2016七宝自招试题答案
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9 AC 2 AD AB
10 1 2 10 x 2 ，
BC 2 BD AB
10 1 2 10 x 2 9 1 10 ，
2
BC 3 10 3 .
3 ，D 1 ， 3 及一个动 6. 在平面直角坐标系内， 已知四个定点 A 3 ，0 ，B 1 ， 1 ，C 0 ， 点 P ，则 的最小值为 ______________. ∣ PA ∣∣ PB ∣∣ PC∣∣ PD ∣
表示 Tk 1 P 和 a1 a2 ak 两个数中最大的数. 1 ， 求 T1 P ， T2 P 的值； 1 对于数对序列 P : 2 ，5 ， 4 ，
2 记 m 为 a 、b 、c 、d 四个数中最小值的数，对于有两个数对 a ，b ， c ，d 组成的数对 b ， 试分别对 m a 的 m d 时两种情况比较 序列 P : a ，b ， c ，d 和 P ' : c ，d ， a ， T2 P 和 T2 P ' 的大小 .
8 2 T1 P ≤ T1 P ' 【答】 1 7 ， 【解析】 1 T1 P 2 5 7 ， T2 P 1 max{7 ，2 4} 1 7 8
2 d a ∣ d a ∣ T1 P ' c d ， T2 P b max{ c d ， c a} b c ， 2 abcd ∣ bc ∣ ∣ d a ∣ T1 P T1 P ' 2 2 2 a b c ∣ b c ∣ a c 或 a b ，于是 T1 P ≤ T1 P ' 若 m a ， T1 P T1 P ' 2 2d b c ∣ bc ∣ d b 或 d c ，于是 T1 P ≤ T2 P ' . 若 m d ， T1 P T1 P ' 2 bc ∣ 2 T1 P a b ，T2 P d max{ a b ，a c} d a b c∣ ，
x x x x x x
取到 0 到正无穷之间.于是原方程有且仅有一个解.
q 1 4. 已知两质数 p ，q 之和为 2019 ，则 p 1 p q 的值为 ______________.
【答】 2016
q 1 【解析】根据题意 p ，q 中必有一个偶数， p 2017 ，q 2 p 1 2016
b2 ， ， an ， bn ， Fra Baidu bibliotek T1 P a1 b1 ， 10. （ 10 分）对于数对序列 P a1 ，b1 ， a2 ， Tk P bk max{Tk 1 P ，a1 a2 ak } 2 ≤ k ≤ n ， 其中 max{Tk 1 P ，a1 a2 ak }
2 2
而 g max g a 2 4a 8 ， H 2 x ≤ g x ≤ g max 4a 8
f min f a 2 4a 4 ， H1 x ≥ f x ≥ f min 4a 4 ，两个等号都能取到，
2 【解析】若存在 n 满足题意， x1 x2 4n 3n 2 ，②中 x n 1 x 2 n 1 0 ， 1 3 若 4n2 3n 2 n 1 0 ，则 n ，但 1 n 不为整数，舍； 2 2 1 若 4n2 3n 2 2n 2 ，则 n 0 或 ，当 2n 2 为整数，则 n 0 . 4 将 n 0 代入验证成立. 2
2 2 2. 设 x ，y 为实数，则代数式 2 x 4 xy 5 y 4 x 2 y 5 的最小值为 ___________.
