基于小波变换的自适应阈值指纹图像去噪

基于小波变换的自适应阈值指纹图像去噪黄勇兴（南昌航空大学 江西 南昌 330063）摘要：本文介绍了一种小波变换自适应阈值的指纹图像去噪方法。

该方法是对指纹图像进行小波分解，然后基于Bayes 框架，在不同子带和不同方向上选择不同的最佳阈值，结合软阈值法对指纹图像进行去噪，提高指纹图像的峰值信噪比（PSNR ）,解决噪声过强问题，使得指纹图像整体得到增强以方便指纹识别后续的指纹匹配。

关键字：指纹图像，小波变换，软阈值,指纹去噪0引言指纹识别系统包含指纹图像预处理、特征提取和特征匹配等三个阶段。

指纹预处理是指纹识别中非常重要的一步，它的好坏直接影响特征提取和识别效果。

小波变换是传统傅里叶变换的继承和发展，由于小波的分辨率分析具有良好的空间域和频率域局部化特性，对高频采用逐渐精细的时域空域步长，可以聚焦到分析对象的任意细节，因此，特别适合于图像信号这一类非平稳信源的处理。

近几十年，随着小波技术发展，已较好地运用到信息处理、图像处理、量子理论等科技领域。

小波技术在图像恢复和增强、图像分割、图像数据库检索、图像配准和图像重建等处理上有较多的应用。

Donoho 和Johnstone 在小波变换的基础上提出了小波阈值【1】去噪的概念，并证明了此方法在Besov 空间上可以得到其他任何线性估计都不可能达到的最佳估计值。

本文在Donoho等人提出的去噪方法Visu Shrink 【1】和Grace Chang 等人提出的基于Bayes 准则的去噪方法Bayes Shrink 【2】的基础之上，研究了一种基于小波变换的自适应阈值指纹去噪方法，该方法是在不同子带和不同方向上通过选择不同的最佳阈值去噪，以期获得更好的指纹预处理效果。

2 小波变换简介[3-4]连续小波变换是指信号)(t f 与具有良好局部化性质的小波函数)(,t b a φ作内积，即dt t t f t t f b a W ba b a f )()()(),(),(,,⎰>==<ψψ （1）由此可知，它们的区别在于小波函数)(,t b a ψ的不同。

上式也可表示为：dt bat t f a b a CWT )()(||),(21⎰-=ψ （2） 相应地，离散小波变换为：)2()(2),(2n k k f n m DW T mm -=∑ψ （3）逆离散小波变换为：)2()(2),(2n k k f n m DT DWTf kmm -==∑ψ （4）3小波分解与阈值处理 3 .1小波分解图像信号的小波分解实质上就是把图像信号分解成不同频带范围内的图像分量。

对图像在水平方向和垂直方向与两个滤波器（低通、高通）相卷积，可以得到4块面积为图像1/4的子图，分别为水平垂直方向都为低频（LL ）、水平方向低频垂直方向高频（LH ）、水平方向高频垂直方向低频（HL ）、水平方向垂直方向都为高频（HH ），LH 、HL 、HH 称为细节子图，HH 称为低频子图，以上为一级小波分解，对LL 做同样的运算，可以得到图像二级小波分解，图1中分别代表一级和二级小波分解。

由此可得到三级、四级小波分解……。

L HLH1HH1LL2HL2LH2HL1LH1HH1一级分解二级分解HH2LL1HL1图1 小波分解示意图 经测算，在经过四层小波分解后，原图像96%以上的能量还是集中在LL4子图上。

这样，通过多层小波分解产生了不同频带范围内的图像分量，通过不同的方法来增强不同频带范围内图像细节分量，突出不同尺度的细节，就可以改善图像的质量，达到增强图像的效果。

实践中，小波分解的层数过多也不好，这样会导致复原图像的失真，通过多次试验看出三层分解就可滤去大部分噪声，故本文选择三层分解比较理想。

小波变换过程是信号与滤波器卷积的过程，滤波器的长度增加将导致卷积运算量增加，并且从边界延拓来看，滤波器越长，延拓的点越长，造成恢复图像的失真越大。

因此，本文选用长度适中的db4小波【5】。

3.2自适应阈值选择通过小波阈值萎缩法来进行去噪，最关键的步骤就是确定最佳阈值T 的大小。

目前最常用的确定阈值的方法是Donoho 等人提出的Visu Shrink 方法[3]。

该方法最佳阈值T 通过如下公式选取：N T log 2σ= （5）其中，σ是噪声标准差，N 是小波系数中高频系数的个数。

Grace Chang 等人根据图像小波系数分布的特点，提出了一种基于Bayes 准则的BayesShink 图像去噪方法[4]，其最佳阈值为：signalnoise T σσ2= （6）其中，2noise σ是噪声信号方差的估计，signal σ是图像信号标准差的估计。

