数值分析误差及分析
数值计算中的误差分析与修正方法
数值计算中的误差分析与修正方法引言：在现代科学和工程领域中，数值计算扮演着至关重要的角色，因为它能够为研究人员和工程师们提供精确、高效的解决复杂问题的手段。
然而，由于计算机的本质限制，数值计算常常会引入各种误差，从而影响计算结果的准确性和可靠性。
本文将探讨数值计算中常见的误差类型以及相应的分析和修正方法，旨在提高计算结果的精确性。
一、误差类型和来源1. 舍入误差：舍入误差是由于现代计算机内部对数字表示进行近似导致的。
由于计算机使用有限的二进制位数来表示实数，因此无法精确表示一些无理数或十进制小数。
这导致在执行算术运算时，结果会舍入到最接近的有效数字，从而引入舍入误差。
2. 截断误差：截断误差是由于截断或近似无限序列或函数而导致的。
例如，在数值积分中，将无限积分区间截断为有限部分，即使使用复杂的数值积分方法，仍然会产生截断误差。
3. 模型误差：模型误差是由于对实际问题建立的数学模型的简化或近似而引入的。
实际问题往往非常复杂，而为了进行数值计算，必须对问题进行适当建模。
然而，简化和近似会导致模型与真实情况之间存在差异，从而引入模型误差。
4. 数值不稳定性：数值计算中有些问题可能非常敏感，稍许输入变动可能会导致输出结果的巨大变化。
这种情况称为数值不稳定性。
例如，当计算具有较大条件数的线性系统或求根问题时，数值不稳定性可能会使结果产生较大的误差。
二、误差分析方法1. 误差界估计：误差界估计是一种常用的误差分析方法，它通过推导数值计算结果与真实结果之间的差距来提供一个误差界。
误差界估计方法利用数学技巧和数值分析原理，将误差的上界或下界与计算结果相关的因素联系起来，从而得到计算结果的误差范围。
2. 扩展精度计算：扩展精度计算是通过在计算过程中使用更高的精度，以减小舍入误差对最终结果的影响。
一种常见的方法是使用任意精度算法，例如多重精度算法。
这种方法的缺点是执行速度较慢，但可以显著减小舍入误差。
3. 自适应步长算法：自适应步长算法是为了减小截断误差而设计的一种方法。
数值分析中的名词解释
数值分析中的名词解释数值分析是一门研究如何利用计算机进行数值计算和模拟的学科，它在科学计算、工程领域以及许多其他领域中都有广泛的应用。
本文将通过解释数值分析中的一些重要名词，来介绍这个领域的基本概念和方法。
一、误差与精度在数值分析中，误差是指数值计算和实际结果之间的差异。
由于计算过程中存在舍入误差、截断误差等，数值计算很难得到完全准确的结果。
为了度量误差的大小，我们需要引入精度的概念。
精度表示了计算结果的准确程度，通常使用绝对误差或相对误差来衡量。
绝对误差是计算结果与实际结果的差值，而相对误差则是绝对误差与实际结果的比值。
二、插值与外推插值是指根据已知数据点的数值，通过某种方法去估算出未知点的数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
而外推则是利用已知数据点的数值，通过推算来估计未知点的数值。
插值和外推在数值分析中常常用于构建函数的近似表达式或预测未来数据的趋势。
三、数值积分与数值微分数值积分是指通过数值方法来近似求解定积分。
由于很多函数的原函数无法用解析算式表示，或者求解困难，因此数值积分成为了一种常用的求解方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
而数值微分则是通过数值方法来近似求解微分。
数值微分的目的是通过逼近导数的定义来估算导数值，通常使用数值差商或有限差分来实现。
四、线性方程组的解法在科学计算中，线性方程组的求解是一个核心问题。
数值分析中有各种不同的算法和方法可以用来解决线性方程组，如高斯消元法、追赶法、迭代法等。
这些方法的基本思想是通过对系数矩阵进行操作或迭代运算来求解未知数的值。
线性方程组的求解在很多科学和工程问题中都非常重要，比如力学模拟、电路分析等。
五、常微分方程的数值解法常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型。
然而，绝大部分的常微分方程都无法用解析算式求解，因此需要使用数值方法来近似求解。
数值分析中有许多不同的方法可以用于求解常微分方程，如欧拉法、龙格-库塔法、四阶龙格-库塔法等。
数值分析1-3误差定性分析和与避免误差危害
定性等。误差处理对于确保结构分析的准确性和安全性至关重要。
02 03
流体动力学分析
在流体动力学分析中，数值分析用于求解流体流动和传热问题，如飞机、 汽车的气动性能等。误差处理对于确保流体动力学分析的准确性和可靠 性至关重要。
控制系统设计
在控制系统设计中，数值分析用于求解控制系统的数学模型，如飞机的 自动驾驶系统、工厂的自动化控制系统等。误差处理对于确保控制系统 设计的准确性和稳定性至关重要。
01
02
03
适应性选择
根据问题的性质和精度要 求，选择适合的数值方法 和算法。
对比分析
对不同的算法和数值方法 进行对比分析，选择误差 较小、精度较高的方法。
验证与测试
对所选择的算法和数值方 法进行验证和测试，确保 其在实际应用中的准确性。
增加计算精度和减少舍入误差
高精度计算
采用高精度计算方法，如使用高精度数学库或软件， 以提高计算精度。
数值分析1-3误差定性分析和与避 免误差危害
contents
目录
• 引言 • 误差定性分析 • 避免误差危害的方法 • 实际应用中的误差处理 • 结论
01 引言
误差的来源
测量误差
由于测量工具或方法的限制，导致测量结果与真 实值之间的差异。
近似误差
在数值计算过程中，为了简化计算而采取的近似 方法引入的误差。
可靠性下降
02
误差的存在降低了结果的可靠性，可能导致错误的决策或结论。
稳定性破坏
03
对于某些数值方法，误差的累积可能导致数值不稳定，影响计
算的可靠性。
02 误差定性分析
绝对误差和相对误差
绝对误差
表示测量值与真实值之间的差值，不 依赖于参考点。
数值分析中的误差分析与收敛性
