概率统计期末重点复习
概率论与数理统计期末复习课件
置信水平
用于确定样本统计量的不 确定性范围。
置信区间
根据置信水平和抽样分布， 估计未知参数的可能值范 围。
点估计与最优性
点估计
用单一的数值估计未知参数的值。
无偏估计
样本统计量的期望值等于真实参数 值。
最小方差估计
选择一个点估计，使得预测误差的 方差最小。
假设检验与p值
假设检验
根据样本数据对未知参数 提出假设，并进行检验。
详细描述
一元线性回归是一种最简单的回归分析方 法，用于研究一个因变量和一个自变量之 间的线性关系。
一元线性回归模型通常表示为`Y = β0 + β1*X + ε`，其中Y是因变量，X是自变量， ε是误差项。β0和β1是需要估计的参数。
重要概念
适用范围
一元线性回归模型假设因变量Y和自变量X 之间存在线性关系，即Y的变化可以由X的 变化来解释。
02
置信区间
根据自助法计算的统计量的置信区间，可以用来估计总体参数的区间范
围。
03
应用
在社会科学和医学研究中，自助法和置信区间被广泛应用于估计样本参
数的可靠性和精度。例如，在估计人口平均年龄的置信区间时，自助法
可以用来确定样本大小和置信水平之间的关系。
CHAPTER 06
实验设计初步
完全随机设计
描述 马尔科夫链通常用状态转移图来表示，其中每个状态通过 箭头连接到其他状态，箭头上标记了从一个状态转移到另 一个状态的概率。
实例 例如天气预报、股票价格等都可以被视为马尔科夫链。
平稳过程与遍历性
定义
平稳过程是一类特殊的随机过程，它具有“时间齐次性”和“空 间齐次性”的性质。
描述
最详细概率统计期末总复习PPT演示课件
2 2 (n 1)
2
2 1
(n 1)
2
2
/
2
(n
1)或
2
2 1
/
2
(n
1)
10
例1 (1) 在古典概型的随机试验中,
P(A) 0 A Ø
(√ )
(2) 若事件 A, B, C , D 相互独立, 则
事件 A D与 B C 也相互独立. (√ ) 若事件 A1, A2, …, An 相互独立, 将它
们任意分成 k 组, 同一事件不能同时 属于两个不同的组, 则对每组事件进 行求和、积、差、逆 等运算所得到
的 k 个事件也相互独立. 11
(3) 若事件 A 与 B独立, B 与 C独立, 则事件 A与 C 也相互独立. ( )
事件相互独立不具有传递性.
例2 小王忘了朋友家电话号码的最后一位
数, 故只能随意拨最后一个号, 则他拨三次
可拨通朋友家的概率为 _0._3_.
12
例3 小王忘了朋友家电话号码的最后一位
数, 他只能随意拨最后一个号, 他连拨三次， 求第三次才拨通的概率.
解 设 Ai 表示“第 i 次拨通” i 1, 2 , 3
由乘法公式 P( A1A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 )
概率统计复习
1
《概率统计》复习
2
各章比重
概率(66)
统计(34)
第第第第第 一二三四五 章章章章章
(20) (16) (14) (14) (2)
第第第 六七八 章章章
(14) (10) (10)
3
概率统计公式大全(复习重点)
概率统计公式大全(复习重点)概率统计公式大全（复习重点）在学习概率统计的过程中，熟练掌握相关的公式是非常关键的。
本文将为大家详细介绍一些常用的概率统计公式，并对其进行简要的说明和应用举例，以便复习和巩固知识。
一、基本概率公式1. 事件的概率计算公式P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A中有利的结果数；n(S)表示样本空间S中的全部结果数。
例如：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
解：样本空间S中共有52张牌，红心牌有13张，所以 P(红心牌) = 13 / 52 = 1 / 4。
2. 条件概率计算公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
例如：某班级男女生分别有30人和40人，从中随机选择一名学生，求选到女生并且是优等生的概率。
解：女生优等生有20人，所以 P(女生且是优等生) = 20 / （30+ 40）= 1 / 7。
二、常用离散型随机变量的数学期望与方差1. 随机变量的数学期望计算公式E(X) = ∑[x * P(X=x)]其中，E(X)表示随机变量X的数学期望；x表示随机变量X的取值；P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的数学期望。
解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。
2. 随机变量的方差计算公式Var(X) = E((X - E(X))²)其中，Var(X)表示随机变量X的方差；E(X)表示随机变量X的数学期望。
例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的方差。
解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。
概率与统计期末复习题(含参考答案)
概率与统计期末复习题（含参考答案）1. 假设某种疾病在人群中的患病率为0.05。
现在从该人群中随机抽取100人，按以下方式计算：a. 计算恰好有5人患病的概率。
b. 计算至少有5人患病的概率。
答案：a. 恰好有5人患病的概率为二项分布的概率，计算公式为C(100,5)×0.05^5×0.95^95≈0.031。
b. 至少有5人患病的概率可以通过计算不患病的概率，即P(不患病)=0.95，然后利用二项分布的概率计算公式计算至少有5人患病的概率为1-P(0人患病)-P(1人患病)-P(2人患病)-P(3人患病)-P(4人患病)，其中P(k人患病)为二项分布的概率，计算公式为C(100,k)×0.05^k×0.95^(100-k)。
根据计算可得至少有5人患病的概率约为0.184。
2. 假设某服装店在一年内的销售额服从正态分布，且均值为100万元，标准差为20万元。
求：a. 销售额超过120万元的概率。
b. 销售额在80万元到120万元之间的概率。
答案：a. 销售额超过120万元的概率可以利用标准正态分布的性质进行计算。
首先，将销售额标准化为Z值，即Z=(X-μ)/σ=(120-100)/20=1，其中X为销售额，μ为均值，σ为标准差。
然后查表可得，标准正态分布下Z值大于1的概率为0.1587。
因此，销售额超过120万元的概率为0.1587。
b. 销售额在80万元到120万元之间的概率可以转化为标准正态分布下Z值在-1到1之间的概率。
首先，将80万元和120万元对应的Z值分别计算出来，即Z1=(80-100)/20=-1和Z2=(120-100)/20=1。
然后查表可得，标准正态分布下Z值大于-1且小于1的概率为0.6826。
因此，销售额在80万元到120万元之间的概率为0.6826。
3. 假设某电信公司在某地区的用户流失率为0.2，现在从该地区用户中随机抽取200人，计算以下几个问题：a. 流失人数介于30到40之间的概率。
概率论与数理统计复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习资料一、复习纲要注：以下是考试的参照内容，不作为实质考试范围，仅作为复习参照之用。
考试内容以教课纲领和实行计划为准；注明“认识”的内容一般不考。
1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，认识概率的古典定义2、能较娴熟地求解古典概率；认识概率的公义化定义3、掌握概率的基天性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的观点；掌握加法公式与乘法公式4、能正确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的观点及性质。
5、理解随机变量的观点，认识(0 —1) 散布、二项散布、泊松散布的散布律。
6、理解散布函数的观点及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。
7、掌握指数散布 ( 参数) 、平均散布、正态散布，特别是正态散布概率计算8、会求一维随机变量函数散布的一般方法，求一维随机变量的散布律或概率密度。
9、会求散布中的待定参数。
10、会求边沿散布函数、边沿散布律、条件散布律、边沿密度函数、条件密度函数，会鉴别随机变量的独立性。
11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的观点及计算。
12、理解二维随机变量的观点，理解二维随机变量的结合散布函数及其性质，理解二维失散型随机变量的结合散布律及其性质，理解二维连续型随机变量的结合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
13、认识求二维随机变量函数的散布的一般方法。
14、会娴熟地求随机变量及其函数的数学希望和方差。
会娴熟地默写出几种重要随机变量的数学希望及方差。
15、较娴熟地求协方差与有关系数.16、认识矩与协方差矩阵观点。
会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、认识大数定理结论，会用中心极限制理解题。
18、掌握整体、样本、简单随机样本、统计量及抽样散布观点，掌握样本均值与样本方差及样本矩观点，掌握2散布 ( 及性质 ) 、t 散布、F散布及其分位点观点。
19、理解正态整体样本均值与样本方差的抽样散布定理；会用矩预计方法来预计未知参数。
14-15（一）概率统计（多概率）复习资料
