层次分析法原理
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P3 8 3 `1
P1 P2 P3
P1 1 1 3 B3 P2 1 1 3
P3 1/ 3 1/ 3 `1
相对于饮食
P1 P2 P3
P1 1 3 4 B4 P2 1/ 3 1 1
P3 1/ 4 1 `1
相对于旅途
P1 P2 P3
P1 1 1 1/ 4 B5 P2 1 1 1/ 4
P3 4 4 1
在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2，… ，xn
的线性组合： z n
w1 x1
+
w2 x2
+L+
wn xn
其中 wi > 0, wi .1 则 w , w ,..., w 叫各因素对于目
标Z的权重， i1
1
2
n
w ( w1 , w2 ,..., wn ) T 叫权向量.
注意， X1，X2，… ，Xn中有的不是基数变量， 而有可能是序数变量如舒适程度或积极性 之类。
（1）一致性指标： CI
-n
n-1
CI=0 时A一致； CI 越大，A的不一致性程度
（2）随机一致性指标RI：
越严重。
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
（3）一致性比率（用于确定A的不一致性的容许范围）
C RC I0.018250.0162950.1 R I 1.12
同理，对于第二层次的景色、费用、居住、饮食、旅途五 个判断矩阵的一致性检验均通过。
18
利用层次结构图绘出从目标层到方案层的计算结果： 选择旅游地
0.263 0.475 0.055 0.099
景费
居
饮
色用
住
食
0.110 旅 途
P1
P2
C4 1/ 3 1/ 5 2 1 1
C5 1/ 3 1/ 5 3 1
1
8
构造所有相对于不同准则的方案层判断矩阵
相对于景色
相对于费用
相对于居住
P1 P2 P3
P1 1 2 5 B1 P2 1/ 2 1 2
P3 1/ 5 1/ 2 `1
P1 P2 P3
P1 1 1/ 3 1/ 8 B2 P2 3 1 1/ 3
小石块W1小石块W2
设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
… 小石块Wn
11
利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）
a.
将A的每一列向量归一化得：w~ij
aij
n
/ aij
b. c.
对将w~w~i i归j 按一行化求wi和 得w~i：/ wn~iw~i ,
n j 1
w
w~ij (
4
实例：人们在日常生活中经常会碰到多目标决策问题，例如 假期某人想要出去旅游，现有三个目的地（方案）：风光绮 丽的杭州（P1）、迷人的北戴河（P2）和山水甲天下的桂林 （P3）。假如选择的标准和依据（行动方案准则）有5个：
景色，费用，饮食，居住和旅途。则常规思维的方式如下：
常
确定这些准则在你心目中各占的比重多大；
w1
,
w2
i 1
,...,
wn
)
T，即为近似特征根（权向量）
i1
d. 计算
1 n ( Aw) i n i1 wi
，作为最大特征根的近似值。
1 例： A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 0.364
按行求和
1.760 0.972
1/ 6 1/ 4 1
CR CI RI
当CR<0.1时，A的不一致性程度在容许范围 内，此时可用A的特征向量作为权向量。
14
第一步：自上而下，先求判断矩阵A的最大特征 根与特征向量。
1 1/ 2 4 3 3
2 1 7 5 5
A 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3
1/ 3 1/ 5 2 1 1
1/ 3 1/ 5 3 1
所对应的特征向量分别为：
0 .082
W (3) 2
0 .236
0 .682
W
( 3
3
)
0 .429 0.429
,
W (3) 4
0 .633 0.193
,
W
( 5
3
)
0 .166 0 .166
.
