信息与编码编码12

d2 n 1
i0
i
(q
1)i
q nk
（1）
则一定存在一个最小距离至少是d的q元[n,k]线性码。 因此，对于给定的n和d，
Aq (n, d) qk
其中k为使不等式(1)成立的最大整数。
2020/9/5
14
第七章 线 性 码
定理7.2.4 设L是一个q元[n,k,d]线性码，则
d nk 1
例 7.2.2 设L={000,110,011,101},则容易看出L 是一个二元[3,2]线性码。容易验证
L {000, 111}
即 L是 二元[3,1]线性码。
2020/9/5
9
第七章 线 性 码
定义7.2.2 设L是一个q 元[n,k]线性码， L的生成矩阵 H称为线性码L的校验矩阵。 值得注意的是，由于的基不惟一，所以L的校验矩阵 不惟一。但校验矩阵的秩是惟一的，都等于n-k。
设L是一个q元[n,k]线性码，其生成矩阵是G，校验 矩阵是H，则 x L的充分必要条件是xHT=0,
设H=(hij)（n-k）×n , x=(x1,x2,…,xn),则xHT=0等价于 以下线性方程组成立：
2020/9/5
10
第七章 线 性 码
h11x1 h12x2 ... h1n xn 0, h21x1 h22x2 ... h2n xn 0, ...
2020/9/5
5
第七章 线 性 码
例7.1.1 设二元线性码的生成矩阵为
1 1 0 0 G 0 1 1 1
1 0 1 0
对于任意 x x1x2x3, x ，V其(3所,2)对应的码字为
1 1 0 0 (x1, x2 , x3 )0 1 1 1 (x1 x3, x1 x2 , x2 x3, x2 )
11
第七章 线 性 码
对于二元线性码L，如果G=(Ik|A) ，则校验矩阵 H=(AT|In-k) 。
对于线性码，其校验矩阵和最小距离有着密切的关系.
定理 7.2.2 设L是一个q元[n,k]线性码，其校验矩阵 为H，则d(L)=d的充分必要条件是H的任意d-1列线 性无关，但存在d列线性相关。
2020/9/5
4
第七章 线 性 码
如果L是q元[n,k]线性码，G是它的生成矩阵，则L中的每一 码字是G的行向量的线性组合，即
L {xG | x V (k, q)}
这给我们提供了一种非常简单的编码方法。如果信 源信息可由V(k,q)中的向量来表示，则对任意 x∈V(k,q) 通过编码可以变为码字xG。
对于一个q元[n,k,d]线性码，如果d=n-k+1,则它具有 最大可能最小距离。这样的线性码称为最大距离可 分码或最优码，简称为MDS码。
第七章线性码（一）
2020/9/5
1
第七章 线 性 码
本节主要介绍线性码理论的一些基本知识，主要内容 包括：
线性码的定义 线性码的对偶码
2020/9/5
2
第七章 线 性 码
定义7.1.1 如果L∈V(n,q)是V(n,q)的线性子
空间，则称L为q元线性码.如果L是V(n,q)的
k维子空间，q元线性码可以表示为q元[n,k] 线性码。如果L的最小距离是d，则称L是一 个q元[n,k,d]线性码。
称为L的对偶码。
一个线性码的对偶码实际上是与其所有码字都正交
的向量的集合，下面的定理给出了线性码的对偶码
的一些性质。
2020/9/5
7
第七章 线 性 码
定理 7.2.1 设L是一个q 元[n,k]线性码。
(1)如果G是线性码L的生成矩阵，则
L {x V (n, q) | xGT 0}
称为Ｌ的对偶码。 (2)L的对偶码 L是 一个q 元[n,n-k]线性码。
1 1 0 1 0 0 1
因为H的任意两列线性无关，且第三列是前两列
的和，所以前三列线性相关。因此，Ham(3,2)的
最小距离为3。实际上，我们将会发现所有汉明码
的最小距离都是3。
2020/9/5
13
第七章 线 性 码
定理7.2.3 (Gilbert-Varshamov界)设q是一个素数的
幂次方，如果n,k,d满足
线性码的最小重量和最小距离有密切的关系， 事实上它们相等。
定理7.1.1 设L是线性码，则d(L)=w(L)。
2020/9/5
3
第七章 线 性 码
因为线性码是一个向量空间，所以可以用它 的一组基来刻画它。当我们把线性码的基向 量作为行向量排成一个矩阵时，此矩阵称为 线性码的生成矩阵。
定义7.1.2 设L是一个q 元[n,k]线性码，由L的 一组基作为行向量所组成的阶矩阵G称为线性 码L的生成矩阵。如果G=(Ik,A)，则称G为线 性码L的标准型的生成矩阵，其中Ik为k阶单 位矩阵，A为k×(n-k)阶矩阵。
例 7.2.3 以下类型的码为Haming码，可以得到
Ham(3,2)码的生成矩阵为 1 0 0 0 0 1 1
2020/9/5
G 0 1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1
12
第七章 线 性 码
则Ham(3,2)的校验矩阵为
0 1பைடு நூலகம்1 1 1 0 0 H 1 0 1 1 0 1 0
1 0 1 0
2020/9/5
6
第七章 线 性 码
例 7.1.2 码长为n的q 元重复码是一个[n,1,n]线性码， 它的生成矩阵为G=(1 1…1)。
7.2 线性码的对偶码
在线性码中内积可以记为x·y=＜x，y＞，它在线性 码理论中起着重要作用。
定义 7.2.1 设L是一个q 元[n,k]线性码，集合
hnk,1x1 hnk,2 x2 ... hnk,n xn 0,
因此要判断x是否为Ｌ中的码字，只需要验证它是否 为上述线性方程组的解。因此体现了Ｈ的校验性。
如果G=(Ik|A)为标准型，我们很容易得到线性码Ｌ的 校验矩阵。只要令H=(-AT|In-k),则 GHT=-A+A=0
2020/9/5
(3) (L ) L
在下面的例子中我们有 L 。L这时，线性码L称为
是自对偶的。
2020/9/5
8
第七章 线 性 码
例 7.2.1 对于二元[4,2]线性码L={0000, 1100, 0011, 1111}
我们有 L 。L 因为
dim( L ) dim( L) 2
所以根据定义容易验证 L ，L即L是一个自对偶码