函数可积与存在原函数的关系

函数可积与存在原函数的关系

本文在区间 [a,b]上讨论函数存在定积分与存在原函数的关系。得出的结果

是两者之间没有必然联系，存在定积分不一定存在原函数，存在原函数也不一定

存在定积分。本文主要给出两个反例。

一、存在定积分但不存在原函数的例子

定义函数如下：

0, x [0,1/ 2) (1/ 2,1]

f ( x)

1/ 2

1, x

该函数显然有界， x=1/2 为其唯一的间断点（而且是第一类的），因而可积，

1

f ( x)dx 0 。但因为其有第一类间断点，所以不存在原函数（这个结论是利用

导函数连续性定理得出来的，关于这个定理见本文附录）。

可能有人会想到积分上限函数，它的积分上限函数不是原函数吗？我们看看它的积

分上限函数，容易求得

x

F ( x) f (t )dt 0

显然它的导数并不是 f(x)，而是 f(x)在 x=1/2 处作连续开拓后的函数。关于积分上限函数和原函数之间的关系问题，在学了实变函数这门课后将会变得很简单，这里不再深入讨论。

二、存在原函数但不存在定积分的例子。

定义函数如下：

2x sin 1 2 cos 1,0 x 1

f (x) x 2x x2

0, x 0

首先证明，这个函数存在原函数，我们指出，下面这个函数就是它的原函数：

F (x) x 2 sin 1 ,0 x 1

x2

0, x 0

为此目的，只需证明 F ' (x) f (x) 对任何 x [0,1] 成立，而 0

是显然的，关键是证明 F ' (0) f

(0) ，这里的 F '(0) 要理解为单侧导数。因为

lim F (x) F (0) lim xsin 1

2

0 ，这表明 F '(0) 存在，并且 F

'(0)

f (0) ，这就

证

x 0 x 0

x 0

x

明了 F ( x) 是 f ( x) 在原函数，即 f ( x) 在原函数存在。

现在来考虑 f ( x) 的定积分是否存在，其实容易看出它在闭区间

[0,1] 无界， 因为任意 0 ，函数

f ( x) 在区间 (0, )无界，在这个区间上， 2x sin 1

x

2 是无穷小

量和有界量的乘积，是无穷小量，但

2

cos 1

2 这一项却是在正无穷与负无穷之

x x

间 反复 振动 的 量， 例如 取 x x n

1

，则其值为 1 ，但若取

2n 2n

2

x y n 1 ，则其值为 1

( 2 1) ， 只 要 n 充分大，便可使

( 2n 1)

2 n

x n , y n (0, ) ，同时 f ( x n ) , f

( y n ) 却可以大于任何预先给定的正数。这就是说，

任意

0 ，函数 f ( x) 在区间 (0, )无界，从而在闭区间 [0,1] 无界，而我们知道闭

区间上的无界函数是不可积的，所以

f ( x) 的定积分不存在。

综合上面的结果， 函数在闭区间上存在定积分与存在原函数没有必然联系。

下面是关于导函数连续性定理的资料：

导函数连续性定理 ：若函数 f ( x) 在 x 0

的邻域 U (x 0 ) 内连续，在 x 0 的

空心邻域 U ( x 0 ) 内可导，并且导函数 f ' (x 0 ) 在 x 0 处存在极限

a ，

lim f ' (x 0 )

a ，那么函数

f ( x) 在 x 0 处存在导数，并且

f

'( x 0 ) a 。

x x 0

证明：设 x

x 0 ，x U ( x 0 ) ，则 f ( x) 在闭区间 [ x, x 0 ] 上连续，开区间 (x,

x 0 )

内可导，于是由拉格朗日中值定理得

f

( x) f ( x 0 ) ) ，其中

( , x 0 ) x x 0 f

'( x

在上式中令 x x0（即 x 从左侧趋向 x0，此时也从左侧趋向 x0），得到

f (x) f ( x0 ) lim f '

( ) a ，即 f '( x0 ) a

lim

x x0

x x0x x0

这表明 f ( x) 在 x x0处左导数存在，且等于 a ，同理可证明右导数存在，

也等于 a ，从而 f ( x) 在 x x0处存在导数，且等于 a 。

注：条件中 f (x) 在 x0处的连续性不可缺，因为拉格朗日中值定理要求闭区

间连续，那么在证明左导数存在的时候必须要求 f (x) 在 x0处左连续，证明右导数存在的时候要求 f (x) 在 x0处右连续，合起来就是 f (x) 在 x0处连续。