高中数学必修一知识点总结(学习笔记)

数学笔记

必修一

第一章：集合

第一节：集合的含义及表示

一、定义：（描述性）一定范围内，某些确定．的．．、

不．同．的．对象的全．体．构成一个集合

二、表示：

1.列举法：A={a 、b}

2.描述法：{ x|p （x）}

代表元分割线代表元满足的性质

3.图示法：（数轴、Venn 图）

三、特点：

确定性、互异性、无序性

四、常用数集

N 自然数集

N 、N 正整数集

Z 整数集

Q 有理数集

R 实数集

五、元素与集合的关系

a M 、 a M （两者必居其一）

六、集合相等

两个集合所含元素完全相同 A B

七、集合的分类

1.有限集含有有限个元素的集合

2.无限集含有无限个元素的集合

3.空集不含有任何元素的集合

第二节：子集、全集、补集一）子集

、定义

（文字）A中的任一元素都属于 B

（符号） A B （或 B A）

二）真子集

、定义

（文字） A B，且 B 中至少有一元素不属于 A

（符号）A B（或 B A）

图形）

注意

空集是任何非．空．集．合．的真子集

A（A为非空子集）

（三）补集

一、定义

（文字）设 A U ，由U中不属于 A 的所有元素组成的集合称为U 的子集 A 的补集

（符号）e U A={ x|x U ,且x A}

第二节：子集、全集、补集

（一）交集

一、定义

（文字）由所有属于集合 A 且．属于集合 B 的元素构成的集合称为

A 与

B 的交集

图形）

二）并集

、定义

（文字）由所有属于集合 A 或．者．属于集合 B 的元素构

成的集合称为 A 与 B 的交集

（符号） {x| x A,或．x B}

图形）

1

（三）区间

设 a , b 是两个实数，且 a b ，规定

闭区间 a x b [a,b] ；

开区间 a x b （ a,b）；

半开半闭区间（左闭右开） a x b [ a,b）（左开右闭） a x b （a,b] x a, x a, x b, x b

[a, ）,（a, ）,（ ,b],（ ,b）．

对于集合{x|a x b}与区间（a,b），前者a可以大于或等于b，而

后者必须 a b ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）

第二章：函数

第一节：函数的概念

一、定义：

二、三要素：

定义域、值域和对应法则

三、相同函数：

定义域相同，且对应法则也相同的两个函数

四、函数定义域：

1. f (x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

2.f (x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的

实数的集合．

3.对数函数的真数大于零

4.对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零

5. y tanx中，x k (k Z) ．

2

6.零(负)指数幂的底数不能为零．

7.若 f ( x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的

函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

8.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f (x)的定

义域为[ a, b ] ，其复合函数f[g(x)] 的定义域应由不等式 a g(x) b 解出．

9.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情

况需对字母参数进行分类讨论．

10.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义

外，还要符合问题的实际意义．

五、求函数值域(最值) ：

1.观察法：初等坐标函数

2.配方法：二次函数类

3. 判别式法：二次函数类b2( y) 4a(y) c(y) 0

4.不等式法：基本不等式

5.换元法：变量代换、三角代换

6.数形结合法：函数图象、几何方法

7.函数的单调性法．

8.分离常数法: 反比例类

六、函数的表示方法：

解析法

列表法

图象法（不是所有函数都有图像）

七、分段函数

八、复合函数

九、求函数解析式

1.配凑（换元）法

2.待定系数法: 已知函数模型

3.方程组法: 互为相反数、互为倒数

第二节：函数的简单性质

（一）、单调性

一、定义

如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,

当x．1．＜．x．2．时，都有f．（x．．1．）．＜．f．（x．．2．）．，那么就说f（x）在这个区间上是增．函．数．．y=f(X)

f(x1 )

x2

x1

当x．1．＜．x．2．时，都有f．（x．．1．）．＞．f．（x．．2．）．，那么就说f（x）在这个区间上是

减．函．数．．

x 1 注意

1. 不在区．间．内谈单调增或单调减都无意义

2. 端点不计入区间

3. 一般情况下单调区间不能并

4. 单调区间≠区间单调

二、证明

1. 任取

2. 作差

3. 变形

4. 定号

5. 下结论

三、证明

1. 定义

2. 初等坐标函数、已知函数

3. 函数图象（某个区间图象）

4. 复合函数：同増异减 （二）、最值 、定义

1)一般地，设函数 y f (x)的定义域为 I ，如果存在实数 M x 2

y=f(X