文中就是在以上基础上，研究一种基于不同子带、不同方向上的自适应阈值的确定方法，这里把它称作Adapt Thr Shrink 去噪法。

假设图像表示为{}N j i f j i ,,2,1,;, =，因此，被噪声污染的图像就可以表示为：{}N j i f gj i j i ji ,,2,1,;,,, =+=ε （7）其中，噪声{}ji ,ε与图像{}ji f ,相互独立且服从正态分布。

经小波变换后，有：{}N j i W W Wj i j i ji f g ,,2,1,;,,, =+=ε （8）其中，j i g W ,表示含有噪声图像的小波系数，j i f W ,表示原始图像的小波系数，j i W ,ε表示噪声的小波系数。

在同一层上，噪声信号的标准差εσW 可由对角线方向小波细节系数HH 进行估计：6745.0)()(K W HH Median K =εσ （9）其中，l K ,,2,1 =，l 表示小波分解的层数。

各方向上的细节系数{}K g LH K W j i ∈),1(,、{}K g HL K W j i ∈),2(,和{}K g HH K W j i ∈),3(,服从广义的高斯分布（Generalized Gaussian Distribution ）。

因此，带噪图像信号的方差可用下式估计：∑∑===)(1)(1222),()(1),(,K N i K N j g W K D WK N K D ji gσ（10）其中，3,2,1=D 分别表示水平、垂直、对角线三个方向。

由222εσσσW W W f g +=，就可以得到原始图像信号的标准差估计：)0),(),(max(),(22K K D K D W W W gfεσσσ-= （11） 由此，可得到Adapt Thr Shrink 的阈值的表达式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=0),(|)),(max(|0),(),()(),(,2K D K D W K D K D K K D T fj i ff Wg W W W σσσσε （12）由于硬阈值函数在阈值T 处的不连续，硬阈值化所得到的估计信号会产生附加振荡。

相比，软阈值函数在Besov 空间上更加接近极小极大准则的理想值，使去噪后的信号更加平滑。

因此，本文采用的是软阈值函数。

3.3小波重构由所有低频尺度系数，以及经由阈值处理后的小波系数做逆小波变换进行重构，得到恢复的原始信号的估计值及去噪后的指纹图像。

4 实验与结果分析本文对指纹图像在不同的噪声水平（σ=10，15,20）下进行仿真实验。

以指纹图像（大小为256256⨯，灰度级为256级，15=σ）为例进行说明。

实验结果如图2所示。

（a ）原图 （b ）加噪图像（c ）软阈值 （d ）硬阈值 （e ）自适应阈值 图2 原始图像、加噪图像及三种阈值去噪后图像 图2（c ）、（d ）为半软阈值去噪结果图，图像较模糊，并（d ）存在振铃效应。

图2（e ）是本文的自适应阈值法，去噪后的视觉效果图比图2（c ）好，指纹特征对比度得到增强。

另外，试验中采用峰值信噪比对上述图像进行定量分析比较，峰值信噪比（PSNR,Peak Signal-to-Noise Ratio ）公式定义如下：∑∑==-=N i Nj j i ji f fN PNSR 112,~,22)(1255lg10 （13）定量分析结果如表1所示。

从表1可知，本文采用的方法在不同噪声水平下的峰值信噪比半阈值法大。

10=σ15=σ02.0=σ噪声图像 68.1824 66.3824 65.1043 硬阈值 69.4815 68.0200 66.6174 软阈值 69.0258 68.8079 68.5308 自适应阈值70.429869.483869.0007表1 指纹图像2种阈值方法去噪后的峰值信噪比 由图2和表1可以看出，经过自适应阈值算法进行增强处理的指纹图像要比原图更清晰，增强了脊线和谷线的对比度，增强了脊线和汗腺的对比度。

实验表明，应用小波变换技术对指纹图像进行预处理，具有很广阔的应用前景。

参考文献[1] Donoho D L, Johnstone I M. Ideal spatial adaptation via waveletshrinkage[J].Biometrika,1994,81:425-455.[2] Chang S G, Yu B,Vetterli M. Adaptive wavelet thresholding for image denoisingand compression[J].IEEE Transactions on Image Processing,2000,9(9):1532-1546. [3] 陈武凡.小波分析及其在图像处理中的应用[M].科学出版社，2002;16-31 [4] 徐长发，李国宽。

实用小波方法[M].武汉：华中科技大学出版社，2004.[5] Donobo D L. De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Trans on informationtheory,1995,41(3):617-627.。