信息光学标量衍射理论1

U0 ( P ) 可以理解
•20
为在任意单色光照明下在孔径平面产生的光
场分布．
基尔霍夫衍射公式
根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔
径外的阴影区内 U 0 ( P) 0 ，则衍射公式的积分
限可以扩展到无穷，从而有：
e jkr U (Q) U 0 ( P) K ( ) dS r
这里省略常数项c。

•21
衍射与障碍物
— （1）限制波面范围 （2）振幅以一定分 布衰减，（3）以一定的空间分布使复振 幅相位延迟，（4）相位与振幅两者兼而 变化，都会引起衍射，均称为衍射。 所以障碍物的概念，除去不透明屏上 有开孔这种情况以外，还包含具有一定复 振幅的透明片。把能引起衍射的障碍物统 称为衍射屏。
2 2
称为球面波的二次相位因子
• 其相位轨迹方程： ( x x0 ) ( y y0 ) C
为同心圆环簇。
•
光源位于原点，且傍轴近似条件下的发散球面
波复振幅为
a0 k U( x, y ) exp( jkz1 )exp{ j [ x 2 y 2 ]} z1 2z1
•13
2.3 基尔霍夫衍射理论
•16
2. 基尔霍夫衍射理论
基尔霍夫利用数学工具格林定理，通过
假定衍射屏的边界条件，求解波动方程，
导出了更严格的衍射公式 ，从而把惠更
斯—菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论
基础上 。
•17
基尔霍夫衍射理论—基尔霍夫衍射公式
• P0点的单色点光源射衍射屏
• P为孔径平面上任一点，Q为孔径
后方的观察点。 • • r和r0分别是Q和P0到P的距离， 二者均比波长大得多。 n表示衍射屏面法线的正方向。
•4
•标量波衍射理论的核心问题
用确定边界上的复振幅分布来表达光场中任一观测点的
复振幅分布。 如果边界上的复振幅分布相同，即使光的振动方向不同， 所得到的结果也应该一样。 •惠更斯－菲 涅耳理论 •引入干涉理
•惠更斯理 论
•几 何 方 法 ， 直观。缺乏严
•基尔霍夫理 论 •引 入 格 林 函数，严格
1 e h( P, Q) K ( ) j r cos(n, r ) - cos(n, r0 ) K ( ) 2
•27
jkr
jkr 基尔霍夫公式获得的脉冲响应表达式 1 e h( P, Q) K ( ) cos(n, r ) - cos(n, r0 ) j r K ( ) 其中 2 公式一般相当复杂，根据实际条件可使之适当简化。
论，不完善
格理论根据
标量衍射
2.2 标量理论
• 空间任意一点电场或磁场分量在无源区满足的标
2 1 量波动方程，2u ,式中 u 0 v 2 t 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z 为拉普拉斯算子。
v 1/ 为电磁波传播速度。
• 波动方程为线性方程，满足该波动方程的基本解
振幅的相干叠加。
• 如果把衍射过程看作是一种变换，衍射公式便
是将函数 U0 ( P) 变换成 U (Q) 的变换式。
• 按照系统的观点，衍射过程或传播过程也可以
等效为一种线性系统的线性变换， h( P, Q)
代表了这个系统的全部特性
•26
3. 相干光场在自由空间传播的平 移不变性 基尔霍夫公式获得的脉冲响应表达式
P0 r0 n P
Σ
r
Q
在单色点源照明下，平面孔径后方
光场中任一点Q的复振幅为
1 a0e U (Q) j r0
jkr0
cos(n, r ) - cos(n, r0 ) e jkr ds 2 r
•18
孔径平面上的复振幅分布是球面波，有 U 0 ( P) a0 e jkr
K ( ) 1
。
•28
相干光场在自由空间传播的平移不变性
• 观察点Q到孔径平面上任一点P的距离
r z ( x x0 ) ( y y0 )
2 2
2 1/ 2
h( x0 , y0 ; x, y) h( x x0 , y y0 )
2 2
•11
点光源光波场近似
• 利用二项式展开，并略去高阶项，有
称为傍轴近似 • 将上面 r 的表达式代入球面波复振幅表达式，则 发散的球面波在x-y 平面上的复振幅 U( P ) a0 e jkr
a0 k U( x, y ) exp( jkz1 )exp{ j [( x x0 )2 ( y y0 )2 ]} z1 2z1
u( P, t ) Re{U ( P) exp( j 2t )} • 利用复振幅表示的光振动：
• P 点光强度： I( P ) U( P ) UU *
•7
2
回顾：球面波的复振幅
• 任何复杂光波场都可以看作许多点光源的集 合，它所发出的光波就是球面波的叠加。
• 当光波场为非相干场时，点光源互不相干， 它们发出的光波叠加为光强度叠加。当光波 场为相干场时，光场的叠加为光波复振幅的 叠加。 • 点光源发出的光波为球面波，研究球面波的 复振幅表示是非常重要的。
波复振幅形式不变，此时有
r ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
2 2
2
•9
坐标系几何示意图
( x, y,z )
( x0 , y0 ,z0 )
• 光学中一般考虑的是某一给定平面的光场分布， 如衍射物平面和观察平面的光场分布。
•10
点光源光波场近似
设光源位于
•8
回顾：球面波的复振幅
• 对于单色发散球面波
a0 jkr U( P ) e r 当点光源位于坐标原点时：
r为观察点到原点的距离： r
x2 y2 z 2
• 会聚球面波：
a0 jkr U( P ) e r
• 若点光源位于空间任意一点 S( x0 , y0 ,z0 ) ，其球面
1. 惠更斯-菲涅尔原理
• 光场中任一给定曲面上的各面元可以看做子 波源，这些子波源是相干的，则在波继续传播的 空间上任一点处的光振动，都可看做是这些子波 源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
其数学表达式为：
•
U (Q) c U 0 ( p)k ( )

