光波的标量衍射理论
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第三章 标量衍射理论
U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2
c
U ( p) k U ( p) 0
K
2
亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理 格林定理 若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶 和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级 扰动中心，它们产生球面子波，后一时 刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都 可以看作一个次级波波源，其后空间任 一观察点的光振动是这些子波传播到该 点后叠加的结果。 菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。 推导
r' • P'
n
P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j
信息光学-第3章 标量衍射理论
rz2 x x 0 2 y y 0 2 z1 x x 0 2z 2 y y 0 2
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。 引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。 引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02
3.1光波的标量衍射理论-邓冬梅
2
2
z12
= z1
( x x1 ) + ( y y1 ) +
2
2
2 z1
[( x x1 ) + ( y y1 ) ]2 + .... 3 8 z1
2 2
r ≈ z1
(x x1 )2 + ( y y1 )2 +
2 z1
C
y1 x1 Q z1 K r
y P x
近似条件: [( x x1 ) + ( y y1 ) ] z >> 4λ
一,光的衍射现象
'光线'拐弯了! 光线'拐弯了! 光线
S
?
衍射现象:光波偏离直线传播而出 衍射现象: 现光强不均匀分布的现象
E
E
S
S
圆孔衍射
Diffraction pattern of an icosahedral quasicrystal
12
光孔尺寸与衍射
衍射效应很弱,光线几乎直线传播 直线传播. 一,ρ>1000λ时,衍射效应很弱,光线几乎直线传播. λ 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 二,1000λ >ρ> λ时,衍射现象显著,出现了与光孔 衍射现象显著 现象显著, λ ρ 形状对应的衍射图样. 形状对应的衍射图样. 衍射效应过于强烈,只看到干涉 干涉. 三,ρ ~ λ 衍射效应过于强烈,只看到干涉. 过渡. 四,ρ<λ 向散射过渡. λ 散射过渡 其中:光孔线度ρ,波长λ
π
( n,l ) ( n,r ) ∑
θ
l
r P
K一般在0-1之间,特别地, 光线正入射时:
R
2
z12
= z1
( x x1 ) + ( y y1 ) +
2
2
2 z1
[( x x1 ) + ( y y1 ) ]2 + .... 3 8 z1
2 2
r ≈ z1
(x x1 )2 + ( y y1 )2 +
2 z1
C
y1 x1 Q z1 K r
y P x
近似条件: [( x x1 ) + ( y y1 ) ] z >> 4λ
一,光的衍射现象
'光线'拐弯了! 光线'拐弯了! 光线
S
?
衍射现象:光波偏离直线传播而出 衍射现象: 现光强不均匀分布的现象
E
E
S
S
圆孔衍射
Diffraction pattern of an icosahedral quasicrystal
12
光孔尺寸与衍射
衍射效应很弱,光线几乎直线传播 直线传播. 一,ρ>1000λ时,衍射效应很弱,光线几乎直线传播. λ 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 二,1000λ >ρ> λ时,衍射现象显著,出现了与光孔 衍射现象显著 现象显著, λ ρ 形状对应的衍射图样. 形状对应的衍射图样. 衍射效应过于强烈,只看到干涉 干涉. 三,ρ ~ λ 衍射效应过于强烈,只看到干涉. 过渡. 四,ρ<λ 向散射过渡. λ 散射过渡 其中:光孔线度ρ,波长λ
π
( n,l ) ( n,r ) ∑
θ
l
r P
K一般在0-1之间,特别地, 光线正入射时:
R
第二章 光的标量衍射理论
（2-1-15）
（2-1-15）式称为菲涅尔衍射积分公式 式称为菲涅尔衍射积分公式 满足菲涅耳近似条件的衍射称为菲涅耳衍射 满足菲涅耳近似条件的观察区域称为“菲涅尔衍射区” 满足菲涅耳近似条件的观察区域称为“菲涅尔衍射区” 在菲涅耳衍射区中放置一个二维观察屏， 在菲涅耳衍射区中放置一个二维观察屏，屏上显示的图 形即物体的菲涅耳衍射图形。 形即物体的菲涅耳衍射图形。 辐照度L(x,y) 为： 辐照度
• 2.1.1 惠更斯 菲涅耳原理 惠更斯-菲涅耳原理 • 假设：波前上的每一个面元都可以看做是一个次级扰 假设： 动中心，它们能产生球面子波． 动中心，它们能产生球面子波．后一时刻的波前位置 是所有这些子波波前的包络面。 是所有这些子波波前的包络面。 波前”即是某一时刻光波的波面(等相面 等相面)， “波前”即是某一时刻光波的波面 等相面 ， 次级扰动中心” 是一个点光源或称为子波源。 “次级扰动中心” 是一个点光源或称为子波源。
该近似称为夫琅和费近似 该近似下 基尔霍夫衍射积分公式化简为： 在该近似下，基尔霍夫衍射积分公式化简为：
x2 + y2 E ( x, y ) = exp j k d + jλ d 2d 1 ∞ k ∫ ∫ A(ξ ,η ) exp − j ( xξ + yη ) d ξ d η d −∞ （2-1-19） ）
（2-1-16） ）
L(x,y)等于菲涅耳衍射复振幅分布 等于菲涅耳衍射复振幅分布E(x,y)的模的平方 等于菲涅耳衍射复振幅分布 的模的平方
二、夫琅和费近似和天琅和费衍射
进一步增大观察平面∏到衍射孔径 的距离 进一步增大观察平面 到衍射孔径∑的距离 ，则衍射 到衍射孔径 的距离d， 图形将随之放大。 图形将随之放大。
第2章 标量衍射理论
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§2.1 光波的数学描述