0 .142
0 .175
0 .668
17
（4）一致性检验
1 1/ 2 4 3 3
W W (k ) W (k - 1 )L W (2 )
21
范例一 某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有
政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状 况。借助AHP方法对3人进行综合评估，并最终完成量化排序。
⑴建立层次结构模型
目标层
选一领导干部
准则层
健业 康务 状知 况识
写口政工
P3
0 .5 9 5
0
.2
77
0 . 1 2 9
0 .0 8 2
0 0
.2 .6
3 8
6 2
0 .4 2 9
0 0
.4 .1
2 4
9 2
0 .6 3 3
0
.1
9
3
0 . 1 7 5
0 .1 6 6
0
.1
6
6
0 . 6 6 8
19
以 W k( 3 ) 为列向量构成矩阵： W (3 ) ( W 1 (3 ),W 2 (3 ),W 3 (3 ),W 4 (3 ),W 5 (3 ))
通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩 阵。在层次分析法中，为使矩阵中的各要素的重要性能够进行 定量显示，引进了矩阵判断标度（1～9标度法） :
对于要比较的因子而言，你认为一样重要就是1:1，强烈重 要就是9:1，也可以取中间数值6:1等，两两比较，把数值填入， 并排列成判断矩阵（判断矩阵是对角线积是1的正反矩阵即可）。
12
矩阵与向量的乘积计算：
a11 a12 a13 W1 AW a21 a22 a23 W2
a31 a32 a33 W3 AW1 a11 W1 + a12 W2 + a13 W3 AW 2 a21 W1 + a22 W2 + a23 W3 AW3 a31 W1 + a32 W2 + a33 W3
作才策作Leabharlann Baidu
能
水作
力
平风
方案层
P1
P2
P3
22
健 康 情 况
业 力写
政
务 知 识
作 能
口 才
策 水 平
工 作 作 风
健康情况 1
1
1 4 1 1/ 2
业务知识 1
1
2 4 1 1/ 2
A
写作能力
1
1/ 2
1
5
3
1/ 2
口才 1/ 4 1/ 4 1/ 5 1 1/ 3 1/ 3
政策水平 工作作风
0.559 0.082 0.429 0.633 0.166 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166
0.129 0.682 0.142 0.175 0.668
20
（5）层次总排序
各个方案优先程度的排序向量为：
0.263
0.595
WW(3)W(2)0.277
0.129
0.082 0.236 0.682
2 1 7 5 5
A 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3
1/ 3 1/ 5 2 1 1
1/ 3 1/ 5 3 1
1
a14 3 , a43 2 a13a14a43326.
前述计算得到了最大特征跟：max5.073
C Im ax-n5.073-50.01825
n- 1 5- 1
查表知平均随机一致性指标RI，从而可检验矩阵一致性：
该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定 量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活 简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能 源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到 了广泛的重视和应用。
2
层次分析法的基本思路：先分解后综合
整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析 有机结合，实现定量化决策。
层次分析法原理
章牧
暨南大学 旅游实验教学中心 暨南大学深圳旅游学院 地理信息系统与旅
游信息技术实验室
背景介绍
AHP (Analytic Hierarchy Process)层次分析法是美国运 筹学家Saaty教授于二十世纪80年代提出的一种实用的多 方案或多目标的决策方法。其主要特征是，它合理地将 定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把 决策过程层次化、数量化。
P3 1/ 5 1/ 2 `1
经计算得：max3.005
0 .595
W (3) 1
0 .277
对应于 m ax的正规化的特征向量为：
0 .129
16
第三步，算出 B2,B3,B4,B5的最大特征值分别为：
max2)( 3.002, max3() 3, max4)( 3.009, max5() 3.
业务知识
B(3) 2
1 4
1/ 4 1
1/ 4 1/ 2
5 2 1
写作能力
1 3 1/ 3
B(3) 3
1/ 3
1
1
3 1 1
口才
1 1/3 5
B4(3)
3
1 7
1/ 5 1/ 7 1
24
政策水平
B(3) 5
1 1
1 7 1 7
1/ 7 1/ 7 1
工作作风
B(3) 6
1 1/ 7
0.429 0.429 0.142
0.633 0.193 0.175
000...116666668000...004957955
0.110
0 . 300 0 . 246 0 . 456
决策结果是首选旅游地为 P3 ，其次为 P1 ，再次为 P2 。
一般地，若层次结构由k个层次（目标层算第一层），则 方案的优先程度的排序向量为:
1
max5.073对应于max 的正规化的特征向量为：
W (2 ) (0 .2,0 6 .43 ,0 7 .05 ,0 5 .05 ,0 9 .19 )1 T 0
15
第二步：计算与准则层各准则相关的判断矩阵最大特征 跟及权向量：
相对于景色
P1 P2 P3
P1 1 2 5 B1 P2 1/ 2 1 2
0.1 0.077 0.091
0.268
0.587
1.769
归一化 0.324 w Aw 0.974
