第三章__离散傅里叶变换DFT 总结
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数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
第3章 离散傅里叶变换(DFT)C
(3.4.9)
def 1 ' 1 ' X (k ) X a f k k X a kF f = T T NT T
p
k 0,1, 2,, N 1
由此可得： ' kF =TX (k ) T DFT[ x(n)] X a N
k 0,1, 2,, N 1
解：
1 1 Tp 0.1 s F 10
因此Tp min=0.1 s。因为要求Fs≥2fc，所以
Tmax
N min
1 1 0.2 103 s 2 f c 2 2500 2 f c 2 2500 500 F 10
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此 选用N =512点。 为使频率分辨率提高1倍，即F=5 Hz，要求：
说明了X(k)与Xa(jΩ)的关系. 为了符合一般的频谱描述习惯，以频率f为自变量
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
令：
X a' ( f ) X a j X a j2πf 2 πf ' 2πf Xa ( f ) X X a a 2 πf
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
x ( n) 如果 ~ 的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即
(n) RM (n) xM (n) x X M (k ) DFT[ xM (n)]
再将截取长度扩大1倍，截取
0 k M 1
（3.4.18）
x (n)的频谱结构，只是在k=im 由此可见，XM(k)也能表示 ~ (i) ，表示 ~ x (n) 的i次谐波谱线，其幅度扩 时，X (im) mX
《离散傅里叶变换-第三章》
( ∑ X ()W ( k ∑ XX kk ) = ∑ xxnnW ) ==∑ eex ( n= W )e
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)2
5
3.4.2 基2 DIT-FFT 算法
基2FFT要求DFT变换区间长度N=2M，M为自然数。
1. DIT-FFT算法
序列x(n)的N点DFT为
N 1
X (k) DFT[x(n)]N x(n)WNk n n0
将上面的和式按n的奇偶性分解为
k 0,1, , N 1
X (k)
x(n)WNk n
减少运算量的途径之一就是将N点DFT分解为几个较
短的DFT进行计算，则可大大减少其运算量。
B. WNm 的周期性和对称性：
WNm的周期性：WNml N
j2(ml N )
e N
jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm
e N
WNm
WNm的对称性：
(WNN m )* WNm
m N
WN 2
WNm
3
快速傅里叶变换就是不断地将长序列的DFT分解为短序列 的DFT，并利用WNm 的周期性和对称性及其一些特殊值来 减少DFT运算量的快速算法。
(3.4.7)
这样，就将N点DFT的计算分解为计算两个N/2点离散傅里
叶变换X1(k)和X2(k)，再计算式(3.4.7)。
8
蝶形图
蝶形图及运算功能
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
X
k
N 2
X1(k)
WNk
X2 (k)
k 0,1, , N 1 2
8点DFT一次时域抽取分解运算流图
人们已经研究出多种FFT算法，它们的复杂度和运算效率 各不相同。
本章主要介绍最基本的基2 FFT算法及其编程方法。
1
3.4.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的 基本途径
DFT计算量：
第三章离散傅里叶变换(DFT)
西北大学信息科学与技术学院 2007年
3.1.1 有限长序列的离散频域表示
我们已学过三种傅里叶分析工具，它们 分别应用于不同性质的信号。
1. 应用于连续周期信号——傅里叶级数展开
j2 kt
xa t Cke T
k
Ck
1 T
T２ －T２
xα
(t
－ｊ２
)e T
kt
dt
其中，T是信号 xa t的周期，Ck 表示了xa (t)的
离散傅里叶变换定义为
X (k)
N 1
x nWNkn
n0
0
0 k N 1 其他
西北大学信息科学与技术学院 2007年
反变换公式为
x(n)
N 1
X
k
W kn N
0 n N 1
k 0
0
其他
DFT是借用了DFS，这样就假定了序 列的周期性，但定义式本身对区间作了强制 约束，以符合有限长特点，这种约束不改变 周期性的实质，或者说，DFT隐含了周期 性。
fc n xn yn
M 1 m0
x
m
y
n m
l
RL
n
M 1 m0
x
m
r
y
n
m
rL
RL
n
r
M 1 m0
x
m
y
n
rL
m
RL
n
r
f
n
rL
Rl
n
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圆周卷积fc (n) 等于一个周期序列的主值 序列，该周期序列是线性卷积f (n)以L为周期 进行周期延拓的结果，因此，当L ≥ L1满足 时， fc (n)必然等于f (n)，但是，如果L < L1 ， 则fc (n)不等于f (n) 。
3.1.1 有限长序列的离散频域表示