球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
本章将从基尔霍夫衍射理论和角谱出发，讨论衍射问题。前者
与经典物理光学的陈述一致，但利用线性系统理论赋予了新的 解释。我们将把衍射这一物理现象看做线性不变系统，分别讨 论其脉冲响应和传递函数。重点放在角谱理论上。
第2章 标量衍射理论（Theory of Scalar Diffraction）
§2.1 光波的数学描述 2.1.1 单色光波场的复振幅表示
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P) 光强分布: I = UU*
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
§2-2 基尔霍夫衍射理论
2.2.1 从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一 时刻波阵面的方法。把波阵面上每一面元作为次级子波 的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面。
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§2.1 光波的数学描述
球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
本章将从基尔霍夫衍射理论和角谱出发，讨论衍射问题。前者
与经典物理光学的陈述一致，但利用线性系统理论赋予了新的 解释。我们将把衍射这一物理现象看做线性不变系统，分别讨 论其脉冲响应和传递函数。重点放在角谱理论上。
第2章 标量衍射理论（Theory of Scalar Diffraction）
§2.1 光波的数学描述 2.1.1 单色光波场的复振幅表示
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P) 光强分布: I = UU*
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
§2-2 基尔霍夫衍射理论
2.2.1 从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一 时刻波阵面的方法。把波阵面上每一面元作为次级子波 的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面。
标量衍射理论
x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
y y0 z
2
可以进一步简化得出：
r z x2 y2 xx0 yy0
2z
z
这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似，在这一条 件下，脉冲响应可进一步简化为：
h(x0 ,
y0 ;
x,
y)
exp( jkz)
jz
exp
j
k 2z
y
y0 2
z
1
x x0 z
2
y y0 z
2 2
当
cos(n, r) 1时
x
z
x0
2
和
y
y0
2
都是小量
z
r
z
1
x
x0
2
2z
2
y
y0 2
x x0 2 y
8z4
y0 2
2
r
z2
x x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
§2.2 从矢量理论到标量理论 光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦
E 0
克 斯
H 0
韦 方 程
E H
t
组
H E
t
符号： E 电场强度
直角坐标系分量 (Ex , Ey , Ez )
H 磁场强度
直角坐标系分量 (H x , H y , H z )
E, H 都是位置（x,y,z）和时间 t 的函数
cos(n,
r
)
- cos(n, 2
r0
光波的标量衍射理论
～
E
P＝
A i
e
xpik
l
l
e
xpik
r
r
cosn,
r
2
cosn,
l
d
子波的复振幅与
K() cosn, r cosn,l
2 成正比，与波长成反比。
i 1 exp[i p]
i
2
表示子波的振动位相超前于入射波90。
6
当光线接近于正入射时 exp(ikl) exp(ikR)
l
R
cos(n, l) 1,
1 x x1 2 y y1 2
z12
z1
x
x1 2 y
2z1
y1 2
[x
x1 2 y
8z13
y1 2 ]2 ....
级数展开
r
z1
x
x1
2 y
2z1
y1 2
近似条件：
[x x1 2 y y1 2 ]2 p
z13
4
y1
Q C
K
x1 r
z1
y x
P
P0 E
11
r
z1
x
x1 2 y
2
光源S在波面ZZ '上
波阵面外任一点光振动应该是波面
上所有子波相干叠加的结果。
任意Q点产生的复振幅：
E~Q
A
exp ikR
R
Z
Q
R
Q点处d 大小的面元
r P
对P点的贡献为： S
dE~P
CK
E~Q
expik
r
r
d
Z'
子波向P点的球面波公式 子波法线方向的振幅 子波振幅随角的变化
第二章 光的标量衍射理论
4.若/a趋于零衍射现象消失—几何光学是/a趋于零 的极限情况
2.1.1.2.衍射屏和衍射系统 障碍物—衍射屏
照明 空间
x0 , y0
衍射 空间
x, y
U 0 U0
U0是衍射屏前表面的复振幅
是衍射屏后表面的复振幅 U0
照明 空间
U0 U0
衍射屏
t
U x, y
(2.2.1)
．
y
．
0
复振幅分布U(x,y可分解为频率不同的复指数分 量的线性组合，各频率分量的权重因子为A(fx,fy)
z
A( f x , f y )
exp[ j 2 ( f x x f y y)] 代表一个沿 cos f x ,cos f y 所确定方向传播的单色振幅平面波。
复振幅透射函数—屏函数 图2.1.1 衍射系统及其三个重要的分析平面 ( x0 , y0 ) U0 t ( x0 , y0 ) U 0 ( x0 , y0 ) --瞳函数 振幅型—只改变振幅 位相型—只改变位相 ( x0 , y0 ) t ( x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 ) 或 U0
exp( jkr ) dU ( P) CU ( P0 )dSK ( ) r
dS
U ( P0 )
n
P0
r
Σ
图2.1.2
U (P)
波面Σ 在P点的复振幅 (2.1.3)
P
Σ 上所有子波源在P点产生的总振动为
U ( P) C U ( P0 ) K ( )
exp( jkr ) dS r
y
3D
k与x轴夹角为 , 与y轴夹角为，与z轴夹角为
