,1)f x x g x x =也不能分解.2） 令2221231223123(,,)324g x x x x x x x x x x =--+-+，则1212(,)(,,1)f x x g x x =。
二次型在中学数学中的应用
二次型在中学数学中的应用摘要 ：二次型不仅本身有重大的理论价值，而且在其它分支有重要应用，如数论与拓扑学。
二次型理论因其系数属于域或环分别称为二次型的代数理论和二次型算术理论。
二次型也有几何理论，不过主要是指二次型算术理论的几何理论，它往往看成数的几何或几何数论的一个分支。
在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、解析几何等都有密切的联系。
此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。
关键词 二次型 标准形 对称矩阵1. 引言二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。
二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础。
二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而本文在对二次型性质研究的基础上,介绍了正定矩阵的性质，通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.并利用二次型的性质来求函数的最值。
最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题—不等式的证明。
2. 正文二次型对多项式因式分解、判断二次曲面的形状、求不定方程的整数解、证明不等式等方面问题的解决有着很强的指导意义，现将文献中的一些观点阐述如下：文献[1]、[2]、[3]中给出二次型的定义及其若干性质。
定理 1（惯性定理）任意—个实数域上的二次型12(,,,)n f x x x 经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形的形式，且规范形是唯一的。
定理 2 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0。
或秩等于1．定理 3 对于实二次型12(,,,)'n f x x x X A =X ，其中A 是实对称的，下列条件等价：1) 12(,,,)n f x x x 是半正定的;2) 它的正惯性指数与秩相等地;3) 有可逆矩阵C ，使321'd d d AC C=,n i d i .....2,1,0,0=≥，其中;4) 有实数矩阵C ，使得'A C C =;5) A 的所有主子式皆大于或等于零(所谓主子式即行与列指标相同的子式)。
二次型与二次曲线
二次型与二次曲线二次型和二次曲线是数学中重要的概念，它们在代数和几何领域都有广泛应用。
本文将介绍二次型和二次曲线的定义、性质以及它们之间的关系。
二次型是一类形式为$f(x)=x^TAx$的函数，其中$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$是一个$n$维向量，而$A$是一个$n\times n$的实对称矩阵。
首先，我们来看二次型的性质。
对于任意向量$x$，二次型$f(x)$的值都是一个实数。
同时，二次型的取值范围是由矩阵$A$的特征值确定的。
如果$A$的所有特征值均大于零，那么二次型的值都大于零；如果$A$的所有特征值均小于零，那么二次型的值都小于零；如果$A$的特征值既有正又有负，那么二次型的值的符号将有正负之分。
进一步地，我们可以通过对矩阵$A$进行合同变换，将二次型转化为标准型。
标准型的二次型只包含平方项，类似于$x_1^2+x_2^2+\dots+x_r^2$，其中$r$是二次型的秩。
这种转化可以简化二次型的计算和分析。
与二次型密切相关的是二次曲线。
二次曲线是二次型的零点集合。
具体而言，对于一个二次型$f(x)=x^TAx$，如果存在一个向量$x$使得$f(x)=0$，那么该向量$x$所代表的点就在二次曲线上。
不同的二次型对应着不同类型的二次曲线。
例如，当矩阵$A$是正定的，即所有特征值都大于零时，二次型表示的二次曲线是一个椭圆。
当矩阵$A$的特征值既有正又有负时，二次型表示的二次曲线是一个双曲线。
当矩阵$A$的特征值都小于零时，二次型表示的二次曲线是一个椭圆的内部。
二次型还与矩阵的正交对角化有紧密的联系。
通过正交对角化，我们可以将二次型转化为一个对角矩阵，且对角元素即为各个特征值。
这种转化使得我们能够更好地理解和分析二次型。
总结起来，二次型与二次曲线是数学中重要的概念。
通过矩阵表示和特征值分析，我们可以得到二次型的性质以及对应的二次曲线类型。
这种深入理解将帮助我们在代数和几何问题中应用二次型和二次曲线，从而解决更复杂的数学问题。
二次型的标准形及其在几何中的应用
◎蒋
艳‘ 李 玻 （ １ ． 重庆 能源职业学院 ， 重庆
【 摘要】 正交变换可以保持 向量的内积和长度不变， 从
而保持 图形的形状 不 变， 并依 此来 确保 变换 前后 图形 的 面 积和体 积不变 ， 但计 算过 程较为繁 杂． 拉格 朗 日配 方法可 以 通过 较为简便 的过 程将 二次 型 转化为标 准形 ， 但 不 能保持 变换 前后 图形 围成 的 面积和体 积 不变． 为 了充分 利用 这 两 种方法的优点 ， 本 文提 出了与正 定二 次型有 关 的一 些定理 和推论 ， 并得到 了求解 正定 二次型面积和体 积 的简便方法．
ｔ ｙ ２ ＝ Ｙ，
Ｌ ｙ ＝ Ｙ２，
２ 一 ， 则 二 次型 ， ） ， ） 能通 过
可 逆 线 性 变 换 （ Ｙ ） ＝ （ － １ １ ） （ ） 转 化 成 标 准 形 ， （ ｚ ，