我们已学过三种傅里叶分析工具，它们 分别应用于不同性质的信号。
1. 应用于连续周期信号——傅里叶级数展开
j2 kt
xa t Cke T
k
Ck
1 T
T２ －T２
xα
(t
－ｊ２
)e T
kt
dt
其中，T是信号 xa t的周期，Ck 表示了xa (t)的
离散傅里叶变换定义为
X (k)
N 1
x nWNkn
n0
0
0 k N 1 其他
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反变换公式为
x(n)
N 1
X
k
W kn N
0 n N 1
k 0
0
其他
DFT是借用了DFS，这样就假定了序 列的周期性，但定义式本身对区间作了强制 约束，以符合有限长特点，这种约束不改变 周期性的实质，或者说，DFT隐含了周期 性。
fc n xn yn
M 1 m0
x
m
y
n m
l
RL
n
M 1 m0
x
m
r
y
n
m
rL
RL
n
r
M 1 m0
x
m
y
n
rL
m
RL
n
r
f
n
rL
Rl
n
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圆周卷积fc (n) 等于一个周期序列的主值 序列，该周期序列是线性卷积f (n)以L为周期 进行周期延拓的结果，因此，当L ≥ L1满足 时， fc (n)必然等于f (n)，但是，如果L < L1 ， 则fc (n)不等于f (n) 。
第3章离散傅里叶变换(DFT)09-10-1
序列的DFS级数系数的主值序列！
§3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 线性性质
x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中a、 b为常数， 即N≥max［N1, N2］， 则y(n)的N
点DFT为：
（补零问题！）
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1
➢再 反 转 形 成 x2((-m))N ， 取 主 值 序 列 则 得 到 x2((m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转； ➢对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成
x2((n-m))NRN(m)； ➢当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相 乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到其循环卷积y(n)。
y(n) x((n m))N RN (n)
则循环移位后的DFT为
Y (k) DFT [ y(n)] DFT [x((n m))N RN (n)] WNmk X (k)
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
x1(n)
0
N-1
~x2 (n)
0
N-1
n n
~x2 (m)
x2 0 mN RN (m)
0
m
x2 1 mN RN (m)
0
x2
2
mN
RN
(m)
m
0
m
x2 3 mN RN (m)
0
m
y(n) x1(n) N x2 (n) ➢两个长度
§3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 线性性质
x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中a、 b为常数， 即N≥max［N1, N2］， 则y(n)的N
点DFT为：
（补零问题！）
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1
➢再 反 转 形 成 x2((-m))N ， 取 主 值 序 列 则 得 到 x2((m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转； ➢对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成
x2((n-m))NRN(m)； ➢当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相 乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到其循环卷积y(n)。
y(n) x((n m))N RN (n)
则循环移位后的DFT为
Y (k) DFT [ y(n)] DFT [x((n m))N RN (n)] WNmk X (k)
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
x1(n)
0
N-1
~x2 (n)
0
N-1
n n
~x2 (m)
x2 0 mN RN (m)
0
m
x2 1 mN RN (m)
0
x2
2
mN
RN
(m)
m
0
m
x2 3 mN RN (m)
0
m
y(n) x1(n) N x2 (n) ➢两个长度
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
第3章离散傅里叶变换(DFT)
16
k 0,1, ,15
由此可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间 长度N的取值有关。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
