二次型的几何分类及其应用

二次型的几何分类及其应用

田金慧

内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。

在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。

关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用

1导言

在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。

因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。

但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，

并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。

本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。

当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。

2 二次型及其标准型

所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,,

,n x x x 的二次齐次函数

22

2

12111222(,,

,)n nn n f x x x a x a x a x =++

+

n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+

（1）

称为n 元二次型，简称二次型【2】。

当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。

若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成

12,1

(,,

,)n

T n ij i

j

i j f x x x a x x

X AX ==

=∑ （2）

其中，1112

121

22

212n n n n nn a a a a a a A a

a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪

⎪ ⎪⎝⎭，12n x x X x ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵

也把f 叫做对称矩阵A 的二次型；同时A 的秩也称为二次型f 的秩。

定义2.2 仅含有平方项的二次型

22

2

121122(,,

,)n n n f y y y d y d y d y =++

+ （3）

称为二次型的标准形。

对于二次型，主要问题是：如何寻求一个可逆的线性变换

⎪⎩⎪

⎨⎧+++=+++=n nn n n n

n

n y

c y c y c x y c y c y c x

221112121111 （4） 将其化为标准型。

定理 2.1 任意n 元实二次型12(,,,)T n f x x x X AX =都可经正交变换X PY =化

为标准形

1

22

2

1122T n n n f y y y Y Y λλλλλ⎛⎫ ⎪=++

+=

⎪ ⎪⎝

⎭

其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值。

例2.1 利用正交变换化二次型

1212(,)2f x x x x =

化为标准型。

解 二次型f 的矩阵为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=0110A

特征多项式为：

()()21

1111

E A λ

λλλλλ

--=

=-=-+-

所以A 的特征值为1,121-==λλ。

当11=λ时，解()10E A x -=得线性无关的特征向量()T

1,11=ξ，单位化得

T P )1,1(2

11=

。

当12-=λ，解()10E A x --=得线性无关的特征向量()T

1,12-=ξ，单位化得

T P )1,1(2

12-=

。

令

(

)12,P P P ⎫⎪⎪== 则P 为正交矩阵。

于是，正交变换X PY =，即

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛2121212

12121y y x x 化二次型为标准型

2

221y y f -=

二次型变换前后的几何描述如图1。

图1 二次型变换前（左图）、后（右图）

3 二次型的分类