）＝ ＋ ， 曲线， （ ： ， Ｙ ２ ）＝１ 所 围图形 的面积仍为 由上可知 ， 两种不同的标准化 方法得 到的 面积都 为 订 ． 但并不意味着对 于任意 的二次 型 ， 通 过这两 种方 法得 到 的 面积是相等 的． 因为只有 正交 变换法 才能 保证 图形 的几 何 形状不变 ， 虽然配方法的计算过程 简便 ， 但 它却不 能保证 图 形 的几何形 状不变 ． 那么， 在什 么条件下 ， 我们可 以通 过
化 为标 准形． 由于， （ ， Ｙ ）＝ ＋ ２ ｘ ｙ＋ ２ ＝（ ＋ Ｙ ） ＋ ，
记Ａ ＝（ ） ， ＝（ ｌ ， ２ ， …， ） ， 则 二次 型 ， （ Ｉ ， ： ， …， ）可 以写成 ｆ＝ Ａ ｘ ． 其 中， Ａ 为对称矩 阵 ， 称 为二
， ， ｙ Ｉ ）： 二 ＋ ． 由 于
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二次型的几何分类及其应用田金慧内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。
其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。
最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。
在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。
关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用1导言在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。
事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。
学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。
因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。
但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。
本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。
当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。
2 二次型及其标准型所谓二次型就是一个二次齐次多项式。
定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次函数22212111222(,,,)n nn n f x x x a x a x a x =+++n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+（1）称为n 元二次型，简称二次型【2】。
当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。
本文仅讨论实二次型。
若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成12,1(,,,)nT n ij iji j f x x x a x xX AX ===∑ （2）其中，111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，12n x x X x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵也把f 叫做对称矩阵A 的二次型；同时A 的秩也称为二次型f 的秩。
定义2.2 仅含有平方项的二次型222121122(,,,)n n n f y y y d y d y d y =+++ （3）称为二次型的标准形。
对于二次型，主要问题是：如何寻求一个可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=n nn n n nnn yc y c y c x y c y c y c x221112121111 （4） 将其化为标准型。
定理 2.1 任意n 元实二次型12(,,,)T n f x x x X AX =都可经正交变换X PY =化为标准形12221122T n n n f y y y Y Y λλλλλ⎛⎫ ⎪=+++=⎪ ⎪⎝⎭其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值。
例2.1 利用正交变换化二次型1212(,)2f x x x x =化为标准型。
解 二次型f 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110A特征多项式为：()()211111E A λλλλλλ--==-=-+-所以A 的特征值为1,121-==λλ。
当11=λ时，解()10E A x -=得线性无关的特征向量()T1,11=ξ，单位化得T P )1,1(211=。
当12-=λ，解()10E A x --=得线性无关的特征向量()T1,12-=ξ，单位化得T P )1,1(212-=。
令()12,P P P ⎫⎪⎪== 则P 为正交矩阵。
于是，正交变换X PY =，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212121212121y y x x 化二次型为标准型2221y y f -=二次型变换前后的几何描述如图1。
图1 二次型变换前（左图）、后（右图）3 二次型的分类对二次型进行分类，在理论和应用上都有重要的意义。
依二次型的正定性，可以将二次型分为以下几类：正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型和不定二次型等。
3．1 正定二次型和负定二次型定义3.1.1 设实二次型12(,,,)T n f x x x X AX =，（i ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有0),,,(21>n c c c f ，称该二次型为正定二次型，且称矩阵A 为正定矩阵。