3.1.2 DFT与傅里叶变换（DTFT）和Z变换的关系 设序列x(n)长度为M，其Z变换和N(N≥M)点DFT分别为：
M 1
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn
解：设变换区间N=4，则
X (k)
3
x(n)W4kn
3 j2π kn
e4
n0
n0
1 e j2πk
j2πk
1e 4
4 0
k0 k 1, 2, 3
设变换区间N=8，则
X (k)
7
x(n)W8kn
3 j 2 kn
e8
n0
n0
j 3 k
e8
sin( 2
sin(
k) ,
k)
8
k 0,1, , 7
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
设变换区间N=16， 则
X (k)
15
x(n)W1k6n
3
j 2 kn
e 16
n0
n0
j 3 k
e 16
sin( k)
4
,
sin( k)
jIm[z]
ooo
o
o
o
o
o
o
ooo
Re[z]
X(ejω)
o
0
0
X(k)
2
N 1 k
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ejω) 在区间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT 的变换结果不同。
(整理)离散傅里叶变换
第三章离散傅立叶变换(DFT)3．1 引言有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。
离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。
有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。
为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。
而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。
(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。
)一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。
二、连续时间，离散频率------傅 里 叶 级 数设f(t)代表一个周期为T 1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为n F ，f(t)和n F 组成变换对，表示为:tjn n n e F t f 1)(Ω∞-∞=∑=（112Ω=πT ）dte tf T F TT t jn n ⎰-Ω-=221111)(1注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T 表示（采样间隔）。
采样脉冲信号的频率为Ts π2=Ω可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换正变换：DTFT[x(n)]=()()j nj n X e x n eωω∞-=-∞=∑反变换：DTFT-11[()]()()2j n j j X e x n X e e d πωωωπωπ-==⎰)(ωj e X 级数收敛条件为|()j nn x n eω∞-=-∞∑|=∞<∑∞-∞=n n x )(可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱四、离散时间，离散频率------离散傅里叶变换上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域(时域或频域)中，函数是连续的。
数字信号处理第三章习题解答
（3）最少采样点数 ；
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
WΒιβλιοθήκη n N=(W
− N
n
)*
W
n N
=
W
n N
+iN
3. 可约性 4. 正交性
W i⋅n N
= WNn / i
∑ ∑ 1
N
N −1
W
nk N
(WNmk
)
*
k =0
=
1 N
N −1
W (n−m)k N
k =0
=
⎧1, ⎩⎨0,
n − m = iN n − m ≠ iN
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z 可以看出，当0≤k≤N-1 时，X~(k) 是对X(z)在Z平面单 位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变 化，X~ (k ) 的值呈周期变化。
了。所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是 有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z X~(k) ↔ ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶 级数(DFS)变换对，这种对称关系可表示为：
∑ X
(k )
=
D F S [ x (n)]
=
N −1
x
10
X (k) =
|X(ejω)|
X (e jω ) ω= 2π k 10
=
− j 4π k
e 10
sin(π k / 2) sin(π k /10)
5
