分形几何
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• 它们都是经典几何无法描述的图形，是 一种“只有皮没有肉”的几何集合。
• 它们都具有无穷多个自相似的内部结构， 任何一个分割后的图形放大后都是原来 图形的翻版。
10
Peano曲线
11
问题在哪里？
• 以上是一些经典几何意义下的“病态” 图形，以Koch曲线为例，以一维来度量 它，它的长度趋于无穷，而以二维来度 量它，它的面积为零，那么，它究竟是 几维图形?1维？ 2维？1．？？？？维 吗？
7
Sierpinski地毯
8
Sierpinski海绵
• 第三，对一个正六面体，将它的每条边 进行三等分，即对正六面体进行27等分， 去掉体心和面心处的7个小正六面体，剩 下20个小正六面体，并保留它们的表面， 重复操作直无穷，得到的图形。体积趋 于零，而其表面的欧式面积趋于无穷大。
9
Sierpinski集的共同特点
2
数学的不规则图形
• 实际上，在曼德尔勃朗特的问题提 出之前，数学家就曾经构造过多种 不规则的几何图形，他们具有和海 岸线相似的性质。
3
Cantor集
• Cantor在1883年构造了如下一类集合： 取一段欧式长度为l的直线段，将该线段 三等分，去掉中间的一段，剩下两段。 再将剩下的两段分别三等分，各去掉中 间的一段，剩下四段。将这个操作进行 下去，直至无穷，可得到一个离散的点 集，点数趋于无穷多，而长度趋于零。 经无限次操作所得到的离散点集称为 Cantor集。
分形几何
——数学与艺术结合的明 珠
1
海岸线长度问题
• 二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特 在他的著作中讨论英国海岸线的长度。他发现， 这个问题取决于测量所使用的尺度。采用公里 做单位，一些几米和几十米的曲折会被忽略， 如果采用米做单位，测得的长度会曾加，但厘 米以下的量仍然无法反映，测量单位的缩小使 测得的长度曾加，由于在自然尺度之间有许多 个数量级，这种曾加不会停止，海岸线的长度 会趋于无限长。也就是说，长度不是海岸线的 定量特征。
4
Koch雪花线
• 瑞典数学家科赫（H.von Koch)在 1904年提出了一种曲线，它的生成方法 是把一条直线段分成三段，将中间的一 段用夹角为60度的两条等长折线来代替， 形成一个生成元，然后再把每个直线段 用生成元进行代换，经无穷次迭代后就 呈现出一条有无穷多弯曲的Koch曲线。
5
Sierpinski集
17
• 相似维数的定义具有很大的局限性，因 为只用对具有严格的自相似性的分形， 才能使用这个维数，定义适用于包括随 机图形在内的任意的维数是很必要的。
• 波恩大学数学家豪斯道夫1919年从测量 的角度引进了Hausdorff维数。
18
分形的定义
• 定义1.如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数 DT，则称该集合为分形集，简称分形。 由Mandelbrot在1982年提出， 四年后，他又提出了一个更是实用的定 义：
• 定义2．组成部分以某种方式与整体相似 的形体叫分形。
19
分形理论的应用
• 生物学：肺（人肺的分形维数约为2.17； 血管（血管直径分布的分形维数约为 2.3），人脑（人脑表面的皱纹的分形维 数约为2.73-2.79）；蛋白质。
• 地球物理学：海岸线、河流的干流和支 流分布、地震研究。
• 物理学和化学：超导；固体表面；高分 子。
20
• 天文学，材料科学，计算机图形学， 经济学，语言学和情报学
21
分形的自然观与世界观
• 经典的维度定义有问题吗？
12
经典几何的维度定义
• 在经典几何下，点被定义成0维的，点没 有长度；直线被定义成1维，只有长度， 没有面积，平面图形被定义成2维的，有 面积，没有体积，立体图形是3维的，有 体积。
• 经典几何讨论的维度都是整数，它们的 数值与决定几何形状的变量个数及自由 度是一致的，这是一个很自然的想法。
13
换一个角度看维度
• 根据相似性来看线段、正方形和立方体
的维数。首先把线段、正方形和立方体
的边两等分，这样，线段成Leabharlann Baidu长度一半