x
2.1.1.2.衍射屏和衍射系统 障碍物—衍射屏
照明 空间
x0 , y0
衍射 空间
x, y
U 0 U0
U0是衍射屏前表面的复振幅
是衍射屏后表面的复振幅 U0
照明 空间
U0 U0
衍射屏
t
U x, y
(2.2.1)
．
y
．
0
复振幅分布U(x,y可分解为频率不同的复指数分 量的线性组合，各频率分量的权重因子为A(fx,fy)
z
A( f x , f y )
exp[ j 2 ( f x x f y y)] 代表一个沿 cos f x ,cos f y 所确定方向传播的单色振幅平面波。
复振幅透射函数—屏函数 图2.1.1 衍射系统及其三个重要的分析平面 ( x0 , y0 ) U0 t ( x0 , y0 ) U 0 ( x0 , y0 ) --瞳函数 振幅型—只改变振幅 位相型—只改变位相 ( x0 , y0 ) t ( x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 ) 或 U0
exp( jkr ) dU ( P) CU ( P0 )dSK ( ) r
dS
U ( P0 )
n
P0
r
Σ
图2.1.2
U (P)
波面Σ 在P点的复振幅 (2.1.3)
P
Σ 上所有子波源在P点产生的总振动为
U ( P) C U ( P0 ) K ( )
exp( jkr ) dS r
y
3D
k与x轴夹角为 , 与y轴夹角为，与z轴夹角为
x
标量的衍射理论
基尔霍夫的贡献：1.给出了倾斜因子2.给出了常数C的具体形式
方法：将光场当作标量处理，只考虑电场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法处理，忽略电磁场矢量间的耦合特性，称之为标量衍射理论。
基尔霍夫从ห้องสมุดไป่ตู้量波动方程剥离时间变量得到亥姆赫兹方程，利用格林定理和通过假定衍射屏的边界条件，求解了波动方程，导出了严格的衍射公式。
光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。
现在一般认为，光波在传播的过程中，不论任何原因导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布）的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为衍射。
惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，也可以说明衍射的存在；但不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。
1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,这个原理就是惠更斯－菲涅耳原理。
惠更斯－菲涅耳原理：光场中任一给定曲面上的诸面元可以看做是子波源，如果子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振动，都可看作是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
设Σ是某光波的波阵面，在其上任一面元ds都可看作是次波的光源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点处光波的强度。
惠更斯—菲涅耳原理是对光的衍射现象物理规律的认识。但其数学表达式则不够精确，表达式中的一些参数也不够严格。基尔霍夫根据惠更斯—菲涅耳原理，利用电磁场理论推导出了严格的衍射公式---基尔霍夫衍射公式。
方法：将光场当作标量处理，只考虑电场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法处理，忽略电磁场矢量间的耦合特性，称之为标量衍射理论。
基尔霍夫从ห้องสมุดไป่ตู้量波动方程剥离时间变量得到亥姆赫兹方程，利用格林定理和通过假定衍射屏的边界条件，求解了波动方程，导出了严格的衍射公式。
光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。
现在一般认为，光波在传播的过程中，不论任何原因导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布）的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为衍射。
惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，也可以说明衍射的存在；但不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。
1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,这个原理就是惠更斯－菲涅耳原理。
惠更斯－菲涅耳原理：光场中任一给定曲面上的诸面元可以看做是子波源，如果子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振动，都可看作是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
设Σ是某光波的波阵面，在其上任一面元ds都可看作是次波的光源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点处光波的强度。
惠更斯—菲涅耳原理是对光的衍射现象物理规律的认识。但其数学表达式则不够精确，表达式中的一些参数也不够严格。基尔霍夫根据惠更斯—菲涅耳原理，利用电磁场理论推导出了严格的衍射公式---基尔霍夫衍射公式。
标量衍射理论
其中 r xi yj zk 为空间点的位矢
上式可改写为：
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
平面波的等相位线方程为： x cos y cos C 平面波的等相位线为一族平行线。它们 正是波面与x-y平面的交线。
7.空间频率
y T
0
t
时间周期信号，周期为T，则其频率为f=1/T。 其含义是单位时间内信号重复的次数 。
类比于时间频率，我们引入空间频率的概念 空间周期:相邻两条纹之 间的距离 d 空间频率：单位长度的 1 条纹数 f
§1. 光波的数字描述
一单色光场可表示为位置的复函数U(P)。 在自由空间传播的任何单色光扰动的复振 幅都必须满足亥姆霍兹方程：
( k )U ( P) 0
2 2
球面波和平面波都是波动方程的基本解 任何复杂的波都可以用球面波和平面波的 线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
