一元二次方程复习知识点和习题

一元二次方程复习

一)一元二次方程的定义

ax2 bx c 0(a 0)是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的

最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。ax2 bx 0；ax2 c 0；ax2 0这三个方

程都是一元二次方程。求根公式为x —一—4ac b2 4ac 0

2a

2

二)ax bx c 0( a 0)。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？

1、= b2 4ac当厶>0时方程有2个不相等的实数根；

2、当厶=0时方程有两个相等的实数根；

3、当4 < 0时方程无实数根•

4、当0时方程有两个实数根(方程有实数根) ；

5、a c<0时方程必有解，且有两个不相等的实数根；

6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为 -

a 7、当a、b、c是有理数，且方程中的△是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数

根。

8若X i, X2是一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根，

b c

即①x i X2 —X i?X2 -(注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足

a a

A> 0这个条件，否则解题就会出错。)

例：已知关于X的方程x2 2 m 2 x m20,问：是否存在实数m使方程的两个实数

根的平方和等于56,若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。

_ 2

②一元二次方程ax bx c 0（a 0）可变形为a x x1 x x20的形式。可以用求根公式法分解二次三项式。

9、以两个数x i X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2- （X1+X2）x+ x 1 X2= 0 10几种常见的关于x1, x2的对称式的恒等变形

2 ①X1X2 2 X1 X2 2 2

X1X2

②X13

X2 3

X1 X2

2 2 2 小

x1 x1x2 x2x1 x2 x1 x 23X1X2

③X12

X2 X1

2

X2

X1

X2 X1 X 2

④X1 a X2 a X1

2 x2 a x1 x2 a

1 1 X1 X

2 x1X2X1x2

⑥

1 1 2

X1

2

X2

2

X1 X2

2X1X2

2 2 2 2 2

X1 X

2

X1 X2 X1x2

⑦X1 X2 v X1 2

X2

r

V X X

2

4X1X2

三）例题

1如果方程x2-3x+c=0有一个根为1,求另一个根及常数项的值。

解法一）用方程根的定义解：解法二）用根系数关系解:

2用十字相乘法解一元二次方程（一元二次方程的左边是一个二次三项式右边是0,这样的题型若能用十字相乘法解题的、要尽量使用十字相乘法、因为他比用公式法解题方便得

多）。

十字相乘法的口诀是：右竖乘等于常数项，左竖乘等于二次项系数，对角积之和等于一次项系数。三个条件都符合，结论添字母横写（看成是关于谁的二次三项式就添谁）

2

解下面一道一元二次方程x -110x+2925=0

-65 -45= -110 四）△与根的关系的综合运用（ax2+bx+c=0, a丰0）

2

ax +bx+c=0,

(a>0) △ >0

有两个

不相等的实

数根

C>0

两根同号

b>0 有两个负根不相等

b<0 有两个正根不相等

C< 0

两根异号

b>0

负根绝对值较大（正根绝对值较

小）

b<0

正根绝对值较大（负根绝对值较

小）

b =0 两根绝对值相等

C=0

一根为零

b>0 一根为0另一个根为负根

b<0 一根为0另一个根为正根

△ =0

有两个相

等的实数根

b>0 有两个相等的负根

b<0 有两个相等的正根

b =0 有两个相等的根都为0

X1+X2”与“ 0”的关系综合判断一元二次方程根的情况

计X2< 0

1有两个不相等的负实数根

2有两个不相等的正实数根>0

3负根的绝对值大于正根的绝对值

4两个异号根正的绝对值较大

5两根异号，但绝对值相等

l

+X 2= 0

△ >0

6 一个负根，一个零

根

7 一个正根，一个零

根

8有两个相等的负根

10有两个相等的根都为零

l

+X 2>0

△ >

1

+X 2< 0

△ >

l

+X 2>0

△ >

l

+X 2< 0

△ >

1

+X 2>0

l

+X 2< 0

9有两个相等的正根 >0

计

X 2>0

X i +X 2= 0