关系和序关系
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1 0 0
0 0
1 0
0 1
2020/4/13
17
wk.baidu.com
2.3 关系的性质
▪ 存在着既非对称又非反对称的关系,如:
1 1 1
1
0
0
0 0 1
2020/4/13
18
2.4 集合的划分与覆盖
[定义] 给定集合S,A={A1,A2,…,An},AiS,i=1..n。
n
① 若 有 U A iS ,则 说 A 是 S 的 一 个 覆 盖 ;
2020/4/13
31
2.6 相容关系
[相容类] 设 A X, 是X上的一个相容关系。称A是X 上的一个相容类当且仅当A中任二元素相容。即 (x)(y)(x,yA x y)。
[最大相容类] 设 A是X上的一个相容类,若X-A中不存 在与A中所有元素相容的元素,则称A为X的一个 最大相容类。
▪ 在相容关系的关系图中,最大相容类对应于一个 最大完全子图。
▪ R是对称的:MR为对称矩阵; 关系图中弧成对出现。
▪ R是反自反的:MR的对角元均为0; 关系图为无自环图。
▪ R是反对称的:MR为反对称矩阵; 关系图中只出现单向弧。
2020/4/13
16
2.3 关系的性质
▪ 存在着既非自反也非反自反的关系,如:
0 1
0
1
▪ 存在着既对称又反对称的关系,如:
RS={<x,y>|xRyxSy} RS={<x,y>|xRyxSy} RS={<x,y>|xRyxSy} ~R=XYR
2020/4/13
34
2.7 关系的运算
(2) 关系的复合运算 [复合关系] 设二元关系R:XY,S:YZ,则称
S R={<x,z>|xXzZ(y)(yYxRyySz)} 为R和S的复合关系。 ❖ 注意, 关系的复合运算定义和函数复合保持了一致 。在某些课本上,以上关系的复合记作R S。
[证明]
2020/4/13
26
2.5 等价关系
[结论] 对X上的等价关系R, ①任意xX属于且只属 于一个等价类; ②若xRy,则[x]R = [y]R ,否则 [x]R [y]R = 。
2020/4/13
27
2.5 等价关系
[定理] 集合X上的一个等价关系R产生对此集合的一 个划分,该划分的块对应于R的等价类。
❖ 若干特殊关系: ① X 到Y 的全域关系: Ex,y = XY 特别地: Ex,x = XX ② 空关系: ③ 恒等关系:Ix = {<xi,xi>|xiX}
[例] 设 X={1,2,3,4},求 X 上的关系 “ > ”(大于)及 其定义域、值域。
2020/4/13
8
2.2 关系的表示方法
(1) 集合表示法 借用集合的各种描述方法对表示关系的序偶集合 进行描述
4
2.1 关系的概念
[二元关系的集合定义] 设X,Y是两个集合, X Y 的任何一个子集 R 都确定了一种二元关系,称
为从X到Y的二元关系。 ▪ <x,y>R可记为 xRy,显然 R X Y
<x,y>R可记为 xRy ▪ 当 X=Y 即 X 与 Y 同一时,称 R 为 X 上的一个
二元关系。
2020/4/13
35
2.7 关系的运算
[例] X={x1, x2, x3},Y={y1, y2, y3, y4},Z={z1, z2, z3} R={<x1,y1>,<x2,y3>,<x2,y4>} S= {<y1,z3>,<y2,z1>,<y4,z2>}
S R={<x1,z3>,<x2,z2>}
2020/4/13
5
2.1 关系的概念
[例] F={<x,y>| x是y的父亲} S={<x,y>| x,y为正整数且x可整除y} T={<y2,y>| y为实数}
❖ 对上述的:x,y,R,有<x,y>R 或 <x,y>R,
二者必居其一。
2020/4/13
6
2.1 关系的概念
[定义域] 设二元关系S。由 <x,y>S的所有对象 x 组 成的集合称为S的定义域,记为Dom(S) 。
2.7 关系的运算
[定理] 关系复合运算与一般运算的结合律:设二元关系 R1, R2 :XY, S1 , S2:YZ,则有 ▪ (S1 S2) R1 =(S1 R1)(S2 R1) ▪ (S1S2)R1 (S1R1)(S2R1) ▪ S1 (R1R1) =(S1R1)(S1R2) ▪ S1 (R1R2) (S1R1)(S1R2)
