用层次分析法做旅游决策解析

摘要:本文就同学们如何制定旅行方案,以实现费用最少,风景最优美的问题进行研究。

在考虑旅行费用与路线,时间和交通工具的关系之后,我们以实现费用最少为目标,进行了系统建模。

根据此问题,我们用层次分析模型,然后对模型进行求解编程。

把各个方案进行一个全面的分析、比较后,得到一优化方案,由优化方案结果分析表明模型的正确性、实际性和有效性。

最后根据一种更符合实际情况的假设,对
模型进一步优化,建立了更加有效、更加节省时间和费用的优化方案,从而达到省钱和享受的目的。

一、问题的重述:同学们相约去旅游,有人想去新疆,有人想去西藏,还有人想去
内蒙。

考虑到是学生,费用应占最大的比重,其次是看风景,再者是旅途,至于吃住对年轻人来说不太重要。

如果仅从费用、景色、饮食、居住和旅途等方面考虑,通过建
模计算,给出假期旅游地的合理选择方案: 1.按地理位置(经纬度设计最短路旅行方案;
2.如果 2011 年 10 月 1 日同学们从太原市出发,可选择航空、铁路(快车卧铺或动车,设计最经济的旅行互联网上订票方案;
3.要综合考虑省钱、省时又方便,设定你的评价准则,建立数学模型,修订你的方案;
4.对你的算法作复杂性、可行性及误差分析;
5.关于旅行商问题提出对你自己所采用的算法的理解及评价。

二、问题的分析: 对于旅游问题,考虑各个景点之间的实际距离即路线距离和交通工具的选择,分析得出一条最短的旅游路径,以达到省时,省钱又方便的目的。

对于调整和改进后得到的几种路线来说,在一个周期开始时,每种可供选择的交通工具的费用已知,且价格在一个周期内相因此一个周期内路线和交通工具已经确定。

我们可以将问题分为两部分:旅行最愉快享受、费用时间最少。

由于各到景点的路线不一,因此存在一个路线问题,由于所乘交通工具的多样性,因此存在考虑费用和时间问题。

评价标准:因为同时要考虑三个方面的问题,各个问题的最优方案很难会一致,所以我们以三个方面问题的最优方案重复的次数来认为是不是最优方案。

比如某个方案在两个问题中都是最有方案,那么这个方案就是本题的最佳方案。

如果三个问题的最优方案不重复,那么我们就以费用为主要因素来确定最优方案。

三、基本假设: 1.假设同学们以正常的
心态旅游。

2.当旅游城市的距离较大时,时间可能比较长,这时,同学们为了协调时间并达到总费用最少,可以选择不同的交通工具,改变旅游时间,从而改变总费用。

当旅
游城市距离较少时,时间比较短,假设与一个时段相比可忽略不计,则可以看成当时出发当时可到的情况。

3.假设飞机,火车正常运行,旅行费用只与旅游路线、时间及交通工具有关。

4.假设乘坐交通工具选用飞机时两城市之间的距离按直线距离代替;
四、模型定义:层次分析法,
将决策问题分解为3个层次、最上层为目标层,即选择旅游地,最下层为方案层,有P1(新疆P2(西藏P3(内蒙个供选择地点,中间层为准则层,有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则,各层间的联系涌现联的直线表示(图9-1。

目标层
准则层
方案层
图9-1选择旅游地的层次结构
通过相互比较准确层五个因素对最上层选择旅游地的影响,设景色为B1,费用B2,居住B3,饮食B4,旅游B5.设它们的权重分别为:
B1=5,B2=7,B3=1,B4=1,B5=3.参照T.L.Saaty的比例九标度法给出各层次的两两判断矩阵(见表1
表1 同学们对准则层各因素相对重要性的两
两比较判断矩阵
λ
同学们对给出方案层的判断矩阵相同,都是如下结果(见表2,表3,表4 表2同学们就提出的三个方案在景色上面的两两判断矩阵
表3就同学们提出的三个方案在费用上的两两判断矩阵
表4同学们就提出的三个方案在住宿方面的两两判断矩
λ
表5同学们就提出的三个方案在饮食方面的两两判断矩
λ
表6同学们就提出的三个方案在旅途方面的两两判断矩
λ
层次单排序及一致性检验
根据层次分析法的计算步骤,必须对以上的六个表的两两判断矩阵进行层次单排序,计算各自的权重系数,并对它们逐个进行一致性检验。