14-15（⼀）概率统计（多概率）复习资料14-15（⼀）概率统计(多概率)复习资料⼀、填空题（'105'2=?）1. 古典概型（第⼀章）例：（1）2013-2014期末A ⼀1：掷两枚质地均匀的骰⼦，则点数之和为4的概率P = 1/12 .（2）2012-2013期末A ⼆1：袋中有3⽩1红共4只质量、⼤⼩相同的球，甲先任取⼀球，观察后放回；然后⼄再任取⼀球，则⼆⼈取相同颜⾊球的概率为（① 1016）（3）检2⼀1,2,3⼆.检4⼆2.2. 分布列和概率密度（第⼆章）例：（1）2012-2013期末A ⼀4：若随机变量X 的概率密度为 (),()x f x ae x -=-∞<<+∞，则=a 0.5 ；(0)P X == 0 .(2) 检5⼀3: 若随机变量X 的概率密度为 41,0()40,0x e x f x x -?>?=??≤?，则(4)P X ≤= ；(48)P X <<= .（3）检4⼀⼆1，3.检5⼀⼆.检7⼀⼆.检8⼀4.3. 数学期望与⽅差（第三章）例：（1）2013-2014期末A ⼀3,4：3.若随机变量X 服从泊松分布)(λP ，已知=)(X E 1,则λ= 1 , (2)D X = 4 .4.已知两个相互独⽴随机变量)9.0,10(~B X ，)1(~e Y ,则=-)2(Y X E 7 ，()D X Y -= 1.9 .（2）2012-2013期末A ⼀3,5：3. 若随机变量X 的概率函数为1.03.03.02.01.043210p X ，则()3P X >= 0.1 ；()E X = 2.1 .5. 若相互独⽴的随机变量X 与Y 满⾜1)(=X D ，4)(=Y D ，则=-)2(Y X D 8 .（3）检8⼀1,2,3,5,⼆三1.检11⼀1.检13⼀2.4. 协⽅差（第三章）例：（1）2013-2014期末A ⼀5：若~N(0,1),Y ~N(0,1)X ，相关系数41),(-=Y X R ，则(,)cov X Y =-1/4 ；=+)2(Y X D 4 . （2）检9⼆2：随机变量X 与Y 相互独⽴是0),cov(=Y X 的（充分）条件.（3）检9⼀2,3,⼆2.检11⼆3.5. 未知参数的矩估计（第六章）例：（1）检15⼀1：设总体~(6,)X B p ,n X X X ,,,21 为来⾃总体X 的样本，则未知参数p 的矩估计量为．（2）检15三2：设连续总体X 的概率密度函数为1,01( )0,x x f x θθθ-?<<=??；其他其中0θ>.n X X X ,,,21 为来⾃总体X 的样本，求未知参数θ的矩估计量.⼆、选择题（'155'3=?）1. 随机变量的分布函数（第⼆章）例：（1）2013-2014期末A ⼆3：若随机变量X 的分布函数为)(x F ，则以下结论⼀定正确的是（ A ）.（2012-2013期末A ⼆2类似）A ．()()()P a X b F b F a <≤=-；B ．()()()P a X b F b F a <<=-；C ． ()()()P a X b F b F a <<≠-；D ． ()0P X a ==（2）检4⼆1：设随机变量X 的分布列为01230.10.30.40.2X p ,)(x F 为其分布函数，则)2(F = ( ③ ) ① 0.2 ② 0.4 ③ 0.8 ④ 1（3）检7⼆1：设X 的分布函数为)(x F ，则随机变量函数13+=X Y 的分布函数为①① 1()3y F -；② )13(+y F ；③ 1)(3+y F ；④ 31)(31-y F 2. 相关系数（第三章）例：（1）2012-2013期末A ⼆3：若随机变量X 与Y ⽅差存在，且满⾜1Y X =-，则相关系数=),(Y X R （②）① 1；② -1；③ 0.5；④ -0.5.3. 正态分布（第四章）例：（1）检11⼆1,2：1. 设随机变量2(,)X N µσ，则随σ的增⼤，概率{}P X µσ-<应（③）.①单调增⼤；②单调减少；③保持不变；④增减不定.2. 设随机变量X 的概率密度为2(3) 4()x f x e +-=则服从标准正态分布的随机变量是（②）.① 32X +；②；③ 32X -；④. 4. 统计量的分布（第五章）例：（1）2013-2014期末A ⼆2：设随机变量~(2)X t ，则2X 服从__B _．A ．()22χB ．()1,2FC ．()2,2FD ．()2,1F（2）2012-2013期末A ⼆5：设总体2~(,)X N µσ，X 为该总体的样本均值，则()P X µ>__④__．①14< ② 14= ③ 12> ④ 12= （3）检14⼀⼆（尤其注意⼀1⼆2）.5. 待定例：有可能是条件概率和概率乘法公式；随机变量函数的分布；连续性随机变量概率密度；切⽐雪夫不等式；中⼼极限定理；最⼤似然估计；估计量的⽆偏性等（1）2013-2014期末A ⼀6：设123,,X X X 为来⾃总体X 的样本，123()X X X µθ=++是总体均值µ的⽆偏估计量，则θ= 1/3 ．（2）检5⼆1,检10全部,检12⼆,检15⼆.三⾄九（或⼗）、计算与证明题（'75）1. 条件概率和概率乘法公式。
概率统计公式大全复习重点
概率统计公式大全复习重点在学习概率统计这门学科时，掌握各种公式是至关重要的。
这些公式不仅是解决问题的工具，更是理解概率统计概念的关键。
本文将为您梳理概率统计中的重点公式，帮助您更好地复习和掌握这部分知识。
一、随机事件与概率1、古典概型概率公式如果一个随机试验所包含的基本事件总数为 n，事件 A 所包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ m ／ n2、几何概型概率公式设样本空间为几何区域Ω，事件 A 对应的区域为ω，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ω 的测度／Ω 的测度3、条件概率公式设 A、B 是两个事件，且 P(B) ＞ 0，则在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B)4、乘法公式P(AB) ＝ P(A|B)P(B) 或 P(AB) ＝ P(B|A)P(A)5、全概率公式设 B₁, B₂,， Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），A 是Ω 中的任意一个事件，则有：P(A) ＝∑ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)（i从 1 到 n）6、贝叶斯公式设 B₁, B₂,， Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），A 是Ω 中的任意一个事件，在事件 A 已经发生的条件下，事件 Bᵢ发生的概率为：P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) ／∑ P(Bₙ)P(A|Bₙ) （i从 1 到 n，k 从 1 到 n）二、随机变量及其分布1、离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量 X 的可能取值为 x₁, x₂,， xₙ，对应的概率为p₁, p₂,， pₙ，则概率分布为：P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2,， n），且∑pᵢ＝ 12、二项分布如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，则概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) （k ＝ 0, 1, 2,， n）3、泊松分布如果随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，记为 X ～P(λ)，则概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝（e^（λ) λ^k) ／ k! （k ＝ 0, 1, 2,）4、连续型随机变量的概率密度函数设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则分布函数为：F(x)＝∫∞， x f(t) dt5、正态分布如果随机变量 X 服从参数为μ 和σ² 的正态分布，记为 X ～N(μ, σ²)，则概率密度函数为：f(x) ＝（1 ／（σ√（2π)）） e^（（x μ)² ／（2σ²)）三、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量 X 的数学期望为：E(X) ＝∑ xᵢ pᵢ（i 从 1 到 n）连续型随机变量 X 的数学期望为：E(X) ＝∫∞，＋∞ x f(x) dx2、方差离散型随机变量 X 的方差为：D(X) ＝∑ （xᵢ E(X)）² pᵢ（i 从 1 到n）连续型随机变量 X 的方差为：D(X) ＝∫∞，＋∞ （x E(X)）² f(x) dx3、标准差随机变量 X 的标准差为：σ(X) ＝√D(X)4、协方差设随机变量 X 和 Y，其协方差为：Cov(X, Y) ＝ E(（X E(X)）（Y E(Y)））5、相关系数随机变量 X 和 Y 的相关系数为：ρ(X, Y) ＝ Cov(X, Y) ／（σ(X)σ(Y)）四、大数定律和中心极限定理1、大数定律当 n 足够大时，样本均值X依概率收敛于总体均值μ，即：P(｜Xμ| ＞ε) → 0 （n → ∞）2、中心极限定理设随机变量 X₁, X₂,， Xₙ 相互独立，且具有相同的分布和有限的数学期望μ 和方差σ²。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率统计期末 复习
依 题 意 ， X B (1000, 0.005)
故所求概率为 P ( X 10)
k=0
10
P(X k)
k=0
10
9
0 .0 0 4 3
3、泊松分布
设r.v.X的分布律为
P(X=k)=
k
e k!