一、球面波
从点光源发出的光波，在各向同性介质中 传播时形成球形的波面，称为球面波。 球面波复振幅传播特点是： 1、振幅衰减；2、相位变化。 单色发散球面波的复振幅可以写做
a exp[ jk ( x cos y cos z cos )
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
第2章 光的标量衍射理论
a0 ±jkr U(P) = e 球面波的复振幅表示（三维空间）： 球面波的复振幅表示（三维空间）： r
光强分布: 光强分布
I = UU*
[
]
对给定平面是常 量
z
源点S 源点 z 随x, y变化的二次位相因子 变化的二次位相因子 0 球面波特征位相 x
（续）
U ( x, y, z ) = a exp( jk ⋅ r ) = a exp[ jk ( x cos α + y cos β + z cos γ )]
20
2、菲涅耳—基尔霍夫积分公式 、菲涅耳 基尔霍夫积分公式
通过小孔衍射问题
→ 导出菲涅耳—基尔霍夫积分公式
I） 设点光源S 发出的球面单色波，照射到一个开有小孔A 的 光屏上，求光屏右边某点P 的光场，为了应用亥一基积分公式， 围绕P点作一闭合曲面 Σ ，由图可知 Σ 由三部分组成：
A、开孔A B、不透明部分B C、大球面C A
4
2. 1 基尔霍夫衍射理论
2.1. 1 衍射的概念 2.1. 1.1 衍射概念认识的深化
5
惠更斯-菲涅耳定义：光波在传播过程中波面产 惠更斯-菲涅耳定义： 生破缺的现象，称为衍射 现在一般认为： 现在一般认为：光波在传播的过程中，不论任何原因 导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布） 的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为 衍射。
而（已设辅助函数G由 P点向外发散的光照明）
G (Q ) = 1 jkr e r r r e jkr r r ∂G(Q) e jkr 1 jk cos (n ⋅ r ) = jk − cos(n ⋅ r ′) ≈ r r ∂n r
24
将上述关系代入 U ( p ) 式得：
标量衍射理论
面不一定是照明 光波的波阵面， 故称为广义波面。
— 隔开波源与场点的曲面
K ( ) — 倾斜因子，体现子波在
不同的方向上有不同的作用
e jkr —子波源发出的球面波 r
C
2013-12-28
—比例系数
这是几经修正和推广后的惠更 斯-菲涅尔原理的数学描述。 10
衍射基本论要解决的问题是：分析由光源 S 发出的光波，
2013-12-28
11
由电磁场理论可知，电磁波在无源点上应满足如下波动方程
2 E E 2 E 0 2 t t
进一步，无损耗介质中
2 E 2 E 0 2 t 2Ex 2 E x 0 2 t 2Ey 2 E y 0 2 t 2 Ez 2 E z 0 2 t
2013-12-28
U G (G n U n )dS 0 S
得
22
(G
S
U G U G U G U ) dS (G U ) dS (G U ) dS 0 n n n n n n S S
对式 G( P1 )
e
jkr01
2013-12-28 21
格林函数的选择
选格林函数为由P0 点向外发散的球面波， 于是曲面S上任一点P1处的格林函数为
G ( P1 )
S
S P0
P1
r01
e jkr01 r01
n
V
这样选取格林函数，P0点就成了有源点，此时，G在P0点处出现 不连续的情况，而格林定理是要求G在体积V内必须是连续的。 因此，为了排除在P0点函数的不连续性，我们以P0为球心，作一 半径为 的小球面 S ，格林定理中的积分体积为介于S和 S 之间的空间,而积分面则是复合曲面 S+ S S ' 由
— 隔开波源与场点的曲面
K ( ) — 倾斜因子，体现子波在
不同的方向上有不同的作用
e jkr —子波源发出的球面波 r
C
2013-12-28
—比例系数
这是几经修正和推广后的惠更 斯-菲涅尔原理的数学描述。 10
衍射基本论要解决的问题是：分析由光源 S 发出的光波，
2013-12-28
11
由电磁场理论可知，电磁波在无源点上应满足如下波动方程
2 E E 2 E 0 2 t t
进一步，无损耗介质中
2 E 2 E 0 2 t 2Ex 2 E x 0 2 t 2Ey 2 E y 0 2 t 2 Ez 2 E z 0 2 t
2013-12-28
U G (G n U n )dS 0 S
得
22
(G
S
U G U G U G U ) dS (G U ) dS (G U ) dS 0 n n n n n n S S
对式 G( P1 )
e
jkr01
2013-12-28 21
格林函数的选择
选格林函数为由P0 点向外发散的球面波， 于是曲面S上任一点P1处的格林函数为
G ( P1 )
S
S P0
P1
r01
e jkr01 r01
n
V
这样选取格林函数，P0点就成了有源点，此时，G在P0点处出现 不连续的情况，而格林定理是要求G在体积V内必须是连续的。 因此，为了排除在P0点函数的不连续性，我们以P0为球心，作一 半径为 的小球面 S ，格林定理中的积分体积为介于S和 S 之间的空间,而积分面则是复合曲面 S+ S S ' 由
标量衍射理论-2
U0 (x0 , y0 ,0)
cosα cos β A0 , ,0 λ λ
xy
Uz ( x, y, z)
cosα cos β Az , , z λ λ
z
z=0
U 0 ( x0 , y0 ;0) = U z ( x, y; z ) =
∞ ∞
z=z
cos β cosα cos β cosα cos β cosα A0 , ;0 exp j 2π x0 + y0 d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
3.3 标量衍射的角谱理论
3.3-1单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 在 z=0 平面上的复振幅分布为：
exp j 2π ( f x ⋅ x + f y ⋅ y ) = exp[ j 2π (ux + vy )]
[
]
cos β cosα = exp j 2π x+ y λ λ
3.2 基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射 衍射过程 衍射 矢 量 波 衍 射 理 论 假设与近似
(1)整个光波场内光矢量振动方向不 变，或只考虑光矢量的一个分量 (2)衍射屏的最小尺度远大于波长. (3)观测距离远大于波长． (4)折射率与光强无关.
