非线性动力学——生命游戏实验报告

非线性动力学实验报告

生命游戏

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一、实验目的

通过对生命游戏的研究，进一步了解元胞自动机理论及其应用；程序实现生命游戏并研究分析其动力学行为特性。

二、实验内容

1、按照“生命游戏”的规则，用程序实现生命游戏；

2、画出所有以5个cell为初始条件的动力学演化轨线；

3、研究分析生命游戏动力学行为特性。

三、实验原理

生命游戏最初是由英国剑桥大学的数学家J.H.Conway在20世纪60年代发明的一种元胞自动机，并于同年10月刊登在《科学美国人》杂志上。

按照Conway的设想，该游戏可以认为存在一个N∗N的像围棋一样的二维格子空间，称之为元胞空间。我们定义每个格子的邻居为：以该格子为中心3∗3的正方形，即任一个元胞以相邻的8个元胞为邻居。每个元胞可以看作一个生命，并存在两种状态——“生”

或“死”。每个元胞的生死由其在该时刻本身和周围8个邻居的生死状态决定。

生命游戏所遵循的规则如下：

1、在任何一个时刻，对于任何一个有生命的元胞单元

1)如果它没有或只有一个活邻居，它将死于孤独；

2)如果它有四个或更多的活邻居，它将死于拥挤；

3)如果它恰有两个或三个活邻居，它将生存到下一时刻。

2、在任何一个时刻，对于一个没有生命的元胞单元

1)如果它恰有三个活邻居，这里将诞生一个新的生命。

尽管生命游戏的规则看上去很简单，但生命游戏是具有产生动态图案和动态结构能力的元胞自动机模型，它能产生丰富的、有趣的图案。

在进行该游戏时，随着初始状态（即起始状态“生”格子数量及位置的分布）的不同，其演化过程中出现的状态也会不同。但是随着演化次数的不断增加，其最终演化结果可以总结为以下三种：

（1）平稳型：自初始状态开始，经过一定时间演化后，元胞空间趋于一个空间平稳的构形，这里空间平稳即指每一个元胞处于固定状态，不随时间变化而变化；

（2）周期型：经过一定时间运行后，元胞空间趋于一系列简单的固定结构(Stable Patterns)或周期结构(Perlodical Patterns)；

（3）混沌型：自任何初始状态开始，经过一定时间运行后，元胞自动机表现出混沌的非周期行为，所生成的结构的统计特征不再变止，通常表现为分形、分维特征；

（4）复杂型：出现复杂的局部结构，或者说是局部的混沌，其中有些会不断地传播。

四、程序实现

1、生命游戏的程序实现

实验平台：MATLAB R2010a

算法步骤：

1)初始化构建两个二维数组，所有元素用1来表示状态“生”，用0来表示状态“死”，

游戏的不断演化其实就是这两个数组交替更新的过程；

2)遍历对数组中的每个元素A[i][j]，统计其邻居（即A[i−1][j−1]、A[i−1][j]、

A[i−1][j+1]、A[i][j−1]、A[i][j+1]、A[i+1][j−1]、A[i+1][j]、A[i+1][j+1]）中数值为1的元素个数，然后按照规定的法则确定下一时刻该元素的值；

3)更新根据上面遍历的结果和生命游戏的规则更新下一个元胞空间的元胞，使之达到

“新的一代”。

按照上面的三个步骤一直循环地进行下去，直到稳定状态。

强调：对于边界点，我们可以采取两种方法：

a)循环边界认为1前面一个数为N，而N后面一个数为1，即A[1][1]的邻居为A[N][N]、

A[N][1]、A[N][2]、A[1][N]、A[1][2]、A[2][N]、A[2][1]、A[2][2]。循环边界是为了模拟自然界中的空间无限的情况。

b)有限边界认为0前面和N后面没有数了，这时边界只有3个或者5个邻居。

在该程序中，我们采用第一种方法。

2、生命游戏程序框架

五、 实验结果

所有以5个cell 为初始条件的动力学演化轨线

在相同元胞空间，并且初始生命数目为5的条件下，给定不同的初始生命分布形式，观察演化过程，可以看到元胞的动力学行为主要有四种状态：（边界都是循环边界）

1、 平稳型

A 组

B 组

A 、

B 组都以稳定的状态存在，结果不在变化

2、 周期型

呈现出周期循环的状态

3、 混沌型

初始状态 一步 十步 N 步

4、 复杂型

初始 二步 三步 四步

五步 通过演化轨线曲线可以发现，第五张图像与第一张图像形状一致，只是相对于第一个

图像，所有的点都分别向左和下移动了一格。下面给出第九、十三、十七、二十一、二十

五、二十九、三十三及三十七步图像：

九步 十三步 十七步 二十一步

二十五步 二十九步 三十三步 三十七步

该状态中，这个图形一直会经四步演化变为初始形状，但是位置发生变化，因此在无限空间里，实际上是一个无限状态。

总结：在上述几个以5个cell 为初始条件的动力学演化轨线中，混沌型和复杂型都是比较经典的模型。其中混沌型是上述5种状态中规律最复杂的一种，因为它最后既不是稳定于周期，也不是固定点，而是含有稳定点、周期2、周期4等多种稳定态。这种初始条件的设置是Conway 发现的第一个难于用手计算演化规律的初始状态。实际上这个状态在1103步演化后最终变成稳定态。

复杂型被称为“滑行者”（glider ），是比较有名的结构。在4步为一个循环中，它沿着对角线的方向在方格上爬行，转换自己的位置。这个结构轻巧，但是本事却很大，原因是它能够被当作一种信号在这个虚拟的方格世界中来回传递。这种信号传递的机制实际上可以被用来组合构造出非常复杂的结构。甚至从理论上讲，通过这种信号的传递，我们将能够在“生命”中建造出一台计算机来。