（k=0,1,2, ）
X P ( )
则称r.v X为服从参数为
的泊松分布，其中 0，并记为
注：（1）泊松分布有广泛的应用---描述“稀有事件”的数目
例如：某时间段内手机接收到的呼叫次数； 某地区5级以上地震出现的次数； 某网站在一段时间内被访问的用户数； 某商店单位时间里来到的顾客数； 等都可以用泊松分布来描述。
当S A为平面图形时， A 为平面图形的面积； S
当S A为空间区域时， A 为空间区域的体积. S
二、几何概型的例
(约会问题)、甲乙两人约定于7点到8点内在某地会面，先 到者等半小时后离去，试求二人能会见的概率？
第二章
习题
1、3、5、6、10、11
第三章
一、条件概率 定义：称已知A发生的条件下B发生的概率为B的条件概率，记为 P( B A)
(1) A B AB (2) A B A AB
5、互不相容事件
若事件A与事件B不能同时发生，即AB=,
则事件A与事件B是互不相容事件，或称互斥事件
6、对立事件
{ A不发生} 为事件A 的对立事件，记为A
注： (1) A A （ ）
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量XP{X x1}p,P{X x2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：P{X x1}p,P{X x2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p)若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：P{x k}Cnp(1p)kkn kkkn k,k0,1,...,n. P{x k}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p)kP{X k} e若一个随机变量X的概率分布为数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参P{X k} e泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X)如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数F(x)P{X x}f(x)，使得对于任意实数x，有xf(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。
2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：1,若连续型随机变量X的概率密度为f(x)b a 0,a x b其它，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)1,均匀分布的概率密度：f(x)b a0,a b2a xb 其它均匀分布的期望：（2）指数分布：E(X)；均匀分布的方差：D(X)(b a)122e xf(x)0若连续型随机变量X的概率密度为x00，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e ()x0e xf(x)0指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：E(X)1；指数分布的方差：D(X)2f(x)(x)222x若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为和22的正态分布，记为X~N(,)(x)222f(x)正态分布的概率密度：正态分布的期望：E(X)xD(X)x22；正态分布的方差：（4）标准正态分布：0,21(x)，2(x)xet22标准正态分布表的使用：（1）x0(x)1(x)2010-2011学年第一学期期末复习资料X~N(0,1)P{a x b}P{a x b}P{a x b}P{a x b}(b)(a)X~N(,),Y2（2）X（3）P{a X b}P{a~N(0,1),F(x)P{X x}P{X故b}(b)(a)x(x) Y2Y定理1：设X~N(,),则X~N(0,1)6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：0F(x) 1P{x1X x2}P{X x2}P{X x1}F(x2)F(x1)x1x2F(x1)F(x2)F()1,F()0F(x)P{X x}为X的分布函数。
概率论与数理统计期末复习资料
概率统计、概率论与数理统计、随机数学课程期末复习资料注：以下是考试的参考内容,不作为实际考试范围,考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考;1、能很好地掌握写样本空间与事件方法,会事件关系的运算,了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质;5、理解随机变量的概念,能熟练写出0—1分布、二项分布、泊松分布的分布律;6、理解分布函数的概念及性质,理解连续型随机变量的概率密度及性质;7、掌握指数分布参数λ、均匀分布、正态分布,特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法,求一维随机变量的分布律或概率密度;9、会求分布中的待定参数;10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数,会判别随机变量的独立性;11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算;12、理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布函数及其性质,理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质,理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质,并会用它们计算有关事件的概率;13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法;14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差;会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差;15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念;会用独立正态随机变量线性组合性质解题;17、了解大数定理结论,会用中心极限定理解题;18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念,掌握样本均值与样本方差及样本矩概念,掌握χ2分布及性质、t分布、F分布及其分位点概念;19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数;20、掌握极大似然估计法,无偏性与有效性的判断方法;21、会求单正态总体均值与方差的置信区间;会求双正态总体均值与方差的置信区间;23、明确假设检验的基本步骤,会U检验法、t检验、2χ检验法、F检验法解题;24、掌握正态总体均值与方差的检验法;概率论部分必须要掌握的内容以及题型1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法;2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质;3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式;4．一维、二维离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用;分布中待定参数的确定,分布律、密度函数与分布函数的关系,联合分布与边缘分布、条件分布的关系,求数学期望、方差、协方差、相关系数,求函数的分布律、密度函数及期望和方差;5．会用中心极限定理解题;6．熟记0-1分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差,指数分布参数λ、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差;数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1．统计量的判断;2．计算样本均值与样本方差及样本矩;3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理;4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计; 5．掌握无偏性与有效性的判断方法; 6．会求正态总体均值与方差的置信区间;7．理解假设检验的基本思想和原理,明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤;概率论部分必须要掌握的内容以及题型1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法; 古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球,ｂ个黑球,从中接连任意取出mm ≤a +ｂ个球,且每次取出的球不再放回去,求第m 次取出的球是白球的概率; 例2：袋中有a 个白球,ｂ个黑球,c 个红球,从中任意取出ｍm ≤a +ｂ个球,求取出的m 个球中有k 1≤a 个白球、k 2≤b 个黑球、k 3≤c 个红球k 1＋k 2＋k 3=m 的概率. 占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点,每个质点都以概率1/N 落入N 个格子N ≥n 的任一个之中,求下列事件的概率：1 A ={指定n 个格子中各有一个质点}；2 B ={任意n 个格子中各有一个质点}；3 C ={指定的一个格子中恰有mm ≤n 个质点}. 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个,能排成一个四位偶数的概率是多少2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质;如对于事件A ,B ,A 或B ,已知P A ,PB ,P AB ,P A B ,P A |B ,PB |A 以及换为A 或B 之中的几个,求另外几个; 例1：事件A 与B 相互独立,且P A =,PB =,求：P AB ,P A －B ,P A B例2：若P A =,PB =,P AB =,求： P A －B ,P A B ,)|(B A P ,)|(B A P ,)|(B A P 3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式;若已知导致事件A 发生或者是能与事件A 同时发生的几个互斥的事件B i ,i =1,2,…,n ,…的概率PB i ,以及B i 发生的条件下事件A 发生的条件概率P A |B i ,求事件A 发生的概率P A 以及A 发生的条件下事件B i 发生的条件概率PB i | A ;例：玻璃杯成箱出售,每箱20只;假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为、和,某顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回;试求：1顾客买下该箱的概率；2在顾客买下的该箱中,没有残次品的概率;4．一维、二维离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用;分布中待定参数的确定,分布律、密度函数与分布函数的关系,联合分布与边缘分布、条件分布的关系,求数学期望、方差、协方差、相关系数,求函数的分布律、密度函数及期望和方差;1已知一维离散型随机变量X 的分布律PX =x i =p i ,i =1,2,…,n ,… 确定参数 求概率Pa <X <b 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数Y =gX 的分布律及期望EgX 例：随机变量X 的分布律为.确定参数k求概率P 0<X <3,}31{<<X P 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数2)3(-=X Y 的分布律及期望2)3(-X E2已知一维连续型随机变量X 的密度函数fx确定参数求概率Pa <X <b 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数Y =gX 的密度函数及期望EgX例：已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他202x kx x f ,确定参数k求概率}31{<<X P 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数X Y =的密度及期望)(X E3已知二维离散型随机变量X ,Y 的联合分布律PX =x i ,Y =y j =p ij ,i =1,2,…,m ,…；j =1,2,…,n ,… 确定参数求概率P {X ,Y ∈G }求边缘分布律PX =x i =p i.,i =1,2,…,m ,…；PY =y j =, j =1,2,…,n ,… 求条件分布律PX =x i |Y =y j ,i =1,2,…,m ,…和PY =y j |X =x i , j =1,2,…,n ,… 求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 求函数Z =gX , Y 的分布律及期望EgX , Y 例求概率PX <Y 求边缘分布律PX =k k =0,1,2 和PY =k k =0,1,2,3求条件分布律PX =k |Y =2 k =0,1,2和PY =k |X =1 k =0,1,2,3 求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 求Z =X +Y ,W =max{X ,Y },V =min{X ,Y }的分布律4已知二维连续型随机变量X 的联合密度函数fx , y 确定参数求概率P {X ,Y ∈G }求边缘密度)(x f X ,)(y f Y ,判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 求函数Z =gX , Y 的密度函数及期望EgX , Y例：已知二维随机变量X ,Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,01,),(22y x y cx y x f ,确定常数c 的值；求概率PX <Y求边缘密度)(x f X ,)(y f Y ,判断Y X ,是否相互独立求条件密度)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 5．会用中心极限定理解题;例1：每次射击中,命中目标的炮弹数的均值为2,方差为25.1,求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．例2：设从大批发芽率为的种子中随意抽取1000粒,试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率;6．熟记0-1分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差,指数分布参数λ、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差;数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断;对于来自总体X 的样本n X X X ,,,21 ,由样本构成的各种函数是否是统计量; 2．计算样本均值与样本方差及样本矩;3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理; 4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计;例：设总体X 的概率密度为()()⎩⎨⎧<<+=其它,010,1x x x f θθ,n X X ,,1 是来自总体X 的一个样本,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.5．掌握无偏性与有效性的判断方法;对于来自总体X 的样本n X X X ,,,21 ,判断估计量是否无偏,比较哪个更有效; 例：设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本,下列统计量是不是总体均值的无偏估计3212110351X X X ++；)(31321X X X ++；321X X X -+；)(2121X X +；3211214331X X X ++求出方差,比较哪个更有效;6．会求正态总体均值与方差的置信区间;对于正态总体,由样本结合给出条件,导出参数的置信区间;7．