1-2 矩阵的运算及应用举例多一例
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AB
?
BA
2、无消去律
3、若
AM AN
?
MN
AB O
?
A O .or . B O
4、运算规律 （假定所有运算合法，A B C 是矩阵， R （1） ABC A( BC ) （4） AO OA O 注 （3） A( B C ) AB AC ） （2） ( AB ) ( A) B A( B )
n
规定 AB C (cij )ms ,
＝ 其中 cij ai 1b1 j ai 2b2 j ainbsn aik bkj
（i 1，， 2 ， m； j 1，， 2 ， s ）
ｋ1
注： 1）条件 左矩阵Ａ的列数等于右矩阵Ｂ的行数 2）方法 左行右列法——矩阵乘积 C 的元素cij 等于左矩阵 A的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素 乘积的和. 3）结果 左行右列——左矩阵Ａ的行数为乘积
元／台)为
0.5 b11 b Ⅱ 0.2 B 0.2 21 0.7 b Ⅲ 0.7 31 那么这两家公司的月利润 (单位：万元) 为多少?
Ⅰ 0.5
b11 a11 a12 a13 a11b11 a12b21 a13b31 b C 21 a b a b a b 22 21 23 31 a21 a22 a23 b 21 11 31 25 0.5 20 0.2 18 0.7 29.1 34.1 24 0.5 16 0.2 27 0.7
3 3 2 2 12 12 BA 3 3 2 2 12 12 6 6 16 16 AM AN 16 6 16 6
3、矩阵相乘的三大特征 1、无交换律
Ｃ的行数，右矩阵Ｂ的列数为乘积Ｃ的列数.
1 1 2 1 2 3 , B 0 1 1 , 求AB。 例2（ ：1）设 A 4 5 6 1 1 1 1 （2）设 A 2 , B 4,5,6 , 求AB与BA 。 3
2 2 3 3 0 0 AB 3 3 0 0 2 2
例3
2 2 5 2 2 5 设 A ,M ,N , 2 2 3 1 6 2
求A (M N ),(M N ) A, AM , AN . 5 2 2 5 3 3 解 B MN 3 3 3 1 6 2
甲公司每月的利润为29.1万元，乙公司的利润为 34.1万元. 由例题可知矩阵Ａ、Ｂ、Ｃ的元素之间有下列关系
a11b11 a12b21 a13b31 c11 C AB a21b11 a22b21 a23b31 c21
2、定义
B (bij )ns , 若 A (aij )mn ，
第二节
矩阵的运算及应用举例
一、矩阵的加法 二、矩阵的乘法 三、 矩阵的转置
一、矩阵的加法
1、定义 若 A (aij )mn , B (bij )mn ，
规定 A B (aij bij )mn 注意:只有同型矩阵才能进行加法运算. 2、定义 若 A (aij )mn , k R,
3、对称矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵，若 AT A，则称 A 为对称
矩阵. 由定义可知 aij a ji .
如
1 0 1 1 0 1 3 1 1 3 2 2 1 1 2 0
对称矩阵的特点是： 它的元素以主对角线 为对称轴对应相等.
注： 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵. 2、k 只能是正整数.
A B 均是 n 阶方阵， k , l Z 2、运算规律 （设
）
k l k l A A A （ 1）
k l kl ( A ) A （ 2）
k （ 4） E E
（3） ( A)k k Ak
（5） AB A BA
b1 b2 bm
b 称为常数项向量， 称为增广矩阵. 利用矩阵的乘法，此方程组可记作 Ax b
作业
设 diag(1 , 2 ,, n ), 求 3。
三、矩阵的乘幂与多项式
1、定义
A ( a ) , k Z , 若 ij nn
k AA A A 规定 称为矩阵A的幂。 k
（3）分配率： k ( A B ) kA kB
( k l ) A kA lA
（4） ( A) ( ) A （ 5） A O A （6）A ( A) O
例1
设 A， B，C 满足等式 5( A C ) 2(2 B C ), 其中
4 1 2 5 3 1 A ,B ,求矩阵 C。 1 5 1 3 1 3
2 4 1 2 4 2 16 28 而且 B A 1 3 0 3 5 1 11 19 T T T ( AB ) B A 显然
T T
1 2 例5 T T A 0 , B E 2 AA , C E AA , 求BC . 已知 1 2
规定 kA Ak ( kaij )mn 3、 A与B的差,记作 A B, 规定 A B A ( 1) B (aij bij )mn .