标 量 波 衍 射 理 论
波动光学
信息光学 （基础)
∞ ∞
cos β cosα cos β cosα cos β cosα Az , ; z exp j 2π x+ y d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
cosα cos β A0 , ,0 λ λ
xy
Uz ( x, y, z)
cosα cos β Az , , z λ λ
z
z=0
U 0 ( x0 , y0 ;0) = U z ( x, y; z ) =
∞ ∞
z=z
cos β cosα cos β cosα cos β cosα A0 , ;0 exp j 2π x0 + y0 d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
3.3 标量衍射的角谱理论
3.3-1单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 在 z=0 平面上的复振幅分布为：
exp j 2π ( f x ⋅ x + f y ⋅ y ) = exp[ j 2π (ux + vy )]
[
]
cos β cosα = exp j 2π x+ y λ λ
3.2 基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射 衍射过程 衍射 矢 量 波 衍 射 理 论 假设与近似
(1)整个光波场内光矢量振动方向不 变，或只考虑光矢量的一个分量 (2)衍射屏的最小尺度远大于波长. (3)观测距离远大于波长． (4)折射率与光强无关.
标 量 波 衍 射 理 论
波动光学
信息光学 （基础)
∞ ∞
cos β cosα cos β cosα cos β cosα Az , ; z exp j 2π x+ y d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
标量衍射理论课件
02
该理论可以用于求解波在障碍物 后的衍射问题，通过求解每个傅 里叶分量的传播和衍射问题，可 以得到衍射的强度和方向。
03
标量衍射理论的计算方法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散 化为有限个小的、相互连接的单元， 并对每个单元分别进行求解的方法。
有限元法的优点在于能够处理复杂的 几何形状和边界条件，且易于实现并 行计算。
标量衍射理论通过求解波动方程，得到波前在空间中的分布，以及波动传播过程中 的能量分布。
标量衍射理论的应用领域
光学设计
用于设计透镜、反射镜 等光学元件，优化光学
系统的性能。
波导结构
用于分析光波在波导结 构中的传播特性，设计 光子晶体、光纤等光波
导器件。
散射问题
用于研究散射现象，如 光散射、雷达散射等， 应用于气象预报、环境
在标量衍射理论中，有限元法可用于 求解电磁波在复杂结构中的传播和衍 射问题。
然而，有限元法需要大量的内存和计 算时间，且在处理大规模问题时可能 会遇到稳定性和收敛性问题。
有限差分法
01
02
03
04
有限差分法是一种将偏微分方 程离散化为差分方程的方法。
在标量衍射理论中，有限差分 法可用于求解电磁波在均匀或 周期性介质中的传播问题。
标量衍射理论课件
• 标量衍射理论简介 • 标量衍射理论的基本原理 • 标量衍射理论的计算方法 • 标量衍射理论的应用实例 • 标量衍射理论的展望与挑战
01
标量衍射理论简介
标量衍射理论的基本概念
标量衍射理论是基于波动传播的数学模型，用于描述光波、电磁波等波动在空间中 的传播和散射现象。
该理论假设波前为标量，即不考虑波前的矢量性质，只考虑其幅度和相位的变化。
该理论可以用于求解波在障碍物 后的衍射问题，通过求解每个傅 里叶分量的传播和衍射问题，可 以得到衍射的强度和方向。
03
标量衍射理论的计算方法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散 化为有限个小的、相互连接的单元， 并对每个单元分别进行求解的方法。
有限元法的优点在于能够处理复杂的 几何形状和边界条件，且易于实现并 行计算。
标量衍射理论通过求解波动方程，得到波前在空间中的分布，以及波动传播过程中 的能量分布。
标量衍射理论的应用领域
光学设计
用于设计透镜、反射镜 等光学元件，优化光学
系统的性能。
波导结构
用于分析光波在波导结 构中的传播特性，设计 光子晶体、光纤等光波
导器件。
散射问题
用于研究散射现象，如 光散射、雷达散射等， 应用于气象预报、环境
在标量衍射理论中，有限元法可用于 求解电磁波在复杂结构中的传播和衍 射问题。
然而，有限元法需要大量的内存和计 算时间，且在处理大规模问题时可能 会遇到稳定性和收敛性问题。
有限差分法
01
02
03
04
有限差分法是一种将偏微分方 程离散化为差分方程的方法。
在标量衍射理论中，有限差分 法可用于求解电磁波在均匀或 周期性介质中的传播问题。
标量衍射理论课件
• 标量衍射理论简介 • 标量衍射理论的基本原理 • 标量衍射理论的计算方法 • 标量衍射理论的应用实例 • 标量衍射理论的展望与挑战
01
标量衍射理论简介
标量衍射理论的基本概念