理解假设检验的基本思想和原理,明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤; 对于单、双正态总体根据给定条件,确定使用什么检验方法,明确基本步骤;例：设),(~2σu N X ,u 和2σ未知,X 1,…,X n 为样本,x 1,…,x n 为样本观察值;1试写出检验u 与给定常数u 0有无显著差异的步骤；2试写出检验2σ与给定常数20σ比较是否显著偏大的步骤;1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法; 古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球,ｂ个黑球,从中接连任意取出mm ≤a +ｂ个球,且每次取出的球不再放回去,求第m 次取出的球是白球的概率;分析：本例的样本点就是从a +ｂ中有次序地取出m 个球的不同取法；第m 次取出的球是白球意味着：第ｍ次是从a 个白球中取出一球,再在a +ｂ-1个球中取出m-1个球; 解：设B ＝｛第m 次取出的球是白球｝样本空间的样本点总数： mb a A n +=事件B 包含的样本点： 111--+=m b a a AC r ,则 b a a A aA n r B P mba mb a +===+--+11)( 注：本例实质上也是抽签问题,结论说明按上述规则抽签,每人抽中白球的机会相等,同抽签次序无关;例2：袋中有4个白球,5个黑球,6个红球,从中任意取出9个球,求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数： 915C n ==5005事件B 包含的样本点： 563514C C C r ==240,则 PB =120/1001=占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点,每个质点都以概率1/N 落入N 个格子N ≥n 的任一个之中,求下列事件的概率：1 A ={指定n 个格子中各有一个质点}；2 B ={任意n 个格子中各有一个质点}；3 C ={指定的一个格子中恰有mm ≤n 个质点}. 解：样本点为n 个质点在N 个格子中的任一种分布,每个质点都有N 种不同分布,即n 个质点共有N n 种分布;故样本点总数为：N n1在n 个格子中放有n 个质点,且每格有一个质点,共有n 种不同放法；因此,事件A 包含的样本点数：n,则n Nn A P !)(=2先在N 个格子中任意指定n 个格子,共有nN C 种不同的方法；在n 个格子中放n 个质点,且每格一个质点,共有n 种不同方法；因此,事件B 包含的样本点数： n Nn NA C n =!,则n n NNA B P =)(3在指定的一个格子中放mm ≤n 个质点共有mn C 种不同方法；余下n-m 个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有mn N --)1(种不同方法.因此,事件C 包含的样本点数：m n C mn N --)1(, 则mn m m n nm n m n N N N C NN C C P ---=-=)1()1()1()( 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个,能排成一个四位偶数的概率是多少解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040,设B ={能排成一个四位偶数} ;若允许千位数为0,此时千位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一,共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选,有39A 种选法；从而共有539A =2520个;其中,千位数为0的“四位偶数”有多少个 此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一,有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个,有28A种选法；从而共有428A=224个; 因此410283945)(A A A B P -==2296/5040= 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质; 例1：事件A 与B 相互独立,且P A =,PB =,求：P AB ,P A －B ,P A B 解：P AB = P APB =,P A －B = P A －P AB =,P A B = P A ＋PB －P AB =例2：若P A =,PB =,P AB =,求： P A －B ,P A B ,)|(B A P ,)|(B A P ,)|(B A P 解：P A －B =,P A B =,)|(B A P =)()(B P AB P =3/7,)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7,)|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -= =2/33．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式;例：玻璃杯成箱出售,每箱20只;假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为、和,某顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回;试求：1顾客买下该箱的概率；2在顾客买下的该箱中,没有残次品的概率;解：设事件A 表示“顾客买下该箱”,i B 表示“箱中恰好有i 件次品”,2,1,0=i ;则8.0)(0=B P ,1.0)(1=B P ,1.0)(2=B P ,1)|(0=B A P ,54)|(4204191==C C B A P ,1912)|(4204182==C C B A P ;由全概率公式得 ∑==⨯+⨯+⨯==294.019121.0541.018.0)|()()(i i i B A P B P A P ； 由贝叶斯公式 85.094.018.0)()|()()|(000=⨯==A PB A P B P A B P ; 4．1例：随机变量X 的分布律为.确定参数k求概率P 0<X <3,P 1<X <3 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数2)3(-=X Y 的分布律及期望2)3(-X E 解：由1=∑iip,有 k ＋2 k ＋3 k ＋4 k =1 得 k =P 0<X <3= PX =1＋PX =2=,P 1<X <3= PX =2=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=41436.0323.0211.010)(x x x x x x F∑=ii i p x X E )(=3,∑=i i p x X E 22)(=10,DX =22))(()(X E X E -=12)3(-X E =12例：已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他202x kx x f ,确定参数k 求概率P 1<X <3 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX 求函数X Y =的密度函数及期望)(X E 解：由⎰+∞∞-dx x f )(=1,有⎰+∞∞-dx x f )(=k dx kx 38202=⎰=1,得 k =3/8P 1<X <3=⎰31)(dx x f =⎰21283dx x =7/8. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=2120800)(3x x x x x F⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(=⎰2383dx x =3/2,⎰+∞∞-=dx x f x X E )()(22=⎰20483dx x =12/5DX =22))(()(X E X E -=3/20⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他02043)(5y y y f)(X E =⎰+∞∞-dx x f x )(=⎰202583dx x =726 3例求概率PX <Y 求边缘分布律PX =k k =0,1,2 和PY =k k =0,1,2,3求条件分布律PX =k |Y =2 k =0,1,2和PY =k |X=1 k =0,1,2,3 求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 求Z =X +Y ,W =max{X ,Y },V =min{X ,Y }的分布律 解：PX <Y =, PX =Y =YXY =iij ji p x X E )(=,=iij ji p x X E )(=,DX =))(()(X E X E -=∑∑=i ij j j p y Y E )(=2,∑∑=i ij jj p y Y E 22)(=5,DY =22))(()(Y E Y E -=1∑∑=iij jj i p y x XY E )(=,cov X ,Y =)()()(Y E X E XY E -=XY ρ=)()(),cov(Y D X D Y X = 相关V =min{X ,Y }4例：已知二维随机变量X ,Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,01,),(22y x y cx y x f ,确定常数c 的值；求概率PX <Y求边缘密度)(x f X ,)(y f Y ,判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 解：由⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(=1,有⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(=⎰⎰-11212ydy x c dx x=1,得 c =21/4PX <Y =⎰⎰-12421ydx x dy y y = ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--==⎰其它011)1(821421)(42122x x x ydy x x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰-其它1027421)(252y y ydx x y f yy Y X 与Y 不独立⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==-其它023)(),()|(232|yx y y x y f y x f y x f YY X⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==其它0118)(),()|(24|y x x y x f y x f x y f X X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f x X E ),()(=⎰⎰-11312421ydy x dx x =0⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f x X E ),()(22=⎰⎰-11412421ydy x dx x =7/15DX =22))(()(X E X E -=7/15⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y Y E ),()(=⎰⎰-112212421dy y x dx x =7/9⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y Y E ),()(22=⎰⎰-113212421dy y x dx x =7/11DY =22))(()(Y E Y E -=28/891⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f xy XY E ),()(=⎰⎰-112312421dy y x dx x =0cov X ,Y =0, XY ρ=0,X 与Y 不相关5．会用中心极限定理解题;例1：每次射击中,命中目标的炮弹数的均值为2,方差为25.1,求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率． 解：例2：设从大批发芽率为的种子中随意抽取1000粒,试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率; 解：设这批种子发芽数为X ,则)9.0,1000(~B X ,由中心极限定理得所求概率为}880{≥X P 9826.0)108.2()108.2(1)90900880(1=Φ=-Φ-=-Φ-=;数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断;2．计算样本均值与样本方差及样本矩;3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理; 4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计;例：设总体X 的概率密度为()()⎩⎨⎧<<+=其它,010,1x x x f θθ,n X X ,,1 是来自总体X 的一个样本,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.5．掌握无偏性与有效性的判断方法;例：设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本,下列统计量是不是总体均值的无偏估计3212110351X X X ++；)(31321X X X ++；321X X X -+；)(2121X X +；3211214331X X X ++求出方差,比较哪个更有效;6．会求正态总体均值与方差的置信区间;7．理解假设检验的基本思想和原理,明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤;例：设),(~2σu N X ,u 和2σ未知,X 1,…,X n 为样本,x 1,…,x n 为样本观察值;1试写出检验u 与给定常数u 0有无显著差异的步骤；2试写出检验2σ与给定常数20σ比较是否显著偏大的步骤; 解: 1 1.提出假设 u u H u u H ≠=:,:12.选取统计量nS u X t /)(0-=3.对给定的显著性水平α,查表得)1(2-n t α4.计算 ns u x t /)(0-=5.判断 若),1(2->n t t α拒绝; H 反之,接受. H21.提出假设2021202:,:σσσσ>≤H H2.选取统计量2022)1(σχS n -=3.对给定的显著性水平α,查表得)1(2-n αχ4.计算.)1(2022σχs n -=5.判断 若),1(22-<n αχχ拒绝; H 反之,接受. H。
概率论与数理统计第一章期末复习
