4.三大统计分布

在给定概率α的条件下， 在给定概率 的条件下，满足 的条件下
不同于正态分布中是 ”<”
或者说表达式
> X a2 （n） ）
的概率为α 的概率为
统计变量
服从卡方分布，其本质含义是： 服从卡方分布，其本质含义是：
在给定概率α的条件下， 在给定概率 的条件下，满足 的条件下
不同于正态分布中是 ”<”
或者说表达式
读作：变量 服从第一自由度为 服从第一自由度为n 第二自由度为n 读作：变量F服从第一自由度为 1，第二自由度为 2的F分布 分布
• F分布的概率密度曲线的图形 分布的概率密度曲线的图形
• F分布概率表 分布概率表
P{ F >Fa（n1，n2）}＝a ＝
• 查F 分布表
• 卡方分布、t分布和 分布常常被人们称为数理统 卡方分布、 分布和 分布和F分布常常被人们称为数理统 计学中的三大统计分布． 计学中的三大统计分布．
• 查t 分布表
• F分布 分布
由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的， 由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的， 以其姓氏的第一个字母来命名
•
设随机变量x， 相互独立 相互独立， 设随机变量 ，y相互独立， Y～ ～ 记
则随机变量F服从第一自由度为 1，第二自由度为 则随机变量 服从第一自由度为n 服从第一自由度为 n2的F分布． 分布． 分布 记作： 记作：F~F(n1，n2)
这个命题的意义何在？ 这个命题的意义何在？
• 讨论：如何确定样本容量？ 讨论：如何确定样本容量？ 从何角度思考？ 从何角度思考？
换个角度看： 换个角度看： • 设X~N(µ,4)，欲使样本均值与总体数 样本均值与总体数 ，欲使样本均值 学期望的误差小于0.4的概率为 的概率为95％， 学期望的误差小于 的概率为 ％， 问至少应抽取多大容量的样本? 问至少应抽取多大容量的样本
注意： 注意：与正态分布中原始变量的标准化的异同
抽样分布定理： 抽样分布定理：
X −µ 作统计量： 作统计量： U＝ σ n
则有统计量u服从标准正态分布， 则有统计量 服从标准正态分布，即： 服从标准正态分布
X − µ U＝ ～ N ( 0 ,1 ) σ n
• 当X的分布不明确时，增大样本容量后，统 的分布不明确时， 的分布不明确时 增大样本容量后， 计学中常用到的统计量平均数： 计学中常用到的统计量平均数：
统计分布及其应用
设：统计量X ~ N(µ, σ2 )， 统计量 ，
则：
X −µ
σ
~ N（0，1）
即为正态分布标准化。 即为正态分布标准化。
当X ~ N(µ, σ2)， ，
• 统计学中常用到的统计量
平均数
1 X＝ ∑ X i n i＝1
n
它的分布规律如何? 它的分布规律如何
X ~ N(µ, σ2)， ，
据此可以讨论有关单个样本均值、总体均 据此可以讨论有关单个样本均值、 单个样本均值 值关系的问题。 值关系的问题。
抽样分布定理： 抽样分布定理：
抽样分布定理：
据此可以讨论有关单个样本方差、 据此可以讨论有关单个样本方差、总体方 单个样本方差 差关系的问题。 差关系的问题。
抽样分布定理：
据此可以讨论有关单个样本方差、 据此可以讨论有关单个样本方差、总体方 单个样本方差 差关系的问题。 差关系的问题。
据此可以讨论有关两个样本方差、 据此可以讨论有关两个样本方差、总体方 两个样本方差 差关系的问题。 差关系的问题。
• 定理：
据此可以讨论有关两个样本方差、 据此可以讨论有关两个样本方差、总体方 两个样本方差 差关系的问题。 差关系的问题。
据此可以讨论有关两个样本均值、总体均 据此可以讨论有关两个样本均值、 两个样本均值 值关系的问题。 值关系的问题。
• 三大统计分布的应用
讨论有关单个样本均值、 讨论有关单个样本均值、总体均值关系的 单个样本均值 问题。 问题。
• 案例： 案例： • 为检查某湖水受汞污染情况，从湖中随机取 为检查某湖水受汞污染情况，从湖中随机取 9条鱼龄相近的鱼，测得鱼胸肌中汞含量分 条鱼龄相近的鱼， 条鱼龄相近的鱼 别为（ 别为（ppm）： ）： 1.87，2.13，2.05，1.92，1.95，1.99， ， ， ， ， ， ， 2.16，2.03，2.09 ， ， • 假设汞在鱼胸肌中的含量服从正态分布，试 假设汞在鱼胸肌中的含量服从正态分布， 该湖鱼胸肌中汞含量的 ％置信区间。 求该湖鱼胸肌中汞含量的99％置信区间。
1 1 E ( X ) = E ( ∑ X i ) = E ( ∑ X i )＝E ( X i )＝µ n n
1 1 1 1 D ( X ) = D ( ∑ X i ) = 2 D ( ∑ X i )＝ D ( X i )＝ σ 2 n n n n
因此有： 因此有：
1 1 2 X = ∑ X i～ N ( µ， σ ） n n
• 设X~N(µ,4)问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本 才能使样本均值与总体数学期望的误差小 于0.4的概率为 ％? 的概率为95％ 的概率为 • 即求： 即求：
P{ X − µ < 0.4} = 95%
接下来如何处理？ 接下来如何处理？ 竭力地去想与之有关的并已经明确统计分布 的统计量并构筑这样的统计量
Q & A? Thanks!