0.089
0.268
1 (1.769 + 0.974 + 0.268) 3.009
3 0.587 0.324 0.089
得到排序结果：w=(0.588,0.322,0.090)T, max=3.009
首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要 达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素 间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合， 形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、 措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的 权值或相对优劣次序的问题。
3
用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤： （1） 建立层次结构模型； （2）构造判断矩阵； （3）层次单排序； （4）一致性检验； （5）层次总排序。 其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
9
（3）层次单排序
所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层次 各因素的重要性的排序。
具体计算是：对于判断矩阵B，计算满足 BWmaW x 的
特征根与特征向量。
式中 max为 B的最大特征根，W 为对应于max 的正规化 的特征向量，W 的分量 i 即是相应元素单排序的权值。
10
基本概念
什么是权重（权系数）？
规
思
维
就每一准则将三个地点进行对比；
过
程
将这两个层次的比较判断进行综合，作出选择。
5
（1） 建立层次结构模型
目标层Z
选择旅游目的地
准则层C 景 费
居
饮
色用
住
食
拟解决的问题 （总目标）
为实现总目标
而采取的措施
旅
和方案
途
方案层P
P1
P2
P3
选择旅游地的层次结构
用于解决问题 的备选方案
6
（2）构造判断矩阵
1 2 6
Aw 1 / 2 1 4
1 / 6 1 / 4 1
0 .587 1 .769
0 .324 0 .974
0 .089 0 .268
13
判断矩阵的一致性检验
判断矩阵通常是不一致的，但是为了 能用它的对应于特
征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应
在容许的范围内.如何确定这个范围？
1 2
1 1/ 3 3 1
2
231
1 1
A的最大特征值 max6.35, 相应的特征向量为：
W (2 ) (0 .1,0 .6 1,0 .9 1,0 .9 0,0 .5 1,0 .2 3)T 0
23
假设3名候选人关于6个标准的判断矩阵为：
健康情况
B(3) 1
1 4
1/ 4 1
1/ 2 3
2 1/ 3 1
7
设准则层包含5个准则，景色：C1，费用：C2，居 住：C3，饮食：C4，旅途：C5。相对于目标层：选择 旅游地，进行两两比较打分。
选择旅游目的地
景 费居 饮旅 色 用住 食途
C 1 C 2 C 3 C 4 C 5
C1 1 1/ 2 4 3 3
C2 2 1 7 5 5
A C3 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3
7 1
9 5
1/ 9 1/ 5 1
由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。
各属性的最大特征值 m ax
25
P1 P2 P3
P1 1 1 3 B3 P2 1 1 3
P3 1/ 3 1/ 3 `1
相对于饮食
P1 P2 P3
P1 1 3 4 B4 P2 1/ 3 1 1
P3 1/ 4 1 `1
相对于旅途
P1 P2 P3
P1 1 1 1/ 4 B5 P2 1 1 1/ 4
P3 4 4 1
在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2，… ，xn
的线性组合： z n
w1 x1
+
w2 x2
+L+
wn xn
其中 wi > 0, wi .1 则 w , w ,..., w 叫各因素对于目
标Z的权重， i1
1
2
n
w ( w1 , w2 ,..., wn ) T 叫权向量.
注意， X1，X2，… ，Xn中有的不是基数变量， 而有可能是序数变量如舒适程度或积极性 之类。
（1）一致性指标： CI
-n
n-1
CI=0 时A一致； CI 越大，A的不一致性程度
（2）随机一致性指标RI：
越严重。
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
（3）一致性比率（用于确定A的不一致性的容许范围）
C RC I0.018250.0162950.1 R I 1.12
同理，对于第二层次的景色、费用、居住、饮食、旅途五 个判断矩阵的一致性检验均通过。
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利用层次结构图绘出从目标层到方案层的计算结果： 选择旅游地
0.263 0.475 0.055 0.099
景费
居
饮
色用
住
食
0.110 旅 途
P1
P2
C4 1/ 3 1/ 5 2 1 1
C5 1/ 3 1/ 5 3 1
1
8
构造所有相对于不同准则的方案层判断矩阵
相对于景色
相对于费用
相对于居住
P1 P2 P3
P1 1 2 5 B1 P2 1/ 2 1 2
P3 1/ 5 1/ 2 `1
P1 P2 P3
P1 1 1/ 3 1/ 8 B2 P2 3 1 1/ 3
小石块W1小石块W2
设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
… 小石块Wn
11
利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）
a.
将A的每一列向量归一化得：w~ij
aij
n
/ aij
b. c.