概率论与数理统计第一章期末复习(一)随机事件1.随机现象定义1在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．定义2只有一个结果的现象称为确定性现象．2.样本空间定义3一个试验如果满足下述条件：(1)试验可以在相同的情形下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．就称这样的试验是一个随机试验，记作E．定义4随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记作Ω．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点，记作ω．3.随机事件定义5随机试验的某些样本点的集合称为随机事件，简称事件，常用大写英文字母A，B，C，…表示．定义6由样本空间Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件．而样本空间Ω的最大子集(即Ω本身)称为必然事件，样本空间Ω的最小子集(即空集∅)称为不可能事件．4.事件的关系与运算下面的讨论总是假设在同一个样本空间Ω中进行．1)包含关系⊂如果属于A的样本点必属于B，则称A包含于B或称B包含A，记作A B ⊃．用概率的语言说：事件A发生必然导致事件B发生．或B A对任一事件A，必有∅Ω⊂A．⊂2)相等关系如果属于A的样本点必属于B，且属于B的样本点必属于A，即BA⊂且=．AB⊂，则称事件A与B相等，记作A B3)互不相容(互斥)如果A 与B 没有相同的样本点，则称A 与B 互不相容(互斥)．即事件A 与事件B 不可能同时发生．4)两事件的和事件“事件A 与B 中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的和(或并)，记作B A ．5)两事件的积事件“事件A 与B 同时发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的积(或交)，记作B A (或AB )．6)两事件的差事件“事件A 发生而B 不发生”，这样的事件称为事件A 对B 的差，记作A B -．7)对立事件或逆事件若=AB ∅且Ω=B A ，则称A 与B 为对立事件或互为逆事件，事件A 的对立事件记作A ．【例1】设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，则(1)事件{A 发生且B 与C 至少有一个发生}可表示为：)(C B A ；(2)事件{A 与B 发生而C 不发生}可表示为：C AB ；(3)事件{A 、B 、C 中至少有两个发生}可表示为：BC AC AB ；(4)事件{A 、B 、C 中至多有两个发生}可表示为：ABC ；(5)事件{A 、B 、C 中不多于一个发生}可表示为：AB BC AC ；(6)事件{A 、B 、C 中恰有一个发生}可表示为：ABC ABC ABC ．【例2】关系()成立，则事件A 与B 为对立事件．A ．=AB ∅B ．Ω=B AC ．=AB ∅，Ω=B AD ．=AB ∅，Ω≠B A 【解析】由对立事件的概念可知选项C 正确．【例3】甲、乙两人谈判，设事件A ，B 分别表示甲、乙无诚意，则B A 表示()A ．两人都无诚意B ．两人都有诚意C ．两人至少有一人无诚意D ．两人至少有一人有诚意【解析】由题可知A 与B 分别表示甲、乙有诚意，则B A 表示甲、乙两人至少有一人有诚意，故选项D 正确．5.事件的运算性质(1)交换律：A B B A =，BA AB =；(2)结合律：C B A C B A )()(=，)()(BC A C AB =；(3)分配律：()()()A B C AB AC = ，()()()A B C A C B C = ；(4)对偶律：B A B A = ，B A AB =．一些有用的等式：A A A = ，A Ω=Ω ，A A ∅= AA A =，A A Ω=，A ∅=∅A B A AB AB -=-=，A B A B A =【例4】化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．【解】(1) A B B A B A B A ==)())((ØA =；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3)))(())((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．(二)随机事件的概率1.概率的公理化定义定义1设E 是随机试验，Ω是它的样本空间．对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为)(A P ，称为事件A 的概率，如果集合函数)(⋅P 满足下列条件：(1)非负性0)(≥A P ，对Ω∈A ；(2)规范性()1P Ω=；(3)可列可加性若=j i A A ∅，j i ≠， ,2,1,=j i ，有∑+∞=+∞==11)()(i i i i A P A P ．2.概率的性质性质1不可能事件的概率为0，即()0P ∅=．性质2概率具有有限可加性，即若=j i A A ∅(n j i ≤<≤1)，则∑===ni i n i i A P A P 11)()( ．性质3对任一随机事件A ，有()1()P A P A =-．性质4若A B ⊂，则)()()(B P A P B A P -=-．推论若A B ⊂，则)()(B P A P ≥．性质5对任意的两个事件A ，B ，有)()()(AB P A P B A P -=-．性质6对任意的两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB =+- ．对任意三个事件A ，B ，C ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= ．推论对任意的两个事件A ，B ，有)()()(B P A P B A P +≤ ．【例1】设A 与B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是()A ．A 与B 为对立事件B ．A 与B 互不相容C ．)()()(B P A P B A P -=-D ．)()(A P B A P =-【解析】因为A 与B 互不相容，所以AB =∅，0)(=AB P ，故选项A ：互不相容不一定对立，故选项A 错误；选项B ：互不相容不一定对立，故B A 不一定等于Ω，所以B A B A =不一定等于∅，即A 与B 不一定互不相容，故选项B 错误；选项C ：)()()()(A P AB P A P B A P =-=-，故选项C 错误，进而选项D 正确．【例2】已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．【解】(1)7.0)(1)(=-=A P A P ；(2)∵B A ⊂，∴A AB =，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．【注】事件的概率的计算常常需要结合对偶律，应用性质3．【例3】已知事件A ，B ，B A 的概率分别是0.4，0.3，0.6，求(B A P ．【解】)()()()(AB P B P A P B A P -+= )(3.04.06.0AB P -+=所以1.0)(=AB P ，则3.0)()()((=-=-=AB P A P B A P B A P ．【例4】已知41)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ，161)()(==BC P AC P ．求：(1)A ，B ，C 中至少发生一个的概率；(2)A ，B ，C 都不发生的概率．【解】(1)因为0)(=AB P ，且AB ABC ⊂，所以由概率的单调性知0)(=ABC P ；再由加法公式，得A ，B ，C 中至少发生一个的概率为)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 8516243=-=．(2)因为{A ，B ，C 都不发生}的对立事件为{A ，B ，C 中至少发生一个}，所以A ，B ，C 都不发生的概率为83851(=-=C B A P ．3.古典概型定义2若随机试验E 具有下述特征：(1)样本空间的元素(即样本点)只有有限个，不妨设为n 个，并记它们为12,,,n ωωω ．(2)每个样本点出现的可能性相等(等可能性)，即有12()()()n P P P ωωω=== ．则称这种等可能性的概率模型为古典概型．对任意一个随机事件Ω∈A ，有nk A A P =Ω=中所有样本点的个数所含有样本点的个数事件)(．【例5】袋中有大小相同的4个白球，3个黑球，从中任取3个至少有2个白球的概率为．【解析】袋中共有7个球，从中任取3个，共有37C 中取法，即样本空间Ω中共有37C 个样本点．取出的3个球中至少有2个白球，分为2个白球1个黑球和3个白球两种情况．当取出的3个球中有2个白球1个黑球时，共有1324C C 中取法；当取出的3个球中有3个白球时，共有0334C C 中取法．记=A {从中任取3个至少有2个白球}，则事件A 中共有03341324C C C C +个样本点．因此3522)(3703341324=+=C C C C C A P ．(三)条件概率1.条件概率定义1设A 与B 是样本空间Ω中的两个事件，若0)(>B P ，则称)()()(B P AB P B A P =为“在事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率”，简称条件概率．【例1】已知31)()(==B P A P ，61)(=B A P ，求(B A P ．【解】∵61)()()(==B P AB P B A P ，∴181)(=AB P ，)(1)()()()(B P B A P B P B A P B A P -== )(1)]()()([1B P AB P B P A P --+-=127=．【注】条件概率的计算通常与概率的性质结合使用．【技巧】在计算过程中，只要有概率的性质可以用，就一直用概率的性质计算，直到没有概率的性质可用时，对得到的式子进行化简整理，代入已知数据计算．2.乘法公式定理1(乘法公式)(1)若0)(>B P ，则)()()(B A P B P AB P =．(2)若0)(121>-n A A A P ，则)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ．【例2】一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第三次才取得合格品的概率．【解】设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ．由题意知，所求概率为)(321A A A P ，易知10010)(1=A P ，999)(12=A A P ，9890)(213=A A A P ．由此得)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =0083.0989099910010≈⋅⋅=．3.全概率公式定义2设Ω为试验E 的样本空间，1B ，2B ，…，n B 为E 的一组事件．如果=j i B B ∅，j i ≠，n j i ,,2,1, =且Ω=n B B B 21，则称1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分．定理2(全概率公式)设1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分，若0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则对任一事件A 有)()()(1i ni i B A P B P A P ∑==．4.贝叶斯公式定理3(贝叶斯公式)设1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分，若0)(>A P ，0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则∑==n i j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1)()()()()(，n i ,,2,1 =．【例3】一批同型号的零件由编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的三台机器共同生产，各台机器生产的零件占这批零件的比例分别为35%、40%和25%，各台机器生产的零件的次品率分别为3%、2%和1%．(1)求该批零件的次品率；(2)现从该批零件中抽到一颗次品，试问这颗零件由Ⅰ号机器生产的概率是多少？【解】设=A {零件是次品}，=1B {零件由Ⅰ号机器生产}，=2B {零件由Ⅱ号机器生产}，=3B {零件由Ⅲ号机器生产}，则由题设知35.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，25.0)(3=B P ，03.0)(1=B A P ，02.0)(2=B A P ，01.0)(3=B A P ．(1)题目要求的是)(A P ，由全概率公式，得∑==31)()()(i i i B A P B P A P 021.0=．(2)题目要求的是)(1A B P ，由贝叶斯公式，得21)|()()|()()(31111==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ．【例4】有甲、乙、丙三厂同时生产某种产品．甲、乙、丙三厂的产量之比为1：1：3，次品率分别为4%，3%，2%．(1)若从一批产品中随机抽出一件，求这件产品为次品的概率．(2)若产品的售后部门接到一名顾客投诉，说其购买的产品为次品，请问哪个厂最该为此事负责，为什么？【解】设=A {产品为次品}，=1B {产品由甲厂生产}，=2B {产品由乙厂生产}，=3B {产品由丙厂生产}，则由题设知，2.0)(1=B P ，2.0)(2=B P ，6.0)(3=B P ，04.0)(1=B A P ，03.0)(2=B A P ，02.0)(3=B A P ．(1)题目要求的是)(A P ，由全概率公式，得∑==31)()()(i i i B A P B P A P 026.0=．(2)由贝叶斯公式，得134)|()()|()()(31111==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ，133)|()()|()()(31222==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ，136)|()()|()()(31333==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ．所以在产品为次品的情况下，产品来自丙厂的可能性最大，丙厂最该负责．【注】全概率公式与贝叶斯公式通常一起考试．(四)独立性1.两个事件的独立性定义1若)()()(B P A P AB P =成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称A 与B 独立．否则称A 与B 不独立或相依．定理1若事件A 与B 独立，则A 与B 独立；A 与B 独立；A 与B 独立．【例1】甲、乙两人彼此独立的向同一个目标射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率．【解】设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，则=B A {目标被击中}．则)()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=98.0=．【例2】若事件A 与B 相互独立，8.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求：)(B A P 和)|(B A A P ．【解】∵A 与B 相互独立，∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=92.0=．)())(()|(B A P B A A P B A A P =)()()()()(B A P B P A P B A P B A P ==13.0=．【例3】设)()(B A P B A P =，证明：A 与B 相互独立．【证】因为)()(B A P B A P =，所以有)(1)()()(1)()()()()(B P AB P A P B P B A P B P B A P B P AB P --=--==，即有)]()()[()](1)[(AB P A P B P B P AB P -=-，整理得)()()(B P A P AB P =，所以A 与B 相互独立．2.多个事件的相互独立性定义2设A ，B ，C 是三个事件，若有⎪⎩⎪⎨⎧===)()()()()()()()()(C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P (1)第11页共11页则称A ，B ，C 两两独立．若还有)()()()(C P B P A P ABC P =，(2)则称A ，B ，C 相互独立．注意：只有(1)式与(2)式同时成立，事件A ，B ，C 才相互独立．(1)式成立不能保证(2)式成立；反过来，(2)式成立也不能保证(1)式成立．定义3设有n 个事件1A ，2A ，…，n A ，对任意的n k j i ≤<<<≤ 1，若以下等式均成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()()()()()(2121n n k j i k j i j i j i A P A P A P A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P 则称此n 个事件1A ，2A ，…，n A 相互独立．定理2如果n (2≥n )个事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则其中任何m (n m ≤≤1)个事件换成相应的对立事件，形成的n 个新的事件仍相互独立．【例4】三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31，41，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？【解】设A ，B ，C 分别表示三人独立译出密码，则51)(=A P ，31)(=B P ，41)(=C P ，且A ，B ，C 相互独立，有方法1：)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=6.0=．方法2：)(1)(C B A P C B A P -=(1C B A P -=()()(1C P B P A P -=53411)(311)(511(1=----=．。
概率统计公式大全(复习重点)
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。