…
o
π
…
2π
3π
4π
ω
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
例2 已知周期序列x (n),求X (k )。并讨论 X~ (k)与 X (e jω ) 的关系
将n和k互换，有 ∑ Nx (－k ) = N－1 X (n)WNkn n＝0
− N
n
)*
W
n N
=
W
n N
+iN
3. 可约性 4. 正交性
W i⋅n N
= WNn / i
∑ ∑ 1
N
N −1
W
nk N
(WNmk
)
*
k =0
=
1 N
N −1
W (n−m)k N
k =0
=
⎧1, ⎩⎨0,
n − m = iN n − m ≠ iN
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z 可以看出，当0≤k≤N-1 时，X~(k) 是对X(z)在Z平面单 位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变 化，X~ (k ) 的值呈周期变化。
了。所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是 有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z X~(k) ↔ ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶 级数(DFS)变换对，这种对称关系可表示为：
∑ X
(k )
=
D F S [ x (n)]
=
N −1
x
10
X (k) =
|X(ejω)|
X (e jω ) ω= 2π k 10
=
− j 4π k
e 10
sin(π k / 2) sin(π k /10)
5
…
o
π
…
2π
3π
4π
ω
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
例2 已知周期序列x (n),求X (k )。并讨论 X~ (k)与 X (e jω ) 的关系
将n和k互换，有 ∑ Nx (－k ) = N－1 X (n)WNkn n＝0
第3章 离散傅立叶变换 DFSDFS的性质DFTDFT的性质循环卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样FFT
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数正变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换
离散傅里叶变换（DFT）
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n)
图4.2.8 倒序规律
3.5.4 频域抽取法FFT(DIF―FFT)
在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用 的快速算法，简称DIF―FFT。
设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分
开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNk
T0
频谱特点： 离散非周期谱
2. 连续时间非周期信号
x(t) 1 X ( j) ej td
2
X ( j) x(t) e j tdt
频谱特点： 连续非周期谱
3. 离散非周期信号
x(n) FT-1[ X (ej )] 1 X (ej ) ejnd
2
X (ej ) FT[x(n)] x(n) e-jn n
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上：记 WN e j2 / N ，叫旋转因子．
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
N 1
~ X ( k ) N k ( r pn)
k 0
N 1
~ NX ( r pN ) ~ NX ( r )
j 2 nr N
1 ~ 因此, X (r ) N
~ ( n )e x
n 0
N 1
将r换成k则有 1 ~ X (k ) N
n 0
则有
~ ~ ~ (n) b~ (n) aX (k ) bX (k ) DFSax1 x2 1 2
其中，a,b为任意常数。
二.序列的移位
~ ~(n) X (k ) 如果 DFSx
则有：
~ ~(n m) W mk X (k ) DFSx N e
2 j mk N
即：
N 1 n 0 j 2 kn N
~ ~( n )e X (k ) x ~( n ) 1 x N
N 1 k 0
~ X ( k )e
2 j kn N
~ X (k ) 的周期性 2 N 1 j ( k mN ) n ~ 周期性： ( k m N) ~( n )e N X x
) X (k )
0
0 20
N 0 N
k
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
x(nT)=x(n)
1 2 T0 F0 0
T0 NT
0
x (e
j k 0T
T 2T
1 2
( N 1) ( N 1)
NT N
0
)
2 T s 1 T 2
x(k )
n 0 N 1 j 2 nk N
~ ( n )W nk x N
N 1 n 0
~ X ( k ) N k ( r pn)
k 0
N 1
~ NX ( r pN ) ~ NX ( r )
j 2 nr N
1 ~ 因此, X (r ) N