[例] X={1,2,3,4,5,6,7},R为X上的模3同余关系。
则 [1]R={1,4,7},[2]R={2,5},[3]R={3,6}
2020/4/13
25
2.5 等价关系
[性质] 设R为X上的一个等价关系,则 ① X中的任何一个元素,至少属于一个等价类。 ② 若x,yX,则x,y或属同一等价类,或属两个不 同等价类但此两个不同等价类的交集为(不 相交)。
21
• 关系IX 具有自反、对称和传递性; • 设 X={1,2,3,4},写出X上的模2同余关系,
并判断其是否具有自反、对称和传递等性质 。
• 具有自反、对称和传递性的关系称为等价关 系。
2020/4/13
22
2.5 等价关系
[等价关系] 集合X上的关系R若具有自反性、对称性 和传递性,则称R为X上的一个等价关系。
(2) 关系矩阵 设 X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn},m,n <+ R是X到Y的二元关系。构造矩阵
MR=[mij]mn, mij =
1 <xi,yj>R 0 其它
2020/4/13
9
2.2 关系的表示方法
[例]
a 1 0 1
M Teaching b
0
1
0
c 0 1 1
2020/4/13
20
2.4 集合的划分与覆盖
[例] S={a,b,c} 取 A = {{a},{b},{c}} B = {{a,b},{c}} C = {{a,b,c}} 均构成对S的划分。 显然有 |A| > |B| > |C| 可以将 A 称为最大划分;将 C 称为最小划分。
2020/4/13
2020/4/13
29
2.5 等价关系
[问题] ▪ X上由不同方法定义的等价关系R1、R2,若产 生的等价类相同,则R1=R2。 ▪ 不等价关系也能产生划分。
2020/4/13
30
2.6 相容关系
[相容关系] X上的二元关系R,若R是自反的、对称的 ,则称R为X上的一个相容关系,记作 。
[例] X={2661,243,315,648,455} R={<x,y>|x,yX,x与y至少含有一个相同数字} 容易看出,R具有自反性、对称性。 R不具有传递性: 如 <2661,243>,<243,455>R 但 <2661,455>R 因此R不是等价关系,R是一个相容关系。
2020/4/13
13
2.2 关系的性质
[习题] 设 X={1,2,3,4},画出X 上的关系 “ > ” ,“”和 整除“|”的关系图和关系矩阵,并 判断其性质。
[习题] 集合上的”is an element”以及”is a subset”具有什么性质?
2020/4/13
14
2.3 关系的性质
i 1
② 若①成立且AiAj = (若ij),则说A是S的一个 划分,并称 A1,A2,…,An为此划分的块。
2020/4/13
19
2.4 集合的划分与覆盖
[例] N={0,1,2,3,4,……} 自然数集合。 取 A0={0,6,12,18,……} A1={1,7,13,19,……} A2={2,8,14,20,……} …… A5={5,11,17,23,……} 则 A={A0, A1, A2, A3, A4, A5}是N的一个划分。
[例] teachers={a,b,c},students={x,y,z} 建立教学关系 T: aTx iff a TEACHING x 用序偶集合表示为: T = {<a,x>,<a,z>,<b,y>,<c,y>,<c,z>} T teachers students 图示为:
2020/4/13
R={<Alice,Graphs>,<Bob,Algebra>,<Bob,Grap hs>,<Bob,Sets>,<Tom,Algrbra>,<Tom,Graph s> } AB, 表示了学生集合A与课程集合B之 间的选修关系。
2020/4/13
2
2.1 关系的概念
[二元关系的一般性描述] 一对对象之间的关系称为二元关系。
2020/4/13
32
2.6 相容关系
例如,在上图表示的相容关系中,最大相容类 为: {a, b, d , f}, {d, c ,f}, {d, e}, {g}
[问题]相容类与覆盖的关系。