标量衍射理论是基于波动传播的数学模型，用于描述光波、电磁波等波动在空间中 的传播和散射现象。
该理论假设波前为标量，即不考虑波前的矢量性质，只考虑其幅度和相位的变化。
标量衍射理论
2 2
• 说明：分母中 r 直接用z1替代，而指数项中 r 由于 波长λ 极小， 2 很大，上式中第二项不能省 k 略
点光源光波场相位因子和复振幅
• X-y 平面上相位 2z 称为球面波的二次相位因子 2 2 ( x x0 ) ( y y 0 ) C • 其相位轨迹方程： 为同心圆环簇。 • 光源位于原点，且傍轴近似条件下的发散球面 波复振幅为
，其球面
( x x0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 )
2
坐标系几何示意图
( x, y,z )
( x0 , y 0 , z 0 )
• 光学中一般考虑的是某一给定平面的光场分布， 如衍射物平面和观察平面的光场分布。
点光源光波场近似
设光源位于
z0 0
平面， 观察面位于
球面波的复振幅
• 对于单色发散球面波 U(P ) 当点光源位于坐标原点时： r为观察点到原点的距离： r x 2 a 0 jkr • 会聚球面波：
U(P ) e r
a0 r
e
jkr
y z
2
2
• 若点光源位于空间任意一点 波复振幅形式不变，此时有
r
2 2
S ( x0 , y 0 , z 0 )
z
x
y
z
• 由
cos cos cos
2 2
2
1
有
fx
2
fy
2
fz
2
1
2
注
意
空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 ( f 不再和单色平面波 , f ) 述。但空间频率 e x p j2 ( f x 也就不再对应沿某 f y) 有关， 一方向传播的平面波
• 说明：分母中 r 直接用z1替代，而指数项中 r 由于 波长λ 极小， 2 很大，上式中第二项不能省 k 略
点光源光波场相位因子和复振幅
• X-y 平面上相位 2z 称为球面波的二次相位因子 2 2 ( x x0 ) ( y y 0 ) C • 其相位轨迹方程： 为同心圆环簇。 • 光源位于原点，且傍轴近似条件下的发散球面 波复振幅为
，其球面
( x x0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 )
2
坐标系几何示意图
( x, y,z )
( x0 , y 0 , z 0 )
• 光学中一般考虑的是某一给定平面的光场分布， 如衍射物平面和观察平面的光场分布。
点光源光波场近似
设光源位于
z0 0
平面， 观察面位于
球面波的复振幅
• 对于单色发散球面波 U(P ) 当点光源位于坐标原点时： r为观察点到原点的距离： r x 2 a 0 jkr • 会聚球面波：
U(P ) e r
a0 r
e
jkr
y z
2
2
• 若点光源位于空间任意一点 波复振幅形式不变，此时有
r
2 2
S ( x0 , y 0 , z 0 )
z
x
y
z
• 由
cos cos cos
2 2
2
1
有
fx
2
fy
2
fz
2
1
2
注
意
空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 ( f 不再和单色平面波 , f ) 述。但空间频率 e x p j2 ( f x 也就不再对应沿某 f y) 有关， 一方向传播的平面波
3.1 标量衍射理论
1 cos Y l
fy 0
fx
1 cos X l
1
平面波的空间频率
fy
1 cos Y l 1 cos fz Z l
f x f y fz
2 2 2
l2Hale Waihona Puke 平面波的波矢 k 2
l
k x k y kz
2 2
2
这里的 k x k cos
第三章
标量衍射理论
傅立叶光学主要研究内容：光波作为载波，实现 信息的传递、变换、记录和再现问题。 标量衍射理论是研究上述问题的物理基础，我们 用它来研究光波传播规律。 光波是矢量波。当满足下列条件时，标量衍射理 论得到的结果与实际情况十分相符。 条件： 1）衍射孔径比波长大得多； 2）观察屏离衍射孔径相当远。
fx
cos
l
, fy
cos
l
通过上面几个图像，可以看出：
高空间频率信息决定图像的细节
时间频率与空间频率的比较：
时间 周期 频率 圆频率
T (s )
1 1 (s ) T
2 2 T
1
空间 单色光波
l (cm)
l
(cm 1 ) / f x cos
• 传播矢量 k 位于 x ,z 平面的平面波在 x, y 平面上的空间频率 。
（3）平面波的空间频率
平面波前相位图
两相邻等相位线在x方向的间距为 X
l
cos
x方向的空间频率用
y方向的空间频率用
1 cos f x 表示，f x X l
单位是周/mm。
标量衍射理论
x0
基尔霍夫衍射公式
n
光源 P0
θ
θ
1
2
P r0 r z
Q(x,y)
1 a0 exp( jkr0 ) cos(n, r ) cos(n, r0 ) exp( jkr) U (Q) [ ] ds j r0 2 2 r 1 exp( jkr) U 0 P K r ds U 0 PhP, Qds j
