【2020年】北京市中考数学模拟试题(含答案)

2020年北京市中考数学模拟试题
含答案
考 生 须 知 1．本试卷共 8页，共三道大题， 29道小题，满分 120 分．考试时间 120 分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

、选择题(本题共 30分，每小题 3 分)
第 1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有 ．．一个．
1．如图所示，用刻度尺度量线段 AB, 可以读出线段 AB 的长度为 (A) 5.2cm (B) 5.4cm (C) 6.2cm (D) 6.4cm
2. 怀柔素有“北京后花园”之称，因为有着“一半山水一半城，山凝水重入画屏”的美丽自 然景观，吸引着中外游客 . 2016 年 1 至 11 月怀柔主要旅游区 ( 点) 共接待中外游客约为 5870000 人次.将 5870000用科学记数法表示为 (A)5.87 ×105
(B) 5.87 ×106
(C) 0.587 ×107
(D)58.7 ×105
3．数轴上有 A ， B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的两个点是 (A) 点 B 与点 C (B) 点 A 与点 C (C) 点 A 与点 D (D) 点 B 与点 D 4. 下列各式运算结果为 a 9
的是
3 3 3 3
( A) a a (B) (a )
5. 下列成语中描述的事件是随机事件的是
( A)水中捞月 (B)瓮中捉鳖
( 6．下面的几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同，大小
–3 –2 –1 0 1 2
3
33
12 2
( C) a
3
a 3
(D) a
12
a 2
拔苗助长 (D )守株待兔
A B C D
均相等的是
7．内角为 108°的正多边形是
8．如图，函数 y =-2x 2
的图象是
9．如图， A,B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A,B 间的距离，但绳子不
够长，于是他想到了一个办法，先在地上取一个可以直接到达 A 点和 B 点的 O 点，连接 AO 并延长到 C ，
11
使 OC= AO ，连接 BO 并延长到 D ，使 OD= OB ，连接 DC ，测得 DC=20m 这, 样小明就可以
A ）圆柱 （
B ） 圆锥 （
C ） 三棱柱
D ）球
A ）①
C ）③
（ D ）④
(C )
B ）②
–3
第 8 题
第 9 题
22
算出 A,B 间的距离为
A)30m B)40m C)60m D)80m
10．在“校园读书月” 活动中，小华调查了班级里 40 名同学本学期购买课外书的花费情况， 并将结果绘制成如图所示的统计图 . 下面有四个推断：
这次调查获取的样本数据的众数是 30 元 这次调查获取的样本数据的中位数是 40 元 若该校共有学生 1200 人，根据样本 数据，估计本学期计划购买课外书花费 50 元的学生有 300 人 ④花费不超过 50 元的同学共有 18 人 其中合理的是 (A) (B) ④ (C)
(D)
④
11. 分解因式： 2am 2 18a = __________ 12．写出图象经过点( -1 ，2)的一个函数的表达式
14 ．上 图 中 的 四 边 形 均 为 矩 形 . 根 据 图 形 ， 写 出 一 个 正 确
的 等 式：
15．算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具 . 在算筹计数法中，
以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧 式，百位用立式，千位用卧式，以此类推 . 《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用
“算筹图”解决一次方程组的方法．如图 1，从左向右的符号中，前两个符号分别代表
、填空题(本题共 18分，每小题 3 分)
费用 /元
13．如图，在 Y ABCD 中， ED=2， BC=5， ∠ ABC 的平分线交 AD 于点 E ，则 AB 的长
为
ab
人数
20 30 50 80 100
未知数 x，y的系数．因此，根据此图可以列出方程： x+10y=26．请你根据图 2 列出方程
已知：如图，直线 L 和 L 外一点 P. 求作：直线 PQ ，使 PQ ⊥ L 于点 Q ．
小强的作法如下：
1. 在直线 L 上任取一点 A ，连接 PA ；
2.分别以 A ， P 为圆心，以大于 21
AP 长为半径
作弧，两弧交于 C ， D 两点； 3. 作直线 CD ，交 AP 于点 O ；
4. 以 O 为圆心，以 OA 长为半径作圆，交直线 L 于点 Q ；
5. 作直线 PQ. 所以直线 PQ 即为所求 . 老师
“小强的作法正
请回答：小强这样作图的依据是 : ．
三、解答题 （本题共 72分，第 17-26 题，每小题 5分，第 27题 7分，第 28题
7分，第 29 题 8分）解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 .
1
1 2 3 5 4sin 30 .
2
18．已知 a 2
a 1 0 ，求代数式 (a 1)2
(a 1)(a 1)
的值
19．如图，在 V ABC 中，∠ ACB=90°，点 D 是AB 边的中点，
21. 调查作业：了解某家超市不同品牌饮料的销售情况 .
