第6章 图像复原

图像复原质量准则

衡量接近原始景物图像的程度

图像复原模型

可以用连续数学或离散数学处理。

图像复原根据退化的数学模型对退化图像进行 处理，其实现可在空间域卷积或在频域相乘。
传统的复原方法 基于平稳图像、线性空间不变的退化系统、图 像和噪声统计特性的先验知识已知等条件下进 行讨论的. 现代的复原方法 对非平稳图像（如卡尔曼滤波）、非线性方法 （如神经网络）、信号与噪声的先验知识未知 （如盲图像复原）等前提下开展工作。

6.1.1 连续图像退化的数学模型

连续图像退化的一般模型,如图6.1所示。
n (x, y) f (x, y) H(x, y) g (x, y)

输入图像f(x, y)经过一个退化系统或退化算子H(x, y)后产 生的退化图像g(x, y)可以表示为： g(x, y)= H[f(x, y)] （6.1） 如果仅考虑加性噪声的影响，则退化图像可表示为： g(x, y)= H [f(x, y)]+n(x, y) （6.2）
对于一个二维线性位移不变系统，如果输入为f(x , y)，输 出为g (x , y)，系统加于输入的线性运算为T[ • ]，则有
g ( x, y ) T f ( x, y ) T f ( , ) ( x , y )dd
线性



f ( , )T ( x , y )dd


移不变


f ( , )h( x , y )dd
简记为

g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
上式表明，线性位移不变系统的输出等于系统的 输入和系统脉冲响应（点扩展函数）的卷积。
第六章 图像复原
谢建宏
南昌大学
教学目的
1. 了解图像复原的基本概念及图像复原的基 本任务； 2. 掌握图像退化的各种原因； 3. 掌握图像复原的常用方法及其MATLAB函 数的实现。
教学内容
1. 2. 3. 3. 4. 5. 图像退化原因与复原技术分类 逆滤波复原 约束复原 非线性复原 盲图像复原 几何失真校正

在退化算子H表示线性和空间不变系统的情况下， 输入图像f(x, y)经退化后的输出为g(x, y)：
g ( x, y ) H [ f ( x, y )] H f ( , ) ( x , y )dd


ˆ ) || g Hf ˆ || 2 为最小。 J( f
除了要求 J ( fˆ ) 为最小外，不受任何 其它条件约束，因此称为非约束复原。求 J ( fˆ ) 的极
小值方法就是一般的求极值的方法。把 J ( fˆ ) 对 fˆ 微分，并使结果为0，即
ˆ f 这里选择

在M=N的情况下，H为方阵且H有逆阵H-1，则


f ( , ) H [ ( x , y )]dd f ( , )h( x , y )dd

h(x,y)称为退化系统的冲激响应函数,又被称为退 化系统的点扩展函数PSF,在图像形成的光学过程中， 冲激为一光点。

各种代数复原方法

可能是通过无约束条件而得到原始图像f的估计。 也可能是约束复原f。
6.2 逆滤波复原

非约束复原

根据对退化系统H和噪声n的了解，已知退化图像g的情 况下，在一定的最小误差准则下，得到原始图像f的估 计；

复原时以消除噪声为目的。

逆滤波是最早使用的一种无约束复原方法，成功
点源的概念
事实上，一幅图像可以看成由无穷多极小的像 素所组成，每一个像素都可以看作为一个点源成像， 因此，一幅图像也可以看成由无穷多点源形成的。 在数学上，点源可以用狄拉克δ函数来表示。 二维δ函数可定义为
x 0, y 0 ( x, y) 其它 0
且满足
(x, y )dxdy 1
地应用于航天器传来的退化图像。

逆滤波复原思想
可将式（6.14)改为： n = g－Hf （6.15） 当对n的统计特性不确定时，希望对原始图像f ˆ 满足这样的条件，使H fˆ 在最小二 的估计 f 乘意义上近似于g，即希望找到一个 fˆ ，使得
2 T 噪声项的范数 || n || n n 最小， 即目标函数


它的一个重要特性就是采样特性,即


f ( x, y ) ( x , y )dxdy f ( , )

当α =β =0时
f (0,0)


f ( x, y ) ( x, y )dxdy

它的另一个重要特性就是位移性。
f ( x, y)





f(x, y)的最佳估计
退化的图像是由成像系统的退化加上额外 的系统噪声而形成的。 若已知H(x, y)和n(x, y)，图像复原是在退 化图像的基础上，作逆运算，得到f(x, y) 的一个最佳估计。


“最佳估计”而非“真实估计”,由于存 在可能导致图像复原的病态性。

点扩展函数PSF （Point-spread Function）
ˆ ( H T H ) 1 H T g H 1 g f
（6.20）

当系统H逆作用于退化图像g时，可以得到最小平
方意义上的非约束估计。对式（6.20）进行傅立叶
变换，则
G (u, v) ˆ F (u, v) H (u, v)
（6.21）


逆滤波法的特点
优点：

形式简单 适用于极高信噪比条件下的图像复原问题，且降质系 统的传递函数H不存在病态性质。 具体求解的计算量很大，需要根据循环分块矩阵条件 进行简化。 当H等于0或接近于0时，还原的图像将变得无意义。 这时需要人为对传递函数进行修正，以降低由于传递 函数病态而造成的恢复不稳定性。

