数值积分和数值微分

从几何上看，就是计算曲 边梯形面积的近似值。
最简单的办法，是用直线、 抛物线等代替曲边，使得 面积容易计算。
用直线代替曲边
f(x)
f(a) a
a
f(a) a
b f(x)
(a+b)/2
b
f(x)
f(b)
b
左矩公式
b
a
f ( x)dx
f ab a
中矩公式
b f ( x)dx f a b b a
( xk x j )
j0
称为求积系数。由节点 决定， 与 f (x) 无关。
jk
定义
求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f xk
k0
其系数
b
Ak a lk ( x)dx ，lk ( x为)拉各朗日插值基函数
这种求积公式称为插值型积分公式
插值型的求积公式余项
b
n
b
b
R[ f ] f ( x)dx a
a1 dx b a =
b
x
dx
b2
a2
=
a
2
b
2
a
[1
1]
b a [a b] 2
b x2dx b3 a3
a
3
b
2
a
[a 2
b2 ]
因此梯形公式只对一次多项式精确成立。
➢代数精度
定义 如果某个求积公式对于次数不超过m的一切多
项式都准确成立,而对 某个m+1次多项式并不准确成 立，则称该求积公式的代数精度为m。
§ 5.1 数值积分概述
§
求函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分
是微积分学中的基本问题。
❖ 传统方法的困境 ❖ 数值积分的基本思想 ❖ 数值积分的一般形式 ❖ 代数精度问题
➢传统方法的困境
对于积分
b
I( f ) a f (x)dx
如果知道f ( x)的原函数F ( x), 则由Newton Leibniz公式有
一般来说，代数精度越高，求积公式越精确。 显然，梯形公式与中矩形公式均具有一次代数精度。
定理 对于n+1节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。
§5.2 牛顿－柯特斯求积公式
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插 值
多一项、式公建式立推的导数：值求积公式
将积分区间[a, b]分割为n等份, 步长为h b a , n
Ak f ( xk )
[ f ( x) P( x)]dx
a
R ( x)dx
a
k0
b a
f
( ( n1) x
(n 1)!
)
n k0
(x
xk )dx
为了保证数值求积公式的精度,我们自然希望求
积公式能够对尽可能多的函数f(x)都准确成立,这在
数学上常用代数精度这一概念来说明。
例：对于[a, b]上1次插值，有
a
2
梯形公式
b
a
f
( x)dx
b a f
2
a
f
b
用抛物线代替曲边
抛物线公式
b f ( x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
又称辛普森公式
➢数值积分的一般形式
x 上述的近似求积公式都是取[a,b]上若干点 处的高度通过加权 i
和得到积分的近似值，写成一般形式：
jk
j)
n 0
0
j
n
(t
j ) dt
jk
h (1)nk n
(t j)dt
k!(n k)! 0 0 jn
jk
(1)nk
n
Ak
以拉格朗日插值多项式为例
不同的 插值方
法 有不同
的
基函数
用P( x)作为被积函数f ( x)的近似, 有
b f ( x)dx
a
b
P( x)dx a
bn
a
f ( xk )lk ( x)dx
k0
n
b
f ( xk ) a lk ( x)dx
Ak
k0
Ak
b a
n
dx ( x x j )
Ak
或写为：
b
a
f
x dx
n
Ak
f
xk
k0
b
a
f
x dx
n
Ak
f
xk
R
f
k0
其中， -x--k- 称为求积节点 Ak----称为节点 xk 上的权系数。
f
xi
----是函数f(x)在节点 xk 上的函数值，
----称为求积公式的截断误差或余项。
R f Baidu Nhomakorabea
后再进行求
正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积分的不同方法。
P(x)
xb ab
f (a)
xa ba
f
(b)
A1
A2
b
2
a
b f ( x)dx
ba[
f (a)
f (b)]
a
2
考察 f (x) 1, x, x2时,其,求x积m 误差。
梯形公式
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 f(x) = 1： 代入 f(x) = x ： 代入 f(x) = x2 ：
b
b f ( x)dx F( x) b F(b) F(a)
a
a
但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:
(1) f ( x)的解析式根本不存在,只给出了f ( x)的一些数值 (2) f ( x)的原函数F ( x)求不出来,如F ( x)不是初等函数
b ex2dx,
1 sin x dx,
插值型求积公式
思 路
利用插值多项式 Pn ( x)
f ( x)则积分易算。
利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:
在积分区间[a, b]上取一组节点
a x0 x1 xn b
作f ( x)的n次插值多项式
n
P( x) f ( xk )lk ( x) k0
其 中：lk ( x)(k 0,1, , n)为 插值 基函 数
b sin x2dx
a
0x
a
(3) f ( x)的表达式结构复杂,求原函数较困难
以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用! 只能建立积分的近似计算方法-------数值积分正是为解决这样的困难而提出来的， 不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的 工具之一。
➢数值积分的基本思想
数值积分----指计算定积分近似值的各种计算方法。 常用一个简单函数代替原来的复杂函数求积分。
各节点为 xk a kh , k 0,1, , n ，
以此分点为节点,构造出的插值型求积公式。
根据插值型求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f xk
k0
重 点 是 求 求 积 系 数Ak
Ak的 计 算:
Ak
b
a lk ( x)dx
b
x x j dx
a 0 jn xk x j
jk
注意是等距节点
令x a th 由 x [a,b] 可知 t [0, n]
Ak b
x x j dx
a 0 jn xk x j
jk
n
a th a jh hdt
0 0 jn a kh a jh
jk
n (t j)h
h
0
0 jn
(k
jk
j)h
h
dt
0 jn (k