为调查不同品牌饮料的市场销售情况， 小东和小芸两位同学对一家超市进行了调查，
道尺规作
CE=CD ，∠ B=∠ E ． 求证： CF=DF ． 20．解不等式组：
2x x 7
,
4
3(x 1) x 2
16
人在某天对照 50 名顾客购买饮料的品牌进行了记录
小东的作法如果一个顾客购买某一品牌的饮料， 就将这一饮料的品牌名表 1 是记录的初始数据 表1
2：
小芸的作法是： 先设计一个统计表， 再进行数据的收集与整理， 她的方法是如果一个顾 客购买某一品牌的饮料，就将这一饮料的品牌在相应的表格中画记一笔“正”字，上面表 3 是小芸设计的表格及调查时画记和填写的数据 . 根据以上材料回答问题：
本次调查如果让你去做， 在收集整理数据时， 你会选择他们中的哪种方法？请你说明理由或
统一冰茶 可口可乐 可口可乐 统一冰茶 露露 统一冰茶 可口可乐 露露 百事
汇源果汁 露露 百事可乐 可口可乐 百事可乐 汇源果
汁 可口可乐 汇源果汁 露露 可口可乐 统一冰茶 百事可乐 露露 汇源果汁 可口可乐 百事可乐
表3
者介绍一种新的方法
22．如图，已知菱形 ABCD的对角线 AC,BD相交于点
O，延长 AB至点 E，使 BE=AB，连接 CE．
（ 1）求证：四边形 BECD是平行四边形；
2）若∠ E=60°， AC=4 3,求菱形 ABCD的面积．
23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+b 与
k
双曲线y 相交于 A，B两点，已知A（1，3）， B（-
3,m）. x
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）如果点P 是 y 轴上一点，
且△ ABP 的面积是 4，求点P 的坐标．
24．阅读下列材料：
为保障和改善民生建设，北京市建立了以最低生活保障为基础、专项救助相配套、临时救助为补充的城乡社会救助体系，逐年提高救助标准，全市困难群众基本生活得到较好保障，并达到全覆盖的目的 .
2013年底全市共有农村低保人数 5.96 万人,城市低保人数 10.37 万人 .2014 年底全市共有农村低保人数 5.13 万人 , 比上年同期减少了 13.9%，城市低保人数8.91 万人，比上年同期减少了 14.1%.2015 年底全市共有农村低保人数比上年同期减少了 4.8%, 城市低保人数 8.49 万人 .2016 年底全市共有低保人数 12.68 万人，其中农村低保人数比城市低保人数少 3.36 万人 .
根据以上材料解答下列问题：
（1）2015 年底北京市农村低保人数约为万人；
(2) 2016 年底北京市城市低保人数约为 万人；
(3) 利用统计表或．统计图将 2013 - 2016 年北京市农村低保人数和城市低保人数表示出来；
(4) 针对以上文字内容，谈谈你的看法 .
25.如图，在△ ABC 中，点 D 为BC 上一点，过 A ，B ，D 三点作⊙ O ，
AE 是⊙ O 的直径， AC 是⊙ O 的切线， AD=DC ，连结 DE ． ( 1)求证： AB=AC;
26．已知 y 是 x 的函数，下表是 y 与 x 的几组对应值
x
2 3 4 5 6 7
y
1
2
3 2
5
小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律，对该函 数的表达式，图象和性质进行了探究 . 下面是小聪的探究过程，请补充完整 :
(1) 根据上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律， 写出该函数的表达式 : ;
(2) 该函数自变量 x 的取值范围是 ;
(3) 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，描出上表中各对对应值为坐标的点的位置
(近似
即可)， 根据描出的点，画出该函数的图象
2)若 sinE 1
， AC=4 2a ，求△ ADE 的周长(用含 a 的代数式表
示) 3
C D
A
O
(4)根据画出的函数图象，写出该函数的
质:
27．已知二次函数y ax 22ax a 1( a>0) .
值 y 的最小值范围是 2≤y≤6，求 a 的取值范围 . 条性
1) 求证：抛物线与 x 轴有两个交点；
2) 求该抛物线的顶点坐标；
3) 结合函数图象回答：当 x≥1 时，其对应的函数
28．（1）如图 1，在△ ACB 和△ ADB 中，∠ C=∠D =90°，过 A ， B ，C 三点可以
作一个圆，此 时 AB 为圆的直径， AB 的中点 O 为圆心.因为∠ D=90°，利用圆的定义可知点 D 也在此 圆上，若连接 DC ，当∠ CAB=31°时，利用圆的知识可知∠ CDB=
度 .