数值分析中的误差分析与收敛性数值分析是一门研究利用计算机进行数学计算和问题求解的学科，它在科学计算、工程设计、金融分析等领域中具有广泛的应用。
然而，在数值计算过程中，由于计算机的有限精度和数值算法的近似性质，误差问题成为了一个不可避免的挑战。
因此，了解误差的来源和性质，以及数值计算方法的收敛性，对于保证计算结果的准确性和可靠性非常重要。
本文将探讨数值分析中的误差分析与收敛性问题。
1. 误差的来源及分类在数值计算中，误差可以分为四类：舍入误差、截断误差、模型误差和舍入误差。
舍入误差是由于计算机内部使用有限位数表示实数导致的误差，它来源于将实数近似为计算机可表示的数值。
截断误差是在计算过程中采取舍入法或截断法将无限级数或无限小量等进行有限近似所引入的误差。
模型误差是将实际问题用数学模型进行近似所引入的误差，它包括了模型的简化和不完全描述等因素。
舍入误差是由于使用有限位数存储和运算导致的误差。
2. 误差的度量方法误差的度量方法包括绝对误差和相对误差。
绝对误差是指数值近似解与真实解之间的差值，它可以用来度量数值计算的准确度。
相对误差是绝对误差除以真实解的绝对值后得到的比值，它可以用来度量数值计算的相对准确度。
通过对误差进行度量和分析，可以评估数值计算方法的准确性，并选择合适的数值方法来解决实际问题。
3. 收敛性在数值计算中，所谓的收敛性是指数值方法的逼近解序列以某种方式趋近于真实解。
一个数值方法是收敛的，意味着当步长趋于0时，逼近解趋近于真实解。
收敛性的评估是数值分析中一个重要的问题，它关系到数值方法的稳定性和可靠性。
常见的收敛性分析方法包括局部截断误差、阶、收敛速度等。
局部截断误差是用来评估数值方法在每个步长上的近似误差，阶是用来度量数值方法逼近真实解的速度。
4. 提高数值计算的准确性与可靠性为了提高数值计算的准确性与可靠性，我们可以采取多种方法。
首先，选择合适的数值方法和算法，确保其满足问题的数学性质和准确性要求。
方程的数值解法及其误差分析
方程的数值解法及其误差分析随着计算机技术的不断发展，数值解法在科学计算中得到了广泛的应用。
方程的解是科学研究、工程设计及经济决策中常常要求得到的重要信息之一。
而大多数方程无法通过解析方法求得精确解，因此需要使用数值解法进行计算，得到近似解。
数值解法的误差分析是研究数值解法精度和可靠性的重要方法，本文将介绍方程的数值解法及其误差分析。
一、数值解法数值解法是一种用数值计算的方法寻找或逼近某一方程或系统的解。
数值解法可以分为直接方法和迭代方法两种。
直接方法是通过运用一些固定的算法来直接求出答案，但代价是计算程度较高。
例如，高斯消元法、LU分解法就是常见的直接方法。
迭代方法是通过从一个开始值开始一直进行计算的方式，来逼近方程数值解的方法。
迭代方法计算量相对比较小，常常被用于大规模数据的计算。
常见的迭代方法有牛顿迭代法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。
数值解法的误差分为截断误差和舍入误差。
截断误差是由于采用数值计算方法得出的结果和真实结果的差值所引入的误差。
舍入误差是由于计算机进行计算时，因为计算机对数据所能表示的精度有限，导致近似值和真实值的差值所引入的误差。
二、误差分析误差分析对于确保数值解计算精度、保证计算结果可靠非常重要。
误差分析的基本方法有理论分析法和实验分析法两种。
实验分析法是通过实验数据分析误差特征、精度评定得出误差估计结果的方法。
这种方法相对比较直接，但是实验数据的质量和数量很大程度上影响了误差的分析精度。
而理论分析法通过推导计算或数学模型，直接得出误差算式或误差范围，从而得到误差估计值。
这类方法应用非常广泛，是基本的误差分析方法之一。
误差分析方法对于保证数值解法的精度和可靠性有重要意义。
不同的误差分析方法在实际应用中需要根据具体情况进行选择，以提高误差估计的准确性和精度。
三、数值解法应用数值解法应用广泛，例如在工程设计中，常常需要通过数值解法来求解大规模非线性方程组。
微分方程中的数值解误差分析方法
微分方程中的数值解误差分析方法在数学领域中，微分方程是描述自然现象和物理现象的一个非常重要的工具。
然而，大多数微分方程很难用解析的方法求解，因此我们通常使用数值方法来近似求解。
然而，这些数值解不可避免地会引入误差。
本文将介绍微分方程中的数值解误差分析方法。
一、局部截断误差在使用数值方法求解微分方程时，我们通常会引入一个步长h。
在每个步长上，我们通过一系列迭代计算来逼近真实的解。
然而，由于近似计算和舍入误差等原因，我们得到的数值解与真实解之间存在误差。
这个误差被称为局部截断误差。
局部截断误差可以通过泰勒展开来近似计算。
假设我们使用的数值方法是Euler方法，那么可以得到如下的局部截断误差公式：$$LTE = \frac{y(t_{n+1}) - [y(t_n) + hf(t_n, y(t_n))]}{h}$$其中，$y(t_n)$是真实解在时间点$t_n$的值，$f(t_n, y(t_n))$是微分方程的右侧函数在$t_n$和$y(t_n)$处的取值。
二、全局截断误差除了局部截断误差之外，我们还需要考虑全局截断误差。
全局截断误差是指在整个求解过程中，数值解与真实解之间的误差累积情况。
通过对局部截断误差进行逐步累积，我们可以得到全局截断误差的估计。
例如，使用Euler方法求解微分方程，假设总共迭代了N步，步长为h，则全局截断误差的估计为：$$GTE = \frac{LTE}{h} \times N = \frac{y(T) - y(t_0)}{h} = O(h)$$其中，$y(T)$是真实解在求解区间的终点处的值，$y(t_0)$是真实解在求解区间的起点处的值。
三、稳定性分析除了局部截断误差和全局截断误差，稳定性也是数值解的一个重要性质。
在数值方法中，一个稳定的方法可以保证数值解不会因为舍入误差或者数值不稳定性而发散。
稳定性分析通常通过稳定性函数来进行判断。
对于一个给定的数值方法，我们可以将其误差传播到未来的时间点，然后观察误差是否会趋于无穷大。
