第一轮复习自己 绝对经典 排列组合 第一轮

排列组合常见题型总结(2015版)

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路

灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

【知识要点】

一、分类加法原理与分布乘法计数原理

1．加法原理：完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2

类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成

这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

2．乘法原理：完成一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第

2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

二、排列与组合

1．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个

(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n

A 表示，

m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)!

(!m n n ,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n! 。 2．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，

叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示：

.)!

(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=Λ 规定：1C 0

=n 组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=； （2）11--+=n n m n m n C C C ；

一、 可重复的排列求幂法：

重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能

重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解

题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是

指数。

【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多

少种不同的报名方法？

（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？

（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？

【解析】：（1）43（2）34 （3）34

【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）

A 、38

B 、83

C 、38A

D 、38C

二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个

大元素参与排列.【例4】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B

在A 的右边，那么不同的排法种数有

【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，

4424A =种

【例5】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女

生必须相邻，则不同排法的种数是

真题：

【2014•嘉兴二模】甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种

数（ ）

A ． 18

B ． 24

C ． 36

D ． 48

三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个

元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【例6】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，

不同的排法种数是52563600A A 种

【例7】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，

有 种不同的插法

【解析】：1

11789A A A =504

【例8】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1

个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是

【例9】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后

才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成

后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是

【例10】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”

有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的

10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种.

【例11】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置

连在一起，不同的停车方法有多少种？

真题：

【2014•四川模拟】我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A．12 B．18 C．24 D．48

【2014•张掖模拟】现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是（）

A．20 B．40 C．60 D．80

四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

【例12】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（） A. 36种 B. 12种 C. 18种

D. 48种

【例13】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

【例14】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？

真题：

【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）