b06幂函数及图象变换

幂函数与函数图像变换

考纲导读

1．了解幂函数的概念，结合函数y x =，2

y x =，3

y x =，1y x

=

， 12

y x =的图像了解它们的变化情况；

2．掌握初等函数图像变换的常用方法． 一、定义：形如(R )y x α

α=∈是常数的函数． 二、图像：a

(a Q)y x =∈

注意：作出11111,,,,,1,2,32332

α=---在第一象限的图像． 利用性质补齐第二或三象限的图像． 三、 性质：（结合图像）

1、过定点

2、单调性

3、奇偶性

4、渐近线

5、幂函数图像的分布：

2101221012

011x x x x x x x x x x x x ----<<>>>>>>><<<<<<

当时,当时,

分数指数可以“加塞儿”

四、例题分析

例1、利用函数性质比较大小：1113

6

2

2,3,6 解析：

例2、已知幂函数()y f x =的图像过点（2，

2

），试求此函数的

解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性． 解析：

例3、设m ∈N *

，已知函数2

2234

()(2)m

m f x m m x +-=-⋅在(0,+∞)上

是增函数．

（1）求函数f(x)的解析式

（2）设22

[()]()(0)()

f x

g x f x λλ+=

≠是常数，试讨论g(x)在(-∞,0) 上的单调性，并求g(x)在区间(-∞,0)上的最值． 解析： （1） (2)

评注：本题综合考查幂函数的定义，函数的单调性定义及单调区间， 求函数最值以及分类讨论的思想等，综合性较强．

五、初等函数图像变换

基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、 一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数． （三角函数、反三角函数待讲）

由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．

问题：2

()f x x =的图像变换，2

2

(1),1,y x y x =+=+

222,||y x y x ==

（1）平移变换

y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图像左（0a >）、右（0a <）平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图像上（b 0>）、下（b 0<）平移

（2）对称变换

y =f (x ) →y =f (－x ), 图像关于y 轴对称 y =f (x ) →y =－f (x ) , 图像关于x 轴对称 y =f (x ) →y =－f (－x ) 图像关于原点对称

y =f (x )→1()y f x -= 图像关于直线y =x 对称

（3）翻折变换：

y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图像保留，然后将y 轴左边部分 关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）

y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图像保留，x 轴下方的图像 关于x 轴对称 一个重要结论：

若f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y =f (x )的图像关于直线x =a 对称；

例4、作出下列函数的图像：

（1）21

1

x y x -=+

（2）223y x x =--

（3）(1)2(1)x

x y x x ⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