概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（1）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ．11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x 求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t XX X X X k T +++=．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ．【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量．18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.解答部分【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设A 表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B 表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C 表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则AB C =， 又2163)(,74)(===A B P A P ，于是由概率乘法定理得所求概率为 )()(AB P C P =)()(A B P A P ==722174=⋅.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．【解】 设i A 表示“此人第i 次拨号能拨通所需电话” )2,1(=i ，A 表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则211A A A A +=，由概率加法定理与乘法定理得所求概率为)()()()(211211A A P A P A A A P A P +=+=)()()(1211A A P A P A P +=2.091109101=⋅+=.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.【解】设:1A 输入的是“101”，:2A 输入的是“010”，:B 输出的是“000”，则2/1)(1=A P ，2/1)(2=A P ，αα21)1()(-=A B P ，)1()(22αα-=A B P ，从而由全概率公式得)()()()()(2211A B P A P A B P A P B P +=)1(21)1(2122αααα-+-=)1(21αα-=.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【解】设A 表示“该考生会解这道题”，B 表示“该考生选出正确答案”，则85.0)(=A P ，2.0)(=A P ，1)(=A B P ，25.0)(=A B P ．（1）由全概率公式得)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=25.02.0185.0⨯+⨯=9.0=．（2）由贝叶斯公式得944.018179.0185.0)()()()(≈=⨯==B P A B P A P B A P ．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．【解】（1）由分布函数的性质可知0)2()(lim )(=-⋅+==-∞-∞→πB A x F F x ，12)(lim )(=⋅+==+∞+∞→πB A x F F x ，由此解得 π1,21==B A ． （2）X 的分布函数为)(arctan 121)(+∞<<-∞+=x x x F π， 于是所求概率为21))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P ．（3）X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．【解】（1）由概率密度的性质可知⎰∞+∞-dx x f )(121===⎰aaxdx ， 由此得2=a ．（2） )5.15.0(<<X P 75.000212/122/3112/1=+=+=⎰⎰x dx xdx .（3）当0<x 时，有00)(==⎰∞-xdx x F ；当10<≤x 时，有20020)(x xdx dx x F x=+=⎰⎰∞-；当1≥x 时，有1020)(1100=++=⎰⎰⎰∞-xdx xdx dx x F .所以，X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2x x x x x F7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．【解】（1）由联合概率密度的性质可知=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(14)1(1111==+⎰⎰--A dy xy A dx ，由此得41=A ． （2）当11<<-x 时，有=)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(214111=+⎰-dy xy ； 当1-≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X ．所以X 的边缘概率密度⎩⎨⎧<<-=.,0;11,2/1)(其它x x f X（3）)(2X Y P ≤⎰⎰≤=2),(x y dxdy y x f dy xy dx x ⎰⎰--+=211141dx x x x )1221(412511+-+=⎰-32=．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.【解】（1）当10<<x 时，有x dy dy y x f x f xX 2),()(20⎰⎰===+∞∞-；当0≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X .于是X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其它x x x f X 当20<<y 时，有⎰⎰-===+∞∞-1221),()(y Y ydx dx y x f y f ； 当0≤y 或2≥y 时，显然有0)(=y f Y .于是Y 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0;20,21)(其它y y y f Y（2）⎰⎰⎰⎰===≤≤∞-∞2/12/102/11-41),()}1,21{(y dx dy dx y x f dy Y X P .（3）容易验证)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（2）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【解】（1）由题意知，X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;2.00,5)(其它x x f X因为X 和Y 相互独立，故X 和Y 的联合概率密度⎩⎨⎧><<==-.,0;0,2.00,25)()(),(5其它y x e y f x f y x f y Y X（2）12.005052.00)1(525),()(---≤=-===≤⎰⎰⎰⎰⎰e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y xy ．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ． 【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(12)2(])[(2110=+=-++-⎰⎰ba dx x a dxb x b a ； 又dx x xf X E ⎰∞+∞-=)()(.216)2(])[(2110=+=-++-=⎰⎰b a dx x x a xdx b x b a联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,216,12b a b a 解得41=a ，23=b ． （2） 由数学期望的性质，有432123)(2)32(=+⋅=+=+X E X E ． 11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(122==⎰∞+-Adx Ae x ， 由此得2=A ．（2）由数学期望公式得⎰⎰∞++∞-=-=⋅=0022212)(dt te dx ex X E t tx x21)2(Γ21==. 由于⎰∞+-⋅=02222)(dx ex X E xdt e t t tx ⎰+∞-==0224121!241)3(Γ41=⋅==，故利用方差计算公式得41)21(21)]([)()(222=-=-=X E X E X D .12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相 关系数),(Y X R ．【解】 由),(Y X 的联合概率分布知Y X ,服从"10"-分布：4/1)0(==X P ，4/3)1(==X P ， 2/1)0(==Y P ，2/1)1(==Y P ，由"10"-分布的期望与方差公式得16/3)4/11(4/3)(,4/3)(=-⨯==X D X E ， 4/1)2/11(2/1)(,2/1)(=-⨯==Y D Y E ，由),(Y X 的联合概率分布知2/14/1114/1010104/100)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=XY E ,从而8/12/14/32/1)()()(),cov(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ，=),(Y X R 334/116/38/1)()(),cov(==Y D X D Y X ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]【解】 由题意，可设X 近似服从正态分布),75(2σN .已知%3.2)95(=≥X P ，即%3.2)20(1)7595(1)95(1)95(=-=--=<-=≥σΦσΦX P X P ，由此得977.0)20(=σΦ，于是220≈σ，10≈σ，从而近似有)10,75(~2N X .（1）0668.09332.01)5.1(1)5.1()107560()60(=-≈-=-=-=<ΦΦΦX P ， 由此可知，本次考试的不及格率约为%68.6.（2）)107565()107585()8565(---=≤≤ΦΦX P 6826.018413.021)1(2)1()1(=-⨯≈-=--=ΦΦΦ，由此可知，成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的%26.68.14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【解】 设X Y Z -=，由X 与Y 的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知，)4.03.0,5052(~22+--=N X Y Z ， 即)5.0,2(~2N Z ．于是所求概率为)2()2()5.021()5.023()31(--=---=≤≤ΦΦΦΦZ P .9544.019772.021)2(2=-⨯≈-=Φ【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t X X X X X k T +++=．【解】 由)1,0(~N X 知)5,0(~221N X X +，于是)1,0(~5221N X X +，又由2χ分布的定义知)3(~2252423χX X X ++，所以)3(~2533/)(5/)2(2524232125242321t X X X X X X X X X X T +++⋅=+++=，比较可得53=k ．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ． 【解】 由题设40=μ，5=σ，64=n ，于是)1,0(~8540N X nX u -=-=σμ从而)58|8/540(|)1|40(|<-=<-X P X P .8904.019452.021)6.1(2)58|(|=-⨯≈-=<=Φu P【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量． 【解】（1）21)2(),()(02)2(2+=+===-+∞=---+∞+∞∞-⎰⎰⎰λλλλλλdt e t dx ex dx x xf X E t tx x ，令)(X E X =，即21+=λX ，解得参数λ的矩估计量为21-=∧X λ． （2）样本似然函数为∑====--=--=∏∏ni i i n x nni x n i i eex f L 1)2(1)2(1),()(λλλλλλ，上式两边取对数得∑--==ni i n X n L 1)2(ln )(ln λλλ，上式两边对λ求导并令导数为零得=λλd L d )(ln 0)2(1=∑--=n i i n x nλ， 解得2121-=∑-==x nx nni i λ，从而参数λ的最大似然估计量为 21-=∧X λ． 18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值. （1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由. 【解】（1）样本似然函数为,e1e1),()(1121211∏∏∏=-=-=∑⋅====n i x inni x i n i i ni iixx x f L λλλλλλ上式两边取对数得∑∑==-+-=ni i ni i x x n L 111ln ln 2)(ln λλλ， 求导数得∑=+-=ni i x n L d d 1212)(ln λλλλ， 令0)(ln =λλL d d解得2211x x n n i i==∑=λ，于是参数λ的极大似然估计量为 221ˆ1X X n n i i ==∑=λ. （2）dx x X E x λλ/202e 1)(-+∞⎰=dx x x λλ/20e )(-+∞⎰=dx t t t x -∞+=⎰=e 02λλλΓλ2)3(==， λλλ=⋅====221)(21)(21)2()ˆ(X E X E X E E ， 于是221ˆ1X X n ni i ==∑=λ是λ的无偏估计.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？【解】由题意，待检验的假设为0H ： 618.00==μμ； 1H ： 618.0≠μ．因为σ未知，所以检验统计量为)24(~)618.0(525/618.0/0t S X S X n S X t -=-=-=μ， 关于0H 的拒绝域为 06.2)24()1(||025.02/==->t n t t α． 现在646.0=x ，093.0=s ，所以统计量t 的观测值为505.1093.0)618.0646.0(5=-=t ． 因为)24(06.2505.1||025.0t t =<=，即t 的观测值不在拒绝域内，从而接受．．原假设，即可以认为这批产品是合格品．20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.【解】由题意，待检验的假设为0H ： 220==μμ； 1H ： 22<μ．因为σ未知，所以取统计量)15(~)22(4/0t S X nS X t -=-=μ， 且关于0H 的拒绝域为 753.1)15()1(05.0-=-=--<t n t t α. 现在5.19=x ，2.5=s ，所以统计量t 的观测值为923.12.5)225.19(4-≈-=t ． 因为)15(753.1923.105.0t t -=-<-≈，即t 的观测值在拒绝域内，从而拒绝．．原假设，即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.。
[高等教育]期末复习重点之概率论与数理统计
![[高等教育]期末复习重点之概率论与数理统计](https://img.taocdn.com/s3/m/3bbb657959eef8c75ebfb33b.png)
i1?
i2? …
?
ik?
n
，具有等式
P(Ai1A
i2 …
A )＝P(A )P(A )…P(A )
ik
i1
i2
ik
则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。 (注意P23
的性质 )
第一章 小结
本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率 、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概 率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成
当且仅当属于集合的某一个样 本点在实验中出现 .
既然事件是一个集合，因此有关事 件间的关系、运算及运算规则也就按集 合间的关系、运算及运算规则来处理。
事件之间的关系
1.包含关系“ 事件 A发生必有事件 B发生” 记为A? B
A ＝B ? A? B且B? A.