对将w~w~i i归j 按一行化求wi和 得w~i：/ wn~iw~i ,
n j 1
w
w~ij (
4
实例：人们在日常生活中经常会碰到多目标决策问题，例如 假期某人想要出去旅游，现有三个目的地（方案）：风光绮 丽的杭州（P1）、迷人的北戴河（P2）和山水甲天下的桂林 （P3）。假如选择的标准和依据（行动方案准则）有5个：
景色，费用，饮食，居住和旅途。则常规思维的方式如下：
常
确定这些准则在你心目中各占的比重多大；
w1
,
w2
i 1
,...,
wn
)
T，即为近似特征根（权向量）
i1
d. 计算
1 n ( Aw) i n i1 wi
，作为最大特征根的近似值。
1 例： A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 0.364
按行求和
1.760 0.972
1/ 6 1/ 4 1
CR CI RI
当CR<0.1时，A的不一致性程度在容许范围 内，此时可用A的特征向量作为权向量。
14
第一步：自上而下，先求判断矩阵A的最大特征 根与特征向量。
1 1/ 2 4 3 3
2 1 7 5 5
A 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3
1/ 3 1/ 5 2 1 1
1/ 3 1/ 5 3 1
所对应的特征向量分别为：
0 .082
W (3) 2
0 .236
0 .682
W
( 3
3
)
0 .429 0.429
,
W (3) 4
0 .633 0.193
,
W
( 5
3
)
0 .166 0 .166
.
0 .142
0 .175
0 .668
17
（4）一致性检验
1 1/ 2 4 3 3
W W (k ) W (k - 1 )L W (2 )
21
范例一 某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有
政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状 况。借助AHP方法对3人进行综合评估，并最终完成量化排序。
⑴建立层次结构模型
目标层
选一领导干部
准则层
健业 康务 状知 况识
写口政工
P3
0 .5 9 5
0
.2
77
0 . 1 2 9
0 .0 8 2
0 0
.2 .6
3 8
6 2
0 .4 2 9
0 0
.4 .1
2 4
9 2
0 .6 3 3
0
.1
9
3
0 . 1 7 5
0 .1 6 6
0
.1
6
6
0 . 6 6 8
19
以 W k( 3 ) 为列向量构成矩阵： W (3 ) ( W 1 (3 ),W 2 (3 ),W 3 (3 ),W 4 (3 ),W 5 (3 ))
通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩 阵。在层次分析法中，为使矩阵中的各要素的重要性能够进行 定量显示，引进了矩阵判断标度（1～9标度法） :
对于要比较的因子而言，你认为一样重要就是1:1，强烈重 要就是9:1，也可以取中间数值6:1等，两两比较，把数值填入， 并排列成判断矩阵（判断矩阵是对角线积是1的正反矩阵即可）。
12
矩阵与向量的乘积计算：
a11 a12 a13 W1 AW a21 a22 a23 W2
a31 a32 a33 W3 AW1 a11 W1 + a12 W2 + a13 W3 AW 2 a21 W1 + a22 W2 + a23 W3 AW3 a31 W1 + a32 W2 + a33 W3
作才策作Leabharlann Baidu
能
水作
力
平风
方案层
P1
P2
P3
22
健 康 情 况
业 力写
政
务 知 识
作 能
口 才
策 水 平
工 作 作 风
健康情况 1
1
1 4 1 1/ 2
业务知识 1
1
2 4 1 1/ 2
A
写作能力
1
1/ 2
1
5
3
1/ 2
口才 1/ 4 1/ 4 1/ 5 1 1/ 3 1/ 3
政策水平 工作作风
0.559 0.082 0.429 0.633 0.166 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166
0.129 0.682 0.142 0.175 0.668
20
（5）层次总排序
各个方案优先程度的排序向量为：
0.263
0.595
WW(3)W(2)0.277
0.129
0.082 0.236 0.682
2 1 7 5 5
A 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3
1/ 3 1/ 5 2 1 1
1/ 3 1/ 5 3 1
1
a14 3 , a43 2 a13a14a43326.