【答】 0
2 2 2 2 【解析】原式 x 4 xy 4 y x 4 x 4 y 2 y 1
2
x 2 y
CE 分别是斜边 AB 上的高， 5. 在直角三角形 ABC 中，CD ， 中线，BC a ，AC 3 a 3 ， 1 若 tan DCE ，则 a ___________. 3 A
D E
B
C
【答】 3 10 3 【解析】设 DE x ，则 AE BE CE 10 x ，
二、解答题： （共 20 分） 9. （ 10 分）已知关于 x 的方程 4 x 2 8nx 3n 2 0 ①和 x2 n 3 x 2n2 2 0 ②问是否 存在这样的 n 值， 使方程①的两个实数根的差的平方等于方程②的一整数根？若存在， 求出 这样的 n 值；若不存在，请说明理由 . 【答】 0
设 H1 x max{ f x ，g x } ， H 2 x min{ f x ，g x } ，max{ p ，q} 表示 p ，q 中的较 大值， min{ p ，q} 表示 p ，q 中的较小值，记 H1 x 得最小值 A ，H 2 x 得最大值为 B ， 则 A B ______________ . 【答】 12 【解析】 f x x a 2 4a 4 ，g x x a 2 4a 8 当 x a 2 ，f x g x 4a 4 ，当 x a 2 ， f x g x 4a 8 ，
2
b 为整数，若对任意 x ≤ 0 ，都有 ax 2 x 2 2b ≤ 0 成立， 设 a，
则 a b _____________ . 【答】 3 【解析】作图略，显然 a 0 ，由于 x 的负半轴上 ax 2 与 x 2 2b 不同号 ax 2 与 x 2 2b b 2，ab 3 在 x 负半轴上交点相同， 2a 2b a 2 x 2 4 a 2b 2 a 0 ， a 1，
【答】 3 2 2 5 【解析】易知四边形 ABCD 为凸四边形，设对角线 BD 与 AC 交点为 O ，
∣PA ∣ + ∣PB ∣ ∣PC∣ ∣PD ∣≥∣AC∣ ∣BD ∣= 18 20 3 2 2 5 ，
当 P 与 O 重合时等号成立.
2 2 2 2 7. 已知函数 f x x 2 a 2 x a ，g x x 2 a 2 x a 8.
2
x 2
y 1 ≥ 0
2
当 x 2 ，y 1 时等号成立.
3. 方程： 3x 4 x 5x 6 x 的解有 _____________个 . 【答】 1
3 4 5 3 4 5 【解析】由题意 1 ，而 、 、 均随 x 的增大而减小，值域 6 6 6 6 6 6
A 4a 4 ，B 4a 8 A B 12
2 8. 不等式 x 1 x 4 x 3 0 有多重解法， 其中有一种方法如下， 在同一直角坐标系中做
出 y1 x 1 和 y2 x 4 x 3 的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：
冲刺 17 年自主招生之 2016 年七宝中学综合素养调研测试
一、填空题（每题 5 分，共 40 分） 1. 若 125 的立方根是 A ， 25 的算术平方根为 B ，则 A B __________ . 【答】 2 5 【解析】 3
125
5
3
3
5，
25 5 A B 2 5
10 1 2 10 x 2 ，
BC 2 BD AB
10 1 2 10 x 2 9 1 10 ，
2
BC 3 10 3 .
3 ，D 1 ， 3 及一个动 6. 在平面直角坐标系内， 已知四个定点 A 3 ，0 ，B 1 ， 1 ，C 0 ， 点 P ，则 的最小值为 ______________. ∣ PA ∣∣ PB ∣∣ PC∣∣ PD ∣
表示 Tk 1 P 和 a1 a2 ak 两个数中最大的数. 1 ， 求 T1 P ， T2 P 的值； 1 对于数对序列 P : 2 ，5 ， 4 ，
2 记 m 为 a 、b 、c 、d 四个数中最小值的数，对于有两个数对 a ，b ， c ，d 组成的数对 b ， 试分别对 m a 的 m d 时两种情况比较 序列 P : a ，b ， c ，d 和 P ' : c ，d ， a ， T2 P 和 T2 P ' 的大小 .
8 2 T1 P ≤ T1 P ' 【答】 1 7 ， 【解析】 1 T1 P 2 5 7 ， T2 P 1 max{7 ，2 4} 1 7 8
2 d a ∣ d a ∣ T1 P ' c d ， T2 P b max{ c d ， c a} b c ， 2 abcd ∣ bc ∣ ∣ d a ∣ T1 P T1 P ' 2 2 2 a b c ∣ b c ∣ a c 或 a b ，于是 T1 P ≤ T1 P ' 若 m a ， T1 P T1 P ' 2 2d b c ∣ bc ∣ d b 或 d c ，于是 T1 P ≤ T2 P ' . 若 m d ， T1 P T1 P ' 2 bc ∣ 2 T1 P a b ，T2 P d max{ a b ，a c} d a b c∣ ，
x x x x x x
取到 0 到正无穷之间.于是原方程有且仅有一个解.
q 1 4. 已知两质数 p ，q 之和为 2019 ，则 p 1 p q 的值为 ______________.
