近世代数期末考试试卷及答案

近世代数期末考试试卷及答案
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群.
A 、{}a
B 、{}e a ,
C 、{}3,a e
D 、
{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群
A 、G 为整数集合，*为加法
B 、G 为偶数集合，*为加法
C 、G 为有理数集合，*为加法
D 、G 为有理数集合，*为乘法
3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
A 、a*b=a-b
B 、a*b=max{a,b}
C 、 a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、设1σ、2σ、
3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则
3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）.
A 、不可能是群
B 、不一定是群
C 、一定是群
D 、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构.
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环.
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4
a 的阶等于------.
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构.
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----.
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------.
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα . 8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------.
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封
闭；结合律成立、---------.
10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------.
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集.
2、设E是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E中的运算，（E，•）是一个代数系统，问（E，•）是不是群，为什么？
3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b.
2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b.
近世代数模拟试题三
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只
有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.
1、6阶有限群的任何子群一定不是（）.
A、2阶
B、3 阶
C、4 阶
D、 6 阶
2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群.
A、4个
B、5个
C、6个
D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.
A、偶数
B、奇数
C、4的倍数
D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格（）
A、（N,≤）
B、（Z,≥）
C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））
D、 (P(A),⊆)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）
A 、(1)，(123)，(132)
B 、12)，(13)，(23)
C 、(1)，(123)
D 、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的.
2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------.
3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------.
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————.
5、环Z 8的零因子有 -----------------------.
6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------.
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------.
8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------.
9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为--------.
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环.S 1+S 2也是子环吗？
3、设有置换)1245)(1345(=σ，
6)456)(234(S ∈=τ.
1．求στ和στ-1；
2．确定置换στ和στ-1的奇偶性. 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想.
2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e .
近世代数模拟试题一 参考答案
一、单项选择题.
1、C ；
2、D ；
3、B ；
4、C ；
5、D ；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).
1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--；
2、单位元；
3、交换环；
4、整数环；
5、变换群；
6、同构;
7、零、-a ；
8、S=I 或S=R ；
9、域；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：
)8)(247)(1653(=σ )6)(57)(48)(123(=τ
可知σ为奇置换，τ为偶置换. σ和τ可以写成如下对换的乘积：
)27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ
2、解：设A 是任意方阵，令)(21A A B '+=，)(21A A C '-=，则B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且C B A +=.若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一.
3、答：（m M ，m +）不是群，因为m M 中有两个不同的单位元素0和m.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从
e x =2可得1-=x x ）.
2、证明在F 里
)0,,(11≠∈==--b R b a b a a b ab
有意义，作F 的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有
-
Q 显然是R 的一个商域 证毕. 近世代数模拟试题二 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分).
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).
1、变换群；
2、交换环；
3、25；
4、模n乘余类加群；
5、{2}；
6、一一映射；
7、不都等于零的元；
8、右单位元；
9、消去律成立；10、交换环；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}
H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
2、答：（E，•）不是群，因为（E，•）中无单位元.
3、解方法一、辗转相除法.列以下算式：
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明设e是群<G，*>的幺元.令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b.所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解.
若x'∈G也是a*x＝b的解，则x'＝e*x'＝(a－1*a)*x'＝a－1*(a*x')＝a－1*b＝x.所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解.
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类.若m ︱a–b也记为a≡b(m).
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1].
近世代数模拟试题三参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只
有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.
1、唯一、唯一；
2、a ；
3、2；
4、24；
5、；
6、相等；
7、商群；
8、特征；
9、n m ；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法.用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种.
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2： 因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，
因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环.
S1+S2不一定是子环.在矩阵环中很容易找到反例：
3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；
2．两个都是偶置换.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈•=1b b
这就是说μ=R ，证毕.
2、证 必要性：将b 代入即可得.
充分性：利用结合律作以下运算：
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，
ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，
所以b=a-1.。