2.和事件： “事件A与事件B至少有一个发生” ，记作A? B
n
2'n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作 ? Ai
i?1
3.积事件 : 事件 A与事件 B同时发生，记作 A? B＝AB
3'n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
4.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件 A发生而 事件B不发生
5互. 斥的事件（也称互不相容事件）即 事件与事件不可能同时发生。 AB＝ ?
Pk n
k!
?
n! k!(n? k)!
种取法 .
1 、抽球问题
例1:设合中有 3个白球， 2个红球，现从合中 任抽 2 个球，求取到一红一白的概率。
解 : 设 A----- 取到一红一白
N(? ) ? C2 5
N( A) ? C1C1 32
概率论与数理统计期末复习2.docx
概率密度他,y ）=叮P ）,前提是/（x, y ）在点（x, y ）处连续:dxoy概率密度/（x,y ）的四条性质1一4；特别留意：p{（x,y ）w G}= G边缘分布函数：Fx M = F&,+8)二匚上/(x, y)dy^x , F Y (x) = F (+ 8, y) = J 二 J 二/(x, y)dx^y边缘概率密度：fx （x ）=C/k y ）dy ，/『（y ）=C/U y ）dx根据联合概率密度o 边缘概率密度，根据联合分布函数o 边缘分布函数 （Fx （X ）= lim F （x, y ）, Fy （y ） = li m F （x, y ））.【例1-1】盒子里装了 3只黑球，2只红球和2只白球，在其中任意取4只球，以X 表示取 到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.【例1・2】将一枚硬币投掷3次，以X 表示前两次屮出现H 的次数，以Y 表示三次屮出现 H 的次数，求X, Y 的联合分布律和（X, Y ）的边缘分布律.概率论与数理统计期末复习（二） 第三章多维随机变量及其分布一、二维随机变量：（重点）1. 二维随机变量的分布函数的性质1-4.2. 离散型随机变量的分布函数和分布律.（1） 联合分布函数 F (x,y) = P{X <x,Y < y}, F (x,j)= X 工打；x^xy^y(2)边缘分布函数：F x （x ） = F （x,+oo ）=工土 Pq ‘你（兀）=F （+8,y ）=为£內； Xj y=l(3) 联合分彳|j 律：求出 P\x =x iy Y = yj\= pjj(i = 1,2,...;j = 1,2,...)列表; 边缘分布律：求出P{x =x z }= £厲；P {Y = y ；}= X Pij ，列表.;=1 i=\根据联合分布律o 边缘分布律，根据联合分布函数o 边缘分布函数（（X ）= limF （x,y ），•<(4) F r （y ）= lim F （M ））・XT+oo3.连续型随机变量的分布函数和概率密度.(1) 分布函数F （x,y ）=匚匚/仏v ）dudv ； (2)(3)(4)【例1-3］以X记作某医院一天出生婴儿总个数，Y为英中男婴的个数，设X和Y的联合分布律为：躯v沪兰牢n弊: rn\\n-rnj., m -()丄2,…,/?; n= (),1,2,…（1）求边缘分布律；(2)求条件分布律P{X = m Y =诂和?{y = mX= n}.【例2・1】设随机变量（X, Y）的概率密度为:&(6_x_ y).()v x V 2,2 v y v 4,0,其他(1)确定常数k的值；(2)求P{X <!,/< 3}, P{X <1.5}, P{X + Y< 4}的值.【例2・2】设随机变量（X, Y）具有分布函数:+ 严>=>0*>01—0,其他求其边缘分布函数.【例2・3】设二维随机变量（X, Y）的概率密度为:e~y,0 < x< y0,其他求具边缘概率密度.二、条件分布1.会求离散型随机变量的条件分布律p{x =易Y I P[X=x jy Y =2.会求连续型随机变量的条件概率密度和分布函数.（如=舗，加如=呛环』吃翔心fx\Y【例3・1】设二维随机变量（X, Y）的概率密度为：、^x2y,x2 <y<l/U y) = 4o,其他(1) 确定边缘概率密度;求条件概率密度/x|，巾）' 并写出『专时条件概率密度;求条件概率密度/r|X（.y|x）, 并写出X冷时『的条件概率密度;y>-Y 1142【例3・2】设随机变最X 〜〃(0,1),当给定X 二x 时，随机变最Y 的条件概率密度为:/ . x x,0< _y< 丄 Alx尤0,英他(1) 求X 和Y 的联合概率密度/gy)； (2) 求边缘概率密度/r (>0： (3) 求 P{X > Y}. 三、独立性1. 离散型随机变量X 和Y 如何判断相互独立?2. 连续型随机变量X 和Y 如何判断相互独立? 3・能否记住二维正态分布的概率密度？当且仅当0 = 0,随机变量X,y 相互独立；记作(X,Y )~/7仏,〃2，杆,<7孑,p)・4. 两个独立变量X, Y 分别服从;1|,久2的泊松分布，则X + Y~/r (入+丸2)・5・两个独立变量X, Y 分别服从二项分布佃,”),(“2，“)，贝!j X + Y ~ b(n x +n 2,p).【例4-1】(1)设随机变量(X, Y)具有分布律：P{X = x,Y = y}= p 2() - p)x+y ~2,0 < p<],x,yE N"求证：随机变量X, Y 相互独立； (2)设随机变量(X, Y)具2有分布函数：(1-严))2 0,() Sy Ml,F (x, y)=・ 1 一 e _ax ,兀 X (),)‘> 1, a > 0,0,其他■证明：随机变量X, Y 相互独立.【例4-2】若随机变量(x,y)〜川(//],//2，杆,云,卩)，证明：当且仅当0 = 0吋，随机变量X" 和互独立.【例4-3】设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在区间(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率 密度为：(I/^2其中边缘概率密度:_ 2p“I )3 - /) + 砂21,y >0o,其他(1) 求X 和Y 的联合概率密度；(2) 设有关于G 的二次方程Q 2+2X G + Y = 0,求此方程有实根的概率. 四、两个随机变量的函数分布(重难点)1. Z=X+Y 分布，Z=XY 分布，Z=Y/X 分布. (1) Z=X+Yfz (z ) = C/C - y)dy =C/(x, z -恥若X, Y 相互独立，fz (z) = Cfx (z - y)fr (y)dy =J 二/x (x)/y C - /加(卷积公式)(提前指出x, z 所满足的不等式)(2) Z=XY=右匚/兀若 X, Y 相互独立，f 7 (z)= ~\^2fx W/y 丫»(3) Z=Y/X//0 = |对二/(2加，若 X, Y 相互独立，/z (z) =f x (x )A {zx)dx2・ M=max{X, Y}分布，N=min{X, Y}分布.前提：随机变量X 和Y 相互独立！(1) M=max{X, Y}^max (z) =P{X<z y Y<z}= p{x < Z }P \Y <Z }=F X (z )F r (z)对于n 个随机变量而言，特殊地，相互独立且满足同一分布函数F(x),则F^ax (z)二[F (Z )]" !(2) N=min{X, Y}F min (z)=P{/V <z}=\-P{N >Z }=\-P{X >Z ,Y>Z }=\-P{X > Z }P \Y > z}= 1-[1- F x (z)][l - 耳(z)] 对于n 个随机变量而言，特殊地，相互独立且满足同一分布函数F(x),则Fmin(z) = l-[l-F (Z )]"!【例5・1】设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分別为：y x (x) = J 1,°~X ~1, f Y (y ) = i e ~^y>()Jx{丿〔0,英他川丿〔0,其他求随机变量Z 二X+Y 的概率密度.【例5-2】设随机变量X 和Y 相互独立，它们的概率密度均为:求Z 二Y/X 的概率密度.【例5-3】设随机变量X, Y 的概率密度为:0,其他/(x) =«e'\x>0 0,其他/(x, y) = <2,x>0,y>0(1) X 和Y 是否相互独立？ (2)求Z 二X+Y 的概率密度.【例5-4］设随机变量X 和Y 的概率密度为:呢g) o,其他⑴确定常数b ；(2)求边缘概率密度/x (A-),/r (y)；⑶ 求函数U 二max{x, y}和V = min{x, y}的分布函数. 【练习】1. 设二维随机变最(X, K)的联合概率密度为:求： (1)求常数£:⑵求X, Y 的边缘概率密度乐X ), f^y),并判断X 与丫是否相互独立(说明原因)? (3) 求 P{ X+ Y< 1}.2. (12-7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则 P{X < Y}的值() 1124(A) -(B) -(C) -(D)-53353. (11-14)设二维随机变量X, Y 服从正态分布N (/A “Q 2Q 2,0),贝I JE (XK 2)W 值为.4.(11-22)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为:且 p\x 2 = Y 2}=\.(1)求二维随机变量X, Y 的概率分布; ⑵求Z 二XY 的概率分布； ⑶求X 与Y 的相关系数卩灯・PXY亦质5. (10-22)设二维随机变量X, Y 的概率密度为f^y)=Ae-2x2+2xy ，-y\x,ye R ,求:⑴常数A ;(2)求条件概率密度刼x(y|dkx.fg y) = \0 < x < y < 1其他X1P1 233Y -1 0 1 P1 31 31 36.(09-22)袋了中装冇1个红球，2个黑球和3个白球，现冇放回地从袋了中取2次，每次取一个球.以X, Y, Z分别代表两次取球所取得红球，白球，黑球的个数.⑴求p{x = 1|Z = o}；(2)求二维随机变量X, Y的概率分布.7.(08-22)设随机变量X1JY相互独立，X的概率密度为P{X =/} = !(/= -1,0,D，Y的概率密度为从小蠶F，记Z二X+Y.(1)求P<Z<^X=ol；(2)求Z 的概率密度/z(z).8.(07-10)设随机变量X和Y服从二维正态分布，HX和Y不相关，f x (x), f Y(_y)分别表示X 和Y的概率密度，则在Y = y的条件下，X的条件概率密度/xygy)为()(A) f x(x)(B) f Y (y) (C)/x(x)/r(y) (D)吕#9.