山东科技大学考研专业课真题_高等代数2014
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一、计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1. 计算 4 级行列式的值：
1 2 3 4 2.
2 ห้องสมุดไป่ตู้ 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
3 2
求 g ( x) 除 f(x)的商 q ( x) 与余式 r ( x) 。 其中 f ( x) x x x ，
g ( x) x 2 。
3. 求矩阵 A 的初等因子及若尔当 （Jordan） 标准形， 其中矩阵 A 为：
A E 0 ， 3 A E 0 ，求 A 3E 的值。
二、(20分) 已知三平面方程
1 : x y 3z 8 2 : 2x y 2z 6 3 : 3x 2 y 3z
问： , 取何值时（1）三平面交与一点； （2）三平面无交点； （3）三平 面相交于一条直线？（提示：三平面方程联立得非齐次线性方程组，方程
2
2. 对 n 阶方阵 A ，有 A 2 A 3E 0 ，求证
2
R ( A E ) R ( A 3E ) n 。
3. 证明：如果 ( x x 1) f ( x ) xg ( x ) ，则 f ( x) 与 g ( x) 一定不
2 3 3
互素。 证明 4. 向量组 1 , 2 , r 线性无关，1 , 2 , r , 线性相关， 可由 1 , 2 , r 线性表出并且表示法唯一。 5. 设 与 是复数域上线性空间 V 的线性变换，并且两者可交换， 即 。求证 的特征子空间 V 是 的不变子空间。 6.
2 0 1 A 0 2 0 。 2 2 1 1 1 0 4. 设 A 1 1 1 ，求 X 使 AX X A 。 0 1 1
5. 设 A 为 3 阶方阵， E 为与 A 同阶的单位矩阵， A 2 E 0 ，
组有唯一解时三平面交与一点，方程组无解时三平面无交点，方程组有无 穷多解且解空间是一维时三平面交与一条直线） 。 三、(20分) 设二次型
2 2 f(x 1,x 2 ,x 3 ) x12 4x 2 4x 3 2 x 1x 2 2x 1x 3 4x 2x 3 ，
1. 参数 取何值时二次型f (x 1,x 2 ,x 3 )正定？ 2. 令参数 1 ， 做正交线性变换 X TY 化二次型f (x 1,x 2 ,x 3 )为 标准型。 四、证明题(每小题 10 分，共 60 分) 1. 如果 n 阶方阵 A 满足对称阵，对合阵，正交阵中的两个，则必满 足第三个(对合阵即 A E )。
n 阶实对称 A 对任意的实 n 维列向量 X 都有 X T AX 0 ，证明：
A 为零矩阵。
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2 ห้องสมุดไป่ตู้ 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
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求 g ( x) 除 f(x)的商 q ( x) 与余式 r ( x) 。 其中 f ( x) x x x ，
g ( x) x 2 。
3. 求矩阵 A 的初等因子及若尔当 （Jordan） 标准形， 其中矩阵 A 为：
A E 0 ， 3 A E 0 ，求 A 3E 的值。
二、(20分) 已知三平面方程
1 : x y 3z 8 2 : 2x y 2z 6 3 : 3x 2 y 3z
问： , 取何值时（1）三平面交与一点； （2）三平面无交点； （3）三平 面相交于一条直线？（提示：三平面方程联立得非齐次线性方程组，方程
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2. 对 n 阶方阵 A ，有 A 2 A 3E 0 ，求证
2
R ( A E ) R ( A 3E ) n 。
3. 证明：如果 ( x x 1) f ( x ) xg ( x ) ，则 f ( x) 与 g ( x) 一定不
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互素。 证明 4. 向量组 1 , 2 , r 线性无关，1 , 2 , r , 线性相关， 可由 1 , 2 , r 线性表出并且表示法唯一。 5. 设 与 是复数域上线性空间 V 的线性变换，并且两者可交换， 即 。求证 的特征子空间 V 是 的不变子空间。 6.
2 0 1 A 0 2 0 。 2 2 1 1 1 0 4. 设 A 1 1 1 ，求 X 使 AX X A 。 0 1 1
5. 设 A 为 3 阶方阵， E 为与 A 同阶的单位矩阵， A 2 E 0 ，
组有唯一解时三平面交与一点，方程组无解时三平面无交点，方程组有无 穷多解且解空间是一维时三平面交与一条直线） 。 三、(20分) 设二次型
2 2 f(x 1,x 2 ,x 3 ) x12 4x 2 4x 3 2 x 1x 2 2x 1x 3 4x 2x 3 ，
1. 参数 取何值时二次型f (x 1,x 2 ,x 3 )正定？ 2. 令参数 1 ， 做正交线性变换 X TY 化二次型f (x 1,x 2 ,x 3 )为 标准型。 四、证明题(每小题 10 分，共 60 分) 1. 如果 n 阶方阵 A 满足对称阵，对合阵，正交阵中的两个，则必满 足第三个(对合阵即 A E )。
n 阶实对称 A 对任意的实 n 维列向量 X 都有 X T AX 0 ，证明：
A 为零矩阵。