16动载荷

V Q(h d )
1 Pd d 2
1 U d Pd d 2
d
Q( h d )
又
Pd d Pd d Q Q st st 1 d Q d 所以 Q(h d ) 2 st
Q(h d )
1 d Q d 2 st
交变载荷（交变载荷引起疲劳破坏）
惯性载荷作用下的动应力和动变形 一、构件作等速直线运动时的动应力与动变形 此类问题的特点: 加速度保持不变或加速度数值保持不变，即角速度w = 0 解决此类问题的方法: 牛顿第二定律 动静法（达朗伯原理）
达朗伯原理的回顾 用静力学的方法求解动力学的问题。 虚拟的“惯性力”
动荷系数 Kd
d
v2 st g st

几种常见情况下的冲击动荷系数
(1) 垂直冲击(自由落体) 这时，公式中的T为:
T Qh
2h Kd 1 1 st
例题
图中所示的两根受重物Q冲击的钢梁，其中一根是支承于刚性 支座上，另外一根支于弹簧刚度系数k=100N/mm的弹性支座上。 已知l = 3m, h=0.05m, Q=1kN, I=3.4×107mm4, E=200GPa,比较两 者的冲击应力。
惯性力与主动力、约束力共同构成“平衡力系”，通过 静力学平衡方程求解未知力。
FI ma
问题 1 起重机以等加速度 a 起吊重量为W的物体，求钢索中的应 力。
钢索
a
W
钢索
问题 1 首先对重物进行受力分析
惯性力:
a
FI ma
FT a
W
沿竖直方向建立“平衡方程”:
W
F
y
0 FT W FI 0
d
F/A
0
L
x
a
构件轴向变形 取构件当中一微段 dx
m
F
dx Fd(x) Fd(x)+dFd
Fd ( x)dx d ( x) d (L) dx d ( x)dx EA E Fd ( x) Fx d ( x) A AL
L
l
0
Fx FL dx EAL 2 EA
动应力:
d kd st
d k d st
在线弹性范围内，动变形亦有: 强度条件:
d kd st [ ]
[ ] st kd
§11-2 动静法的应用
1 动静法
即为理论力学中介绍的达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中的动应力分析 设杆以匀加速度a向上运动， 截面积为A，容重为 。 加上惯性力系。 分布载荷中，包括自重 和惯性力。 则：
a v
冲击物
被冲击物
采用能量法处理冲击问题的基本假设: 1、除机械能外，所有其它的能量损失（塑性变形能、热能） 等均忽略不计； 2、冲击过程中，结构保持线弹性范围内，即力与变形成正比； 3、假定冲击物为刚体，只考虑其机械能，不计变形能；
4、假定被冲击物为弹性体，只考虑其变形能，不考虑其机械 能。
5. 冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动;
b
F
a
F
qd
l
a A a A (1 ) qd A g g
分布载荷中，包括自重和 惯性力。则：

b
F
a
F
加速度为零时：
qst A
加速度为a时：
qd
l
a qd qst (1 ) g
a 记： K d 1 g
若忽略自重，则
动荷系数
a Kd g

动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
2 2
Fd
qd D A D 2 w 2 Fd 2 4g
强度条件： d
v2
g

要保证圆环的强度，应限制圆环的速度v; 增加截面面积 A，并不能改善圆环的强度。
2 构件有加速度时的应力计算 ------动静法 (1) 匀加速平动构件中的动应力分析
a 动荷因数 Kd 1 g
动荷系数
Pd d 因为 Kd Q st
所以 Pd K d Q
d Kd st
当载荷突然全部加到被冲击物上，即 h=0 时
2h Kd 1 1 2 st
由此可见,突加载荷的动荷系数是2，这时所引起的应
力和变形都是静荷应力和变形的2倍。
若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的 速度为v，则
V 0
T V Ud
d
即:
v2 st g st
Kd
引入记号:
则:
a Kd 1 g
动荷因数
Fd K d Fst , d K d st
3 构件作匀速转动时的应力计算 薄壁圆环，平均直径为D，横截面面积为A，材料 单位体积的重量为γ，以匀角速度ω转动。
w
Fd
A Dw A Dw g 2 2g Fd D2 w 2 v 2 d A 4g g qd
FN max 作用在AB杆的根部A截面
在距根部x处取出一段长为dx ,根据胡克定律，其伸长
FN x dx d l EA
2 2 2 l Qw (l x ) FN x l dx dx 0 EA 2l g EA
§10-4 杆件受冲击时的应力和变形
1 工程中的冲击问题 撞击，打桩，铆接，突然刹车等。
比较上述两种情况的结果可以知道，采用弹性支座，可以 减少系统的刚度，降低动荷因数，从而减少冲击应力，这 就是缓冲减振。
(2) 水平冲击
设接触时的速度为 v , 则动能:
1Q 2 T v 2g
以重物所在的水平面为零势面，则势能: 忽略能量损失，由机械能守恒定律，有: 即:
1Q 2 1 1 2d v Pd d Q 2g 2 st 2
F qd a g L
A 1
用截面法取构件的一部分加以分析各截面的轴力:
x qd Fd(x)
F
x
0
Fd ( x) qd x 0
F Fd ( x) x L
第十一章 动载荷
a
则动应力为: d ( x)
Fd ( x) Fx x st A AL L
m
F
静载荷条件下的应力-静应力: st 因此，在此条件下，动应力沿杆长作线性分布，如图:
例如： 按静载求出某点的应力为 则动载下该点的应力为 按静载求出某点的挠度为
st
d K d st vst
vd K d vst
则动载下该点的挠度为