2020/4/13
33
2.7 关系的运算
(1) 关系的一般运算 [定义] 设 R、S是X到Y的二元关系,定义运算如下:
2020/4/13
12
2.3 关系的性质
[定义] 设R是X上的二元关系,则: ① R 是自反的 (x)(xXxRx) ② R 是对称的 (x)(y)(x,yXxRyyRx) ③ R 是传递的 (x)(y)(z)(x,y,zXxRyyRz xRz) ④ R 是反自反的 (x)(xX¬(xRx)) ⑤ R 是反对称的 (x)(y)(x,yXxRyyRx x = y)
3
2.1 关系的概念
[例] Subroutines={a,b,c,d,e} 子程序间调用关系
图示为:
Calling={<a,a>,<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>,<c,c>, <c,e>, <d,d>}
Calling Subroutines Subroutines
2020/4/13
xyz
非0行对应元素构成 D(S) 非0列对应元素构成 R(S)
2020/4/13
10
2.2 关系的表示方法
(3) 关系图表示法 用结点表示X、Y上的元素;若 <x,y>R 则从结点 x到结点y画一条弧。
[例] 上述Teaching关系的关系图:
2020/4/13
11
2.2 关系的表示方法
[例] 设 X={1,2,3,4},X 上的关系 “ > ”:
[值域] 由<x,y>S的所有对象 y 组成的集合称为S的 值域,记为Ran(S) (Range(S))。记 F(S) = D(S) R(S) ,称为 S 的域。
❖ 描述:Dom(S) = {x| (y)(<x,y>S)} Ran(S) = {y| (x)(<x,y>S)}
2020/4/13
7
2.1 关系的概念
[证明] 由上述结论得到。
❖ 将该划分记作:X/R={[x]R|xX}
2020/4/13
28
2.5 等价关系
[定理] X上的任意划分均可确定一个等价关系。 [证明] 设X上的一个划分为 A={A1, A2,…, An},定义
R={<x,y>|x,yX(Ai)(AiAxAiyAi)} 可以证明R具有 自反性: 对称性: 传递性:
[例] 正整数集合上的若干关系及其性质
整除 =
自反性
对称性
传递性
反自反性
反对称性
≤<
❖ 判定关系“<”的反对称性的前提条件总为F, 反 对称性成立。
2020/4/13
15
2.3 关系的性质
❖ 从关系矩阵和关系图看关系的性质: ▪ R是自反的:MR的对角元均为1; 关系图为自环图。
传递性:设 xRy 且 yRz,即
xy=mL1,yz=mL2 ,L1、L2 为整
数
则 xz = mL1+mL2=m(L1+L2)
故 xRz
2020/4/13
24
2.5 等价关系
[等价类] 设R为X上的一个等价关系,对任何xX,所 有与x有关系R的元素的集合,称为X上由x生成的 R–等价类。记为 [x]R。 [x]R={y|yX xRy}
❖ 显然有:Dom(S R) Dom(R)
Ran (S R) Ran(S)
2020/4/13
36
2.7 关系的运算
❖ 关系的复合运算没有交换律。
[定理] 关系复合运算的结合律:设二元关系 R:XY,S:YZ, P:ZW,
则有 (P S) R= P (S R) [证明]
2020/4/13
37
[例] N上的模6同余关系 R={<x,y>|x,yN (xy)=6L,L为整数} 自反性: 对称性: 传递性:
2020/4/13
23
2.5 等价关系
[定理] N上的模m同余关系是等价关系。 [证明] 自反性: xx = 0,故 xx = mL,这里L=0。
对称性:设 xRy 即 xy=mL,L为整数 则 yx= mL,故 yRx。
第二章 关系与序关系
• 关系的概念 • 关系的表示 • 关系的性质 • 等价关系 • 关系的运算 • 偏序关系
2020/4/13
1
2.1 关系的概念
[例]设A={Alice,Bob,Tom}, B={Algebra,Graphs, Sets}
Alice选修了Graphs, Bob选修了Algebra, Graph和Sets; Tom选修了Algebra,Graphs;