把 ( 1) A称为 A 的负矩阵，记作 A 。
一、矩阵的加法
4、运算规律（设ＡＢＣＯ均是同型矩阵） （1）交换律：A B B A （2）结合律： ( A B ) C A ( B C )
二、矩阵的乘法
1、引例 设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型 号的计算机，月产量（单位：台）为 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 甲 25 20 18 乙 24 16 27
25 20 18 a11 A a 24 16 27 21
a12 a22
a13 a23
如果生产这三种型号的计算机每台的利润(单位：万
( A) am Am am 1 Am 1 a1 A a0 E ,
称为矩阵 A 的多项式。
例如：A 为 n 阶方阵，A2 2 A, A2 2 A 3 E 都是 矩阵多项式。
可以像数x的多项式一样相乘或分解因式。 例6 (1) 计算 ( A 3 E )( A 2 E )
3、矩阵相乘的三大特征 1、无交换律
AB
?
BA
2、无消去律
3、若
AM AN
?
MN
AB O
?
A O .or . B O
例3
2 2 5 2 2 5 设 A ,M ,N , 2 2 3 1 6 2
求A (M N ),(M N ) A, AM , AN . 5 2 2 5 3 3 解 B MN 3 3 3 1 6 2
1 0
例6 设A为对称矩阵，证明 B T AB 也是对称阵。
T A A, 证明
B
T
AB BT AT B BT AB
T
BT AB 是对称矩阵.
4、方阵乘幂的应用
例 某岛国里每年有 30%的农村居民移居城市， 有 20%的城市居民移居农村。 假设该国总人口数 不变，且上述人口迁移规律也不变，该国现有 农村人 320 万，城市人口 80 万，问该国 1 年后 农村与城市人口各是多少？2 年后呢？
2 (2) 分解矩阵多项式 A 3 A 4 E
例7
2 diag ( , , , ), ( x ) x 5 x 4, 设 1 2 n
求 ( A)。
四、矩阵的转置
1、定义 把矩阵 A 的行换成相应的列，得到的新矩 A .or . A . 阵，称为 A 的转置矩阵，记作 1 4 B 9 6 , 1 2 2 T 例 A , A 2 5 . 9 4 5 8 T 2 8 B . 6 2、运算规律
4、反对称矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵，若 AT A ，则称 A 为反 对称矩阵. 由定义可知 aij a ji .
反对称矩阵的主要特点: 主对角线上的元素为0, 其余的元素关于主对角 线互为相反数.
如
1 2 2 5 0 1 1 2 1 0 0 1 2 5
k
k 1
B
注：（1） AB k
（2） A B
?
2
Ak B k
?
A2 2 AB B 2
3、矩阵的多项式
设有������的������次多项式
( x ) am x m am 1 x m 1 a1 x a0 ,
A 为 n 阶方阵。如果多项式右端的每一项中的 x 的幂用方阵 A 的同次幂代替（x 的零次幂用 A0 E 替代） ， 那么上式右端每一项都是 A 的非 负整数次幂的数乘矩阵，从而都是 n 阶方阵， 它们的和还是 n 阶方阵，把它记为 ( A) ，即
( A B )C AC BC
（5） EA AE A
O 不尽相同，E 亦不尽相同.
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 对于线性方程组 a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm 若记 x1 b1 a11 a12 a1n x b a a22 a2 n 2 2 21 A aij , x , b , A xn bm am 1 am 2 amn 其中 A 称为系数矩阵，x 称为未知数向量，
A B 是矩阵， R ） （假定所有运算合法，
（ 1） A
T
T
wenku.baidu.comA
T
T T T ( A B ) A B （ 2）
（3） A AT
T
（4） AB
T
BT AT
特别 A1 A2 An1 An AnT An1T A2T A1T
1 0 2 1 T T T 求 ( AB ) , B A . , 例5 已知 A 2 3 , B 4 3 4 5 1 0 2 1 2 1 解 AB 2 3 16 11 4 3 4 5 28 19 2 16 28 T ） 所以 （AB 1 11 19
?