(07-16)在区间(0,1)中随机选择2个数，贝I」这两个数之差的绝对值小于+的概率为.10・(07・22)设二维随机变量X, Y的概率密度为:2-x- yfi <x< 1,0 < y <0,其他(1)求P{x > 2/}；⑵求Z=X+Y的概率密度/z(z).11.(06-6)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分布，则P{max{x,.y}<l}^.12.(06-22)设随机变量X的概率密度为：—,一1 < x<2/x W =-丄,0 < x < 240,其他令K = X2, F(x, y)为二维随机变最X, Y的分布函数.求1 、(1) Y 的概率密度f Y(y)；(2)F --,4 .13.(05-13)设二维随机变量X, Y的概率分布为X/Y 0 1 00.4 a 1b 0」 已知随机事件{x=o}与{X + Y = l}相互独立,则() (A) a=0.2, b=0.3(B)a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.214. (05・22)设二维随机变量X, Y 的概率密度为=〔0,其他(1) (X, Y)的边缘概率密度/x(4/r(.v)： ⑵Z=2X-Y 的概率密度/z (z).心)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为血)=緩矿^，求呛+切的值.16.(01-11)设某班车起点站上客人数X 服从参数为久伉>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车 的概率为p(o<p<l),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的乘客人数.求： (1) 在发车时有n 名乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； (2) 二维随机变量(X, Y)的概率分布. 17设A, B 为两个随机事件，且P(A) =丄,4V [1, A 发生， A = v0, A 不发生，求：(1) 二维随机变量(x,y )的概率分布； (2) Z = X 2 + Y 2的概率分布.18. (99-5)设两个相互独立的随机变SX-U Y 分別服从正态分布N (0,1)和皿1,1),则() (A) p{x + y<o} = -(B) P{x + Y< 1}=丄 (C) p{x-y<o}=丄(D) P {X -Y <\} = -219. 设某仪器由寿命伸位：kh)为X, Y 的两部件组成，(X, Y)的联合分布窗数为:求：(1) 边缘分布函数；(2) 联介概率密度和边缘概率密度； (3) 两部件寿命都超过100h 的概率. 20. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为:(D) a=0.1, b=0.4P(B\A) = y P(A |5) = |,令 v fl, B 发生， r = <0, B 不发生.F (九 j)=-(),其他求：(1) 边缘概率密度; (2) 条件概率密度; (3) p{x > 2|y < 4}21. (13-22)设随机变量X 的概率密度为/(x )=h x2,0<x<3,令随机变量丫二0,其他求：(1) Y 的分布函数; (2) 概率 P{X<Y}.e"v ,O<x< y 0,其他2,X 51 X,1<X<2； 1,X >2。
概率论与数理统计期末复习知识点
fZ(z)
f (z y, y)dy
f (x, z x)dx
当X 和Y 相互独立:卷积公式
fZ (z) f X ( x) fY (z x)dx
f X (z y) fY ( y)dy
(2) 当X 和Y 相互独立时:
M = max(X,Y ) 的分布函数
Fmax(z) P{M z} FX (z)FY (z)
E(Y ) E[g( X )] g( xk )pk k 1
(1-3)设( X,Y ) 离散型随机变量. 分布律为：
P{X xi , Y y j } pij i, j 1,2,
若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）
则 E(Z ) E[g( X ,Y )]
g( xi , y j )pij
(2) 连续型随机变量的分布函数的定义
x
F ( x) f (t)dt
f(x)的性质
1. f (x) 0
2. f ( x)dx 1
3. P{x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
4. F( x) f ( x)，在f ( x)的连续点.
⁂ 三种重要的连续型随机变量
(一)均匀分布
pi1
p•1
pi2
p•2
pij pi•
p• j 1
性质：
1 0 pij 1
2
pij 1.
j 1 i1
2.边缘分布律
3. 独立性
pij pi• p• j , ( i, j 1,2, )
4.分布函数 ( x, y) R2
F ( x, y) pij xi x yjy
n
n
则
Ai Ai
Ai Ai
i 1
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P X k C n k p k q n k k 0 , 1 ,, n 0 p 1 , p q 1
EX np DXnp(1p)
泊松分布 X ~P
P Xk k ！ ke k0 ,1 ,2 , 0
EXD X
要求：能够利用离散型随机变量分布律的性质计算分 布律中的待定参数。熟练掌握几个常见的离散型分布 的分布律、数学期望、方差，能够利用分布律计算随 机事件的概率。
• ③贝叶斯公式——（由果找因）
如果事A1件 ， ,An构成完备事件P组Ai， 且 0 i 1,2,,n，则对任意B事 PB件0，有
PAk | B
PAkPB| Ak
n
k1,2,,n
PAiPB| Ai
i1
• 要求：熟练掌握三个有关条件概率的计算公式， 解决事件概率的计算问题。
7、事件的独立性
• 对事件A与B，若有P(AB)=P(A)P(B)，或 P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)，则称A与B相互独立。
5、条件概率 要求：熟悉条件概率的定义及计算公式
PA| BPPABB或
PB|
A
PAB PA
P A |B P P A B B P P B B A P P B B A B 1 P A |B
PA|BP P A B B P 1 A P B B P 1 A P A B B
6、与条件概率有关的公式
• 若A与B相互独立，则 A与B，A与B，A与B也相互独立。
8、伯努利试验、二项概率 二、例P5-6 4、5、6
例P16 10、11 例P27-28 1、10、11
随机变量及其分布
一、知识点 随机变量离 连散 续型 型 1、分布函数的定义
F(x)=P(X≤ x) x∈ (－∞，+∞)
P(x1<X≤ x2) = F(x2)－F(x1)
②连续性随机变量的期望、方差
期 望 EX xfxdx
方 差 D X xE X 2fxd x DXEX2(EX)2
③几个常见的Байду номын сангаас续型分布
均匀分布 X ~Ra,b f xb1a axb
0 其它
EX a b 2
b a 2
DX 12
X ~E
fxex x00
0 x0
指数分布 EX1
• 分布函数的性质：单调非减、右连续
F limFx1 x
F limFx0 x
要求：利用分布函数的性质求分布函数中的待定常数， 能够利用分布函数计算随机事件的概率。
2、离散型随机变量的分布
①分布律P X x k p kk 1 ,2 , ,n
PXxpkPaXb pk
k:xkx
k:axkb
②性质 pk 0 k 1,2,
②边缘分布
关 X 的 于边 P 缘 Xxi分 p i布 ji1 ,2 , j 1
关 Y 的 于边 P Y 缘 yj 分 p ijj布 1 ,2 , i 1 精品课件
• 要求：理解联合分布与边缘分布的概念，掌握边 缘分布的计算方法。
pk 1
k
③数字特征
数学期望EX xkpk k1
方 差 D XEX2EX2• 方差简算公式的灵活运用
• 数学期望及方差的性质
EaXbaEXb DaXba2DX
• 当X,Y独立时， EXYEXEY
D XYD XD Y
P X 1 p ； P X 0 1 p
EX p DXp(1p)
④二几项个分常布见的X离~散B型n,分p布
• ①乘法公式 当 P A 0 时 P A ， P B A P B 有 |A 当 P B 0 时 P A ， P B B P A 有 |B
• ②全概率公式——（由因索果）
如果事 A1， 件,An构成完备事件 PA组 i， 0 且 i1,2,,n,则对任意B， 事有 件
n
P BPAiPB| Ai i1
、方差， 2、能够利用概率密度计算随机事件的概率， 3、能够利用概率密度的性质求密度函数中的待定常数
， 4、熟练掌握正态分布、标准正态分布、正态分布的标
准化计算， 5、连续性随机变量的概率计算涉及到积分的计算，应
二维随机变量及其分布
1、二维离散型随机变量的分布
①联合分布 P(X=xi,Y=yj)=pij(i、j=1,2, …)
E X0 D X 1
• 标准正态分布的密度函数、分布函数的性质
(x) (x)
( x) 1 (x)
(0) 0.5
精品课件
正态分布的标准化
若 X ~ N ,2 ， 则 X ~N 0 ,1
• 故 P(aXb)Pa Xb ba
精品课件
• 要求： 1、熟练掌握几个常见的连续型分布的概率密度、期望
3、 古典概型 PA m
n
• 要求：会计算古典概率
4、概率的性质 •要求：能够利用概率的性质计算随机事件的概率
•比如，事件差的概率 P A B P A A P B A P A
• 加法法则
• 广义加法公式：对于任意事件A，B，有
P A B P A P B P A B
•
互补性 PA1P A
概率统计简明教程
精品课件
计算机学院 概率统计期末总复习
考试题型
•1.填空题
（ •2.8选×择3=题24分） （ •3.5计×算4=题20（分3题）共32分）
•4.应用题（2题共24分）
随机事件及其概率
一、知识点 1、事件的表示 2、 随机事件的概念以及事件的关系与运算（并、交
、差、包含、补、互斥） • 对偶律 ABAB;A BAB • 差 ABABAAB
3、连续型随机变量的分布
①定义
若 Fx xftdt成 立 ， 则 X为 连 续 型 随 机 变 量 ，
fx为 X的 概 率 密 度 .
性 质 fxdxF 1 P a X b a bfx d x F b F a
在 fx 的 一 切 连 续 点 有 fx F 'x
注：连续型 分随 布F 机 函 x是 变 数 连 量 续
DX12
• 指数分布的无记忆性
P ( X s t|X s ) p ( X t)
精品课件
正态分布 X~N ,2
fx
1
x2
e22 x
2
EX DX２
• 正态分布的密度函数f(x)关于x=m对称，所以
有 P(X)P(X)1
2
标准正态分布
X~N０,１，x
1
x2
e2
2
x