数值分析中的误差
第9章 数值分析中的误差 典型问题解析考试知识点：误差、有效数字。
（6%）学习要点：误差、有效数字。
典型问题解析：一、误差绝对误差e ：e =x －x *（设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差)）。
绝对误差限ε：ε≤-=*x x e（绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界。
）相对误差e r ：***-==x x x x e e r （绝对误差e 与精确值x *的比值，常用x e e r =计算） 相对误差限r ε：r r e ε≤（相对误差e r 绝对值的一个上界），r r x x x x e εε=≤-=||||||***，*xr εε=，常用x ε计算. 绝对误差限的估计式：（四则运算中）)()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε 二、有效数字有效数字：如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字.(1)设精确值x *的近似值x ，若m n a a a x 10.021⨯±=a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0，n l x x l m ≤≤110⨯50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字.例1 设x *= π=3.1415926…,若x *的近似值x 为3.14，3.1415，3.143，求x 的有效数字位数.解：若x =3.14＝0.314×101，（m =1）31105.06592001.0-*⨯≤=- x x （l =3）故x =3.14有3位有效数字。
若x =3.1415＝0.31415×101，（m =1）41105.00000926.0-*⨯≤=- x x （l =4）故x =3.1415有4位有效数字。
数值分析中的复化梯形法误差分析
数值分析中的复化梯形法误差分析数值分析中的复化梯形法误差分析在数值分析中，复化梯形法是一种常用的数值积分方法。
它使用梯形规则进行近似求解定积分，通过将定积分区间分割成若干个小区间，并在每个小区间上使用梯形规则进行求解，最后将各个小区间上的积分结果相加得到整个定积分的近似值。
本文将对复化梯形法进行误差分析。
1. 复化梯形法原理复化梯形法的原理是将定积分区间[a, b]等分为n个小区间，令h=(b-a)/n为小区间长度，梯形法的近似结果T可以表示为：T = h/2 * (f(a) + 2*f(x1) + 2*f(x2) + ... + 2*f(x(n-1)) + f(b))其中，f(x)为被积函数在x点处的取值。
2. 复化梯形法误差分析复化梯形法的误差主要包括局部误差和全局误差。
2.1 局部误差在每个小区间上，我们使用梯形规则进行积分计算，其误差可以通过泰勒展开进行推导。
设f(x)在[a, b]区间上具有充分高阶连续导数，则对于每个小区间[xk, x(k+1)]，我们有如下局部误差公式：E_local = - (h^3/12) * f''(ξ)其中，ξ为[xk, x(k+1)]上的某点，f''(ξ)为f(x)的二阶导数在ξ点的取值。
2.2 全局误差全局误差是指整个区间[a, b]上的积分近似与真实积分之差。
复化梯形法的全局误差可以通过对各个小区间上的局部误差进行累加得到。
假设积分的真实值为I，则全局误差E_global可以表示为：E_global = (b-a) * (h^2/12) * f''(ξ)其中，ξ为[a, b]区间上的某点，f''(ξ)为f(x)的二阶导数在ξ点的取值。
3. 误差分析实例为了更好地理解复化梯形法的误差特点，我们以一个具体的例子进行分析。
考虑定积分∫(0, 1)sin(x)dx的近似求解，将积分区间等分为4个小区间进行计算。
数值分析第一章实验 误差分析
1. 计算11n x nI ex e dx -=⎰(n=0,1,2,……)并估计误差。
由分部积分可得计算n I 的递推公式111101,1,2,e 1.nn x I nI n I e dx e ---=-=⎧⎪⎨==-⎪⎩⎰……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 12,,I I …的值。
要算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和21(1)(1)1(1),2!!ke k ---≈+-+++…并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差14711|0.3679|108!4R e --=-≤<⨯.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。
当初值取为000.6321I I ≈= 时，用（1）式递推的计算公式为 010.6321A 1nn I I nI -⎧=⎨=-⎩ （），n=1,2，…。
计算结果见表1的n I 列。
用0I 近似0I 产生的误差000E I I =- 就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的.表1 计算结果从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。
实际上，由积分估值得111110001011(im )(max)11x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++⎰⎰ （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。