（2）如图 2，在△ ACB 中，∠ ACB=90°， AC=BC=，3 CE ⊥AB 于 E ，点 F 是 CE
中点，连接 AF 并延长交 BC 于点 D.CG ⊥ AD 于点 G ，连接 EG. ①求证 :BD=2DC;
②借助（ 1）中求角的方法，写出求 EG 长的思路 . （可以不写出计算的结果）
29. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（ x,y ）,若过点 p 的直线与 x 轴夹角为 60° 时，
则称该直线为点 P 的“相关直线”， 1）已知点 A 的坐标为（ 0,2 ）， 求点 A 的“相关直线”的表达式；
2）若点 B 的坐标为（ 0， 3），点 B 的“相关直线” 与直线 y=2 3 交于点 C ，求点 C 的坐标；
3）⊙ O 的半径为 3 ，若⊙ O 上存在一点 N ，点 N 的“相关直线”
33
与双曲线 y=
（x >0） 相交于点 M,请直接写出点 M 的横坐标的取值范围
图1
图2
x
∴∠ DCB=∠ B． 2分
数学试卷答案及评分参考
、选择题(本题共 30分，每小题 3 分) 题号 1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 答案 B B A B D D
B
C
B
C
二、填空题(本题共 18分，每小题 3 分)
11. 2a(m 3)(m 3)
12. 答案比唯一 . 如： y=-2x. 13．3
14.(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
x 2y 22 15.
x y 18
16．直径所对的圆周角是 90o ；两点确定一条直线 . 到线段两端距离相等的点在线段的垂直
18．解： 原式 a 2
2a 1 a 2
1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
2a 2
2a . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
2
∵ a 2
a 1 0 ，
∴原式
2(a a) 2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 19． 证明：∵在 VABC 中，∠ ACB=90°，点 D 是 AB 边的中点，
∴CD=BD. 三、解答题 (本题共 72 分
，第 17-26 题，每小题
题 8 分 )
1
1 17 解： 1
2
23
5 4sin 30 .
2 3 2 1 4 1
2
6 2
⋯⋯⋯⋯
⋯⋯ 5 分
5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 1分
平分线
4分
B
E
∵CD=CE,
∴∠ CDE=∠ E．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
∵∠ B=∠E, ∴∠ DCF=∠ CDF．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
∴ CF=DF．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
20.解不等式①，得 x<1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
1
解不等式②，得 x≥ - 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
2
1
∴不等式组的解集为：- ≤x<1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
2
21.选择小芸的作法 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
因为小芸的方法清晰，方便，简明 . （答案不唯一）
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
22.（1）证明：∵四边形 ABCD是菱形，∴ AB=CD， AB∥ CD.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分又∵ BE=AB，∴ BE=CD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵ BE∥CD,∴四边形 BECD是平行四边形 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（ 2）解：∵四边形 BECD是平行四边形，∴ BD∥ CE.
∴∠ ABO=∠ E=60°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
又∵四边形 ABCD是菱形，∴ AC丄 BD,OA=OC.
∴∠BOA=9°0 ，∴∠ BAO=30° .
∵AC=4 3 , ∴ OA=OC=2 3. ∴OB=OD=2. ∴BD=4.
∴菱形 ABCD的面积 =1 AC BD 1 4 3 4 8 3 22
5分23.解：（1）把 A（1，3）代入 y=x+b中，得 3=1+b ，
解得 b=2 .
∴∠ DCB=∠ B． 2分
S △ABP = 4 ，
∴一次函数的表达式为
1 分；
把 A （ 1， 3）代入 y k x
中，
x
得3 k k
1 ，解得 ∴反比例函数的表达式为
2 分；
x
2）把 B （-3,m ） 代入 y=x+2，可得 B （－ 3，－ 1）. 设一次函数 y x 2 的图象与 y 轴的交点 C 的坐标为 0，2）
∴ 1 PC 1 1
PC 3 4.
22
∴
PC 2
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
∴点 P 的坐标为（ 0，0），（0，4）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 24． 解： （1）4.88. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
（2）8.02 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
低保类别
人口数量 ( 万人 ) 年度
农村低保
城市低保
2013 5.96 10.37 2014 5.13 8.91 2015
4.88
8.49 2016 4.66 8.02
4) 北京市低保人数逐年递减， 政府加强了民生的保障和改善， 社会生活水平有新的提高
（答案不唯一，要体现正能量）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
25. （ 1）证明：∵ AD=DC ，∴∠ CAD=∠C.
∵AC 是⊙ O 的切线，∴∠ CAE=90° . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分 ∴∠ CAD+∠EAD=90° .
∵AE 是⊙ O 的直径，∴∠ ADE=90° .
