光波的标量衍射理论

一、惠更斯—菲涅耳原理
1690年惠更斯提出的一种假设：波前（波面）上的每 一点都可以看作为一个发出球面子波的次级扰动中心， 在其后面一个时刻，这些子波的包络面就是新的波 前——定性地说明了衍射现象
原理的依据： 1、波动在介质中是逐点传播的 2、各质点作与波源完全相同的振动
注意：该原理对非均匀媒质也成立，只是波前的形状 和传播方向可能发生变化。
E%(P)=C A eikR eikr K ( )d R r
(5)
菲涅尔发展的理论确实能够定性地解释某些衍 射现象，但是从理论上讲它本身是不严格的， 主要有以下几点：
（1）倾斜因子的引入缺乏理论根据；
（2）倾斜因子的具体表达式未知；
（3）常数项的具体形式未知
基尔霍夫从微分波动方程出发,利用格林定理，以及电 磁场的边值条件给出了惠更斯—菲涅耳原理较完善的 数学表达式，确定了倾斜因子和常数项的表达式，弥 补了菲涅尔理论的不足。
x1 ) 2
(y z12
y1 ) 2
2
L
y1
x1 r Q
C
z1
y
Px
P0
k [(x x1)2 8
(y z13
y1
)2
]2 max
π
(9)
K
r简化为
r
z1
1
1 2
(x
x1 ) 2
( z12
y
y1 ) 2
z1
x2 y2 2 z1
xx1
z1
yy1
x12 y12 2 z1
e 2 z1
i z1
E%( x1
,
y1
)e
ik
xx1
yFra Baidu bibliotek1 z1
dx1dy1
(14)
菲涅耳衍射和夫朗和费衍射是傍轴近似下的两种衍射 情况，二者的区别条件是观察屏到衍射屏的距离 z1 与 衍射孔的线度(x1，y1)之间的相对大小。
波的初相位相同
3、子波在P引起的振幅与r成反比4、某一点发出的子波
在P点的相位有光程决定 z
R Qr
S
P
z
z
RQ r
S
P 点的光场复振幅为
P E%(P)= C A eikR eikr K ( )d L (5) R r
z
A 是离点光源S单位距离处的振幅；R是波面Σ的半径
C 是比例系数， r Q，P K() 称为倾斜因子，它是与元 波面 法d线和 的夹QP角 (称为衍射角)有关的量
惠更斯—菲涅耳原理的图像表示
z
n
R Qr
P点光场分布可以看作是 S 和 P S
P
之间任一波面Σ（通过孔径zz’的
部分）上各点发出的次波在 P 点 z
相干叠加的结果。
任意一点Q发出的子波满足以下假设：
1、Q点处发出的子波在P点的振幅正比于子波的面积ds，
并且随着倾斜角θ 的增大而减小。
2、因为波面Σ是一个等相位面，所以没一点上发出的子
(10)
这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍
射现象叫菲涅耳衍射（近场衍射）。
在菲涅耳近似下，P 点的光场复振幅为
E%(x, y) 1
i z 1
E%( x1 ,
ikz1[1
y1)e
(
x x1
)2 ( y 2 z12
y1
)2
]
dx1dy1
(11)
(2) 弗朗和费近似 当观察屏离孔的距离很大，菲涅尔近似公式中，满足
是不正确的。
三、 基尔霍夫衍射公式的近似
1) 傍轴近似
对于傍轴光线，如图所示衍射屏的开孔Σ的线度和接受
屏上的考察范围都远小于衍射屏到接受屏的距离。
Σ 的线度<< z1 P0P 的线度<< z1
① cos(n, r) 1，
于是 K() 1；
② r z1。
y1
x1 r Q
C
z1
K
y Px P0
E
菲涅耳的假设：当＝0 时，K 有最大值；随着 的增大，K 迅速减小，当 ≥/2 时，K＝0。
从惠更斯——菲涅尔原理我们可以看出，光的衍射 现象实质上还是一个干涉问题：相干光波叠加引起 的光强的重新分布，所不同之处在于:
(1)干涉现象是有限个相干光波的叠加的结果
(2)衍射现象则是无限多个相干光波的叠加的结果。
③倾斜因子 K() 表示了次波的振幅在各个方向上是不同
的，其值在 0 与 1 之间。
如果一平行光垂直入射到Σ 上，则 cos(n, l) =－1，cos(n,
r)= cos，
K( ) 1 cos
2
当＝0 时，K() ＝1，这表明在入射波面法线方向上
的次波贡献最大；当＝ 时，K()＝0。这一结论说
明，菲涅耳在关于次波贡献的研究中假设 K(/2)＝0
k (x12 y12 )max <<π (12) 2z1
可将 r 进一步简化为
r
z1
x2 y2 2z1
xx1
z1
yy1
(13)
这一近似称为夫朗和费近似，在这个区域内观察到的 衍射现象叫夫朗和费衍射（远场衍射）。
在夫朗和费近似下，P 点的光场复振幅为
E%(x, y)
eikz1
ik x2 y2
E%(P) 1
i
Aeikl l
eikr r
cos(n,
r
)
2
cos(n,
l)
d
(7)
(n, r) (n, l)
C
1
i
;
K
(
)
cos(n,
r
)
2
cos(n,
l
)
n S
l
Q r
P
此式称为菲涅耳—基尔霍夫衍射公式。
① P 点的光场是孔径所限波面Σ 上无穷多次波源产生的
② 因子(- i) 表明，次波源的振动相位超前于入射波 /2
M
K1
K2
K3
K4
几何投影区 菲涅耳衍射区
夫朗和费衍射区
(1) 菲涅耳近似
如图所示，设 QP r，则由几何关系有
r
z12 (x x1)2 ( y y1)2 z1
1
x
x1 z1
2
y
y1 z1
2
z1 1
1 2
(x
x1 ) 2
(y z12
y1 ) 2
1 8
(x
球面波
平面波
vt
传 播 方
...
.
.
传
向
. 波源 .
.
播 方
vt . . .
.
向
.
t 波面
t 波面
t + t 波面
t
t + t 波面
用惠更斯原理证明折射定律
i
B
Ai
n1
rD
C
r
n2
菲涅尔基于光的干涉原理，用“子波相干叠加”思想补 充了惠更斯原理：波前（波面）上的每一点都可以看作 为一个发出球面子波的次级扰动中心，在其后面一个时 刻波面上任意一点的光振动就是这些子波在该点相干叠 加的结果——定量地说明了衍射现象。
所以衍射公式改写为
E%(P) 1 E%(Q)eikrd L (8)
i z1
2) 距离近似—菲涅耳近似和夫朗和费近似
①在离圆孔很近的 K1 处，是圆孔的几何投影区 ②在 K2 面的前后，随着观察平面距离的增大，环纹中 心表现出亮暗交替变化现象。——菲涅尔衍射区
③在 K4 位置，随着观察距离的增大，只是光斑扩大， 但光斑形状不变。——弗朗和费衍射区