概率统计总复习

复习

2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ (1)????

??2.03.05.0531 (2) ???

? ??1.01.07.0321

(3) ????? ?

???? ????? ????? ?? n n 31213121312121

210

2 (4)????

?

????? ????? ?? 2221212121

n 解 （1）是

（2）11.01.07.0≠++，所以它不是随机变量的分布列。

（3）4

3312131213121212

=+??? ??++??? ??+??? ??+ n

,所以它不是随机变量的分布列。 （4）,021>??? ??n n 为自然数，且1211=??

? ??∑∞=n n

，所以它是随机变量的分布列。 2.2 设随机变量ξ的分布列为：

5,4,3,2,1,15

)(===k k

k P ξ，求(1))21(==ξξ或P ; (2)2

5

21(

<<ξP ) ； (3) )21(≤≤ξP 。 解 (1) 5

1152151)21(=+=

==ξξ或P ; (2) 5

1

)2()1()2521(==+==<<ξξξP P P ;

(3) )21(≤≤ξP 5

1

)2()1(==+==ξξP P .

2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、

二、三等品的件数分别为ξ、η、ζ，求),,(ζηξ的联合分布列与各自的边际分布列。

解 k n m k n m k n m P 2.03.05.0!

!!!

4),,(=

===ζηξ ，.44,3,2,1,0,,=++=k n m k n m m m m m P -???

? ??==45.05.04)(ξ ，4,3,2,1,0=m ； n

n n n P -???? ??==47.03.04)(η ，4,3,2,1,0=n ；

k

k k k P -???

? ??==48.02.04)(ζ ，4,3,2,1,0=k 。

2.18 抛掷三次均匀的硬币，以ξ表示出现正面的次数，以η表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求),(ηξ的联合分布列及边际分布列。

2.23设随机变量ξ与η独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明ηξ+不服从均匀分（即不可能有12,,3,2,11

1

)( ==

=+k k P ηξ。） 证明 设,)(k p k P ==ξ6,,2,1,)( ===k q k P k η。

若12,,3,2,11

1

)( ==

=+k k P ηξ，则 11

1

)2(11===+q p P ηξ )1(

11

1

)7(165261=+++==+q p q p q p P ηξ )2(

11

1

)12(66===+q p P ηξ )3(

将（2）式减去（1）式，得：0)(116<-q p p ，于是16p p <。同理16q q <。因此

11

1

1166=

??

?

?

??412

14

120

ππ

，求232

+=ξη与ξζcos =的分布列。

解 η分布列为41)2(==ηP ，21)32(=+=πηP ，4

1)322(=+

=π

ηP ； ζ的分布列为41)1(=-=ζP ，21)0(==ζP ，4

1

)1(==ζP 。

2.26 设离散型随机变量ηξ与的分布列为ξ：?

??

?

??818321310 ， η ：???

?

??3231

10，且ηξ与相互独立，求ηξζ+=的分布列。

解 ?

??

? ??1212414

124116

1

43210

2)(2

2

=-=ξξξE E D

2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的

概率为1克、2克、…、10克，现有三组砝码：

（甲组）1，2，2，5，10（克）

（乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克） 问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？

解 设1ξ、2ξ、3ξ分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1ξ 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2ξ 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 3ξ 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1 于是 8.1)1332212211(10

1

1=+++++++++=ξE 7.1)1332221111(101

2=+++++++++=

ξE 2)1432213211(10

1

3=+++++++++=ξE

所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。

2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, 10±米的概率各是0.16，20±米的概率各是0.08，30±米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。

解 设场地面积为2米S ，边长的误差为ξ米，则2)500(+=ξS 且

0=ξE 186)05.03008.02016.010(22222=?+?+?=ξE

所以)(2501862500001000)500(2

2

2

米=++=+=ξξξE E E ES

2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为1p 、2p 、3p 。试证发生故障的仪器数的数学1p +2p +3p 。

证 令3,2,101=???=i i i i 架仪器未发生故障

第架仪器发生故障第ξ

ξ为发生故障的仪器数，则3,2,1,)1(====i p P E i i i ξξ，

所以=++=321ξξξξE E E E 1p +2p +3p 。

2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。

解 设，

则i η的分布列为???

? ??151415101，因而151

=i E η。设ξ为查得的不合格品数，则

∑==1501

i i ηξ，所以10150

1

==∑=i i E E ηξ。

2.38 从数字0，1，…，n 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。

解 设ξ为所选两个数字之差的绝对值，则n k n k n k P ,,2,1,211

)( =???