这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n nE I I =- 满足关系1,1,2,n n E nE n -=-=….由此容易推得0(1)!n n E n E =-，这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。
例如，n=8，若401||102E -=⨯，则80||8!||2E E =⨯>。
实验数据误差分析和数据处理
实验数据误差分析和数据处理数据误差分析是首要的步骤，它通常包括以下几个方面：1.随机误差：随机误差是指在重复实验的过程中，由于个体差异等原因引起的测量结果的离散性。
随机误差是不可避免的，并且符合一定的统计规律。
通过进行多次重复测量，并计算平均值和标准差等统计指标，可以评估随机误差的大小。
2.系统误差：系统误差是由于仪器、测量方法或实验条件所引起的，使得测量结果与真实值的偏离。
系统误差可能是由于仪器刻度的不准确、环境温度的变化等原因导致的。
通过合理校准仪器、控制环境条件等方式可以减小系统误差。
在数据误差分析的基础上，进行数据处理是必不可少的步骤。
数据处理的目的是通过对实验结果的合理处理，得到更为准确的结论。
1.统计处理：统计方法是最常用的数据处理方法之一、通过使用统计学中的概率分布、假设检验、方差分析等方法，可以对实验数据进行科学、客观的分析和处理。
2.回归分析：回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间关系的方法。
通过对实验数据进行回归分析，可以确定变量之间的数学关系，并预测未知数据。
3.误差传递与不确定度评定：在实验中，不同参数之间的误差如何相互影响，以及这些误差如何传递到最终结果中，是一个重要的问题。
通过不确定度评定方法，可以定量评估各个参数的不确定度，并估计最终结果的不确定度。
4.数据可视化和图表展示：通过绘制合适的图表，可以更直观地展示实验数据的分布规律、趋势以及变化情况。
例如，折线图、散点图、柱状图等可以有效地展示数据的分布和相关关系。
综上所述，实验数据误差分析和数据处理是进行科学研究的重要环节。
准确评估和处理数据误差可以提高实验结果的可靠性和准确性，为研究结果的正确性提供基础。
通过合理选择和应用适当的数据处理方法，可以从实验数据中得出有意义的结论，并为进一步研究提供指导。
数值分析实验 误差分析
数值分析实验误差分析一、引言数值分析是研究用数值方法处理数学问题的学科。
在数值计算中，由于测量误差、近似误差、截断误差和舍入误差等因素的影响，计算的结果与实际值可能存在一定程度的误差。
因此，在进行数值分析实验时，正确评估误差是非常重要的。
本文将从误差类型、误差分析方法等方面进行详细介绍。
二、误差类型1.测量误差。
由于测量仪器的制造、使用环境等因素的影响，测量结果与实际值之间存在偏差，这就是测量误差。
常见的测量误差有系统误差和随机误差。
其中，系统误差是由测量仪器本身的固有误差造成的偏差，随机误差则是由于测量仪器使用条件的不同而产生的偏差。
2.近似误差。
由于迫于计算机存储空间和运算精度的限制，数值计算中通常采用有限的、近似的算法来求解问题。
因此，近似误差是计算方法本身的误差所引起的。
3.截断误差。
因为在有限步数之内求解无限级数或积分等问题是不可能的，所以在实际计算中只能取一定的计算级数或增量来作为代替。
这样，在运算的过程中，我们总是保留最后一位是四舍五入到一定的位数。
这样，由于省略了无限级数的其余项，计算结果与实际值之间产生的误差就是截断误差。
4.舍入误差。
计算机表示数字的位数是有限的，当我们将一个实数舍入到有限的位数时，就会导致计算结果与实际值之间的差距，这就是舍入误差。
三、误差分析方法误差分析是数值分析实验中最基本的计算过程之一，而误差分析所依据的便是数学中的数值分析的基本原理。
对于数值分析实验中所产生的误差而言，目前主要有以下几种误差分析方法：维恩积分估计法、泰勒展开法、拉格朗日插值法等。
1.维恩积分估计法。
利用维恩积分估计法，可以粗略地估计出误差大小的上下限。
该方法的基本思想是：先根据计算结果求出解析解，然后在得到的解析解处求出其导数或高阶导数，再根据误差项的表达式，得到误差估计表达式，从而计算误差的上下界。
2.泰勒展开法。
利用泰勒展开法，可以把计算值的误差展开成某一阶导数之差的形式。
通过泰勒展开公式对计算结果做二阶近似展开，然后把相应的二阶导数用实际值代替即可。
数学中的数值分析近似计算与误差分析的数学方法
数学中的数值分析近似计算与误差分析的数学方法近似计算和误差分析是数值分析中的重要部分，它们在解决实际问题和验证数学理论的过程中起着关键的作用。
本文将介绍数值分析中常用的近似计算方法和误差分析方法。
一、近似计算方法近似计算方法是数值分析中常用的技术，用于求解无法直接得到精确解的数学问题。
下面将介绍几种常见的近似计算方法。
1.1 泰勒级数展开法泰勒级数展开法是一种常用的近似计算方法，它基于泰勒公式，通过对函数进行级数展开来逼近函数的近似值。
泰勒级数展开法在数学物理问题中得到广泛应用，尤其在求解微分方程和积分问题时表现出很好的效果。
1.2 插值法插值法是一种通过已知数据点建立一个函数，使得该函数通过这些数据点，从而在未知数据点处获得近似值的方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值，它们在数值逼近和函数逼近的问题中起着重要作用。
1.3 数值积分法数值积分法是一种近似计算定积分的方法，通过将积分区间划分成若干小区间，然后采用数值求和的方法来近似计算积分结果。
数值积分法有梯形法则、辛普森法则等多种形式，可以用于求解一维和多维积分问题。
二、误差分析方法误差分析是数值分析中的重要内容，用于分析近似计算所引入的误差以及影响问题解的因素。
下面将介绍几种常用的误差分析方法。
2.1 绝对误差和相对误差绝对误差和相对误差是常用的误差表示方法。
