时间序列分析 滑动平均模型和自回归滑动平均模型

即
j 1
j 0
p
q
k aj kj bjE(tj l tkl )
j1
j0
l0
p
q
aj kj bj jk.kZ
j1
j0
当 q k 时 j k0 ,j0 ,1 ,K ,q .上式为
p
k aj kj,k q1 j1
总之
p k aj
kj
2
b q
jmax(0,k) j
C ( )X tD ( )t,t Z
成立。则 C ( z ) 的阶数 p,D(z) 的阶数 q 。
ARMA序列的Y-W方程
ARMA模型的ห้องสมุดไป่ตู้稳解为
所以
X t
j t j
j0
E (tkX t)0,k0
（1）
两边同乘以 X t k 求期望得
p
q
E (X t jX t k) E (X t jX t k) b jE (t jX t k)
(aTp ,bqT ,2) 相互惟一决定。
自协方差
02 (1 b 1 2 b 2 2 ),22 b 2 12 (b 1 b 1 b 2 ),k 0 ,k 2 自相关系数
1 1 b 1 b 1 2 b 1 b b 2 2 2, 2 1 b 1 b 2 2 b 2 2, k 0 ,k 2 .
谱密度
f() 22|1b1eib2ei2|2
B1(z) jzj,|z|1(0) j0
所以 t B1()Xt jXtj j0
(1.4)
MA序列的自协方差函数
记 b 0 1 ，则对MA(q)序列有 EX t 0 ，
2
qk
j0bjbjk,0kq
E(XX ) k
t tk
0,kq
(1.5)
MA序列的谱密度
定理1.1 MA(q)序列{ X t } 的自协方差函数 是q步截尾的：
b0 1,apbq 0
以及：
p
A(z) 1 a j z j 0,| z | 1, j 1
q
B(z) bj z j 0,| z | 1, j0
(2.1)
就称差分方程：
p
q
Xt ajXtj bjtj,tZ.
j1
j0
(2.2)
是一个自回归滑动平均模型，简称 ARMA(p,q)模型。称满足(2.2)的平稳序 列 { X t } 为平稳解或ARMA(p,q)序列。
我们将证明：由ARMA(p,q)模型的自协方 差函数 { k } 可以决定ARMA(p,q)模型的参 数
( a T ,b T ,2 ) ( a 1 ,K ,a p ,b 1 ,K ,b q ,2 )
引理2.2 设{ X t } 是(2.2)的平稳解。如果 又有白噪声和实系数多项式 C(),D()使 得
由自协方差绝对可和时谱密度公式得
f
()
1
2
q
eik k
kq
由引理，
f
()
2
|
B(ei)|2
.
2
B ( z ) 单位圆内没有根
如果 B ( z ) 在单位圆上都没有根，则可定 义 t B1()X1，用线性滤波的谱密度公式 可得{ t } 的谱密度是白噪声谱密度。
单位圆上可能有根的一般情况可以用 hilbert空间预测的方法证明。
MA(2)序列
可逆MA(2)
X tt b 1t 1 b 2t 2 ,t Z
B (z ) 1 b 1 z b 2 z 0 ,|z| 1 .