人
2013—2016 年北京市农村低保和城市低保人
数统计图
(2)8.02 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
(3) 2013 — 2016 年北京市农村低保和城市低保人数统计表 C
F
A
O
∴∠ DCB=∠ B．2分∴∠ E+∠EAD=90° .∴∠ CAD=∠E.
又∵∠ E=∠B，∴∠ C=∠ B.
∴AB=AC. 2分 （2）解：过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F.
①由 DA=DC ， AC=4 2a ， 可得 CF=1
AC =2 2a .
2
1
.在 Rt △CDF 中，求出
CD=DA=3a.
3
1 ③在 Rt △ADE 中，利用 sinE 1
3，求出 AE=9a.
∴ ax 2
2ax a 1 0. ∵△ =4a 2
4a （a 1） =4a,
∵a>0, ∴ 4a>0. ∴△ >0. ∴抛物线与 x 轴有两个交点 . 2分 2） x
2a 2a
1. 3分
把 x=-1 代入 y ax 2 2ax a 1 ∴y=-1. ∴顶点坐标（ -1 ，
-1）.
4分
2
3）①把（ 1,2 ）代入 y ax 2
2ax a 1.
②由∠ C=∠E， sinE
1 ，可得 sinC
（ 或利用△ CDF ∽△ ADE 求 ）.
3分
1分
再利用勾股定理得出 DE=6 2a . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
3
∴a . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分
4
2
②把（ 1,6 ）代入y ax22ax a 1.
7
∴a . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
4
37
∴由图象可知：≤a≤ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
44
28．解：（1） 31° . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
（2）①过点 E作 EH∥AD交 CB于 H点. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∵CE⊥ AB于点 E， AC=BC，
∴点 E是 AB中点. ∴BH=DH.
∵点 F是CE中点，∴ HD=DC.
∴BD=2CD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分②∵ CE⊥AB于点 E，∴∠ CEA=90° .
∵CG⊥ AD于点 G，∴∠ CGA=90°. ∴ AC为圆的直径 .
∵∠ACB=90°， AC=BC，∴∠ CAE =45°.
∵CE⊥ AB于点 E，∴∠ ACE =45°. ∴∠ AGE=45°.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分方法 1：解斜三角形法
在 Rt△DCA中，因为∠ C =90°, CG ⊥AD于点 G， DC=1. 所以可以求出CG的长. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又因为∠ CGE==135°,CE= 3 2 .
2
解△ ECG可求出 EG的长. （此题解△ AEG也可行）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分方法 2：证明等腰直角三角形法 .
3
延长 CG交 EH于 M点 .
因为 EH∥AD交 CB于 H 点，点 F是 CE中点，所以点 G
为 MC的中点 .
因为 AD= CA2 DC2 1 9 10 .
E
∴CG=3 10 . ∴ MG=3 10
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 10 . 10 .
因为∠ EGA=∠ACE=45°,所以∠ CGE==135° .
所以∠ MGE ∠= GEM=4°5 , 所以 GE 可解 .
3 10 3 5 ∵ME=MG= . ，∴EG= .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 . 5 .
方法 3：相似法
∵AC=BC=3，∴ AB=3 2 . ∴ AE=3 2
.
.2
∵CD=1，∴ BD=2， AD 10 . 7分 A ∵∠ AGE=∠B= 45 °, ∠ DAB=∠ EAD.∴△
AGE : △ABD.
6分 32
AE GE
∴ 2 AD DB 10 EG . ∴EG=3 5
25
方法 4：旋转法：过 E 作 EK ⊥GE 交 AD 于点
K ， 可证△ AKE △ CGE （ ASA ） .
⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 ∴AK=CG=3 2 ∵ CD=1， AD 10 ∴ 10
10 . , DG=10 .
7分
3 10 3 5 ∴
KG= 5 .
∴EG= 5 . 7分 29. 解：（ 1）①当过点 A 的直线
与 x 轴
正方向夹角为 60°时，点 A 的相关直线表
达式：
y 3x 2
1分
②当过点 A 的直线与 x
轴
负方向夹角为 60°时，点 A 的相关直线表
达式：
3x 2
2分
2）可知 BC 1 直线表达式为 y
3x 3
∴C 1（1， 2 3 ). 3
分
同理 C2（ -1 ， 2 3）.
3）设点 N1 的“相关直线”与⊙ O相切，
y 3
3
x
交双曲线x于点 M1.
可求得直线 N1 M1的表达式为y 3x 2 3 . ⋯⋯⋯ 4分y 3x 2 3
33
y
∴x
x=1或 x=-3 （舍） . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分∴M1（1，3 3）. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
同理 M2（3，3）. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7分∴M 的横坐标的取值范围是 1≤X M≤ 3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分。