绝对误差是近似值与精确值之间的差值，而相对误差则是绝对误差与精确值之间的比值。
这两种误差表示方法能够客观地评估近似计算的准确性。
2.2 截断误差和舍入误差截断误差和舍入误差是数值计算中常见的误差类型。
截断误差来源于近似计算公式中的截断项，而舍入误差是由计算机对浮点数进行舍入所引入的误差。
对于复杂的数值计算问题，需要综合考虑截断误差和舍入误差的影响。
2.3 稳定性和条件数稳定性和条件数是评估数值算法性能的重要指标。
稳定性评估算法对输入数据扰动的敏感性，而条件数则是评估问题本身对输入扰动的敏感性。
数值分析中的误差分析
E ( x) = x − X
*
*
x*
| E ( x) |=| x − x* |<= η
此时，称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度
• 相对误差与相对误差限 E ( x) x − x* Er( x) = = 绝对误差与精度值之比，即称 x X * X 的相对误差．在实际中，由于精确值x一般无 为近似值 x − x* * 法知道，因此往往取 Er ( x) = 作为近似值的相对误差．
x*
类似于绝对误差的情况，若存在 δ ＞０ ，使得 x − x* * | Er ( x) |=| * |<= δ 则称 δ 为近似值 X 的相对误差限， x 相对误差是无量刚的数，通常用百分比表示，称为百分误 差．
• 有效大小，又能表示其精确程度，于是需要引 进有效数字的概念．再实际计算中，当准 确值x有很多位时，我们常按四舍五入得到 的近似值． ｜若近似值的绝对误差限
数值分析中的误差分析
误差与数值计算的误差估计
误差可以分为以下四种 • • • • 模型误差 观测误差 截断误差 舍如误差
误差与有效数字
• 绝对误差与绝对误差限 设某一量的精确值为x，其近似值为 X * ，则称 为近似值 X 的绝对误差，简称误差 当E（x）>0时,称为弱近似值或亏近似值，当E(x)<0时，称 X *为强近似值或盈近似值． 一般的，某一量的精确值x是不知道的，因而E(x)也无法求 出，但往往可以估计出E(x)的上界，即存在，使得
第一章 误差分析与数据分析
(a)
(b )
23.5m的近似值，其绝对误差限等于该近似 值末位的半个单位。
截断误差求解数学模型所用的数值计算方法如果是近似的方法那么只能得到数学模型的近似解由此产生的误差称为截断误差或方法误差
第一章
误差分析与数据分析
第一节 误差分析 1.1 误差的来源和分析 1 模型误差
反映实际问题有关量之间的计算公式，即 数学模型，通常只是近似的。由此产生的 数学模型的解与实际问题的解之间的误差， 称为模型误差。
a
称为近似值 a 的相对误差限和相对误差界，有er r 。
例 1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度 r ( a) 、 r (b) 各是多少？两杆的实 a=312mm 和 b=24mm，问 (a) 、 (b) 、 际长度 x 和 y 的范围？
解： (a) = (b) =0.5mm
5 尽量减少运算次数
定义 设 a 是数 x 的近似值，如果 a 的绝对误差限是它的某一位的半个 单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有 n 位，则称用 a 近似 x 时具有 n 位有效数字。
数 a 可以写成如下形式： 0.a1a2…ak × a= 10m a 其中 m 是整数，ai 是 0 到 9 中的一个数字， 1 0。 如果 a 作为 x 的近似值，且
如，由Taylor(泰勒)公式，函数f(x)可表示为，
为简化计算，当误差不大时，去掉上式 右端的最后一项，得近似公式：
此近似公式的误差就是截断误差。
4 舍入误差 由于计算机的字长有限，参加运算的数据 以及运算结果在计算机上存放会产生误差， 这种误差称为舍入误差或计算误差。 如 1/3=0.333333333 (1.000002)2-1.000004=0 在数值分析中，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响，而一般不考虑模型误 差和观测误差。
数值分析中的误差分析与收敛性
数值分析中的误差分析与收敛性数值分析是一门研究使用计算机进行数值计算的学科，它广泛应用于工程、科学和金融等领域。
在数值计算中，误差分析和收敛性是两个重要的概念。
本文将深入探讨数值分析中的误差分析和收敛性，并介绍它们的应用和意义。
一、误差分析在数值计算中，由于使用的是有限的计算机资源和近似的计算方法，无法得到完全准确的结果。
因此，误差分析成为一项必不可少的工作。
误差可以分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指数值计算的结果与真实值之间的差别，常用符号表示为Δx。
相对误差是指绝对误差与真实值之比，常用符号表示为εx。
绝对误差和相对误差可以通过以下公式计算：绝对误差：Δx = |x - x*|相对误差：εx = |(x - x*)/x*|其中，x表示近似值，x*表示真实值。
误差分析的目的是评估数值计算的精度和稳定性。
当误差较小且符合预期范围时，可以认为数值计算结果是可靠的。
二、收敛性在数值分析中，收敛性是指使用逼近方法得到的数值序列逐渐接近于准确值的性质。
收敛性分析是评估逼近方法有效性的重要手段。
常见的收敛性准则包括绝对收敛和相对收敛。
绝对收敛是指逼近序列的差值趋近于零，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，对于所有n>N，有|xn+1 - xn| < ε。
相对收敛是指逼近序列的比值趋近于一，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，对于所有n>N，有|(xn+1 -xn)/xn| < ε。
收敛性分析可以帮助我们评估数值计算方法的有效性和稳定性。