可逆域：
{ ( b 1 , b 2 ) : B ( z ) 0 , |z | 1 } { ( b 1 , b 2 ) : b 2 b 1 1 , | b 2 | 1 }
MA(2)序列的实际例子
MA(2)的实际例子：
X tt 0 .3 6t 1 0 .8 5t 2
特征根为 1.084652ei1.374297。
0 2 (1 b12 b22 ) 7.4084 1 2 (b1 b1b2 ) 2.664 2 2b2 3.4 k 0, k 2
滑动平均模型的例子
每隔两小时记录的化学反应数据时间序 列 {X t,t1 ,2,L197}。
一阶差分得
y t x t x t 1 ,t 2 ,L ,1 9 7
{ y t } 的样本自相关系数列呈现截尾性。
可以拟合
^
Yt t bt1,tZ
模型特点是 k } 1步截尾
(1.1)
MA(q)模型和MA(q)序列
q q 1
M
q 1
L
q
L
M
q p 1
q p2
L
q p 1
q
p2
M
q
只要 p , q 可逆则可解出 a1,K ,ap 。
（2）
解出 a1,K ,ap 后令
Y t A ( )X t B ( )t,t Z
则{ Y t } 是一个MA(q)序列。其自协方差函 数为q步截尾，且
ARMA序列的模拟生成
k r(j)1
|Yt Xt |
|Vl,j|tl jt,t
(2.8)
可以据此j模1 l拟0 ARMA模型：取初值
递推的 Y (p 1 ) L Y 1 Y 0 0 ,
p
q
Y t ajY tj bj tj,t1,2,L,m n
j1
j0
当m较大时取后一段Y t,t m 1 ,m 2 ,K ,m n
定义1.1 设{ t } 是 WN(0, 2) ，如果实数
b1,b2L,bq(bq0)使得
则称
q
B(z)1 bjzj 0,|z|1, j1
q
Xt t bj tj,tZ
(1.2)
j1
是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；
称由(1.2)决定的平均序列 { X t } 是滑动平 均模型，简称为MA(q)序列。
MA(q)系数的计算
MA(q)序列的系数 (b1,b2,L,bq)及 2可以被
数 0,1,L,q唯一确定。
可以用文献 [ 5 ] 方法计算模型参数。
MA(q)系数的计算
记
0 1 0 K 0 0
0
0
1
K0
0
A K K K K K K
0
0
0
K0
1
0 0 0 K 0 0 qq
1
k
2
K
作为ARMA(p,q)模型的模拟数据。
当 A ( z ) 有靠近单位圆的根时m要取得较大
ARMA序列的自协方差函数
{ k } 可由wold系数表示：
k 2 jjk,k0,1,2,K j0
(2.10)
由于j o(j),j由, (2.10)可得
k o(j),j .
ARMA模型Wold系数的递推公式
q
2 K 3 K KK q1 K
k
k 1 K
,
qk 1
1
c
0
M
0
q1
1
q
2
M
q
(1.11)
则有：
其中 b q 1 2(qA C ),20C T C , (1.12)
kl im kk1Tk .
(1.13)
MA(1)序列
可逆MA(1)
X t t b t 1 ,t:W N ( 0 ,2 ) ,|b | 1
(1 , 2 ) ( 0 .3 5 9 6 ,0 .4 5 8 9 ).
§3.2自回归滑动平均模型
ARMA(p,q)模型及其平稳解 ARMA(p,q)序列的自协方差函数 ARMA(p,q)模型的可识别性 ARMA序列的谱密度和可逆性 例子
ARMA模型
定义2.1 设{ t } 是WN(0, 2) 。实系数多项 式 A ( z ) 和B ( z ) 没有公共根。满足
模型(2.2)的任意解可写成
k r(j) 1
Y tX t
V l,jtl jtco s(jtl,j),z Z
(2.7)
j 1l 0
其中 { X t } 为平稳解(2.6). z1,z2,L,zk为 A ( z )
的全体互不相同的零点。zj
eij j
有重数r
(
j
)
随机变量Vl, j , l, j 由Y 0 X 0 ,Y 1 X 1 ,L ,Y p 1 X p 1 唯一 决定。
即
X tA 1 ( )B ( )t ( )t
(2.6)
是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解。
称(2.6)中的 { j } 为{ X t } 的Word系数。
定理2.1 由(2.6)定义的平稳序列 { X t } 是 ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解。
ARMA模型方程的通解
q2bq0,k0,|k|q.