的两条线段，正方形变成边长为原来边
长1/2的四个小正方形，而立方体而成为
八个小立方体，边长为原来边长的1/2。
原来的线段、正方形和立方体分别由2，
4，8个把全体分成1/2的相似形组成。
3)=2.7268
16
• 而Peano曲线的维度是：(㏑4)/ (㏑ 2)=2 Peano曲线能够填满整个正方形也就不足 为奇了
• 从以上图形的生成方式来看，大体上有两种 方式：第一种是从初始图形E0按一定原则 往下“挖”，得到的新图形的维数小于E0 的欧式维数,常称为降维生成；第二种是在 初始图形E0的基础上增加一些线或面，得 到的图形E的维数大于E0的欧式维数，这 种生成方式常称为升维生成。
而2，4，8可改写成2的1，2，3次方，
这里的1，2，3分别与其图形的经验维
数相一致。
14
相似维度的定义
• 一般地，如果某图形是由把全体缩小为 1/a的aD个相似图形构成的，那么此指数 D就具有维度的意义。此维数被称为相似 维数。
• 相似维数常用DS表示，按照定义，DS完 全没有是整数的必要。如某图形是由全 体缩小1/a的b个相似形组成，则 DS=(㏑b)/(㏑a)
15
• 我们可以以此计算上述几种图形的相似维度。 • Koch曲线：(㏑4)/ (㏑3)=1.2618 • Cantor集： (㏑2)/ (㏑3)=0.6309 • Sierpinski集：缕垫： (㏑3)/ (㏑
2)=1.5850 地毯： (㏑8)/ (㏑
3)=1.8927 海绵： (㏑20)/ (㏑
• 首先，将一个等边三角形四等分，得到 四个小等边三角形，去掉中间的一个， 保留它的边。将剩下的三个小三角形再 分别进行四等分，并分别去掉中间的一 个，保留它的边。重复操作直至无穷， 得到一个面积为零，线的欧式长度趋于 无穷大的图形。这个图形被人们称为谢 尔宾斯基缕垫。
6
Sierpinski地毯
• 其次，将一个正方形九等分，去掉中间 的一个，保留四条边，剩下八个小正方 形。将这九个小正方形再分别进行九等 分，各自去掉中间的一个保留它们的边。 重复操作直至无穷。
• 它们都具有无穷多个自相似的内部结构， 任何一个分割后的图形放大后都是原来 图形的翻版。
10
Peano曲线
11
问题在哪里？
• 以上是一些经典几何意义下的“病态” 图形，以Koch曲线为例，以一维来度量 它，它的长度趋于无穷，而以二维来度 量它，它的面积为零，那么，它究竟是 几维图形?1维？ 2维？1．？？？？维 吗？
7
Sierpinski地毯
8
Sierpinski海绵
• 第三，对一个正六面体，将它的每条边 进行三等分，即对正六面体进行27等分， 去掉体心和面心处的7个小正六面体，剩 下20个小正六面体，并保留它们的表面， 重复操作直无穷，得到的图形。体积趋 于零，而其表面的欧式面积趋于无穷大。
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Sierpinski集的共同特点
2
数学的不规则图形
• 实际上，在曼德尔勃朗特的问题提 出之前，数学家就曾经构造过多种 不规则的几何图形，他们具有和海 岸线相似的性质。
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Cantor集
• Cantor在1883年构造了如下一类集合： 取一段欧式长度为l的直线段，将该线段 三等分，去掉中间的一段，剩下两段。 再将剩下的两段分别三等分，各去掉中 间的一段，剩下四段。将这个操作进行 下去，直至无穷，可得到一个离散的点 集，点数趋于无穷多，而长度趋于零。 经无限次操作所得到的离散点集称为 Cantor集。
分形几何
——数学与艺术结合的明 珠
1
海岸线长度问题
• 二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特 在他的著作中讨论英国海岸线的长度。他发现， 这个问题取决于测量所使用的尺度。采用公里 做单位，一些几米和几十米的曲折会被忽略， 如果采用米做单位，测得的长度会曾加，但厘 米以下的量仍然无法反映，测量单位的缩小使 测得的长度曾加，由于在自然尺度之间有许多 个数量级，这种曾加不会停止，海岸线的长度 会趋于无限长。也就是说，长度不是海岸线的 定量特征。