平面x y的任一光波可分解成向空间各方向传播的平面波 每一平面波成份与一组空间频率值（ξ, η）对应： 传播方向为cosα =λ ξ, cosβ =λ η ，振幅为G(ξ, η)
G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 (x y)]dxdy
亦可写成：
cos cos cos cos G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
传播方向余弦为（ cosα ,cosβ ）的一般情形
u u0 exp[ jk ( x cos y cos )]
(x,y)平面等相位线
x cos y cos 常数
空间周期 d x cos cos 空间频率
dy cos
cos
Cl xl y sin c(lx ) sin c(l y )
ly y lx x sin( ) sin( ) z z Cl l sin cl , l Cl xl y x y x x lx x ly y z z
x z
y z
光强
I I 0 sin c (lx , l y)
y y0 2 1 x x0 2 z{1 [( ) ( ) ]} 2 z z
标量衍射理论
∫∫ e jkr
U(Q) = C
U0 (P)k(θ) ∑
dS r
nP
∫∫ U(Q)
1
e j kr
cos(n, r ) +1
jλ
U0 ∑
(P)
r
dS 2
r
Q
比较两式可得常数和倾斜因子分别为
C 1
j
1+ cos(n, r) 1+ cosθ
K(θ) =
=
2
2
由基尔霍夫边界条件的两个假设可知，屏外的光场U0（P）
该原理指出：光场中任一给定的隔开波源与场点的曲面上 的各面元可以看做是子波源，如果这些子波是相干的，则在波 传播的空间上的任一点处的光振动，都可以看做是这些子波源 各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
其复振幅的数学表达式为
P0
∫∫ e jkr
U(Q) = C
U0 (P)k(θ) ∑
r
dS
U0(P) 波面上任一点的复振幅
cosα cosβ
cosα cosβ
A( λ , λ ) = A0 ( λ , λ ) exp(jkz 1
cos2 α
cos2 β )
讨论：（1）当方向余弦满足下面关系式时 cos2 α + cos2 β < 1
各平面波传播一定距离z仅是引入一定的相移，而振幅不变。由 于不同方向上传播的平面波分量在到达观察平面时走过的距离 各不相同，因而产生的相移与传播方向有关。
者说空间频率大于 1/ λ 的信息，在单色光波照明下不能沿z
方向传递。
H(ξ, η) =
exp(jkz 1 (λξ)2 (λη)2 0
ξ2
光波的标量衍射理论
波的初相位相同
3、子波在P引起的振幅与r成反比4、某一点发出的子波
在P点的相位有光程决定 z
R Qr
S
P
z
z
RQ r
S
P 点的光场复振幅为
P E%(P)= C A eikR eikr K ( )d L (5) R r
z
A 是离点光源S单位距离处的振幅；R是波面Σ的半径
C 是比例系数， r Q，P K() 称为倾斜因子，它是与元 波面 法d线和 的夹QP角 (称为衍射角)有关的量
(10)
r
z1
x2 y2 2z1
xx1
z1
yy1
(13)
菲涅耳衍射区包含了夫朗和费衍射区，凡能用来计算菲 涅尔衍射的公式都适应于弗朗和费衍射，反射则不然
一、惠更斯—菲涅耳原理
1690年惠更斯提出的一种假设：波前（波面）上的每 一点都可以看作为一个发出球面子波的次级扰动中心， 在其后面一个时刻，这些子波的包络面就是新的波 前——定性地说明了衍射现象
原理的依据： 1、波动在介质中是逐点传播的 2、各质点作与波源完全相同的振动
注意：该原理对非均匀媒质也成立，只是波前的形状 和传播方向可能发生变化。
e 2 z1
i z1
E%( x1
,
y1
)e
ik
xx1
yy1 z1
dx1dy1
(14)
菲涅耳衍射和夫朗和费衍射是傍轴近似下的两种衍射 情况，二者的区别条件是观察屏到衍射屏的距离 z1 与 衍射孔的线度(x1，y1)之间的相对大小。
r
z1
x2 y2 2z1Fra bibliotekxx1
z1
yy1
x12 y12 2z1
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是不正确的。
三、 基尔霍夫衍射公式的近似
1) 傍轴近似
对于傍轴光线，如图所示衍射屏的开孔Σ的线度和接受
屏上的考察范围都远小于衍射屏到接受屏的距离。
Σ 的线度<< z1 P0P 的线度<< z1
① cos(n z1。
y1
x1 r Q
C
z1
K
y Px P0
E
③倾斜因子 K() 表示了次波的振幅在各个方向上是不同
的，其值在 0 与 1 之间。
如果一平行光垂直入射到Σ 上，则 cos(n, l) =－1，cos(n,
r)= cos，
K( ) 1 cos
2
当＝0 时，K() ＝1，这表明在入射波面法线方向上
的次波贡献最大；当＝ 时，K()＝0。这一结论说
明，菲涅耳在关于次波贡献的研究中假设 K(/2)＝0
球面波
平面波
vt
传 播 方
...
.
.
传
向
. 波源 .
.
播 方
vt . . .
.