并且有谱密度
(1.6)
f() 2 2|B (ei)|22 1 k q qke ik, [ ,]. (1.7)
MA(q)序列的充要条件
定理1.3 设零均值平稳序列{ X t } 有自协
方差函数{ k } ，则{ X t } 是MA(q)序列的充 分必要是
q0,k0,|k|q.
如果进一步要求多项式 B ( z ) 在单位圆周 上也没有零点：B z 0 , 当 | z | 1 ，则称(1.2) 是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间 序列是可逆的MA(q)序列。
MA的特征
用推移算子把模型写为
Xt B()t,tZ
(1.3)
对于可逆MA，B 1 ( z ) 有Taylor 展式
记 或
bj 0, j 0
jq,b 01 ;j 0,j0.
由参数 计算 时
a p ( a 1 K K a p ) T . b p ( b 1 K K b q ) T
{ j}
可以递推
j 1 b,jj0,p j1akjk, j1,2K
(2.11)
Wold递推公式的证明
记 。注意
自协方差和自相关
0 1
2 (1 2b
b
2
)
k
0,k
2
1
1
b b
2
k 0 , k 2
谱密度
f()2|1 b e i|2 2( 1 b 2 2 b c o s) , [,]
2
2
偏相关系数不截尾：
逆表示
ak,k ((1b)kb(12k2b)2),k1
t (b) j Xt j j0
y (k ) E (YtYtk )
pp
j l E ( X t j X t l )
j0 l0
pp
j l k l j , 0 k q
j0 l0
可以用3.1的方法唯一解出 b1,K,bq,2 。
于是，只要 p ,q 可逆，则ARMA(p,q)序列 的自协方差函数和ARMA(p,q)模型的参数
第三章
滑动平均模型与 自回归滑动平均模型
本章结构
滑动平均模型 ARMA模型
§3.1 滑动平均模型
模型引入 MA(q)和MA(q)序列 最小序列 MA(q)系数的递推计算 MA(q)模型举例
q步相关
平稳序列{ X t } 的自协方差函数若满足 q 0， k 0,kq，则称{ X t } 是q步相关的。
2bq,k q
jk,k q
j1
0,k q
(2.14)
对k q 的Y-W方程可以写成矩阵形式：
q1 q
q2
q1
M M
q1 q
L
qp1a1
L
qp2a2
M
M M
qp
qp1
qp2
L
q ap (2.15)
把系数矩阵记为 ： p , q
( ) p ,q
|q i j | i , j 1, 2 ,K , p
A (z ) 1
p j 1 a jzj
z p
j
j 0 j
p
A( z ) ( z ) k z k j z j
k 0
j0
p
k j k z j B ( z )
j0 k0
比较系数得
p
k jk bj , j 1
k0 p
j aj jk bj, j 1 j1
即(2.11)成立。
可识别性
引理1.2
引理1.2 设实常数{ c j } 使得 c q 0 和
g()21 jqqcjeij0,[,].
则有唯一的实系数多项式：
q
B(z)1 bjzj 0,|z|1,bq0.
使得
j1
g()
2
|
B(ei)|2
.
2
(1.8)
这里 2 为某个正常数。(注：c j c j )
定理1.3的证明
稳列。
两边用 A ( ) 作用
A ( ) ( )t A ( ) A 1 ( )t B ( )t
即 ()t 是ARMA(p,q)模型(2.2)的解。
惟一平稳解
反之，若{ Y t } 是(2.2)的一个平稳解，在 (2.2)两边用 A 1 ( ) 既得
A 1 ( ) A ( ) Y t Y t A 1 ( ) B ( )t ( )t
ARMA模型平稳解
模型写成 A ( )X tB ( )t,t Z
(2.3)
A1(z)B(z) 在 | z | 解析( 1m in{zj},{zj}为 A ( z )
的所有根)，可以Taylor展开
(z)@ A1(z)B(z) jzj,|z| j0
易见
(2.4)
是线性平 j o ( j) ,A 1 ( ) B ( )t ( )t j 0jt j