~ ( n )e x
n 0
N 1
将r换成k则有 1 ~ X (k ) N
n 0
则有
~ ~ ~ (n) b~ (n) aX (k ) bX (k ) DFSax1 x2 1 2
其中，a,b为任意常数。
二.序列的移位
~ ~(n) X (k ) 如果 DFSx
则有：
~ ~(n m) W mk X (k ) DFSx N e
2 j mk N
即：
N 1 n 0 j 2 kn N
~ ~( n )e X (k ) x ~( n ) 1 x N
N 1 k 0
~ X ( k )e
2 j kn N
~ X (k ) 的周期性 2 N 1 j ( k mN ) n ~ 周期性： ( k m N) ~( n )e N X x
) X (k )
0
0 20
N 0 N
k
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
x(nT)=x(n)
1 2 T0 F0 0
T0 NT
0
x (e
j k 0T
T 2T
1 2
( N 1) ( N 1)
NT N
0
)
2 T s 1 T 2
x(k )
n 0 N 1 j 2 nk N
~ ( n )W nk x N
N 1 n 0
DFT
WN e
j 2 N
1 N
nk X( k ) W N k 0
N 1
——旋转因子（N点）
x ( n ) X(k )
——周期为N的周期序列
DFS的性质
设 x(n) , y (n) 为周期为N的周期序列，对应的DFS为
X(k ) , Y( k ) (时域、频域均为周期为N的周期序列)
N 1 n 0
, n = 0, 1, 2 ,…, N-1
-j 2 nk N
DFT IDFT
X ( k ) x ( n) e x ( n) 1 N
N 1 k 0
, k 0,1, 2,, N 1
X (k ) e
j
2 nk N ,n
0,1, 2,, N 1
x ( n ) 是 x ( n ) 以N为周期的周期延拓序列（无限长）
x ( n)
x(n) x((n)) N
x((n))6
0
1 2 3 4
n
0
1 2 3 4 5
n
符号((n))N 是余数运算表达式，表示n对N求余数
例： x(n) 是周期为N=8的序列，求 n =11和 n =-2 对N的余数
解： n 11 1 8 3
Ω 0 Ωh 周期延拓 (ω=ΩT) |X(e jω)|
x(n)
0 T
(M-1)
(N-1)
n
-ωh 0 ωh 主周期 N点抽样
2π
X (k )
ω
主值周期
x ( n)
周期延拓
0
N-1
n
ω0 = 2π/N
0
k
有限长序列的傅里叶分析
一、四种信号傅里叶表示
j 2 N
1 N
nk X( k ) W N k 0
N 1
——旋转因子（N点）
x ( n ) X(k )
——周期为N的周期序列
DFS的性质
设 x(n) , y (n) 为周期为N的周期序列，对应的DFS为
X(k ) , Y( k ) (时域、频域均为周期为N的周期序列)
N 1 n 0
, n = 0, 1, 2 ,…, N-1
-j 2 nk N
DFT IDFT
X ( k ) x ( n) e x ( n) 1 N
N 1 k 0
, k 0,1, 2,, N 1
X (k ) e
j
2 nk N ,n
0,1, 2,, N 1
x ( n ) 是 x ( n ) 以N为周期的周期延拓序列（无限长）
x ( n)
x(n) x((n)) N
x((n))6
0
1 2 3 4
n
0
1 2 3 4 5
n
符号((n))N 是余数运算表达式，表示n对N求余数
例： x(n) 是周期为N=8的序列，求 n =11和 n =-2 对N的余数
解： n 11 1 8 3
Ω 0 Ωh 周期延拓 (ω=ΩT) |X(e jω)|
x(n)
0 T
(M-1)
(N-1)
n
-ωh 0 ωh 主周期 N点抽样
2π
X (k )
ω
主值周期
x ( n)
周期延拓
0
N-1
n
ω0 = 2π/N
0
k
有限长序列的傅里叶分析
一、四种信号傅里叶表示
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
数字信号处理第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
周期
2
s、fs N
分辨率
2
N
fs N
返回
回到本节
DFT和DFS之间的关系：
周期延拓
取主值
有限长序列
周期序列
主值区序列
有限长序列 x(n) n 0,1, 2, M 1
周期序列 xN (n) x(n mN ) x((n))N m 0 n0 N 1 n mN n0 ((n))N n0
四种傅立叶变换
离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域 表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程 学习的一大重点。
本节主要介绍
3.1.1 DFT定义 3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系 3.1.3 DFT的矩阵表示
• X(k)为x(n)的傅立叶变换 X (e j ) 在区间 [0, 2 ]上的N
点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。
j ImZ
2பைடு நூலகம்3
4
5 6
1 2
N
k=0 ReZ
7 (N-1)
DFT与z变换
X(ejω)
X(k)
0
o
2
0
N 1 k
DFT与DTFT变换
回到本节
变量
、f k
之间的某种变换关系.
