第四章方阵的特征值和特征向量的计算.

(a1 0)
vk Ak v0 a1 Ak x1 a2 Ak x2 an Ak xn a11k x1 a22k x2 an nk xn [a1 x1 a ( ) x2 a ( ) xn ]
k 1
2 k 2 1
n k n 1
因此有
k 1 n
Av0 v1 u1 max(v1 ) max( Av0 ) A2 v0 v2 u2 max(v2 ) max( A2 v0 ) vk Ak v0 uk max(vk ) max( Ak v0 )
i k [a1 x1 ai ( ) xi ] 1 x1 i 2 lim uk lim n k k i k max( x1 ) k max{1 [a1 x1 ai ( ) xi ]} 1 i 2
v u max(v)
u0 max(v0 )
7
其中 max(v) 表示向量 v 的绝对值（或模）为最大的分量， v0 因此有计算公式。
Av0 v1 Au0 , max(v0 ) A2 v0 v2 Au1 , max( Av0 ) Ak v0 vk Auk 1 , k 1 max( A v0 )
4
设α 1≠0，当k充分大时有
k 1
|
2 1
| 1, ,|
n
n 1
| 1
i k [a1 x1 ai ( ) xi ] vk 1 i 2 lim k lim k k k 1 1 n lim[ a1 x1 ai ( i ) k xi ] a1 x1 k 1 i 2
5
注1 注2
快，比值接近与1，收敛速度就越慢。
2 | 确定，比值越小收敛速度就越 收敛速度由比值 | 1
当矩阵的按模最大特征值是重根时，定理的结论仍然成立。
设1为r重根，1 2 r， 且 |r || r 1 | | n |
vk A v0 [ ai xi
j r 1

n
a j ( 1j )k x j ]

6
注3 当|λ 1|>1时，迭代向量{vk}的各个分量将随着|λ 1|k变 得很大而使计算机“上溢”。当|λ 1|<1时，迭代向量{vk}的 各个分量将随着|λ 1|k变得很小vk 成为零向量。
为克服这两个弊端，常将向量序列规范化处理，就得到了 改进的乘幂法。 二、改进的乘幂法 设 v 为非零向量，将其规范化得到向量
(vk 1 ) m lim k (v ) k m
i k 1 { [ a1 x1 ai ( ) xi ]}m 1 i2 பைடு நூலகம்im n k i k k {1 [ a1 x1 ai ( ) xi ]}m 1 i2
k 1 1 n
( a1 x1 ) m ( x1 ) m 1 1 1 ( a1 x1 ) m ( x1 ) m
§1
一、乘幂法
乘幂法
乘幂法用来求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。 定理4.4 设矩阵A具有n个线性无关的特征向量x1,x2,…,xn， 其相应的特征值 1, 2,… , n满足
| 1 || 2 || 3 | | n |
则对任取的一初始非零向量 v0 产生的向量序列 由
1 2
n
定理4.2 若A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，不 同特征值对应的特征向量正交。且存在正交矩阵Q，使
QT AQ diag (1, 2 ,, n )
其中Q 的第 j 列是
j 所对应的特征向量，且 QT Q I
定理4.3 若|P|0，B=P-1AP，称A，B相似，相似矩阵具有 相同的特征值。 2
k k 1 i 1
k 1 r n
r
j k [ ai xi a j ( ) x j ] r 1 vk i 1 j r 1 lim k lim ai xi k k k 1 i 1 1 r n r j k 1 k 1 {1 [ ai xi a j ( ) x j ]}m [ ai xi ]m (v ) i 1 j r 1 1 i 1 lim k 1 m lim 1 1 r r n k (v ) k j k k k m [ ai xi ]m {1 [ ai xi a j ( ) x j ]}m 1 i 1 i 1 j r 1
k
vk Avk 1 ==A v0
{vk } 满足
3
k 1, 2, ,
(1) (2)
lim
k

vk
k 1
a1 x1
(vk 1 ) m lim 1 k (v ) k m
其中x1是1所对应的特征向量, (vk )m 表示vk的第m个分量。
证 由于x1,x2,…,xn线性无关，故n维向量v0必可由它们 线性表示,设 v0 a1 x1 a2 x2 an xn
第四章
方阵的特征值和特征向量
定义4.1 对于n阶方阵A，若存在常数和n维非零向量x， 满足 Ax=x 则称为A的一个特征值，称x为A的对应于特征值的特征 向量。 注1 若是A的特征值，则有
det( I A) 0
称之为矩阵A的特征方程，所以特征值也称为特征根。 注2 特征向量不唯一，若x是特征向量，则对任意非零 实数k, kx也是特征向量。但特征值是唯一的。 1
若 1 , 2 ,, n 是A的特征值， p( x) 是 x 的某 一多项式，则矩阵 p ( A) 的特征值为 p(1 ), p(2 ),, p(n ) 定理4.1
特别
(1) Ak的特征值为 1k , 2k ,, nk ; (2)若A可逆，12 n 0 1 1 1 则 ， ， ， 是A1的特征值，且相应的特征向量不变。