当逼近序列满足收敛准则时，可以认为该方法是可靠且收敛的。
否则，需要重新评估和改进计算方法。
三、误差分析与收敛性的应用误差分析和收敛性是数值分析中不可或缺的工具，其应用广泛且重要。
1. 误差分析在数值模拟中的应用数值模拟是利用数值方法来模拟和求解物理问题的过程。
在数值模拟中，误差分析可以帮助我们判断计算结果的可靠性，评估模拟的精度和稳定性。
通过分析误差来源和大小，可以优化计算方法，提高模拟结果的准确性。
数值分析中的误差分析方法
数值分析中的误差分析方法数值分析是一门研究离散数据逼近和连续函数求解的学科，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
在数值计算过程中，误差是不可避免的，因此准确评估和分析误差是至关重要的。
本文将介绍数值分析中常用的误差分析方法，以帮助读者更好地理解误差来源和影响，从而提高数值计算的准确性和可靠性。
一、绝对误差和相对误差绝对误差是指数值计算结果与真实值之间的差异。
在数值分析中，我们往往无法得知真实值，因此无法直接计算绝对误差。
相对误差则是相对于近似值的误差，它可以更好地反映计算结果的准确性。
二、截断误差截断误差是由于采用有限的计算步骤或取舍了一些无限级数的项而引入的误差。
在数值计算中，我们通常使用近似方法，如级数展开和数值积分等。
由于截断误差的存在，我们得到的结果与真实值之间会有一定的差距。
截断误差的大小取决于所采用的数值方法和步长，可以通过逐步减小步长来减小截断误差。
三、舍入误差舍入误差是由于对无限精度数进行有限舍入导致的误差。
计算机中的数值表示是有限的，而真实数值通常是无限的。
因此，在计算机中进行数值计算时，会存在一定程度的舍入误差。
舍入误差可以通过采用更高精度的数据类型或者使用舍入误差分析技术来减小。
四、传播误差传播误差是由于输入数据的不确定性或测量误差在数值计算过程中扩散而引入的误差。
在实际问题中，输入数据通常带有不确定性，例如测量误差或近似值。
这些不确定性会随着计算的进行而传播，影响到计算结果的准确性。
传播误差需要通过敏感性分析等方法来进行评估和控制。
五、误差估计误差估计是通过数值分析方法来评估近似解与真实解之间的误差。
常用的误差估计方法包括残差估计、收敛性分析和算例分析等。
残差估计法通过计算数值解与原方程的残差来估计误差的大小。
收敛性分析则通过逐步减小步长和比较不同精度下的数值解来判断数值方法是否收敛。
算例分析是通过计算实际问题的已知解或近似解来评估数值方法的误差。
六、误差限制和误差控制误差限制和误差控制是保证数值计算结果准确性和可靠性的重要手段。
数值分析误差及分析
数值分析误差及分析数值分析是一种通过数学方法和计算机模拟来处理和解决实际问题的方法。
然而，由于计算机的运算能力和存储能力有限，以及问题本身的复杂性，数值分析往往会引入一定的误差。
误差是指数值计算结果与真实值之间的差异，它分为截断误差和舍入误差两种类型。
截断误差是由于在数值分析过程中对无限小量和无限级数的截取而产生的误差。
无限小量是指小到可以忽略不计的量，无限级数是指由无限多个项相加的数列。
在实际计算过程中，为了获得可计算的结果，人们往往只考虑有限项的计算，这就导致了截断误差的出现。
截断误差的大小与问题本身的性质以及截止条件的选择有关。
舍入误差是由于计算机内部的浮点数表示方式而引入的误差。
计算机内部使用有限的位数来表示实数，这就不可避免地导致了浮点数的精度问题。
当计算结果需要表示的位数超过了计算机所能表示的范围时，就会发生舍入误差。
舍入误差的大小与计算机的表示精度以及计算过程中的计算次数有关。
为了减小误差，提高数值分析的精度，可以采取以下方法：1.增加计算机的位数：增加计算机的位数可以扩大浮点数的表示范围，从而减小舍入误差的发生概率。
2.使用更高精度的数据类型：在一些特殊情况下，为了提高计算结果的精度，可以使用更高精度的数据类型，如使用双精度浮点数代替单精度浮点数。
3.改进算法：优化算法可以减小截断误差的影响，例如使用数值积分的自适应算法、迭代法等。
4.选择合适的截止条件：在数值分析过程中，需要选择适当的截止条件。
截止条件的选择既不应过于严格，以免造成大的截断误差，也不应过于宽松，以免在计算机内部引入较大的舍入误差。
5.进行误差分析：在数值分析过程中，应该对误差进行分析和估计。
可以通过理论方法、数值试验和统计方法等途径来估计误差的上界或下界，从而评估计算结果的可靠性。
总而言之，数值分析误差是不可避免的，但可以通过增加计算机位数、改进算法、选择合适的截止条件、使用高精度数据类型和进行误差分析等方法来减小误差，提高数值分析的精度和可靠性。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结一、绪论数值分析是一门研究如何使用数值方法解决数学问题的学科。
它广泛应用于科学、工程、医学等领域。
在数值分析中，我们通常将实际问题转化为数学模型，然后使用计算机进行计算。
数值分析的主要内容包括：误差分析、插值与拟合、线性方程组求解、微分方程求解等。
二、误差分析误差分析是数值分析中的一个重要概念。
它包括绝对误差、相对误差和误差限等概念。
在计算过程中，误差会传递和累积，因此需要进行误差分析以评估计算结果的精度。
常用的误差分析方法有：泰勒级数展开、中点公式等。
三、插值与拟合插值与拟合是数值分析中的两个重要概念。
插值方法用于通过一组已知数据点生成一个函数，该函数能够近似地描述这些数据点之间的关系。
拟合方法则是通过一组已知数据点生成一个最佳拟合线或曲面，使得这个线或曲面与已知数据点之间的误差尽可能小。
常用的插值与拟合方法有：线性插值、多项式插值、样条插值、最小二乘法等。
四、线性方程组求解线性方程组是数值分析中经常遇到的一类方程组。
对于线性方程组，我们通常使用迭代法或直接法进行求解。
迭代法包括：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代、松弛法等。
