DSP第四章课后答案

z 1 z 1
解： 该系统是一个反馈网络，
其中 G(z)是一个二阶系统，如下
z 1
u ( n) z
1
H ( z)
1 1 G( z)
下面求 G ( z ) ，网络方程如下：
u1 (n) a(3)v(n) u2 (n 1) a(1) w(n) u2 (n) a (4)v(n) a(2) w(n) w(n) u1 (n 1)
解： 先写出网络中每个加法器的节点方程，节点标注如下：
x(n) b(0) b(1) b(2) y(n)
z 1
a(1)
z 1
a(2)
节点1
节点2
节点3
用 w1 (n), w2 ( n), w3 ( n) 表示 3 个节点的输出，则有以下 3 个方程：
Fra Baidu bibliotek
w1 (n) b(0) x(n) a(1) y (n) w2 (n) b(1) x(n) w1 (n 1) a(2) y (n) w3 (n) b(2) x(n) w2 (n 1) y (n)
1 1 a (1) z 1 a(2) z 2 H ( z) 1 G ( z ) 1 a(1) a(3) z 1 a(2) a(4) z 2
（2）稳定条件: 要求极点均在单位圆内：
f ( z ) z 2 a (1) a (3) z a (2) a (4) 0 f (1) 0, f (1) 0 0 a (1) a (3) 1 a(2) a(4) x1 x2 1 1 a (1) a (3) 1 a (2) a (4) 1 2 0 0 or x1 x2 1 a(2) a(4) 1 实际上 0时也有f (1) 0 f (1) 0，综合得： a (1) a (3) 1 a (2) a (4) a (2) a (4) 1
4.8 一个线性时不变系统的单位脉冲响应为
a n h( n) 0
0n7 其他
（１） 画出该系统的直接型 FIR 结构图。 （２） 证明该系统的系统函数为
1 a8 z 8 H ( z) 1 az 1
并由该系统函数画出由 FIR 系统和 IIR 系统级联而成的结构图。 （３） 比较（１）和（２）两种系统实现方法，哪一种需要较多的延迟器？哪一种实现需要较多 的运算次数？ 解： 题（１） ：
H ( z ) h(n) z n 1 az 1 a 2 z 2 a 3 z 3 a 4 z 4 a 5 z 5 a 6 z 6 a 7 z 7
n 0
7
直接型 FIR 结构图如下所示：
z 1
a
z 1
a2
z 1
a3
z 1
a4
z 1
a5
（1）试求该滤波器的系统函数。 （2）试分别画出其直接型、级联型结构。 解： 题（1） ： 根据 H ( z )
h( n) z
n 0
N 1
n
，得
H z 1 0.3z 1 0.72 z 2 0.11z 3 0.12 z 4 (1 0.2 z 1 0.3 z 2 )(1 0.1z 1 0.4 z 2 )
H(z)=
Y(z) rz 1 sin X ( z ) 1-2rz 1 cos ＋r 2 z 2
其对应的差分方程为： y(n)=r sin x(n 1) 2r cos y (n 1) r 2 y (n 2)
4.6 求以下网络的直接Ⅱ型实现方式：
z 1
z 1
题（2） ： 根据（１） ，它的直接型结构为：
z 1
z 1
z 1
z 1
级联型结构为：
z 1 z 1
4.4 求下列各图所示各系统的单位脉冲响应。 （1）
x(n) 1
z 1
z 1
z 1
-2
z 1
4
z 1
3
z 1
-1
z 1
1 y(n)
（2）
x(n)
z 1
z 1
z 1 z 1
z 1
a6
z 1
a7
题（２） ： 由（１） ，根据等比数列的前ｎ项和，即可得到
1 1 a8 z 8 H ( z ) (1 a z ) 1 az 1 1 az 1
8 8
由此可画出由 FIR 系统和 IIR 系统级联而成的结构图，如下所示：
z8
a8
a
z 1
题（３） ： （２）中的实现需要延迟器较多， （１）中的实现需要运算次数较多。
H z
1 1 1 1 1 0.4 z 1 0.6 z 0.25 z 2
由此可画出系统的级联型结构如下：
z 1
z 1 z 1
将 H(z)表示为实系数 1 阶、2 阶子系统之和，即：
H z
0.9412 0.0588 0.5882 z 1 1 0.4 z 1 1 0.6 z 1 0.25 z 2
4.5 写出下图所示结构的系统函数及差分方程：
r cos x ( n) x1 z 1 r sin z 1 r sin
解：根据图中所设节点：
y ( n)
r cos
X 1 ( z ) X ( z ) rz 1Y ( z ) sin rz 1 X 1 ( z ) cos
z 1
x ( n)


y ( n)
z 1
z 1
4.2 已知某数字系统的系统函数为：
H z
z3 z 0.4 z 2 0.6 z 0.25
试分别画出其级联型、并联型结构。 解： 由于系统有一单实数极点和一对共轭复数极点，故可将 H(z)表示为实系数 1 阶、2 阶子系统 的乘积，即：
所以有
y (n) b(2) x(n) b(1) x(n 1) b(0) x(n 2) a(1) y (n 2) a(2) y (n 1)
故该系统直接Ⅱ型结构如下：
z 1 z 1
4.7
求下面网络的系统函数， 确定要保证系统稳定系数 a (1), a (2), a (3), a (4) 应满足的条件。
z 1
2 y(n)
解： 题（１） ：
z 1
1 -1
z 1
3
h(n) (n) 2 (n 1) 4 (n 2) 3 (n 3) (n 4) (n 5)
题（２） ：
h(n) 2 (n) 3 (n 1) (n 2) (n 3) (n 4) (n 5) 3 (n 6) 2 (n 7)
对上述方程作 z 变换，最终得到
1 2 1 2 W ( z) 1 a(1) z a (2) z a(3) z a(4) z V ( z)
所以， G ( z )
W ( z) a (3) z 1 a (4) z 2 ， V ( z ) 1 a (1) z 1 a (2) z 2
得：
X ( z ) rz 1Y ( z ) sin X1 ( z) 1 rz 1 cos
而:
Y(z)=rz 1 X 1 ( z ) sin rz 1Y(z)cos 1 rz 1 cos Y(z) rz 1 sin X ( z ) rz 1Y ( z ) sin 1 rz 1 cos Y 则： (z)＝ rz 1 sin 1 rz 1 cos （1-2rz 1 cos ＋r 2 z 2 cos 2 ）Y(z)＝rz 1 sin X ( z )－r 2 z 2 sin 2 Y(z) X1 ( z)
第四章
数字滤波器及其结构
4.1 按照下面所给的系统函数，求出该系统的两种形式的实现方案：直接型 I 和直接型 II。
H z
解： 直接型 I:
2 0.6 z 1 3z 2 1 5 z 1 0.8 z 2
x ( n)
z 1

y ( n) z 1
z 1
直接型 II:
0.9412
由此可画出系统的并联型结构，如下图所示：
0.4 x(n)
z 1
y(n) 0.0588
0.6
z 1
z 1
0.5882
-0.25 4.3 已知 FIR 滤波器的单位脉冲响应为
h(n) (n) 0.3 (n 1) 0.72 (n 2) 0.11 (n 3) 0.12 (n 4)