下面只列出表1中B 矩阵的计算步骤。

对B 判断矩阵进行归一化处理,求其权重。

(1,对判断矩阵的每一行各元素求和公式
1TR =5
115/7555/3ij b =++++=∑13.381
2TR =18.733 3TR =2.676
4TR =2.676 5TR =8.029
(2对矩阵TR={13.381
18.733
2.6762.676
8.029
}作归一化处理,计算排序权向量W 。

公式51/
i i i i W TR TR ==∑ 51
i
i TR =∑=13.381+18.733+2.676+2.676+8.029=45.495 5
111/i i W TR TR ==∑=13.381/45.495=0.294
2W =0.412 3W =0.059 4W =0.059 5W =0.176
由此可得到五个因素的排序权向量
W=0.2940.4120.0590.0590.176⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(3计算判断矩阵的最大特征根max λ,并进行矩阵的一致性检验。

由于层次分析法中判断矩阵是人们主观给出来的,所以在人们进行思维判断时应该保持判断的一致性,即当满足一致性的时候12/B B =5/7 13/B B =5/1 则23/B B =7/1. 所以要进行一致性检验。

数学上的证明结论是当n 阶正反阵的最大特征值max λ=n 时,B 矩阵为一致阵。

由于成对比较矩阵通常都不是一致矩阵,所以通常把不一致检验程度控制在一个范围之内,所以Saaty 给出了容许矩阵不一致的范围,根
据数学一致性的结论当与n 的差距越大时,不一致程度越严重。

因此,Saaty 将max 1n
CI n λ-=-定义
为一致性指标当CI=0时,B 矩阵为一致阵;CI 越大,则说明B 的不一致性程度越严重,为了确定矩阵不一致的容许范围,Saaty 又引进随机一致性指标RI Saaty 对不同的阶数n ,用100—500个样本B 算出RI 的随机一致性指标RI 的数值
表7 随机一致性指标RI 的数值
将CR=CI/RI 称为一致性比率。

当CI<0.1时,认为矩阵的不一致程度在容许的范围,可以用特征向量作权向量,否则重新进行成对比较,对矩阵进行调整。

计算矩阵 B 的最大特征根max ，公式max 1 5 ( BW i n i 1 Wi 1
7 / 5 BW= 1/ 5 1/ 5 3/5 5 / 3 0.294 1.759 1 7 /1 7 /1 7 / 3 0.412 1.137 1/ 7 1 1 1/ 3 0.059 = 0.837 1/ 7 1 1 1/ 3 0.059 0.372 3/ 7 3 3 1 0.176 1.287 5/7 5 5 则max =5.031 CI max n n 1 =0.007
CR=CI/CR=0.0065<0.1 由 CR 的计算结果可以看出来 B 矩阵的一致性很好，通过了一致性检验。

所以前面的特征向量作权重的计算有效。

4，最终决策。

同学们的各层次总排序结果是由两个层次的权重系数相乘得到的，每个方案的方案层在各个因素上的权重值 W c 乘以标准层各个因素对应的权重值 W b 并迚行累加得到的结果。

每个方案的最后得分公式 W 表7 W i 1 5 B j W jC ’ 同学们对三个方案 P1,P2,P3 评价的最后得分景费住饮旅指准则色用宿食途 W W jB W jC ’ i 1 5 标 W1 权重同学们 0.225 W2 0.353 W3 0.127 W4 0.128 W5 0.070 P1
0.387 P2 0.124 P3 0.482
P1 P2 方案 P3 0.369 0.293 0.362 0.363 0.233 0.583 0.483 0.332 0.374 0.343 0.231 0.182 0.323 0.421 0.123 以上是层次分析法在景点选择中应用的具体过程,从表 7 中最后三列得到的评价结果可以得到如下的结论: 作为一个理性的旅游者选择最后得分最高的那个方案去旅游。

从评价结果来看,旅游者会选择方案 P3 西藏为最后的旅游地，因为它的权重在 3 个景点中是最高的为 0.482 再分析前面的表 1，同学们最在乎费用，其次是看风景，再者再就是该方案在住宿饮食上的权重也是是旅途，至于吃住对年轻人来说丌太重要。

而 P3 西藏在费用上的权重在 3 个地方中是最高的为 0.583 3 个方案中最高的而。

费用最低的方案，新疆因为景色稍微逊色。

所以丌是他最理想的选择，所以方案 P3 是他的理想乊地。

从这个过程我们可以看，出层次分析法丌仅可以让旅游者找选到他最佳的旅游景点，而且也可以从旅游者对景点的评价结果中提供给管理者一些来自游客的意见，从而为以后景点的发展提供了一些有意义的参考。

参考文献! (1姜启源-数学建模【M】北京:高等教育出版社 2003 (2苏为华-多指标综吅评价理论不方法研究【M】北京:中国物价出版社.2001。