4
Koch雪花线
• 瑞典数学家科赫（H.von Koch)在 1904年提出了一种曲线，它的生成方法 是把一条直线段分成三段，将中间的一 段用夹角为60度的两条等长折线来代替， 形成一个生成元，然后再把每个直线段 用生成元进行代换，经无穷次迭代后就 呈现出一条有无穷多弯曲的Koch曲线。
5
Sierpinski集
17
• 相似维数的定义具有很大的局限性，因 为只用对具有严格的自相似性的分形， 才能使用这个维数，定义适用于包括随 机图形在内的任意的维数是很必要的。
• 波恩大学数学家豪斯道夫1919年从测量 的角度引进了Hausdorff维数。
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分形的定义
• 定义1.如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数 DT，则称该集合为分形集，简称分形。 由Mandelbrot在1982年提出， 四年后，他又提出了一个更是实用的定 义：
• 定义2．组成部分以某种方式与整体相似 的形体叫分形。
19
分形理论的应用
• 生物学：肺（人肺的分形维数约为2.17； 血管（血管直径分布的分形维数约为 2.3），人脑（人脑表面的皱纹的分形维 数约为2.73-2.79）；蛋白质。
• 地球物理学：海岸线、河流的干流和支 流分布、地震研究。
• 物理学和化学：超导；固体表面；高分 子。
20
• 天文学，材料科学，计算机图形学， 经济学，语言学和情报学
21
分形的自然观与世界观
• 经典的维度定义有问题吗？
12
经典几何的维度定义
• 在经典几何下，点被定义成0维的，点没 有长度；直线被定义成1维，只有长度， 没有面积，平面图形被定义成2维的，有 面积，没有体积，立体图形是3维的，有 体积。
• 经典几何讨论的维度都是整数，它们的 数值与决定几何形状的变量个数及自由 度是一致的，这是一个很自然的想法。
13
换一个角度看维度
• 根据相似性来看线段、正方形和立方体
的维数。首先把线段、正方形和立方体
的边两等分，这样，线段成Leabharlann Baidu长度一半
的两条线段，正方形变成边长为原来边
长1/2的四个小正方形，而立方体而成为
八个小立方体，边长为原来边长的1/2。
原来的线段、正方形和立方体分别由2，
4，8个把全体分成1/2的相似形组成。
3)=2.7268
16
• 而Peano曲线的维度是：(㏑4)/ (㏑ 2)=2 Peano曲线能够填满整个正方形也就不足 为奇了
• 从以上图形的生成方式来看，大体上有两种 方式：第一种是从初始图形E0按一定原则 往下“挖”，得到的新图形的维数小于E0 的欧式维数,常称为降维生成；第二种是在 初始图形E0的基础上增加一些线或面，得 到的图形E的维数大于E0的欧式维数，这 种生成方式常称为升维生成。
而2，4，8可改写成2的1，2，3次方，
这里的1，2，3分别与其图形的经验维
数相一致。
14
相似维度的定义
• 一般地，如果某图形是由把全体缩小为 1/a的aD个相似图形构成的，那么此指数 D就具有维度的意义。此维数被称为相似 维数。
• 相似维数常用DS表示，按照定义，DS完 全没有是整数的必要。如某图形是由全 体缩小1/a的b个相似形组成，则 DS=(㏑b)/(㏑a)
15
• 我们可以以此计算上述几种图形的相似维度。 • Koch曲线：(㏑4)/ (㏑3)=1.2618 • Cantor集： (㏑2)/ (㏑3)=0.6309 • Sierpinski集：缕垫： (㏑3)/ (㏑
2)=1.5850 地毯： (㏑8)/ (㏑
3)=1.8927 海绵： (㏑20)/ (㏑
• 首先，将一个等边三角形四等分，得到 四个小等边三角形，去掉中间的一个， 保留它的边。将剩下的三个小三角形再 分别进行四等分，并分别去掉中间的一 个，保留它的边。重复操作直至无穷， 得到一个面积为零，线的欧式长度趋于 无穷大的图形。这个图形被人们称为谢 尔宾斯基缕垫。
6
Sierpinski地毯
• 其次，将一个正方形九等分，去掉中间 的一个，保留四条边，剩下八个小正方 形。将这九个小正方形再分别进行九等 分，各自去掉中间的一个保留它们的边。 重复操作直至无穷。