高中数学第2轮总复习 专题4 第1课时 空间位置关系的判断与证明 文

变 式 题 ： 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABCA1B1C1， D是 BC上 一 点 ， 且 A1B//平 面 AC1D ， D 1是 B1C1的 中 点 ． 求 证 ： 平 面 A1BD 1//平 面 AC1D.
分析：根据面面平行的判定定理，要证明平面
A1 B D1 //平 面 A C1 D， 只 需 证 明 其 中 一 个 平 面 内 的两条相交直线都平行另外一个平面．结合题
【思维启迪】一般地，对于用判定定理证明线面 平行，即证明平面内的某条直线与已知直线平行， 可 根 据 题 设 条 件 去 寻 找 这 条 “目 标 直 线”， 从 而 达 到 线线与线面的转化．若借助面面平行的性质来证 明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且 与 已 知 平 面 平 行 ， 此 “目 标 平 面 ”的 寻 找 多 借 助“中 位 线” 来 完 成 ． 本 题 还 可 通 过 找 O D的 中 点 F， 通 过 证明MNCF为平行四边形来证明，其过程更为简捷．
专题四
立体几何
一、判断线线平行的方法 1． 平 行 于 同 一 直 线 的 两 条 直 线 互 相 平 行 ； 2． 垂 直 于 同 一 平 面 的 两 条 直 线 互 相 平 行 ； 3． 如 果 一 条 直 线 和 一 个 平 面 平 行 ， 经 过 这 条 直 线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和 交线平行； 4． 如 果 两 个 平 行 平 面 同 时 和 第 三 个 平 面 相 交 ， 那么它们的交线平行； 5． 在 同 一 平 面 内 的 两 条 直 线 ， 可 依 据 平 面 几 何 的定理证明．
考点1 空间平行的证明
例1.如图，在四棱锥O ABCD中，底面
ABCD是边长为1的菱形，ABC ，
4 OA 底面ABCD，OA 2，M为OA的 中点，N为BC的中点．证明：直线MN //平面OCD.
分 析 ： 根 据 中 点 条 件 ， 可 通 过 取 OB的 中 点 E 将 条 件 中 的 两 个 中 点 M， N联 系 起 来 ， 然 后 通 过 证 明 平 面 M NE//平 面 OCD可 证 得 结 果 ．
设 条 件 ， 已 知 了 A1 B //平 面 A C 1 D ， 因 此 ， 只 需
在
平
面
A1
B
D
中
1
再
找
一
条
直Baidu Nhomakorabea
线
(且
与
A1
B
相
交
的
)
平 行 平 面 AC1D即 可 ． 一 般 先 找 平 面 内 现 存 的 直
线 ， 通 过 观 察 分 析 ， BD1 //C1D， 则 BD1 //AC1D .
七、判定面面垂直的方法 1． 定 义 ： 两 面 成 直 二 面 角 ， 则 两 面 垂 直 ； 2． 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的 一 条 垂 线 ， 则 这个平面垂直于另一平面． 八、面面垂直的性质 1 ． 二 面 角 的 平 面 角 为 9 0 ； 2． 在 一 个 平 面 内 垂 直 于 交 线 的 直 线 必 垂 直 于 另一个平面； 3． 相 交 平 面 同 垂 直 于 第 三 个 平 面 ， 则 交 线 垂 直于第三个平面．
五、判定线面垂直的方法 1． 定 义 ： 如 果 一 条 直 线 和 平 面 内 的 任 何 一 条 直 线都垂直，则线面垂直； 2． 如 果 一 条 直 线 和 一 个 平 面 内 的 两 条 相 交 线 垂 直，则线面垂直； 3． 如 果 两 条 平 行 直 线 中 的 一 条 垂 直 于 一 个 平 面 ， 则另一条也垂直于该平面； 4． 如 果 一 条 直 线 垂 直 于 两 个 平 行 平 面 中 的 一 个 平面，那么它也垂直于另一个平面；
二、判定线面平行的方法 1． 据 定 义 ： 如 果 一 条 直 线 和 一 个 平 面 没 有 公 共 点 ； 2． 如 果 平 面 外 的 一 条 直 线 和 这 个 平 面 内 的 一 条 直 线平行，则这条直线和这个平面平行； 3． 两 面 平 行 ， 则 其 中 一 个 平 面 内 的 直 线 必 平 行 于 另一个平面； 4． 平 面 外 的 两 条 平 行 直 线 中 的 一 条 平 行 于 平 面 ， 则另一条也平行于该平面； 5． 平 面 外 的 一 条 直 线 和 两 个 平 行 平 面 中 的 一 个 平 面平行，则也平行于另一个平面．
证 明 ： 取 O B中 点 E， 连 结 M E， N E . 因 为 M E //A B， A B //C D， 所 以 M E //C D . 所 以 M E //平 面 O C D， 因 为 N E //O C ， 所 以 N E //平 面 O C D . 所 以 平 面 M N E //平 面 O C D， 所 以 直 线 M N //平 面 O C D .
三、判定面面平行的方法 1．定义：没有公共点； 2．如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面，则两面平行； 3．垂直于同一直线的两个平面平行； 4．平行于同一平面的两个平面平行．
四、面面平行的性质 1．两平行平面没有公共点； 2．两平面平行，则一个平面上的任一直线平行 于另一平面； 3．两平行平面被第三个平面所截，则两交线平 行； 4．垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂 直于另一个平面．
5．如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它 们交线的直线垂直于另一个平面； 6．如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么 它们的交线垂直于另一个平面．
六、判定两线垂直的方法 1． 定 义 ： 成 90角 ； 2． 直 线 和 平 面 垂 直 ， 则 该 线 与 平 面 内 任 一 直 线 垂直； 3． 在 平 面 内 的 一 条 直 线 ， 如 果 和 这 个 平 面 的 一 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直； 4． 在 平 面 内 的 一 条 直 线 ， 如 果 和 这 个 平 面 的 一 条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直； 5． 一 条 直 线 如 果 和 两 条 平 行 直 线 中 的 一 条 垂 直 ， 那么它也和另一条垂直．