线性代数概念

线性代数部分

基本运算

①A B B A +=+ ②()()C B A C B A ++=++

③()cB cA B A c +=+ ()dA cA A d c +=+ ④()()A cd dA c =

⑤00=⇔=c cA 或0=A 。 ()A A T

T =

()T T T B A B A ±=±

()()

T T

A c cA =。

()T T T A B AB =

()()()2

12112

-=

=-n n C n n n τ

n n A a A a A a D 2222222121+++=

转置值不变A A T = 逆值变A

A 11=

- A c cA n =

γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+

()321,,ααα=A ，3阶矩阵 ()321,,βββ=B B A B A +≠+

()332211,,βαβαβα+++=+B A

332211,,βαβαβα+++=+B A

B A B

A B

A =*

=

*00

()()1,=c j i E

有关乘法的基本运算 nj in j i j i ij b a b a b a C +++= 2211 线性性质 ()B A B A B A A 2121+=+， ()2121AB AB B B A +=+ ()()()cB A AB c B cA == 结合律 ()()BC A C AB = ()T T T A B AB =

B A AB =

l k l k A A A += ()kl l

k A A =

()k k k B A AB =不一定成立！

A AE =，A EA =

()kA kE A =，()kA A kE =

E BA E AB =⇔=

与数的乘法的不同之处 ()k k k B A AB =不一定成立！

无交换律 因式分解障碍是交换性

一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如 ()()E A E A E A A +-=--3322 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当0=AB 时0=⇒/A 或0=B

由0≠A 和00=⇒/=B AB

由0≠A 时C B AC AB =⇒/=（无左消去律）

特别的

设A 可逆，则A 有消去律。

左消去律：C B AC AB =⇒=。 右消去律：C B CA BA =⇒=。

如果A 列满秩，则A 有左消去律，即

①00=⇒=B AB ②C B AC AB =⇒=

可逆矩阵的性质 i ）当A 可逆时，

T A 也可逆，且()()T

T A A 11

--=。

k A 也可逆，且()()k

k A A 11

--=。

数0≠c ，cA 也可逆，()111

--=A c

cA 。

ii ）A ，B 是两个n 阶可逆矩阵AB ⇔也可逆，且

()1

11

---=A B AB 。 推论：设A ，B 是两个n 阶矩阵，则E BA E AB =⇔= 命题：初等矩阵都可逆，且 ()()()j i E j i E ,,1=-

()()()⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-c i E c i E 11

()()()()()c j i E c j i E -=-,,1

命题：准对角矩阵

kk

A A A A 0

000

0000002211

=

可逆⇔每个ii A 都可逆，记

1

122

111

1

00

000

0000

----=

kk

A A A A

伴随矩阵的基本性质： E A A A AA ==** 当A 可逆时， E A A A =*

（求逆矩阵的伴随矩阵法）

()()

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=

=----A A A A A 1

1

11* 伴随矩阵的其他性质

1*-=A A A

②()(),**T T A A = ④()*,**A B AB =

⑤()()k

k A A **=， 2=n 时， ()A A =** ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=d c b a A *

关于矩阵右上肩记号：T ，k ，1-，* i) 任何两个的次序可交换， 如()()T T A A **=，

()()**11--=A A 等

ii) ()()111 ,---==A B AB A B AB T T T ， ()***A B AB =

线性表示

s ααα,,,021 →

s i αααα,,,21 →

βααααααβ=+++⇔→s s s x x x 221121,,,有解

()βααα=⇔x s ,,,21 有解()()T s x x x ,,1 =

β=Ax 有解，即β可用A 的列向量组表示

()s r r r C AB ,,,21 ==，()n A ααα,,,21 =， 则n s r r r ααα,,,,,,2121 →。 s t αααβββ,,,,,,2121 →，

则存在矩阵C ，使得()()C s t αααβββ,,,,,,2121 =

线性表示关系有传递性 当p s t r r r ,,,,,,,,,212121 →→αααβββ， 则p t r r r ,,,,,,2121 →βββ。

等价关系：如果s ααα,,,21 与t βββ,,,21 互相可表示

t s βββααα,,,,,,2121 ←→

记作t s βββααα,,,,,,2121 ≅。 线性相关

1=s ，单个向量α，0=αx α相关0=⇔α

2=s ，21,αα相关⇔对应分量成比例 21,αα相关n n b a b a b a :::2211===⇔