直接法包括：高斯消元法、逆矩阵法等。
在实际应用中，我们通常会选择适合问题的计算方法，并根据需要进行优化。
五、微分方程求解微分方程是描述变量之间的函数关系的一类方程。
在数值分析中，我们通常使用数值方法对方程进行离散化处理，然后使用计算机进行求解。
常用的微分方程求解方法有：欧拉方法、龙格-库塔方法等。
对于复杂的微分方程，我们还可以使用谱方法、有限元方法等进行求解。
六、总结数值分析是一门应用广泛的学科，它涉及到许多数学知识和计算机技术。
在实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的数值方法进行解决。
在进行计算时，需要注意误差分析、算法的稳定性和收敛性等问题。
随着计算机技术的发展，数值分析的应用领域也在不断扩大，例如、大数据分析等领域。
因此，数值分析的学习和应用具有重要意义。
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当er(x*)较小时, 常取
* * e ( x ) x x er ( x ) * x x*
相对误差是无量纲的, 也可正可负, 它的绝对值的较小
上界称为该近似值的相对误差限, 记作 r ( x*)
*, 即 简记为 r
er ( x*)
( x*)
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e ( y*) e[ f ( x1 *, x2 *, , xn *)] df ( x1 , x2 , , xn )
n f ( x1 , x2 , , xn ) f ( x1 *, x2 *, , xn *) e ( xi *) e ( xi *) x i x i i 1 i 1 n
21
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1.2
误 差
一 误差的来源 1. 模型误差: 在建立数学模型过程中, 不可能将所有因素均考 虑, 必然要进行必要的简化, 这就带来了与实际问 题的误差。 2. 观测误差: 测量已知参数时,数据带来的误差。
3. 截断误差: 在设计算法时,近似处理带来的误差。
4. 舍入误差: 计算机的字长是有限的, 每一步运算 均需四舍五入, 由此产出的误差。
函数值 y*的运算误差为 e ( y*) e[ f ( x1 *, x2 *, , xn *)] df ( x1 , x2 , , xn )
n f ( x1 , x2 , , xn ) f ( x1 *, x2 *, , xn *) e ( xi *) e ( xi *) x i x i i 1 i 1 n
1 0.005 10 2 2
x * x 0.000008 0.00005
所以 x* = 3.1416 作为 π 的近似值,有5位有效数字。
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定义：称近似值x*的末位也是有效数字的近似数为
有效数, 误差限不超过末位的半个单位。
Note: 1. 对精确值进行四舍五入得到的近似数均为 有效数;
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52492 0.1
如改为
i 1 1000 i 1
1000
0.1 52492 100 52492
0.01 105 0.52492 105 0.52502 10 52505
5
0.1 就没有被吃掉。 这也是构造算法时要注意的问题 , 避免重要的参数 被吃掉。
第一章 绪
1.1
论
数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分，计算 数学是数学科学的一个分支，它是研究用计算机 求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软 件实现的一门科学。 计算机解决实际问题的一般步骤如下:
实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→ 上机求解
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由实际问题应用有关科学知识和数学理论建 立数学模型之过程，通常作为应用数学的任务， 而根据数学模型提出求解的数值计算方法则为计 算数学的任务，也是数值分析的研究对象。
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三、防止大数 “吃掉” 小数 例3 计算
52492 0.1
i 1
1000
解 用五位十进制计算机进行计算:
52492 0.1 0.52492 105 0.000001 105 0.52492 105
0.1被大数“吃掉”了,从而 有 1000
i 1
52492 0.1 52492
1 n 1 10 , 则它至少有n位有效数字。 不大于 2( a 1) 1
证明
已知
er ( x*)
x * x x * er ( x*)
m
1 10 n1 2( a1 1)
1 (a1 1) 10 10 n1 2(a1 1) 1 m n 1 10 2 故x*至少有n位有效数字。
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综合例题3
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第二节 数值运算中误差的传播
函数运算误差
1. 设 f (x)在(a,b)内连续可微, x 的近似值为 x*, f (x)的 近似值为 f (x*), 其误差为e[ f(x*)],误差限为 [ f ( x )]
e[ f ( x )] df ( x ) f ( x )dx f ( x*)e ( x*)
x*
r ( x*)
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综合例题1