• 所以“时间”或“频率”取连续还是离 散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换 对。
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
时间域
t:连续
模拟域
第三章--离散傅立叶变换--总结
• 圆周卷积与线性卷积相等而不产生混淆的必要条件 • 结合周期卷积，L N M 1
书83页 （3－54）
书P84页最上端，结论。
圆周（循环相关）相关定理
• 设有限长序列
1
x1(n),0 n N1 1 x 2(n),0 n N 2 1
• 则x1(n)与x2(n)N点圆周相关定义为
2nk j rN
k X( ) r
k 0,1,......,rN 1
假若增加的长度并非N的整数倍 见P78页 最下面一行
序列的圆周移位 定义：
时间移位
频率移位：即调制定理 时域序列的调制等效于频域的圆周移位
• 线卷积：反折、平移、相乘、积分（或相加） • 圆卷积：反折、周期化、平移、相乘、相加
X op (k ) X (( N k )) N RN (k )
* op
1/ 2[ X ((k )) N X * (( N k )) N ]RN (k )
复数序列的DFT
• 设x(n)为N点有限长序列0≤n≤N-1 DFT [ x(n)] DFT {Re[ x(n)] j Im[ x(n)]} X (k ) • 则有1，2，3：
设x ( n )、y(n )为N点有限序列 DFT[ x (n )] X( k ), DFT[ y( n )] Y( k )
N 1 1 * * 则 x (n ) y ( n ) X(k )Y (k ) N k 0 n 0 N 1
说明：
1）这是DFT形式下的帕斯瓦尔定理; 2 ）只需令y(n)=x(n),再两边取模，便得到明确物理 意义的能量计算公式。
• 时域 x(n) 取圆周偶对称, 对应于频域 X(k) 也取圆周偶对称. • 若 x(n) 本身是圆周奇对称序列 , 对应频域 X(k) 也是圆周奇对称序列;
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N 1
0≤n≤N-1
x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们称 上面第一式为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT), 称式第二式为X(k)
的N点离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列，就能唯
一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列， 都有N个独立值（可以是复数），所以信息当然等量。 此外，值得强调得是，在使用离散傅里叶变换时，必须注意 所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。 换句话说，离散傅里叶变换隐含着周期性。
IDFT
频 域 相 乘
DFT
离散和周期 周期和离散
问题：(9)和(5)不同呢？ Answer：周期延拓
旋转因子WN的性质
WN e
1.周期性
2.共轭对称性
j 2N
W W
n N
n N
( n rN ) N
W (W )
n * N
3.正交性
1 N 1 kn mn * 1 N 1 ( mk ) n 1 WN (WN ) WN N n 0 N n 0 0
则n1为n对N的余数。
0≤n1≤N-1, m为整数
~ x ( n )是周期为N=9的序列，则有： 例如，
~ x (8) x ((8))9 x (8) ~ x (13) x ((13))9 x ( 4) ~ x ( 22) x ((22))9 x ( 4) ~ x ( 1) x ((1))9 x (8)
（3-11）
这一有限求和有闭合形式
~ nk ~ X (k ) x (n)W10 e
n 0
j
2 nk 10
（3-12）
|~ x (k ) |
5 … －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 15 20 … k
~ 图 3-3 图3-2所示序列的傅里叶级数系数 X ( k ) 的幅值
X (3) X * (1) 2 2 j
例 2-8 一个有限长序列为
mk mk
x (n ) 例1 设 ~ 为周期脉冲串
~ x (n)
r
(n rN )
（3-8）
因为对于0≤n≤N-1， ~ , (所 x (n) n) 以 利 用 式 （ 2 - 6 ） 求 出 ~ x ( n ) 的DFS系数为
N 1 N 1 ~ nk nk X (k ) ~ x (n)WN (n)WN 1 n 0 n 0
利用前面的矩形序列RN(n)，式可写成
~ 同理，频域的周期序列 X (k ) 也可看成是对有限长序列X(k)的 ~ 周期延拓，而有限长序列X(k)可看成是周期序列 X (k ) 的 主 值 序
x(n) ~ x (n) RN (n)
列，即:
~ X (k ) X ((k ))N ~ X (k ) X (k ) RN (k )
（3-9）
~ 在这种情况下，对于所有的k值 X ( k ) 均相同。于是，将式
（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式
1 ~ x (n) (n rN ) N r
W
k 0
N 1
nk N
1 N
e
k 0
N 1
j
2 nk N
（3-10）
~ 如图3-2所示，其周期N=10, 试求 X (k ) ~ 解它的傅里叶级数系数 X ( k ) 。
1 傅氏变换的几种可能形式 2 周期序列的DFS 3 DFS的性质 4 DFT--有限长序列的离散频域表示
5 DFT的性质
6 DFT的实际应用问题 7 FFT典型用法