e
jkr
r
dS
•14
主要问题：
1 该理论缺乏严格的理论依据。
既可理解为衍射屏前表面的复振幅，也可理解为衍射屏后表
面的复振幅，因为积分范围为Σ。 若将衍射过程看作衍射屏后表面光振动到观察面的传 播，则 U0 ( P) Ut ( P) Ui ( P) t ( P)
•23
基尔霍夫衍射与叠加积分
1 e jkr • 基尔霍夫衍射公式 U (Q) U 0 ( P) K ( ) dS j r 1 e jkr • 令 h( P, Q) K ( ) j r
•
当点光源P0足够远，而且入射光在孔径平面上各点的入
射角都不大时，有 cos(n, r 0 ) -1
。此外，如果观察
平面与孔径平面的距离z远大于孔径，而且在观察平面上 仅考虑一个对孔径上各点张角不大的范围，即在傍轴近
似下，又有
•
cos(n, r ) 1 。
•
在这些条件下，可以认为倾斜因子 1 e jkr 脉冲响应简化为： h( P, Q) j r
•
h( P表示在 , Q) P点有一个单位脉冲即
散函数。
U 0 ( P时， )dS 1
在观察点Q造成的复振幅分布，称为脉冲响应或点扩
•25
U (Q) U 0 ( P )h( P, Q)dS

