第三章__离散傅里叶变换DFT 总结

n
(d )
－
o N点
s


各种形式的傅里叶变换
卷积特性
•时域卷积定理 •频域卷积定理
1.在一个域的相乘(卷积)等于另一个域的卷积(相乘) 2.与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生 一个波形的镜像。
FS
连续和非周期
非周期和连续
问题：计算机只能进行数字信号处理，所以需要将原模拟信号在时域离散化，即

傅里叶级数 (FS)
连续和周期
o Tp x(nT) t (b ) o |X( ej )| 1 /T － o
非周期和离散
k
离散和非周期
nT (c)
周期和连续

序列傅里叶变换 (DTFT)
To N点 xp (n )

离散和周期
|X( ej ks)|
周期和离散
离散傅里叶变换 (DFT)
o N点
nk j2 12 e
11 j 2 n ( k 1) n ( k 1) 1 11 j 2 12 12 e e 2 n 0 n 0
利用复正弦序列的正交特性，再考虑到k的取值区间，可得
6 k 1,11 X (k ) 0 其他k , k [0,11]
1 傅氏变换的几种可能形式 2 周期序列的DFS 3 DFS的性质 4 DFT--有限长序列的离散频域表示
5 DFT的性质
6 DFT的实际应用问题 7 FFT典型用法
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。
傅氏变换
离散量化
信号处理
DFT(FFT)
傅里叶变换的几种可能形式
N 1
0≤n≤N-1
x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们称 上面第一式为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT), 称式第二式为X(k)
的N点离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列，就能唯
一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列， 都有N个独立值（可以是复数），所以信息当然等量。 此外，值得强调得是，在使用离散傅里叶变换时，必须注意 所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。 换句话说，离散傅里叶变换隐含着周期性。
值，其他n时，x(n)=0。即
x(n) 0 n N 1 x(n) 其他n 0
为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序
x ( n )的一个周期，而把 ~ 列~ x ( n ) 看成x(n)的以N为周期的周期延拓，
即表示成:
~ x (n) 0 n N 1 x(n) 其他n 0
(0 k N 1)
( 0 k 3)
1 2W4k 3W42 k 4W43k
(0 k 3)
X (0) 1 2W40 3W40 4W40 1 2 3 4 10
X (1) 1 2W41 3W42 4W43 1 2W41 3 4W41 2 2W41 2 2 j X ( 2) 1 2W42 3W44 4W46 1 2W42 3 4W42 4 6W42 2
利用前面的矩形序列RN(n)，式可写成
~ 同理，频域的周期序列 X (k ) 也可看成是对有限长序列X(k)的 ~ 周期延拓，而有限长序列X(k)可看成是周期序列 X (k ) 的 主 值 序
x(n) ~ x (n) RN (n)
列，即:
~ X (k ) X ((k ))N ~ X (k ) X (k ) RN (k )
办法：时域采样
DFT
离散和周期
周期和离散
问题：怎样时域采样呢？
办法：时域相乘，频域卷积
问题：依然不能被 计算机处理
时 域 相 乘
办法：频率采样
DTFT
频 域 卷 积
离散和非周期
周期和连续
IDFT
离散和周期
周期和离散
问题：怎样频域采样呢？
办法：频域相乘，时域卷积
时 域 卷 积
计算机能够处理 问题解决！
我们再看表达DFS与IDFS：
N 1 ~ nk X (k ) DFS[ ~ x (n )] ~ x (n )WN n 0
1 ~ ~ x (n ) IDFS[ X (k )] N
~ nk X ( k ) W N
k 0
N 1
这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值
X (3) X * (1) 2 2 j
例 2-8 一个有限长序列为
IDFT
频 域 相 乘
DFT
离散和周期 周期和离散
问题：(9)和(5)不同呢？ Answer：周期延拓
旋转因子WN的性质
WN e
1.周期性
2.共轭对称性
j 2N
W W
n N
n N
( n rN ) N
W (W )
n * N
3.正交性
1 N 1 kn mn * 1 N 1 ( mk ) n 1 WN (WN ) WN N n 0 N n 0 0
例2 已知周期序列
~ x (n)
… －10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … n
x ( n（周期 ) 图3-2 例3-2的周期序列 ~ N=10）
由式（3-6）
~ nk ~ X (k ) x (n)W10 e
n 0 n 0 101 n 0 4
101
4
j
2 nk 10
x(n )
X(k )
0 12
11
n
0 1
11
n
图 2-10 有限长序列及其DFT
例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3(n-2)+4 (n-3) 的4点DFT。 N 1
X ( k ) DFT[ x( n)] x( n)W4nk
n 0 3
nk x ( n ) W N n 0
（3-11）
这一有限求和有闭合形式
~ nk ~ X (k ) x (n)W10 e
n 0
j
2 nk 10
（3-12）
|~ x (k ) |
5 … －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 15 20 … k
~ 图 3-3 图3-2所示序列的傅里叶级数系数 X ( k ) 的幅值
区间进行，它们完全适用于主值序列 x(n)与X(k)，因而我们可以
得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义:
X ( k ) DFT[ x ( n )] x ( n )W
n 0
N 1
nk N
0≤k≤N-1
1 x ( n ) IDFT[ X ( k )] N
nk X ( k ) W N k 0
例1 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。 解 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式（2-30）得
到：
nk 0 X (k ) (n)WN WN 1 n 0 N 1
k=0, 1, …, Байду номын сангаас-1
δ( n) 的 X( k ) 如图 2-9。这是一个很特殊的例子，它表明对序 列δ(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一个离 散矩形序列。