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三、有效数字 定义：如果近似值x*的误差限不超过某一位的半个 单位，该位到 x* 的第一位非零数字共有n 位,我们 称 x* 有n 位有效数字。它可表为
x* 10 m (a1 a2 10 1 an 10 ( n1) )
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四、避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。
x ( y*) y ( x*) x* ( ) 2 y* y
当| x |>>| y | 时, 舍入误差会扩大 的舍入误差均为 0.5 103 , 而 x* 7 y x 10 ,则 的舍入误差为: y* 7 3 x x 10 0.5 10 1 11 , | x || y | 5 10 2 x x 1014 很小的数作除数有时还会造成计算机的溢出而停机。
其中 a1 , a2 ,, an 为0-9 中的一个数字a ,1 0, m 为整数，
且
1 x x 10 m n1 2
*
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例 π = 3.1415926535, 取 x* = 3.14 时，
x * x 0.002 0.005
所以 x* = 3.14 作为π的近似值,有3位有效数字；又 即 m- n +1= - 2, m=0, n = 3, 所以 x* = 3.14 作为 π 近 似值时, 就有3位有效数字。 取x*=3.1416 时,
例2
170 13 0.0384048 170 13 13 .04 13 0.04
如用四位有效数字计算:
结果只有一位有效数字； 1 1 如改为： 170 13 0.03840 170 13 13.04 13 有四位有效数字, 新算法页
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定理1
设近似值
x* 10m (a1 a2 101 an 10 ( n1) )
有n位有效数字，a1 0 。则其相对误差为 1 e r ( x*) 10 n1 2a1 x* 10m (a1 a2 101 an 10 ( n1) )
记
* f ( x1*, x2 *,, xn *) f , x i x i
* f f e ( y*) e ( xi *) e ( xi *) i 1 x i i 1 x i
n n
上页 下页
则上式简记为
* f f e ( y*) e ( xi *) e ( xi *) i 1 x i i 1 x i
n n
于是误差限
( y*)
i 1
n
f * i 1 x i
n
* f * x i
相对误差限
r ( y*)
n
i 1
* f ( x*) f ( x*) | y* | i 1 x i x i | y |
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例如, 求解一个n阶线性方程组, 用行列式解法的 克莱姆法则要进行(n+1)n！(n-1)次乘除运算. n=20时,
大约进行1021 次运算, 如用每秒3亿次乘法运算的巨
型计算机要连续工作
10 100(年 ) 11 3 10 60 60 24 365
完全没有实际意义. 而用加减消元法只需3000 次乘法 运算.
f ( x ) f ( x*) r [ f ( x*)] ( x*) ( x*) f ( x) f ( x*) 2. 多元函数 y f ( x1 , x2 , , xn ), 自变量的近似值为 x1 *, x2 *,, xn *, y 的近似值为 y* f ( x1 *, x2 *, , xn *),
m m
证明
故
a1 10 | x | (a1 1) 10 ，从而
0.5 10 m n1 1 n 1 er ( x*) 10 | x* | a1 10 m 2a1 x *x
此定理说明，相对误差是由有效数字决定的。
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定理 2 设近似值 x* a1 .a2 an 10 m 的相对误差
取绝对值得
| e[ f ( x*)] || f ( x ) | | e ( x*) | | f ( x ) | ( x*) | f ( x*) | ( x*)
其中 ( x ) 为近似数 x* 的误差限。
上页 下页
可得出一元函数运算的误差限和相对误差限分别为：
[ f ( x*)] | f ( x ) | ( x*) f ( x*) ( x*)
n
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由此可得四则运算的误差, 以两数为例写出
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上页
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综合例题4
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第三节 设计算法时应注意的原则
一、简化计算步骤, 减少运算次数 例1 计算多项式的值:
Pn ( x ) ak x k
k 0 n
每项 ak xk 有k 次乘法运算, 因此计算 Pn (x) 共需
1 2 n n n 1 2
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二、误差的基本概念 1. 误差和误差限
设 x* 是准确值x的一个近似值, 称 e(x*) = x* - x
为近似值x*的绝对误差, 简称误差. e(x*)又简记e*. 误差是有量纲的，可正可负。