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。
傅氏变换
离散量化
信号处理
DFT(FFT)
傅里叶变换的几种可能形式
X (e )
j
n
x ( n) e
jn
1 j jn x ( n) X ( e ) e d 2
时域离散，将导致频域周期化， 且这个周期是s。
时域离散
频域周期
四、离散时间，离散频率——离散傅里叶变换(DFT)
上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不 适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计 算机运算。 思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频
1 X ( jk 0 ) T0
T
T0 / 2
0
jk 0 t x ( t ) e dt /2
x( t )
k
X ( jk 0 )e
jk 0 t
2 其中， 0 2F0 T0
X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。
时域周期
频域离散
三、离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换(DTFT)
域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，
人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
时域离散、周期
频域周期、离散
变换类型
时域函数
xa(t)
频域函数
|Xa( j )| 1
傅里叶变换 (FT)
连续和非周期
－ o xp (t)
非周期和连续
o
t
(a )
－ 0
0 |Xp ( jk )|
值，其他n时，x(n)=0。即
x(n) 0 n N 1 x(n) 其他n 0
为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序
x ( n )的一个周期，而把 ~ 列~ x ( n ) 看成x(n)的以N为周期的周期延拓，
即表示成:
~ x (n) 0 n N 1 x(n) 其他n 0
nk j2 12 e
11 j 2 n ( k 1) n ( k 1) 1 11 j 2 12 12 e e 2 n 0 n 0
利用复正弦序列的正交特性，再考虑到k的取值区间，可得
6 k 1,11 X (k ) 0 其他k , k [0,11]
(n )
1 1
X(k )
…
0
n
0 1 2
N－ 1
k
图2-9 序列δ(n)及其离散傅里叶变换
例 2 已知x(n)=cos(nπ/6)是一个长度N=12的有限长序列， 求
它的N点DFT。
解 由DFT的定义式（2-30）
n n j n nk 11 1 j 6 6 X (k ) cos W12 e e 6 2 n 0 n 0 11
x(n )
X(k )
0 12
11
n
0 1
11
n
图 2-10 有限长序列及其DFT
例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3(n-2)+4 (n-3) 的4点DFT。 N 1
X ( k ) DFT[ x( n)] x( n)W4nk
n 0 3
nk x ( n ) W N n 0
区间进行，它们完全适用于主值序列 x(n)与X(k)，因而我们可以
得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义:
X ( k ) DFT[ x ( n )] x ( n )W
n 0
N 1
nk N
0≤k≤N-1
1 x ( n ) IDFT[ X ( k )] N
nk X ( k ) W N k 0
例2 已知周期序列
~ x (n)
… －10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … n
x ( n（周期 ) 图3-2 例3-2的周期序列 ~ N=10）
由式（3-6）
~ nk ~ X (k ) x (n)W10 e
n 0 n 0 101 n 0 4
101
4
j
2 nk 10
我们再看表达DFS与IDFS：
N 1 ~ nk X (k ) DFS[ ~ x (n )] ~ x (n )WN n 0
1 ~ ~ x (n ) IDFS[ X (k )] N
~ nk X ( k ) W N
k 0
N 1
这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值
办法：时域采样
DFT
离散和周期
周期和离散
问题：怎样时域采样呢？
办法：时域相乘，频域卷积
问题：依然不能被 计算机处理
时 域 相 乘
办法：频率采样
DTFT
频 域 卷 积
离散和非周期
周期和连续
IDFT
离散和周期
周期和离散
问题：怎样频域采样呢？
办法：频域相乘，时域卷积
时 域 卷 积
计算机能够处理 问题解决！
傅里叶级数 (FS)
连续和周期
o Tp x(nT) t (b ) o |X( ej )| 1 /T － o
非周期和离散
k
离散和非周期
nT (c)
周期和连续
序列傅里叶变换 (DTFT)
To N点 xp (n )
离散和周期
|X( ej ks)|
周期和离散
离散傅里叶变换 (DFT)
o N点
~ x (n)
这个关系可以用图2-8来表明。通常把 ~ x ( n ) 的第一个周期n=0 ~ x ( n )的“主值序列”，即 到n=N-1 定义为“主值区间”， 故x(n)是
r
x(n rN )
~ 主值区间上的序列。而称 x ( n )为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)