BA
2、无消去律
3、若
AM AN
?
MN
AB O
?
A O .or . B O
4、运算规律 （假定所有运算合法，A B C 是矩阵， R （1） ABC A( BC ) （4） AO OA O 注 （3） A( B C ) AB AC ） （2） ( AB ) ( A) B A( B )
n
规定 AB C (cij )ms ,
＝ 其中 cij ai 1b1 j ai 2b2 j ainbsn aik bkj
（i 1，， 2 ， m； j 1，， 2 ， s ）
ｋ1
注： 1）条件 左矩阵Ａ的列数等于右矩阵Ｂ的行数 2）方法 左行右列法——矩阵乘积 C 的元素cij 等于左矩阵 A的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素 乘积的和. 3）结果 左行右列——左矩阵Ａ的行数为乘积
元／台)为
0.5 b11 b Ⅱ 0.2 B 0.2 21 0.7 b Ⅲ 0.7 31 那么这两家公司的月利润 (单位：万元) 为多少?
Ⅰ 0.5
b11 a11 a12 a13 a11b11 a12b21 a13b31 b C 21 a b a b a b 22 21 23 31 a21 a22 a23 b 21 11 31 25 0.5 20 0.2 18 0.7 29.1 34.1 24 0.5 16 0.2 27 0.7
3 3 2 2 12 12 BA 3 3 2 2 12 12 6 6 16 16 AM AN 16 6 16 6
3、矩阵相乘的三大特征 1、无交换律
Ｃ的行数，右矩阵Ｂ的列数为乘积Ｃ的列数.
1 1 2 1 2 3 , B 0 1 1 , 求AB。 例2（ ：1）设 A 4 5 6 1 1 1 1 （2）设 A 2 , B 4,5,6 , 求AB与BA 。 3
2 2 3 3 0 0 AB 3 3 0 0 2 2
例3
2 2 5 2 2 5 设 A ,M ,N , 2 2 3 1 6 2
求A (M N ),(M N ) A, AM , AN . 5 2 2 5 3 3 解 B MN 3 3 3 1 6 2
甲公司每月的利润为29.1万元，乙公司的利润为 34.1万元. 由例题可知矩阵Ａ、Ｂ、Ｃ的元素之间有下列关系
a11b11 a12b21 a13b31 c11 C AB a21b11 a22b21 a23b31 c21
2、定义
B (bij )ns , 若 A (aij )mn ，
第二节
矩阵的运算及应用举例
一、矩阵的加法 二、矩阵的乘法 三、 矩阵的转置
一、矩阵的加法
1、定义 若 A (aij )mn , B (bij )mn ，
规定 A B (aij bij )mn 注意:只有同型矩阵才能进行加法运算. 2、定义 若 A (aij )mn , k R,
3、对称矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵，若 AT A，则称 A 为对称
矩阵. 由定义可知 aij a ji .
如
1 0 1 1 0 1 3 1 1 3 2 2 1 1 2 0
对称矩阵的特点是： 它的元素以主对角线 为对称轴对应相等.
注： 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵. 2、k 只能是正整数.
A B 均是 n 阶方阵， k , l Z 2、运算规律 （设
）
k l k l A A A （ 1）
k l kl ( A ) A （ 2）
k （ 4） E E
（3） ( A)k k Ak
（5） AB A BA
b1 b2 bm
b 称为常数项向量， 称为增广矩阵. 利用矩阵的乘法，此方程组可记作 Ax b
作业
设 diag(1 , 2 ,, n ), 求 3。
三、矩阵的乘幂与多项式
1、定义
A ( a ) , k Z , 若 ij nn
k AA A A 规定 称为矩阵A的幂。 k
（3）分配率： k ( A B ) kA kB
( k l ) A kA lA
（4） ( A) ( ) A （ 5） A O A （6）A ( A) O
例1
设 A， B，C 满足等式 5( A C ) 2(2 B C ), 其中
4 1 2 5 3 1 A ,B ,求矩阵 C。 1 5 1 3 1 3
2 4 1 2 4 2 16 28 而且 B A 1 3 0 3 5 1 11 19 T T T ( AB ) B A 显然
T T
1 2 例5 T T A 0 , B E 2 AA , C E AA , 求BC . 已知 1 2
规定 kA Ak ( kaij )mn 3、 A与B的差,记作 A B, 规定 A B A ( 1) B (aij bij )mn .