强度条件
d Kd st [ ]
以矿井升降机以等加速度a起吊一吊笼为例。
吊笼重量为Q；钢索横截面面积为A，单位体 积的重量为 。求吊索任意截面上的应力。
(a)
弹性支承情况下的冲击应力:
Q h
l/2 (b)
l/2
Ql 3 Q st ....... 5.08mm 48EI 2k 2h kd 1 1 ....... 5.55 st Ql st ..... 2.43MPa 4W d 5.55 2.43 13.5MPa
T
1Q 2 v 2 g
1 1 d Q Pd d Q d d 2 2 2 st 2 st
1Q 2 Q v d 2 2 g 2 st
V 0
Ud
Pd d Q st
d
v2 st g st
v2 g st
Pd v2 Q g st
v2 h 2g
h
2h v2 Kd 1 1 1 1 st g st
若已知冲击物自高度 h 处以初速度 v 0 下落,则
d
v v0 2 gh
2 2
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v2 Kd 1 1 g st
v 0 2 2 gh 1 1 g st
当构件受水平方向冲击时
Q h
Q h
l/2
l/2 l/2 (a) (b) l/2
刚性支承情况下的冲击应力:
Q h
l/2
l/2
Ql 3 st ....... 0.0827mm 48EI 2h kd 1 1 ....... 35.8 st Ql st ..... 2.43MP a 4W d 35.8 2.43 87MP a
d 2 2 st d 2h st 0
2 st 4 2st 8h st 2h d st 1 1 2 st
2h d st 1 1 Kd st st
其中 Kd 1 1 2h st
例：图示均质杆AB长为l，重量为Q，以等角速度ω绕铅垂轴在水平面内旋 转，（1）求AB杆内的最大轴力，并指明其作用位置。（2）求杆的总伸长量
解：
d FN ( x) Qw 2 lg x
l

d
Qw 2 2 l x2 2l g


FN max FN ( x) x 0
Qw 2 2 Qlw 2 l 2l g 2g
Ax
FN d max
a Al 1 g
a A l1 g
d max
FN d max A
a l 1 g
FN
a
构件加速度:
a
F F Fg m AL / g AL
m
F
构件单位长度上的惯性力(集度):
重物 Q 从高度为 h 处自由落下，冲击到弹簧顶面上， 然后随弹簧一起向下运动。当重物 Q 的速度逐渐降低到 零时，弹簧的变形达到最大值Δd，与之相应的冲击载荷即 为Pd。 根据能量守恒定律可知，冲击物所减少的动能 T 和位能 V，应全部转换为弹簧的变形能Ud,即
h
T V Ud
又 则
T 0
第16章 动载荷
基本内容: 1 概述
2 动静法的应用
3 强迫振动的应力计算
4 杆件受冲击时的应力和变形
5 冲击韧性
§16-1 概 述
1 动载荷
载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。这 静载荷： 时，构件内各点的加速度很小，可以忽略不计。

动载荷: 随时间明显变化的载荷，即具有较大加载速率的 载荷。 在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。
FI
a FT ma mg (1 )W g
问题 1
若钢索截面积为A
FT
a
a (1 )W FT a g d (1 ) st A A g
W
FI
静载荷情况下的钢索中的应力： st
引入：动载荷因数kd 有:
d k d st
a kd 1 g
动应力、动变形与动载荷因数的关系
(2) 构件作匀速转动时的应力计算
a Kd 1 g
动荷因数
Fd K d Fst ,
d K d st
vd K d vst
例：单位体积重量为γ，杆长为ｌ，横截面面积
为Ａ的等直杆，以匀加速度ａ上升，作杆的轴力图，
并求杆内最大动应力。
FN d
Ax
Ax
g
a
解： a FN d ( x) Ax a Ax1 g g
特点：冲击物在极短瞬间速度发生剧变，被冲击物在 此瞬间受到很大冲击力的作用。
例如： 锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。是重力 的335倍。
构件受冲击时的应力和变形
冲击问题的特点: 构件受到外力作用的时间很短，冲击物的速 度在很短的时间内发生很大的变化，甚至 降为0，冲击物得到一个很大的负加速度 a 解决冲击问题的方法: 近似但偏于安全的方法--能量法
Fst
Fd
Ax
Ax Ax a g
Q
Q Q a g
Fd A x
Ax
Q aQ a g g
a Q Ax Q Ax g
a Q Ax 1 F 1 a st g g
构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。
实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过 比例极限，胡克定律仍然适用,且弹性模量与静载时相同。
2 动载荷的分类
1) 构件有加速度时的应力计算; 2) 冲击问题；
3) 振动问题；
4) 交变载荷。
惯性载荷
第十一章 动载荷
冲击载荷
振动载荷（Tacoma大桥共振断裂）