全国初中数学竞赛试题-中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”
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中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题
题 号
一
二
三
总 分
1~5
6~10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人
答题时注意:
1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交.
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.设71a =-,则代数式2212a a +-的值为( ).
(A )-6 (B )24 (C )4710+ (D )4712+
2.在同一直角坐标系中,函数
x k
y =
(0≠k )与k kx y +=(0≠k )的图象大致是
(A ) (B ) (C ) (D )
3、在等边三角形ABC 所在的平面内存在点P ,使⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PAC 都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P 的个数( )
(A )1 (B )7 (C )10 (D )15
4.若1x >,0y >,且满足3y
y x
xy x x y
==,
,则x y +的值为( ). (A )1 (B )2 (C )9
2
(D )112
5.设3333
1111
12399S =
++++
L ,则4S 的整数部分等于( ). (A )4 (B )5 (C )6 (D )7 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.若a 是一个完全平方数,则比a 大的最小完全平方数是 . 。
7.若关于x 的方程2
(2)(4)0x x x m --+=有三个根,且这三个根恰好可
以作为一个三角形的三条边的长,则m 的取值范围是 .
8.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8. 同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 .
9.如图,点A B ,为直线y x =上的两点,过A B ,两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x
=(x >0)于C D ,两点. 若2BD AC =,则2
2
4OC OD - 的值为 .
10.如图,
在Rt △ABC 中,斜边AB 的长为35,正方形CDEF 内
接于△ABC ,且其边长为12,则△ABC 的周长为 .
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11.已知:不论k 取什么实数,关于x 的方程1632=--+bk
x a kx (a 、b 是常数)的根
总是x =1,试求a 、b 的值。
12.已知关于x 的一元二次方程2
0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2
x ax b ++=(第9题)
(第10题)
的两个根都大1,求a b c ++的值.
13.如图,点A 为y 轴正半轴上一点,A B ,两点关于x 轴对称,过点A 任作直线交抛
物线2
23
y x =
于P ,Q 两点. (1)求证:∠ABP =∠ABQ ;
(2)若点A 的坐标为(0,1),且∠PBQ =60º,试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.
14如图,△ABC 中,60BAC ∠=︒,2AB AC =.点
(第13题)
P在△ABC
内,且52
PA PB PC
===
,,求△ABC的面积.
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1.A. 2 . C. 3. C. 4. C. 5. A 二、填空题
6. 2
(1)a + 7.3<m ≤4. 8.1
9
. 9.6. 10.84 三、解答题
11. 解:把x =1代入原方程并整理得(b +4)k =7-2a
要使等式(b +4)k =7-2a 不论k 取什么实数均成立,只有⎩
⎨
⎧=-=+02704a b
解之得 27
=
a ,4-=b
12.解:设方程2
0x ax b ++=的两个根为αβ,,其中αβ,为整数,且α≤β,则方程2
0x cx a ++=的两根为11αβ++,,由题意得
()()11a a αβαβ+=-++=,,
两式相加得 2210αβαβ+++=, 即 (2)(2)3αβ++=,
所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩,; 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩,
解得 11αβ=-⎧⎨=⎩,; 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩
,
又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++(),,()(),
所以 012a b c ==-=-,,;或者8156a b c ===,,,
故3a b c ++=-,或29.
13.解:(1)如图,分别过点P Q , 作y 轴的垂线,垂足分别为C D ,
. 设点A 的坐标为(0,t ),则点B 的坐标为(0,-t ).
设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ,的坐标分别为 P P x y (,),Q Q x y (,).
由
223y kx t y x =+⎧⎪
⎨=⎪⎩
,
, 得
2
203
x kx t --=, 于是 32P Q x x t =-,即 2
3
P Q t x x =-.
于是
222323
P P Q Q
x t y t BC BD y t x t ++==++22222
()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为
P Q x PC QD x =-,所以BC PC
BD QD
=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒,所以△BCP ∽△BDQ , 故∠ABP =∠ABQ .
(2) 设PC a =,DQ b =,不妨设a ≥b >0,由(1)可知
∠ABP =∠30ABQ =︒,BC
,BD
,
所以 AC
2-,AD
=2.
因为PC ∥DQ ,所以△ACP ∽△ADQ .
于是
PC AC
DQ AD
=
,即a b =,
所以a b +=.
由(1)中32
P Q x x t =-,即3
2ab -=-
,所以32ab a b =+=,
于是可求得2a b ==
将b =
代入22
3y x =,得到点Q
,12)
.