• 由上面衍射公式可知，观察点Q的复振幅，
• U (Q) 是Σ上所有面元的光振动在Q点引起的复
如何用波动性去解释和计算衍射光场的分布呢？
矢量波衍射理论：严格的电磁波理论，利用一定的边界条件
求解麦克斯韦方程组，但复杂，大多数只能数值求解。
标量波衍射理论：光波当作标量处理。简单，但属近似处理。
标量波衍射理论适用的条件：
1）衍射孔径大大于波长；
2）观测点到孔径的距离不要太近。
光波传播理论发展历史
•19
基尔霍夫衍射公式说明：
上述基尔霍夫衍射公式仅仅是单个球面波照明孔径 的情况作出的讨论，但衍射公式却适用于更普遍的任
意单色光波照明孔径的情况。
因为任意复杂的光波可分解成简单的球面波的线
性组合，波动方程的线性性质允许对每一单个球面波
分别应用上述原理，把所有点源在Q点的贡献叠加。
因此， 基尔霍夫衍射公式中
r0
基尔霍夫衍射公式
0
代入基尔霍夫衍射公式，有
cos(n, r ) - cos( n, r0 ) 其中：K ( ) 2
1 e jkr U (Q) U 0 ( P) K ( ) dS j r
1 若 c j 并代入衍射公式，该公式与惠更斯-菲涅尔 衍射公式完全相同。
r
( x x0 )2 ( y y0 )2 r z1 2z1
• 说明：分母中 r 直接用z1替代，而指数项中 r 由 • 于波长λ 极小，k 2 很大，上式中第 • 二 项不能省略
Baidu Nhomakorabea
•12
点光源光波场相位因子和复振幅
• X-y 平面上相位
k exp{ j [( x x0 )2 ( y y0 )2 ] 2z1
第二章 标量衍射理论
鲁东大学物理与光电工程学院
•1
•§2.1 引言
光的衍射现象：光波在空间传播遇到障碍时，其传播 方向会偏离直线传播，弯入到障碍物的几何阴影中，并
呈现光强的不均匀分布的现象。
光的衍射是光的波动性的主要标志之一。 几何光学中强调的光是直线传播的；而这里又说光不是 直线传播的，有衍射现象。这两种说法是不是相互矛盾的 呢？ 不是。几何光学所说的直线传播是在忽略光的波动性 情况下的近似。（几何光学理论是近似的）
• 1678年惠更斯提出“子波”概念——惠更斯原理 • 1818年菲涅尔发展惠更斯原理，指出“子波”是相 干的，提出惠更斯-菲涅尔原理 • 1882年，基尔霍夫利用格林定理，通过求解电磁场 波动方程，导出严格的标量衍射公式——基尔霍夫 标量衍射理论。 • 基尔霍夫衍射理论出发点——点光源发出的球面波 是光波传播的基元函数
•22
不论以什么方式改变光波波面
—
衍射屏处光场
描写衍射屏自身宏观光学性质的物理量
——复振幅透过率：
场的复振幅；
U t ( P) t ( P) U i ( P)
Ui ( P) ：衍射屏前表面的复振幅或照射到衍射屏上的光
Ut ( P) ：是衍射屏后表面的复振幅。
若衍射屏是具有开孔的不透明屏，则公式中的 U 0 ( P)
• 有U (Q )
U ( P ) h ( P , Q ) dS 0

•24
h( P, Q) 物理意义：
U (Q) U 0 ( P )h( P, Q)dS

• 衍射屏面上任一点P ，其复振幅为
U0 ( P)
• P点处的小面元dS对观察点Q的贡献
dU (Q) U0 ( P)h( P, Q)ds
z0 0 平面， 观察面位于
z z1
其中
z1 0 ，r 可以写为：
r ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 ( x x0 )2 ( y y0 )2 =z1 1 2 z1
当x-y 平面上只考虑一个对S点张角不大的区域，有：
( x x0 ) ( y y0 ) 1 2 z1
的线性组合都是方程的解。 • 球面波和平面波都是波动方程的解。任何复杂的 • 示， 光波都可以用球面波和平面波的组合表
•6
•
它们的解也都满足波动方程。
回顾：光波场的复振幅
• 单色光波场： u( P, t ) a( P) cos[2t ( P)] • 写为复指数形式：u( P, t ) Re{a( P) exp[ j (2t ( P))]} • 与空间位置有关的部分：U ( P) a( P) exp[ j( P)] U( P )称为光波场中P 点的复振幅。包涵了P 点 光振动的振幅和相位。它与时间无关。
2 常数c中应包含exp(-jπ/2)因子，惠更斯 -菲涅尔原理无法解释。 3 K(θ)的具体函数形式难以确定。
•15
衍射理论所要解决的问题
光场中任一点Q的复振幅
能否用光场中其它各点的复振
幅表示出来？
例如能否由如图孔径平面
上的场分布计算孔径后面任一
点Q处的复振幅？这是一个根
入射光
Q
据边界值求解波动方程的问题。