前述计算得到了最大特征跟：max5.073
C Im ax-n5.073-50.01825
n- 1 5- 1
查表知平均随机一致性指标RI，从而可检验矩阵一致性：
该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定 量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活 简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能 源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到 了广泛的重视和应用。
2
层次分析法的基本思路：先分解后综合
整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析 有机结合，实现定量化决策。
层次分析法原理
章牧
暨南大学 旅游实验教学中心 暨南大学深圳旅游学院 地理信息系统与旅
游信息技术实验室
背景介绍
AHP (Analytic Hierarchy Process)层次分析法是美国运 筹学家Saaty教授于二十世纪80年代提出的一种实用的多 方案或多目标的决策方法。其主要特征是，它合理地将 定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把 决策过程层次化、数量化。
P3 1/ 5 1/ 2 `1
经计算得：max3.005
0 .595
W (3) 1
0 .277
对应于 m ax的正规化的特征向量为：
0 .129
16
第三步，算出 B2,B3,B4,B5的最大特征值分别为：
max2)( 3.002, max3() 3, max4)( 3.009, max5() 3.
业务知识
B(3) 2
1 4
1/ 4 1
1/ 4 1/ 2
5 2 1
写作能力
1 3 1/ 3
B(3) 3
1/ 3
1
1
3 1 1
口才
1 1/3 5
B4(3)
3
1 7
1/ 5 1/ 7 1
24
政策水平
B(3) 5
1 1
1 7 1 7
1/ 7 1/ 7 1
工作作风
B(3) 6
1 1/ 7
0.429 0.429 0.142
0.633 0.193 0.175
000...116666668000...004957955
0.110
0 . 300 0 . 246 0 . 456
决策结果是首选旅游地为 P3 ，其次为 P1 ，再次为 P2 。
一般地，若层次结构由k个层次（目标层算第一层），则 方案的优先程度的排序向量为:
1
max5.073对应于max 的正规化的特征向量为：
W (2 ) (0 .2,0 6 .43 ,0 7 .05 ,0 5 .05 ,0 9 .19 )1 T 0
15
第二步：计算与准则层各准则相关的判断矩阵最大特征 跟及权向量：
相对于景色
P1 P2 P3
P1 1 2 5 B1 P2 1/ 2 1 2
0.1 0.077 0.091
0.268
0.587
1.769
归一化 0.324 w Aw 0.974
0.089
0.268
1 (1.769 + 0.974 + 0.268) 3.009
3 0.587 0.324 0.089
得到排序结果：w=(0.588,0.322,0.090)T, max=3.009
首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要 达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素 间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合， 形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、 措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的 权值或相对优劣次序的问题。
3
用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤： （1） 建立层次结构模型； （2）构造判断矩阵； （3）层次单排序； （4）一致性检验； （5）层次总排序。 其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
9
（3）层次单排序
所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层次 各因素的重要性的排序。
具体计算是：对于判断矩阵B，计算满足 BWmaW x 的
特征根与特征向量。
式中 max为 B的最大特征根，W 为对应于max 的正规化 的特征向量，W 的分量 i 即是相应元素单排序的权值。
10
基本概念
什么是权重（权系数）？
规
思
维
就每一准则将三个地点进行对比；
过
程
将这两个层次的比较判断进行综合，作出选择。
5
（1） 建立层次结构模型
目标层Z
选择旅游目的地
准则层C 景 费
居
饮
色用
住
食
拟解决的问题 （总目标）
为实现总目标
而采取的措施
旅
和方案
途
方案层P
P1
P2
P3
选择旅游地的层次结构
用于解决问题 的备选方案
6
（2）构造判断矩阵
1 2 6
Aw 1 / 2 1 4
1 / 6 1 / 4 1
0 .587 1 .769
0 .324 0 .974
0 .089 0 .268
13
判断矩阵的一致性检验
判断矩阵通常是不一致的，但是为了 能用它的对应于特
征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应
在容许的范围内.如何确定这个范围？
1 2
1 1/ 3 3 1
2
231
1 1
A的最大特征值 max6.35, 相应的特征向量为：
W (2 ) (0 .1,0 .6 1,0 .9 1,0 .9 0,0 .5 1,0 .2 3)T 0
23
假设3名候选人关于6个标准的判断矩阵为：
健康情况
B(3) 1
1 4
1/ 4 1
1/ 2 3
2 1/ 3 1
7
设准则层包含5个准则，景色：C1，费用：C2，居 住：C3，饮食：C4，旅途：C5。相对于目标层：选择 旅游地，进行两两比较打分。
选择旅游目的地
景 费居 饮旅 色 用住 食途
C 1 C 2 C 3 C 4 C 5
C1 1 1/ 2 4 3 3
C2 2 1 7 5 5
A C3 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3
7 1
9 5
1/ 9 1/ 5 1
由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。
各属性的最大特征值 m ax
25