向
.
t 波面
t 波面
t + t 波面
t
t + t 波面
用惠更斯原理证明折射定律
i
B
Ai
n1
rD
C
r
n2
菲涅尔基于光的干涉原理，用“子波相干叠加”思想补 充了惠更斯原理：波前（波面）上的每一点都可以看作 为一个发出球面子波的次级扰动中心，在其后面一个时 刻波面上任意一点的光振动就是这些子波在该点相干叠 加的结果——定量地说明了衍射现象。
e 2 z1
i z1
E%( x1
,
y1
)e
ik
xx1
yy1 z1
dx1dy1
(14)
菲涅耳衍射和夫朗和费衍射是傍轴近似下的两种衍射 情况，二者的区别条件是观察屏到衍射屏的距离 z1 与 衍射孔的线度(x1，y1)之间的相对大小。
惠更斯—菲涅耳原理的图像表示
z
n
R Qr
P点光场分布可以看作是 S 和 P S
P
之间任一波面Σ（通过孔径zz’的
部分）上各点发出的次波在 P 点 z
相干叠加的结果。
任意一点Q发出的子波满足以下假设：
1、Q点处发出的子波在P点的振幅正比于子波的面积ds，
并且随着倾斜角θ 的增大而减小。
2、因为波面Σ是一个等相位面，所以没一点上发出的子
M
K1
K2
K3
K4
几何投影区 菲涅耳衍射区
夫朗和费衍射区
(1) 菲涅耳近似
如图所示，设 QP r，则由几何关系有
r
z12 (x x1)2 ( y y1)2 z1
1
x
x1 z1
2
y
y1 z1
2
z1 1
1 2
(x
x1 ) 2
(y z12
y1 ) 2
1 8
(x
E%(P) 1
i
Aeikl l
eikr r
cos(n,
r
)
2
cos(n,
l)
d
(7)
(n, r) (n, l)
C
1
i
;
K
(
)
cos(n,
r
)
2
cos(n,
l
)
n S
l
Q r
P
此式称为菲涅耳—基尔霍夫衍射公式。
① P 点的光场是孔径所限波面Σ 上无穷多次波源产生的
② 因子(- i) 表明，次波源的振动相位超前于入射波 /2
一、惠更斯—菲涅耳原理
1690年惠更斯提出的一种假设：波前（波面）上的每 一点都可以看作为一个发出球面子波的次级扰动中心， 在其后面一个时刻，这些子波的包络面就是新的波 前——定性地说明了衍射现象
原理的依据： 1、波动在介质中是逐点传播的 2、各质点作与波源完全相同的振动
注意：该原理对非均匀媒质也成立，只是波前的形状 和传播方向可能发生变化。
k (x12 y12 )max <<π (12) 2z1
可将 r 进一步简化为
r
z1
x2 y2 2z1
xx1
z1
yy1
(13)
这一近似称为夫朗和费近似，在这个区域内观察到的 衍射现象叫夫朗和费衍射（远场衍射）。
在夫朗和费近似下，P 点的光场复振幅为
E%(x, y)
eikz1
ik x2 y2
波的初相位相同
3、子波在P引起的振幅与r成反比4、某一点发出的子波
在P点的相位有光程决定 z
R Qr
S
P
z
z
RQ r
S
P 点的光场复振幅为
P E%(P)= C A eikR eikr K ( )d L (5) R r
z
A 是离点光源S单位距离处的振幅；R是波面Σ的半径
C 是比例系数， r Q，P K() 称为倾斜因子，它是与元 波面 法d线和 的夹QP角 (称为衍射角)有关的量
菲涅耳的假设：当＝0 时，K 有最大值；随着 的增大，K 迅速减小，当 ≥/2 时，K＝0。
从惠更斯——菲涅尔原理我们可以看出，光的衍射 现象实质上还是一个干涉问题：相干光波叠加引起 的光强的重新分布，所不同之处在于:
(1)干涉现象是有限个相干光波的叠加的结果
(2)衍射现象则是无限多个相干光波的叠加的结果。
x1 ) 2
(y z12
y1 ) 2
2
L
y1
x1 r Q
C
z1
y
Px
P0
k [(x x1)2 8
(y z13
y1
)2
]2 max
π
(9)
K
r简化为
r
z1
1
1 2
(x
x1 ) 2
( z12
y
y1 ) 2
z1
x2 y2 2 z1
xx1
z1
yy1
x12 y12 2 z1
(10)
这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍
射现象叫菲涅耳衍射（近场衍射）。
在菲涅耳近似下，P 点的光场复振幅为
E%(x, y) 1
i z 1
E%( x1 ,
ikz1[1
y1)e
(
x x1
)2 ( y 2 z12
y1
)2
]
dx1dy1
(11)
(2) 弗朗和费近似 当观察屏离孔的距离很大，菲涅尔近似公式中，满足
E%(P)=C A eikR eikr K ( )d R r
(5)
菲涅尔发展的理论确实能够定性地解释某些衍 射现象，但是从理论上讲它本身是不严格的， 主要有以下几点：
（1）倾斜因子的引入缺乏理论根据；
（2）倾斜因子的具体表达式未知；
（3）常数项的具体形式未知
基尔霍夫从微分波动方程出发,利用格林定理，以及电 磁场的边值条件给出了惠更斯—菲涅耳原理较完善的 数学表达式，确定了倾斜因子和常数项的表达式，弥 补了菲涅尔理论的不足。
所以衍射公式改写为
E%(P) 1 E%(Q)eikrd L (8)
i z1
2) 距离近似—菲涅耳近似和夫朗和费近似
①在离圆孔很近的 K1 处，是圆孔的几何投影区 ②在 K2 面的前后，随着观察平面距离的增大，环纹中 心表现出亮暗交替变化现象。——菲涅尔衍射区
③在 K4 位置，随着观察距离的增大，只是光斑扩大， 但光斑形状不变。——弗朗和费衍射区