? ??++-=

=ξ，

于是32])1[()1(221112

1

+=-++=???

? ??++-=∑∑==n k k n n n n k n k E n

k n

k ξ。 2.39 把数字n ,,2,1 任意在排成一列，如果数字k 恰好出现在第k 个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。

解 设???=个位置上不在第数字个位置上出现在第数字k k k k k 01ξ则k ξ的分布列为：???? ?

?-n n 111

01 于是n P E k k 1

)1(===ξξ，设匹配数为ξ，则∑==n k k 1ξξ，因而11

==∑=n

k k E E ξξ。

2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p ，当生产出k 个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。

解 设第1-i 个不合格出现后到第i 个不合格品出现时的产品数为i ξ，.,,2,1k i =又在两次检修之间产品总数为ξ，则.1

∑==

k

i i ξξ

因i ξ独立同分布，)1(,2,1,)(1p q j p q j P j i -====- ξ，由此得：

p

p jq

E j j i 11

1

==

∑

∞

=-ξ，2

1

1222p

p

p q j E j j i -=

=

∑∞

=-ξ， 2221)(p

p

E E D i i i -=

-=ξξξ。 p k

E E k

i i ==∑=1ξξ，2

1

)1(p p k D D k

i i -==∑=ξξ。

2.46 设随机变量ξ与η独立，且方差存在，则有

22)()()(ηξηξηξξηE D D E D D D ?+?+?=（由此并可得ηξξηD D D ?≥)(）

证明 222)()(ξηηξξηE E D -=2222)()(ηξηξE E E E -=

22222222)()()()(ηξηξηξηξE E E E E E E E -+-=

ξηηξD E D E 22)(-=22)()(ηξηξηξE D D E D D ?+?+?=

3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以ξ表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为

?

?

?<<-=其它01

0)1(12)(2x x x x p 若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90

万度又是怎样呢？

解： ?

=-=

>1

8.020272.0)1(12)8.0(dx x x P ξ 0037.0)1(12)9.0(1

9

.02=-=

>?

dx x x P ξ

因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。

3.1 4设随机变数ξ服从（0，5）上的均匀分布，求方程02442

=+++ξξx x 有实根的概

率。

解：当且仅当

0)2(16)4(2

≥+-ξξ （1）

成立时，方程02442

=+++ξξx x 有实根。不等式（1）的解为：2≥ξ或1-≤ξ。

因此，该方程有实根的概率

5

351)2()1()2(5

2

==≥=-≤+≥=?

dx P P P p ξξξ。 3.17 某种电池的寿命ξ服从正态),(2

σa N 分布，其中300=a （小时），35=σ（小时）

(1) 求电池寿命在250小时以上的概率；

（2）求x ，使寿命在x a -与x a +之间的概率不小于0.9。

解：（1）)43.135

300

()250(->-=>ξξP P

=9236.0)43.1()43.135

300

(

≈Φ=<-ξP ；

（2）35

3530035()(x x P x a x a P <-<-=+<<-ξξ =9.01)35

(2)35()35(≥-Φ=-Φ-Φx

x x 即 95.0)35(

≥Φx

所以 65.135

≥x

，即 75.57≥x 3.24 设二维随机变数),(ηξ的联合密度为

??

?>>=--其它

,0),(43y x ke y x p y

x

（1） 求常数k ；

（2） 求相应的分布函数； （3） 求)20,10(<<<<ηξP 。 解：（1）

12

4030

43k

dx e k dxdy ke x y x ==

???

∞-∞∞

--， 所以12=k ；

（2）0,0>>y x 时， 34340

(,)1212()()x y

x y

t s t s y

F x y e dtds e dt e ds ----=

=??

??

=)1)(1(43y x

e e

----，所以

??

?>>--=--其它

,0)

1)(1(),(43y x e e y x F y x

（3）)20,10(<<<<ηξP

=)0,0()0,1()2,0()2,1(F F F F +-- =1183

1---+--e e e

。

3.26 设二维随机变数),(ηξ的密度函数为

?

?

?<<<<=其它01

0,104),(y x xy y x p 求（1）)()4();()3();()2();14

1

,210(ηξηξηξηξ≤<=<<<

3.58 设随机变量ξ与η独立，都服从),0(a 上的均匀分布，求η

ξ

的密度函数。

解：??