jt
dt
1 jt x( t ) X ( j ) e d 2
时域连续 频域非周期
时域非周期
频域连续
二、连续时间，离散频率——傅里叶级数(FS)
这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、 非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有 一个频率分量。
有限长序列离散傅里叶变换（DFT）
DFT的定义
上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义，
因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有 限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导 得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。 设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有
则n1为n对N的余数。
0≤n1≤N-1, m为整数
~ x ( n )是周期为N=9的序列，则有： 例如，
~ x (8) x ((8))9 x (8) ~ x (13) x ((13))9 x ( 4) ~ x ( 22) x ((22))9 x ( 4) ~ x ( 1) x ((1))9 x (8)
傅里叶变换
时 域
频 域
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
一、连续时间，连续频率——傅里叶变换(FT)
这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续 的、非周期的频谱密度函数X(j)。
X ( j ) x( t )e
1 X ( jk 0 ) T0
T
T0 / 2
0
jk 0 t x ( t ) e dt /2
x( t )
k
X ( jk 0 )e

jk 0 t
2 其中， 0 2F0 T0
X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。
时域周期
频域离散
三、离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换(DTFT)
~ x (n)
这个关系可以用图2-8来表明。通常把 ~ x ( n ) 的第一个周期n=0 ~ x ( n )的“主值序列”，即 到n=N-1 定义为“主值区间”， 故x(n)是
r
x(n rN )

~ 主值区间上的序列。而称 x ( n )为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)
(n )
1 1
X(k )
…
0
n
0 1 2
N－ 1
k
图2-9 序列δ(n)及其离散傅里叶变换
例 2 已知x(n)=cos(nπ/6)是一个长度N=12的有限长序列， 求
它的N点DFT。
解 由DFT的定义式（2-30）
n n j n nk 11 1 j 6 6 X (k ) cos W12 e e 6 2 n 0 n 0 11
（3-9）
~ 在这种情况下，对于所有的k值 X ( k ) 均相同。于是，将式
（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式
1 ~ x (n) (n rN ) N r

W
k 0
N 1
nk N
1 N
e
k 0
N 1
j
2 nk N
（3-10）
~ 如图3-2所示，其周期N=10, 试求 X (k ) ~ 解它的傅里叶级数系数 X ( k ) 。
之间彼此并不重叠，故上式可写成 ~ x (n) x(n modN ) x((n))N
x(n )
0
N－ 1
n
~ x ( n)
－N
0
N－ 1 主值 区间 图 2 -8
n
用((n))N表示（n mod N），其数学上就是表示“n对N取余 数”， 或称“n对N取模值”。 令
n n1 mN
域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，
人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
时域离散、周期
频域周期、离散
变换类型
时域函数
xa(t)
频域函数
|Xa( j )| 1
傅里叶变换 (FT)
连续和非周期
－ o xp (t)
非周期和连续
o

t
(a )
－ 0
0 |Xp ( jk )|
mk mk
x (n ) 例1 设 ~ 为周期脉冲串
~ x (n)
r
(n rN )

（3-8）
因为对于0≤n≤N-1， ~ , (所 x (n) n) 以 利 用 式 （ 2 - 6 ） 求 出 ~ x ( n ) 的DFS系数为
N 1 N 1 ~ nk nk X (k ) ~ x (n)WN (n)WN 1 n 0 n 0
X (e )
j
n
x ( n) e

jn
1 j jn x ( n) X ( e ) e d 2
时域离散，将导致频域周期化， 且这个周期是s。
时域离散
频域周期
四、离散时间，离散频率——离散傅里叶变换(DFT)
上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不 适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计 算机运算。 思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频