【答】 2016
q 1 【解析】根据题意 p ，q 中必有一个偶数， p 2017 ，q 2 p 1 2016
b2 ， ， an ， bn ， Fra Baidu bibliotek T1 P a1 b1 ， 10. （ 10 分）对于数对序列 P a1 ，b1 ， a2 ， Tk P bk max{Tk 1 P ，a1 a2 ak } 2 ≤ k ≤ n ， 其中 max{Tk 1 P ，a1 a2 ak }
2 2
而 g max g a 2 4a 8 ， H 2 x ≤ g x ≤ g max 4a 8
f min f a 2 4a 4 ， H1 x ≥ f x ≥ f min 4a 4 ，两个等号都能取到，
2 【解析】若存在 n 满足题意， x1 x2 4n 3n 2 ，②中 x n 1 x 2 n 1 0 ， 1 3 若 4n2 3n 2 n 1 0 ，则 n ，但 1 n 不为整数，舍； 2 2 1 若 4n2 3n 2 2n 2 ，则 n 0 或 ，当 2n 2 为整数，则 n 0 . 4 将 n 0 代入验证成立. 2
2 2 2. 设 x ，y 为实数，则代数式 2 x 4 xy 5 y 4 x 2 y 5 的最小值为 ___________.
【答】 0
2 2 2 2 【解析】原式 x 4 xy 4 y x 4 x 4 y 2 y 1
2
x 2 y
CE 分别是斜边 AB 上的高， 5. 在直角三角形 ABC 中，CD ， 中线，BC a ，AC 3 a 3 ， 1 若 tan DCE ，则 a ___________. 3 A
D E
B
C
【答】 3 10 3 【解析】设 DE x ，则 AE BE CE 10 x ，
二、解答题： （共 20 分） 9. （ 10 分）已知关于 x 的方程 4 x 2 8nx 3n 2 0 ①和 x2 n 3 x 2n2 2 0 ②问是否 存在这样的 n 值， 使方程①的两个实数根的差的平方等于方程②的一整数根？若存在， 求出 这样的 n 值；若不存在，请说明理由 . 【答】 0
设 H1 x max{ f x ，g x } ， H 2 x min{ f x ，g x } ，max{ p ，q} 表示 p ，q 中的较 大值， min{ p ，q} 表示 p ，q 中的较小值，记 H1 x 得最小值 A ，H 2 x 得最大值为 B ， 则 A B ______________ . 【答】 12 【解析】 f x x a 2 4a 4 ，g x x a 2 4a 8 当 x a 2 ，f x g x 4a 4 ，当 x a 2 ， f x g x 4a 8 ，
2
b 为整数，若对任意 x ≤ 0 ，都有 ax 2 x 2 2b ≤ 0 成立， 设 a，
则 a b _____________ . 【答】 3 【解析】作图略，显然 a 0 ，由于 x 的负半轴上 ax 2 与 x 2 2b 不同号 ax 2 与 x 2 2b b 2，ab 3 在 x 负半轴上交点相同， 2a 2b a 2 x 2 4 a 2b 2 a 0 ， a 1，
【答】 3 2 2 5 【解析】易知四边形 ABCD 为凸四边形，设对角线 BD 与 AC 交点为 O ，
∣PA ∣ + ∣PB ∣ ∣PC∣ ∣PD ∣≥∣AC∣ ∣BD ∣= 18 20 3 2 2 5 ，
当 P 与 O 重合时等号成立.
2 2 2 2 7. 已知函数 f x x 2 a 2 x a ，g x x 2 a 2 x a 8.
2
x 2
y 1 ≥ 0
2
当 x 2 ，y 1 时等号成立.
3. 方程： 3x 4 x 5x 6 x 的解有 _____________个 . 【答】 1
3 4 5 3 4 5 【解析】由题意 1 ，而 、 、 均随 x 的增大而减小，值域 6 6 6 6 6 6
A 4a 4 ，B 4a 8 A B 12
2 8. 不等式 x 1 x 4 x 3 0 有多重解法， 其中有一种方法如下， 在同一直角坐标系中做
出 y1 x 1 和 y2 x 4 x 3 的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：
冲刺 17 年自主招生之 2016 年七宝中学综合素养调研测试
一、填空题（每题 5 分，共 40 分） 1. 若 125 的立方根是 A ， 25 的算术平方根为 B ，则 A B __________ . 【答】 2 5 【解析】 3
125
5
3
3
5，
25 5 A B 2 5