把 ( 1) A称为 A 的负矩阵，记作 A 。
一、矩阵的加法
4、运算规律（设ＡＢＣＯ均是同型矩阵） （1）交换律：A B B A （2）结合律： ( A B ) C A ( B C )
二、矩阵的乘法
1、引例 设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型 号的计算机，月产量（单位：台）为 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 甲 25 20 18 乙 24 16 27
25 20 18 a11 A a 24 16 27 21
a12 a22
a13 a23
如果生产这三种型号的计算机每台的利润(单位：万
( A) am Am am 1 Am 1 a1 A a0 E ,
称为矩阵 A 的多项式。
例如：A 为 n 阶方阵，A2 2 A, A2 2 A 3 E 都是 矩阵多项式。
可以像数x的多项式一样相乘或分解因式。 例6 (1) 计算 ( A 3 E )( A 2 E )
3、矩阵相乘的三大特征 1、无交换律
AB
?
BA
2、无消去律
3、若
AM AN
?
MN
AB O
?
A O .or . B O
例3
2 2 5 2 2 5 设 A ,M ,N , 2 2 3 1 6 2
求A (M N ),(M N ) A, AM , AN . 5 2 2 5 3 3 解 B MN 3 3 3 1 6 2
1 0
例6 设A为对称矩阵，证明 B T AB 也是对称阵。
T A A, 证明
B
T
AB BT AT B BT AB
T
BT AB 是对称矩阵.
4、方阵乘幂的应用
例 某岛国里每年有 30%的农村居民移居城市， 有 20%的城市居民移居农村。 假设该国总人口数 不变，且上述人口迁移规律也不变，该国现有 农村人 320 万，城市人口 80 万，问该国 1 年后 农村与城市人口各是多少？2 年后呢？
2 (2) 分解矩阵多项式 A 3 A 4 E
例7
2 diag ( , , , ), ( x ) x 5 x 4, 设 1 2 n
求 ( A)。
四、矩阵的转置
1、定义 把矩阵 A 的行换成相应的列，得到的新矩 A .or . A . 阵，称为 A 的转置矩阵，记作 1 4 B 9 6 , 1 2 2 T 例 A , A 2 5 . 9 4 5 8 T 2 8 B . 6 2、运算规律
4、反对称矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵，若 AT A ，则称 A 为反 对称矩阵. 由定义可知 aij a ji .
反对称矩阵的主要特点: 主对角线上的元素为0, 其余的元素关于主对角 线互为相反数.
如
1 2 2 5 0 1 1 2 1 0 0 1 2 5
k
k 1
B
注：（1） AB k
（2） A B
?
2
Ak B k
?
A2 2 AB B 2
3、矩阵的多项式
设有������的������次多项式
( x ) am x m am 1 x m 1 a1 x a0 ,
A 为 n 阶方阵。如果多项式右端的每一项中的 x 的幂用方阵 A 的同次幂代替（x 的零次幂用 A0 E 替代） ， 那么上式右端每一项都是 A 的非 负整数次幂的数乘矩阵，从而都是 n 阶方阵， 它们的和还是 n 阶方阵，把它记为 ( A) ，即
( A B )C AC BC
（5） EA AE A
O 不尽相同，E 亦不尽相同.
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 对于线性方程组 a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm 若记 x1 b1 a11 a12 a1n x b a a22 a2 n 2 2 21 A aij , x , b , A xn bm am 1 am 2 amn 其中 A 称为系数矩阵，x 称为未知数向量，
A B 是矩阵， R ） （假定所有运算合法，
（ 1） A
T
T
wenku.baidu.comA
T
T T T ( A B ) A B （ 2）
（3） A AT
T
（4） AB
T
BT AT
特别 A1 A2 An1 An AnT An1T A2T A1T
1 0 2 1 T T T 求 ( AB ) , B A . , 例5 已知 A 2 3 , B 4 3 4 5 1 0 2 1 2 1 解 AB 2 3 16 11 4 3 4 5 28 19 2 16 28 T ） 所以 （AB 1 11 19