变换为： 变换为：
− 0 .4 X − µ 0 .4 P{ < < } = 95 %
σ
n
σ
n
σ
n
− 0.4 X − µ 0.4 P{ < < } = 95%
σ
n
σ
n
σ
n
即：
2φ（
σ
0 .4 n
）－ 1＝ 0 . 95
2φ（
σ
0 .4 n
）－ 1＝ 0 . 95
即：
φ（
σ
0 .4 n
）＝ 0 . 975
> X a2 （n） ）
的概率为α 的概率为
• 不同自由度的卡方分布 的概率密度曲线图形如 图所示． 图所示．
不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10 n=20
χ2
• 查卡方表
•
设随机变量x， 相互独立 相互独立， 设随机变量 ，y相互独立， X~N(0，1)， ， ， 记 Y~
则随机变量T服从自由度为 的 分布 分布． 则随机变量 服从自由度为n的t分布． 服从自由度为
• 设X~N(µ,4)问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本 才能使样本均值与总体数学期望的误差小 于0.4的概率为 ％? 的概率为95％ 的概率为 • 即求： 即求：
P{ X − µ < 0.4} = 95%
接下来如何处理？ 接下来如何处理？ 竭力地去想与之有关的并已经明确统计分布 的统计量并构筑这样的统计量
课堂练习： 课堂练习： • 设X~N(µ,4)问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本 才能使样本均值与总体数学期望的误差小于 才能使样本均值与总体数学期望的误差小于 样本均值 0.4的概率为 ％? 的概率为95％ 的概率为
课堂练习： 课堂练习： • 设X~N(µ,4)问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本 才能使样本均值与总体数学期望的误差小于 才能使样本均值与总体数学期望的误差小于 样本均值 0.4的概率为 ％? 的概率为95％ 的概率为
据此可以讨论有关两个样本均值、总体均 据此可以讨论有关两个样本均值、 两个样本均值 值关系的问题。 值关系的问题。
案例：南农（均值 ，方差6） 案例：南农（均值85，方差 ）与南理工英 均值83，方差4） 语（均值 ，方差 ）六级成绩的差异
• 定理：
据此可以讨论有关两个样本均值、总体均 据此可以讨论有关两个样本均值、 两个样本均值 值关系的问题。 值关系的问题。
• t分布的概率密度曲线的图形 分布的概率密度曲线的图形
N>45，即为标准正态分布 ，
• t分布 分布
的数t 的数 a(n)，称为 分布的上侧分位数 ，称为t分布的上侧分位数 对于较大的n（ 对于较大的 （>45）可以用标准正态分布的 ） 上侧分位数u 作为t分布的上侧分位数 上侧分位数 a作为 分布的上侧分位数
1 1 2 X = ∑ X i～N ( µ， σ ） n n
如何将其标准化？ 如何将其标准化？
1 1 2 X = ∑ X i～N ( µ， σ ） n n
如何将其标准化？ 如何将其标准化？
X − µ ～ N ( 0 ,1 ) σ n
抽样分布定理： 抽样分布定理：
X −µ 作统计量： 作统计量： U＝ σ n
X − µ U＝ ～ N ( 0 ,1 ) σ n
构造一个统计量： 构造一个统计量：
X −µ U＝ σ n
据统计量： 据统计量：
X −µ U＝ ～N (0,1) σ n
P{ X − µ < 0.4} = 95%
欲使： 欲使：
即：
P{−0.4 < X − µ < 0.4} = 95%
P{−0.4 < X − µ < 0.4} = 95%
1 X＝ ∑ X i n i＝1
可以近似认为服从
n
N（ µ，
σ
n
2
）的正态分布
总体： 总体： 均值、 均值、方差等 抽 样 样本 均值、 均值、方差等
总体： 总体： 均值、 均值、方差等 抽 样 样本 均值、 均值、方差等 统 计 分 析
总体： 总体： 均值、 均值、方差等 抽 样 样本 均值、 均值、方差等 统计分布 统 计 分 析
查表可知： 查表可知：0.975＝φ（1.96） ＝ （ ） 结论：？ 结论：？
N＝96.04
• 三大统计分布介绍
三大统计分布： 三大统计分布： 是指卡方分布、 分布 分布、 分布 是指卡方分布、T分布、F分布
• 卡方分布
• 统计学中常用到的统计量
n
∑
i＝ 1
X
2 i
记作： 记作：
χ ＝∑ X
• 设X~N(µ,4)问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本 才能使样本均值与总体数学期望的误差小 于0.4的概率为 ％? 的概率为95％ 的概率为 • 即求： 即求：
P{ X − µ < 0.4} = 95%
接下来如何处理？ 接下来如何处理？
利用统计量： 利用统计量：
• 定理：设n个相互独立并且都服从正态 定理： 个相互独立并且都服从正态N(0，1)分 个相互独立并且都服从正态 ， 分 布的随机变量X 布的随机变量 1，X2,…．Xn，记 ．
χ ＝∑ X
2 i＝1
ห้องสมุดไป่ตู้
n
2 i
自由度： 自由度：
随机变量所包含的独立变量的个数
统计变量
服从卡方分布，其本质含义是： 服从卡方分布，其本质含义是：
2 i＝1
n
2 i
等于…… 读作 ：卡方 等于
• 卡方分布（ ） 卡方分布（
由阿贝(Abbe) 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出。 1863年首先给出 年首先给出。 后来由海尔墨特(Hermert)和卡· 后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊 (Hermert)和卡 分别于1875年和1900 1875年和1900年推 (K·Pearson) 分别于1875年和1900年推 导出来。 导出来。