设f (x, y)大小为A×B，h(x, y)被均匀采样为C×D 大小，为避免交叠误差，采用添零延拓的方法， 将它们扩展成M=A+C-1和N=B+D-1个元素的周期 函数。
f ( x, y ) 0 x A 1且0 y B 1 f e ( x, y ) （6.8a） 其他 0






图像复原就是 典型的图像复原是根据图像退化的先验知识建立一 个退化模型，以此模型为基础，采用各种逆退化处 理方法进行恢复，得到质量改善的图像。图像复原 过程如下： 找退化原因→建立退化模型→反向推演→恢复图像 可见，图像复原主要取决于对图像退化过程的先验 知识所掌握的精确程度，体现在建立的退化模型是 否合适。

考虑噪声，则有
M 1 N 1 m 0 n 0
g e ( x, y)
f
e
(m, n)he ( x m, y n) ne ( x, y)
（6.13）
g=Hf +n

（6.14）
给定了退化图像g(x, y)、退化系统的点扩展函数h(x, y)和噪 声分布n(x, y)，就可以得到原始图像f的估计。 实际计算的工作量十分庞大。
二维离散退化模型可以用矩阵形式 g=Hf H是MN×MN维矩阵 （6.10）
H0 H 1 H H2 H M -1
H M 1 H0 H1 H M -2
H M -2 H 1 H M 1 H 2 H0 H3 H M -3 H 0
h( x, y ) 0 x C 1且0 y D 1 he ( x, y ) 其他 0
（6.8b）

则输出的降质数字图像为
ge ( x, y)
m0 M 1
f (m, n)h ( x m, y n)
n 0 e e
N 1
（6.9）
T af (x, y ) aT f (x, y )
则称该运算为二维线性运算。由它描述的系统，称为二维线 性系统。 当输入为单位脉冲δ(x , y)时，系统的输出便称为脉冲响应， 用h (x , y)表示。在图像处理中，它便是对点源的响应，称为 点扩展函数。用图表示为
当输入的单位脉冲函数延迟了α、β单位，即当输入为δ （x –α， y –β）时，如果输出为h（x –α， y –β），则称此系 统为位移不变系统。


空间域分析与频率分析
退化系统的输出就是输入图像f (x, y)与点扩展函 数h(x, y)的卷积，考虑到噪声的影响，即
g ( x, y ) f ( , )h( x , y )dd n( x, y ) （6.6） f ( x, y ) * h( x, y ) n( x, y )
6.1 图像退化原因与复原技术分类

图像退化（degradation）是指图像在形成、传输
和记录过程中，由于成像系统、传输介质和设备的不 完善，使图像的质量变坏。造成退化的原因一般如下:
（1）射线辐射、大气湍流等造成的照片畸变。 （2）A/D过程会损失部分细节，造成图像质量下降。 （3）镜头聚焦不准产生的散焦模糊。 （4）成像系统中始终存在的噪声干扰。 （5）相机与景物之间的相对运动产生的运动模糊。 （6）底片感光、图像显示时会造成记录显示失真。 （7）成像系统的像差、非线性畸变、有限带宽。 （8）携带遥感仪器的飞机或卫星运动的不稳定，以 及地球自转等因素引起的照片几何失真。


通常有两种解决上述问题的途径：
假设图像大小M=N，则H的大小为N4，要解出f (x, y)需 要解N2个联立方程组。

（1）通过对角化简化分块循环矩阵，再利用FFT快速算法 可以大大地降低计算量且能极大地节省存储空间。

（2）分析退化的具体原因，找出H的具体简化形式。
匀速运动造成模糊的PSF就可以用简单的形式表示，这样使复原 问题变得简单。

缺点：


6.3 约束复原

约束复原除了对降质系统的PSF有所了解外，还
需要对原始图像和外加噪声的特性有先验知识。
（6.11）
he ( j , 0) he ( j ,1) Hj he ( j , N 1)
he ( j, N 1) he ( j, N 2) he ( j, 0) he ( j, N 1)
he ( j, N 2) he ( j, N 3)
he ( j,1) （6.12） he ( j, 2) he ( j, 0)


图像复原和图像增强的区别：
图像增强不考虑图像是如何退化的，而是试图 采用各种技术来增强图像的视觉效果。因此， 图像增强可以不顾增强后的图像是否失真，只 要看得舒服就行。 而图像复原就完全不同，需知道图像退化的机 制和过程等先验知识，据此找出一种相应的逆 处理方法，从而得到复原的图像。 如果图像已退化，应先作复原处理，再作增强 处理。 二者的目的都是为了改善图像的质量。


f ( , ) ( x , y )dd
用卷积符号 * 表示为
f ( x, y) f ( x, y) ( x, y)
因此还有
f ( x , y ) f ( x, y) ( x , y )
二维线性位移不变系统
如果对二维函数施加运算T[· ] ，满足 ⑴ T f1 (x, y ) f 2 (x, y ) T f1 (x, y ) T f 2 (x, y ) ⑵




在频域上可以写成
G(u, v) F (u, v) H (u, v) N (u, v)
（6.7）
G(u, v)、F(u, v)、N(u, v)分别是g(x, y)、f(x, y)、n(x, y)的傅立 叶变换; H(u, v)是h(x, y)的傅立叶变换，为系统的传递函数。
6.1.2 离散图像退化的数学模型