（ii ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有12(,,,)0n f c c c <，称该二次型为负定二次型，且称矩阵A 为负定矩阵。
二次型正定与负定的几何描述如图2、图3。
图2 一元、二元正定二次型图3一元、二元负定二次型定理3.1.1 对于实二次型12(,,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价：（i ）f 是正定的；（ii ） f 的标准型是2221122(0,1,2,,)n n i d y d y d y d i n +++>=；（iii ） 存在可逆实矩阵C ，且12(0,1,2,,)T i n d d C AC d i n d ⎛⎫⎪⎪=>= ⎪ ⎪⎝⎭；（iv ） 存在可逆实矩阵C ，使得C C A T =； （v ） A 的全部特征值皆大于零； （vi ） A 的各级顺序主子式皆大于零，即11110,(1,2,,)kk k kk a a A k n a a =>=。
定理3.1.2 对于实二次型=),,(21n x x x f x A x T ，下列条件等价： （i ） f 是负定的；（ii ） f 的标准型是2221122(0,1,2,,)n n i d y d y d y d i n +++<=;（iii ） 存在可逆实矩阵C ，使得C C C E C A T T =-=)(； （iv ） A 的全部特征值皆小于零；（v ） A 的奇数阶顺序主子式为小于零，而偶数阶主子式为大于零[3]，即1111(1)(1)0,(1,2,,)kk kk k kk a a A k n a a -=->=。
例3.2.1 判别二次型222123123121323(,,)55484f x x x x x x x x x x x x =+++--的正定性。
解 二次型f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=524212425A01,01,052221121111>=>=>=A a a a a a根据定理3.1.1，知f 为正定二次型。
f 的几何描述如图4。
图4 f 的三维切面图例3.1.2 判别二次型222(,,)56444f x y z x y z xy xz =---++的正定性。
解 二次型f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=402062225A080,026,052221121111<-=>=<-=A a a a a a根据定理3.1.2，知f 为负定二次型。
f 的几何描述如图5。
图5 f 三维切面图3．2 半正定二次型和半负定二次型定义3.2.1 设实二次型12(,,)T n f x x x X AX =，（i ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，都有12(,,,)0n f c c c ≥，称该二次型为半正定二次型，且称矩阵A 为半正定矩阵。
（ii ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，都有12(,,,)0n f c c c ≤，称该二次型为半负定二次型，且称矩阵A 为半负定矩阵。
二次型半正定与半负定的几何描述如图6（二元二次型）。
图6二元半正定（左图），二元半负定（右图）定理3.2.1 对于实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价：（i ） f 是半正定的；（ii ） f 的标准型是2221122(0,1,2,,)n n i d x d x d x d i n +++≥=；（iii ） 存在可逆实矩阵C ，且12(0,1,2,,)T i n d d C AC d i n d ⎛⎫⎪⎪=≥= ⎪ ⎪⎝⎭；（iv ） 存在实矩阵C ，使得C C A T =； （v ） A 的全部特征值皆大于或等于零； （vi ） A 的所有主子式皆大于或小于零。
定理3.2.2 对于实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价[3]：（i ） f 是半负定的；（ii ） 存在实矩阵C ，使得C C C E C A T T =-=)(； （iii ） A 的全部特征值皆小于或等于零；（iv ） A 的奇数阶主子式皆小于或等于零，而偶数阶主子式皆大于或等于零[3]，即),,2,1(,0)1(1111n r a a a a rrr rr=≥-。
3．3 不定二次型定义3.3.1 设实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，如果f 既不是正定的，也不是负定的，则称该二次型为不定二次型。
例3.3.1 判定二次型2222(,),0,0x y f x y a b a b=->>的正定性。
解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图7。
图7 3,4a b ==时的几何图形例3.3.2 判定二次型(,)f x y xy =的正定性。
解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图8。
图84 二次型理论在二次曲面分类上的应用4．1 理论分析二次曲面方程的一般形式[4]为2221122331212121232222220a x a y a z a xy a xz a yz b x b y b z c +++++++++= （5）令)(ij T a A A ==，(,,)T U x y z =，123(,,)T B b b b =，则上述方程可以写为20T T U AU B U c ++= （6）其中(,,)T f x y z U AU =就是一个二次型。