∞

∞

∞

-=

=

)(1||)()()(dz xz zp a dz z z p xz p x p ξηξη

ξ 当10≤

)(0

2

==?

a

zdz a x p η

ξ，当1>x 时，2

2

21

1

)(x

zdz a x p x

a

=

=?

η

ξ 所以ηξ的密度函数为????

???>≤<≤=121

102100)(2

x x x x x p η

ξ

3.61 设随机变量ξ具有密度函数

?????≤≤-=其它0

22cos 2

)(2πππx x x p

求ξξD E ,。

解：0cos 2

222

==

?-

xdx x

E π

π

π

ξ

2

1

12

cos 2

2

2

22

2

2-

=

==?-ππ

ξξπ

πxdx x

E D 3.62 设随机变量ξ具有密度函数

??

?

??<<-≤<=其它

021210)(x x

x x x p

求ξE 及ξD 。 解 ??

=-+=

1

2

1

2

1)2(dx x x dx x E ξ，

6/7)2(2

1

21

32

=-+=

??

dx x x dx x E ξ，

6/1)(2

2=-=ξξξE E D 。 3.66 设随机变量ξ服从)2

1

,21(-

上的均匀分布，求πξηsin =的数学期望与方差。

解：?

-==

212

1,0sin xdx E πη?-===212

122

2/1sin xdx E D πηη。

3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。

解：设旅客候车时间为ξ（秒），则ξ服从[]300,0上的均匀分布，则

（秒）1503001300

=??=?

dx x E ξ，）秒2230002

(30000300

1=??=?dx x E ξ，

）

秒22(750015030000=-=ξD 4.6 设随机变量序列{}n ξ，{}n η分别依概率收敛于随机变量ξ与η，证明： （1）ηξηξ+?→?+P

n n 。 证：（1）因为

()???

?????? ??≥-???? ?

?≥-?≥--+22εηηεξξεηξ

ηξn n n n

故

∞→→??? ?

?

≥-+??? ??≥-≤≥--+≤n P P P n n n n ,022)(0εηηεξξεηξηξ

即ηξηξ+?→?+P

n n 成立。

4.33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个

排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。 解：令

?

?

?=其它对后仍错误个印刷符号被排错且校

第01i i ξ 因为排版与校对是两个独立的工序，因而

p q P P p i i -====?===-1)0(,101.00001.0)1(5ξξ

}{i ξ是独立同分布随机变量序列，p E i =ξ，令∑==n

i i n 1ξη，其中610=n ，由中心极限定

理有 ?

∞

--

≈

=-≤

-=≤b

x n n dx e

b npq

np npq

np

P P 2

2

21)15(

)15(π

ηη

其中58.110

5≈≈

b ，查)1,0(N 分布表即可得94.0)15(≈≤n P η，即在校对后错误不多于

15个的概率。

4.36 若某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少？

解：令??

?=件为合格品第件为不合格品

第i i i 0

1ξ

则005.0)1(===i P p ξ，记∑==-=n

i i

n p q 1

,1ξ

η，其中10000=n ，记npq

np b -=

70，

由中心极限定理有

998.021)(

)70(2

2

≈≈

≤-=≤?

∞

--

dx e

b npq

np

P P b

x n n π

ηη

即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。 5.1. 设是来自服从参数为的泊松分布

的样本，试写出样本的联合分布

律。

，

5.2设

是取自总体X 的一个样本，其中X 服从参数为的泊松分布，其中未

知，

，求

X 0 1 2 3 4

频数

17

20

10

2

1

求的矩估计值与最大似然估计值。

解

，故的矩估计量

。由样本观测值可算得

另，X 的分布律为

故似然函数为

对数似然函数为

解得的最大似然估计量，故的最大似然估计值。

5.3设是取自总体X 的一个样本，其中X 服从区间

的均匀分布，其中

未知，求的矩估计。

解，令，故的矩估计量。

5.4设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

其中未知，求的矩估计和最大似然估计。

解，令，故的矩估计量为，另，似然函数

对数似然函数为

解得的最大似然估计量为。

5.5要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时。已知这种元件的寿命服从标准差为100

σ=小时的正态分布。试在显著性水平0.05

α=下确定这批元件是否合格？

（1）建立假设检验，选取统计量；（2）判断元件是否合格。

（u

α为标准正态分布的上α分位数，0.05 1.645

u=，

0.025

1.96

u=）